Volumen – Quader

Volumen – Quader Übung

• Beschreibe, wie man das Volumen berechnet.

  Tipps

  Die Seiten eines Quaders bezeichnet man als Länge, Breite und Höhe.

  Das Volumen hat meistens eine Maßeinheit mit einer $3$ im Exponenten.

  Bei der Berechnung des Volumens kannst du jede Seitenfläche des Quaders als Grundfläche auswählen.

  Lösung

  Das Volumen eines Quaders berechnest du ähnlich wie den Flächeninhalt eines Rechtecks, nämlich als Produkt seiner Seitenlängen. Da ein Quader dreidimensional ist, hat er drei nicht parallele Seitenlängen. Das Volumen $V$ ist daher:

  $V = l \cdot b \cdot h$

  Hierbei steht $l$ für die Länge des Quaders, $b$ für die Breite und $h$ für die Höhe des Quaders.

  Das Volumen wird in einer Volumeneinheit gemessen. Die meisten Volumeneinheiten sind von Längeneinheiten abgeleitet und haben daher eine $3$ im Exponenten. Sind die Seitenlängen in $\text cm$ angegeben, so ist $~\text{cm}^3$ die passende Einheit für das Volumen. Ein Quader der Maße $l=5~\text{cm}$ und $b=2~\text{cm}$ und $h=2~\text{cm}$ hat als Volumen

  $V= l \cdot b \cdot h = 5~\text{cm} \cdot 2~\text{cm} \cdot 2~\text{cm} = 20 ~\text{cm}^3$.

  Das Produkt der beiden ersten Größen $l \cdot b$ ist der Flächeninhalt des Rechtecks aus der Länge und Breite des Quaders. Du kannst das Volumen des Quaders also auch berechnen, indem du diesen Flächeninhalt mit der Höhe multiplizierst. Das Volumen des Quaders ist also das Produkt seiner Grundfläche $A_G$ und Höhe $h$.

  $V = A_G \cdot h$

  Hierbei ist $A_G = b \cdot l$.

  Bei der Formel

  $\text{Volumen} = \text{Grundfläche} \cdot \text{Höhe}$

  ist es egal, welche Seitenfläche des Quaders du als Grundfläche wählst. Hast du dich für eine Seitenfläche entschieden, musst du aber die zu dieser Grundfläche senkrechte Seite als Höhe verwenden.

• Bestimme die Grundflächen bzw. Volumina der Quader.

  Tipps

  Das Volumen eines Quaders ist das Produkt des Flächeninhalts seiner Grundfläche und seiner Höhe.

  Das Volumen ändert sich nicht, wenn du den Quader drehst.

  Dieser Quader hat das Volumen

  $V= 3~\text{cm} \cdot 4~\text{cm} \cdot 5~\text{cm} = 60~\text{cm}^3$.

  Lösung

  Als Grundfläche eines Quaders bezeichnet man meistens die untere rechteckige Fläche, auf der der Quader steht. Der Flächeninhalt der Grundfläche ist das Produkt der beiden Seitenlängen dieses Rechtecks, also der Länge ($l$) und der Breite ($b$) des Quaders.

  Das Volumen eines Quaders ist das Produkt seiner drei nicht parallelen Seitenlängen. Diese bezeichnet man üblicherweise als Länge, Breite und Höhe ($h$).

  In einigen Bildern ist eine Fläche markiert, in anderen nicht. Du erhältst den Flächeninhalt der Grundfläche, indem du Längen der beiden anliegenden Seiten multiplizierst. Das Volumen des Quaders berechnest du, indem du die drei angegebenen Seitenlängen multiplizierst.

  Im Bild siehst du die passende Zuordnung der Grundflächen und Volumina. Hier sind die zugehörigen Berechnungen:

  • $V=5~\text{cm} \cdot 2~\text{cm} \cdot 2~\text{cm} = 20~\text{cm}^3$
  • $V=5~\text{cm} \cdot 2~\text{cm} \cdot 7~\text{cm} = 70~\text{cm}^3$
  • $V=5~\text{cm} \cdot 2~\text{cm} \cdot 11~\text{cm} = 110~\text{cm}^3$
  • $A=5~\text{cm} \cdot 2~\text{cm} = 10~\text{cm}^2$
  • $A=7~\text{cm} \cdot 2~\text{cm} = 14~\text{cm}^2$

• Erschließe die Grundfläche $A$, die Höhe $h$ und das Volumen $V$ der Quader.

  Tipps

  Die Grundfläche ist das untere Rechteck des Quaders. Ihr Flächeninhalt wird mit $A$ bezeichnet.

  Der Flächeninhalt der Grundfläche ist das Produkt der beiden anliegenden Seiten Länge und Breite.

  Das Volumen dieses Quaders ist:

  $V = 3 \cdot 5 \cdot 6 = 90$

  Lösung

  Du kannst für jeden der Quader den Flächeninhalt der markierten Grundfläche ausrechnen. Der Flächeninhalt ist das Produkt der beiden anliegenden Seitenlängen. Die Höhe des Quaders ist die Länge der dritten, zu der Grundfläche senkrechten Seite. Das Volumen ist das Produkt des Flächeninhalts der Grundfläche mit der Höhe. Zur Kontrolle kannst du auch das Produkt der drei Seitenlängen berechnen, das ergibt ebenfalls das Volumen.

  Hier sind die Rechnungen:

  Quader 1:

  • Grundfläche: $A_G = 3 \cdot 4 = 12$
  • Höhe: $h=5$
  • Volumen: $V= 12 \cdot 5 = 60 = 3 \cdot 4 \cdot 5$

  Quader 2:

  • Grundfläche: $A_G = 4 \cdot 4 = 16$
  • Höhe: $h=3$
  • Volumen: $V= 16 \cdot 3 = 48 = 4 \cdot 4 \cdot 3$

  Quader 3:

  • Grundfläche: $A_G = 2 \cdot 7 = 14$
  • Höhe: $h=4$
  • Volumen: $V= 14 \cdot 4 = 56 = 2 \cdot 7 \cdot 4$

  Quader 4:

  • Grundfläche: $A_G = 7 \cdot 3 = 21$
  • Höhe: $h=6$
  • Volumen: $V= 21 \cdot 6 = 126 = 7 \cdot 3 \cdot 6$

• Sortiere die Quader nach der Größe des Volumens.

  Tipps

  Berechne den Flächeninhalt der Grundfläche eines Quaders und multipliziere ihn mit der Höhe.

  Der Quader mit der längsten Seite hat nicht notwendig auch das größte Volumen.

  Lösung

  Das Volumen eines Quaders ist das Produkt seiner drei Seitenlängen.

  • $V=l\cdot b \cdot h$

  Das Volumen ist ein Maß für den Rauminhalt. Du kannst dir die Quader z. B. als Gefäße vorstellen. Das Volumen des Quaders gibt dann an, wie viel Wasser du in das Gefäß einfüllen kannst. Diese Füllmenge hängt von den Seitenlängen ab, aber der Quader mit der längsten Seite hat nicht notwendig auch das größte Volumen.

  Zur Vereinfachung wurden die Einheiten hier weggelassen. Du erhältst natürlich jedes Mal Volumeneinheiten. Hier sind die Berechnungen der Volumina sortiert nach der Größe der Ergebnisse:

  1. $V=l\cdot b \cdot h= 3 \cdot 4 \cdot 2 = 24$ oder mit dem Flächeninhalt der Grundfläche: $V=A_G \cdot h= 12 \cdot 2 = 24$
  2. $V=3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ oder $V=9 \cdot 3 = 27$
  3. $V=2 \cdot 7 \cdot 2 = 28$ oder $V=14 \cdot 2 = 28$
  4. $V=2 \cdot 5 \cdot 3 = 30$ oder $V=10 \cdot 3 = 30$
  5. $V=4 \cdot 2 \cdot 4 = 32$ oder $V=8 \cdot 4 = 32$
  6. $V=6 \cdot 3 \cdot 2 = 36$ oder $V=18 \cdot 2 = 36$

• Gib die Formel für das Volumen oder den Flächeninhalt an.

  Tipps

  In den Formeln für Flächeninhalte und Volumina kommt keine Addition vor.

  $\text{cm}^2$ ist eine Flächeneinheit, keine Volumeneinheit.

  Das Volumen dieses Quaders ist das Produkt des Flächeninhalts seiner Grundfläche mit seiner Höhe:

  $V = A_G \cdot h = 10~\text{cm}^2 \cdot 7~\text{cm} = 70~\text{cm}^3$

  Lösung

  Das Volumen eines Quaders ist das Produkt seiner drei nicht parallelen Kanten, also der Länge $l$, der Breite $b$ und der Höhe $h$.

  $V= l \cdot b\cdot h$

  Stattdessen kannst du auch das Produkt des Flächeninhalts $A_G$ seiner Grundseite mit der Höhe $h$ berechnen:

  $V = A_G \cdot h$

  Die Einheit eines Quaders mit Seitenlängen in $\text{cm}$ ist dann $\text{cm}^3$.

  Im Bild siehst du alle falsch bezeichneten Bilder von oben mit den korrekten Beschriftungen:

  1. Die korrekte Einheit für das Volumen ist $\text{cm}^3$ statt $\text{cm}^2$.
  2. Das Volumen ist das Produkt und nicht die Summe von Grundfläche und Höhe: $V=A_G \cdot h \neq A_G +h$.
  3. Das Volumen des Quaders ist das Produkt seiner drei nicht parallelen Seiten: $V = 5~\text{cm} \cdot 2~\text{cm} \cdot 2~\text{cm}$. Diese drei Seiten müssen keine verschiedenen Längen haben.

• Überprüfe die Aussagen.

  Tipps

  Vergleiche die Formeln $V = l \cdot b \cdot h$ und $V=A_G \cdot h$ und überlege, was beim Drehen des Quaders mit den Seiten geschieht.

  Es gilt $1 000~\text{cm}^3=1~\text{m}^3$.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Das Volumen ändert sich nicht, wenn man den Quader dreht.“ Das Volumen ist das Produkt der drei Seitenlängen und diese ändern sich beim Drehen nicht. Lediglich die Bezeichnungen könnte man tauschen.

  • „Das Produkt einer Seitenfläche und der dazu senkrechten Seitenlänge ergibt für alle Seitenflächen denselben Wert.“ Dieses Produkt ist nämlich genau das Volumen des Quaders.

  • „Werden die Längen der Seitenflächen in $\text{cm}$ angegeben, so kann man das Volumen des Quaders auch in $\text{m}^3$ angeben.“ Die Einheit $\text{m}^3$ ist eine Volumeneinheit, die du immer verwenden kannst, wenn du ein Volumen angibst. Ob die Einheit $\text{cm}^3$ oder $\text{m}^3$ praktischer ist, hängt von der Größe der Zahlenwerte ab. Beachte aber: Berechnest du das Volumen aus Längen in der Einheit $\text {cm}$, so passt genau die Einheit $\text{cm}^3$ zu dem Produkt der Zahlenwerte. Für die Umrechnung in $\text {m}^3$ musst du diesen Wert durch $1 000$ dividieren.

  $\,$

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Das Volumen des Quaders ist das Produkt einer Seitenfläche und einer Seitenlänge. Welche Fläche und Seite man wählt, ist egal.“ Du kannst eine Seitenfläche beliebig auswählen, aber als Höhe musst du dann die dazu senkrechte Seite verwenden.

  • „Die Höhe ändert sich nicht, wenn man den Quader dreht.“ Als Höhe bezeichnet man meistens die vertikale Seite des Quaders. Die Seitenlängen des Quaders als solche ändern sich beim Drehen natürlich nicht. Aber welche Seite vertikal liegt, ändert sich, wenn du den Quader drehst. Auch wenn du das Volumen als Produkt von Grundfläche und Höhe berechnest, musst du beachten, dass sich die Höhe ändert, wenn du die Grundfläche wechselst.

  • „Um das Volumen zu berechnen, muss man immer die Seite als Grundfläche wählen, die unten liegt.“ Du kannst jede beliebige Seite als Grundfläche nehmen. Aber du musst dann die dazu passende Höhe verwenden, nämlich die zur Grundfläche senkrechte.