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Volumen – Quader

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Team Digital
Volumen – Quader
lernst du in der Unterstufe 1. Klasse - 2. Klasse - 3. Klasse - 4. Klasse

Beschreibung Volumen – Quader

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, das Volumen von einem Quader zu berechnen.

Zunächst lernst du, wie sich ein Quader aus der Grundfläche, Deckfläche und den Seitenflächen zusammensetzt. Anschließend untersuchst du die Eigenschaften eines Quaders. Abschließend lernst du, mit welcher Formel du das Volumen eines Quaders berechnen kannst und was du dabei beachten musst.

Lerne, wie du das Volumen eines Quaders berechnen kannst, indem du Steinhold bei seinem Problem hilfst.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Volumen eines Quaders, Volumenformel, Seitenlänge, Kantenlänge, Höhe, Länge, Breite, Kubik, Grundfläche und Deckfläche.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was du unter dem Begriff Quader und Volumen verstehst.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, die Volumenberechnung weiterer geometrischer Körper zu lernen.

Transkript Volumen – Quader

Kiesela schmökert in der neuesten Ausgabe von "Schöner Wohnen in der Höhle". Klar, Steinblöcke waren lange Zeit der letzte Dekoschrei, aber die Welt dreht sich weiter. Wenn sie nicht zu kulturellen Dinosauriern werden wollen, muss Kieselas Mann Steinhold seine Steinsammlung loswerden. Aber Steinhold mag seine Steine. Darum hat er eine Idee! Er kann versuchen, alle seine Steine in seiner Lagerhöhle unterzubringen. Wenn er das Volumen von Quadern berechnen kann, kann er vielleicht alle seine Steine einlagern. Steinhold besitzt Steine in drei unterschiedlichen Größen. Wie kann er das Volumen für jede Größe berechnen? Die Formel für das Volumen von Quadern lautet Länge mal Breite mal Höhe. Das Volumen des ersten Blocks beträgt damit Länge 5 Zentimeter mal Breite 2 Zentimeter mal die Höhe, die ebenfalls 2 Zentimeter beträgt. Das macht 10 Quadratzentimeter mal 2 Zentimeter also 20 Kubikzentimeter. Das Volumen von Brocken Nummer 2 berechnet sich als 5 Zentimeter mal 2 Zentimeter mal 7 Zentimeter. Das macht 10 Quadratzentimeter mal 7 Zentimeter oder 70 Kubikzentimeter. Das Volumen von Brocken Nummer 3: 5 Zentimeter mal 2 Zentimeter mal 11 Zentimeter. Das ergibt 10 Quadratzentimeter mal 11 Zentimeter also 110 Kubikzentimeter. Du siehst, dass alle Quader dieselbe Länge und dieselbe Breite besitzen. In allen Fällen haben wir zuerst 5 mit 2 multipliziert und 10 erhalten. Wir können aber auch aus einem anderen Blickwinkel auf das Volumen von Quadern blicken. Jeder Quader besteht aus 6 rechtwinkligen SEITENFLÄCHEN. Wir haben als GRUNDFLÄCHE jedes Quaders die untere Seite gewählt. Die HÖHE ist die Seitenlänge, die senkrecht auf der Grundseite steht. Der Inhalt der Grundfläche beträgt bei jedem Block 5 Zentimeter mal 2 Zentimeter also 10 Quadratzentimeter. Um das Gesamtvolumen zu berechnen, multiplizieren wir 10 Quadratzentimeter mit der Höhe eines jeden Quaders. Ganz allgemein können wir das Volumen eines Quaders berechnen, indem wir die Fläche der Grundfläche mal die Höhe rechnen. Diese Formel können wir nutzen, wann immer wie das Volumen eines Quaders berechnen wollen. Steinhold müht sich, seine geliebten Steine fein säuberlich in seiner Lagerhöhle zu verstauen. Aber einige der Blöcke müssen auf die Seite gedreht werden, damit sie richtig passen. Steinhold macht sich Sorgen: Bleibt das Volumen eines Blocks gleich, auch wenn eine ANDERE Seitenfläche unten liegt? Nehmen wir den 5-mal-2-mal-7-Block als Beispiel. Ist die 5-cm-mal-2-cm-Seite unten hat die Grundfläche einen Flächeninhalt von 10 Quadratzentimetern. Das Volumen entspricht der Grundseite mal der Höhe von 7 Zentimetern. Wir erhalten ein Volumen von 70 Kubikzentimetern. Jetzt drehen wir den Block auf die Seite. Nun ist die SIEBEN-cm-mal-2-cm-Seite unten. Sie ist die neue Grundfläche des Quaders und sie hat einen Flächeninhalt von 7 Zentimetern mal 2 Zentimetern also 14 Quadratzentimeter. Wir nehmen 14 Quadratzentimeter mal die neue Höhe von 5 Zentimetern und erhalten ein Volumen von 70 Kubikzentimetern, genau wie zuvor. Drehen wir den Block noch einmal, sodass die 7-cm-mal-FÜNF-cm-Fläche unten liegt. Die Grundfläche hat nun einen Flächeninhalt von 7 Zentimetern mal 3 Zentimetern also 35 Quadratzentimeter. Wir multiplizieren 35 Quadratzentimeter mit der neuen Höhe von 2 Zentimetern und bestätigen das Volumen von 70 Kubikzentimetern. Bei einem Quader kann jede Seitenfläche als Grundseite herhalten, und dann kann das Volumen als Flächeninhalt der Grundfläche mal die Höhe berechnet werden. Steinhold kann seine Blöcke drehen und wenden wie er will, ohne das Volumen zu ändern. Das erleichtert ihm die Arbeit ungemein! Wiederholen wir noch mal, wie man das Volumen von Quadern berechnet. Wir berechnen das Volumen als Länge mal Breite mal Höhe. Wir können JEDE Seitenfläche des Quaders als Grundfläche bestimmen. Wir berechnen dann den Flächeninhalt dieser Grundfläche und multiplizieren ihn mit der Höhe. Steinhold hat alle seine Steine verstaut und Kiesela ist ihm sehr dankbar. Sie verspricht, dass er seine Steine nun so lange behalten darf, wie er will. Ach, wenn sie doch nur wüssten, dass das bloß das Werk eines einfachen Höhlenmenschen war, der seine Höhle aufgeräumt hat.

6 Kommentare

6 Kommentare
  1. Mega ╰(*°▽°*)╯╰(*°▽°*)╯╰(*°▽°*)╯╰(*°▽°*)╯╰(*°▽°*)╯╰(*°▽°*)╯

    Von Guang Dua Wu, vor etwa 2 Monaten
  2. Tolles Video

    Von Alexandra Abt, vor 3 Monaten
  3. man lernt nicht so gut wenn man sich die Einheiten denken muss aber sonst gut

    Von Rita Rusu, vor 4 Monaten
  4. Es war gut

    Von Selina K., vor 6 Monaten
  5. Mir fehlen die Einheiten in den Berechnungen,

    Von E Rasser, vor 6 Monaten
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Volumen – Quader Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Volumen – Quader kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie man das Volumen berechnet.

    Tipps

    Die Seiten eines Quaders bezeichnet man als Länge, Breite und Höhe.

    Das Volumen hat meistens eine Maßeinheit mit einer $3$ im Exponenten.

    Bei der Berechnung des Volumens kannst du jede Seitenfläche des Quaders als Grundfläche auswählen.

    Lösung

    Das Volumen eines Quaders berechnest du ähnlich wie den Flächeninhalt eines Rechtecks, nämlich als Produkt seiner Seitenlängen. Da ein Quader dreidimensional ist, hat er drei nicht parallele Seitenlängen. Das Volumen $V$ ist daher:

    $V = l \cdot b \cdot h$

    Hierbei steht $l$ für die Länge des Quaders, $b$ für die Breite und $h$ für die Höhe des Quaders.

    Das Volumen wird in einer Volumeneinheit gemessen. Die meisten Volumeneinheiten sind von Längeneinheiten abgeleitet und haben daher eine $3$ im Exponenten. Sind die Seitenlängen in $\text cm$ angegeben, so ist $~\text{cm}^3$ die passende Einheit für das Volumen. Ein Quader der Maße $l=5~\text{cm}$ und $b=2~\text{cm}$ und $h=2~\text{cm}$ hat also Volumen

    $V= l \cdot b \cdot h = 5~\text{cm} \cdot 2~\text{cm} \cdot 2~\text{cm} = 20 ~\text{cm}^3$

    Das Produkt der beiden ersten Größen $l \cdot b$ ist der Flächeninhalt des Rechtecks aus der Länge und Breite des Quaders. Du kannst das Volumen des Quaders also auch berechnen, indem du diesen Flächeninhalt mit der Höhe multiplizierst. Das Volumen des Quaders ist also das Produkt seiner Grundfläche $A_G$ und Höhe $h$.

    $V = A_G \cdot h$

    Hierbei ist $A_G = b \cdot l$.

    Bei der Formel

    $\text{Volumen} = \text{Grundfläche} \cdot \text{Höhe}$

    ist es egal, welche Seitenfläche des Quaders du als Grundfläche wählst. Hast du dich für eine Seitenfläche entschieden, musst du aber die zu dieser Grundfläche senkrechte Seite als Höhe verwenden.

  • Bestimme die Grundflächen bzw. Volumina der Quader.

    Tipps

    Das Volumen eines Quaders ist das Produkt des Flächeninhalts seiner Grundfläche und seiner Höhe.

    Das Volumen ändert sich nicht, wenn du den Quader drehst.

    Dieser Quader hat das Volumen

    $V= 3~\text{cm} \cdot 4~\text{cm} \cdot 5~\text{cm} = 60~\text{cm}^3$

    Lösung

    Als Grundfläche eines Quaders bezeichnet man meistens die untere rechteckige Fläche, auf der der Quader steht. Der Flächeninhalt der Grundfläche ist das Produkt der beiden Seitenlängen dieses Rechtecks, also der Länge ($l$) und der Breite ($b$) des Quaders.

    Das Volumen eines Quaders ist das Produkt seiner drei nicht parallelen Seitenlängen. Diese bezeichnet man üblicherweise als Länge, Breite und Höhe ($h$).

    In einigen Bildern ist eine Fläche markiert, in anderen nicht. Du erhältst den Flächeninhalt der Grundfläche, indem du Längen der beiden anliegenden Seiten multiplizierst. Das Volumen des Quaders berechnest du, indem du die drei angegebenen Seitenlängen multiplizierst.

    Im Bild siehst du die passende Zuordnung der Grundflächen und Volumina. Hier sind die zugehörigen Berechnungen:

    • $V=5~\text{cm} \cdot 2~\text{cm} \cdot 2~\text{cm} = 20~\text{cm}^3$
    • $V=5~\text{cm} \cdot 2~\text{cm} \cdot 7~\text{cm} = 70~\text{cm}^3$
    • $V=5~\text{cm} \cdot 2~\text{cm} \cdot 11~\text{cm} = 110~\text{cm}^3$
    • $A=5~\text{cm} \cdot 2~\text{cm} = 10~\text{cm}^2$
    • $A=7~\text{cm} \cdot 2~\text{cm} = 14~\text{cm}^2$
  • Erschließe die Grundfläche $A$, die Höhe $h$ und das Volumen $V$ der Quader.

    Tipps

    Die Grundfläche ist das untere Rechteck des Quaders. Ihr Flächeninhalt wird mit $A$ bezeichnet.

    Der Flächeninhalt der Grundfläche ist das Produkt der beiden anliegenden Seiten Länge und Breite.

    Das Volumen dieses Quaders ist:

    $V = 3 \cdot 5 \cdot 6 = 90$

    Lösung

    Du kannst für jeden der Quader den Flächeninhalt der markierten Grundfläche ausrechnen. Der Flächeninhalt ist das Produkt der beiden anliegenden Seitenlängen. Die Höhe des Quaders ist die Länge der dritten, zu der Grundfläche senkrechten Seite. Das Volumen ist das Produkt des Flächeninhalts der Grundfläche mit der Höhe. Zur Kontrolle kannst du auch das Produkt der drei Seitenlängen berechnen, das ergibt ebenfalls das Volumen.

    Hier sind die Rechnungen:

    Quader 1:

    • Grundfläche: $A_G = 3 \cdot 4 = 12$
    • Höhe: $h=5$
    • Volumen: $V= 12 \cdot 5 = 60 = 3 \cdot 4 \cdot 5$
    Quader 2:
    • Grundfläche: $A_G = 4 \cdot 4 = 16$
    • Höhe: $h=3$
    • Volumen: $V= 16 \cdot 3 = 48 = 4 \cdot 4 \cdot 3$
    Quader 3:
    • Grundfläche: $A_G = 2 \cdot 7 = 14$
    • Höhe: $h=4$
    • Volumen: $V= 14 \cdot 4 = 56 = 2 \cdot 7 \cdot 4$
    Quader 4:
    • Grundfläche: $A_G = 7 \cdot 3 = 21$
    • Höhe: $h=6$
    • Volumen: $V= 21 \cdot 6 = 126 = 7 \cdot 3 \cdot 6$

  • Sortiere die Quader nach der Größe des Volumens.

    Tipps

    Berechne den Flächeninhalt der Grundfläche eines Quaders und multipliziere ihn mit der Höhe.

    Der Quader mit der längsten Seite hat nicht notwendig auch das größte Volumen.

    Lösung

    Das Volumen eines Quaders ist das Produkt seiner drei Seitenlängen.

    • $V=l\cdot b \cdot h$
    Das Volumen ist ein Maß für den Rauminhalt. Du kannst dir die Quader z. B. als Gefäße vorstellen. Das Volumen des Quaders gibt dann an, wieviel Wasser du in das Gefäß einfüllen kannst. Diese Füllmenge hängt von den Seitenlängen ab, aber der Quader mit der längsten Seite hat nicht notwendig auch das größte Volumen.

    Zur Vereinfachung wurden die Einheiten hier weggelassen. Du erhältst natürlich jedes Mal Volumeneinheiten. Hier sind die Berechnungen der Volumina, sortiert nach der Größe der Ergebnisse:

    1. $V=l\cdot b \cdot h= 3 \cdot 4 \cdot 2 = 24$ oder mit dem Flächeninhalt der Grundfläche: $V=A_G \cdot h= 12 \cdot 2 = 24$
    2. $V=3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ oder $V=9 \cdot 3 = 27$
    3. $V=2 \cdot 7 \cdot 2 = 28$ oder $V=14 \cdot 2 = 28$
    4. $V=2 \cdot 5 \cdot 3 = 30$ oder $V=10 \cdot 3 = 30$
    5. $V=4 \cdot 2 \cdot 4 = 32$ oder $V=8 \cdot 4 = 32$
    6. $V=6 \cdot 3 \cdot 2 = 36$ oder $V=18 \cdot 2 = 36$
  • Gib die Formel für das Volumen oder den Flächeninhalt an.

    Tipps

    In den Formeln für Flächeninhalte und Volumina kommt keine Addition vor.

    $\text{cm}^2$ ist eine Flächeneinheit, keine Volumeneinheit.

    Das Volumen dieses Quaders ist das Produkt des Flächeninhalts seiner Grundfläche mit seiner Höhe:

    $V = A_G \cdot h = 10~\text{cm}^2 \cdot 7~\text{cm} = 70~\text{cm}^3$

    Lösung

    Das Volumen eines Quaders ist das Produkt seiner drei nicht parallelen Kanten, also der Länge $l$, der Breite $b$ und der Höhe $h$.

    $V= l \cdot b\cdot h$

    Stattdessen kannst du auch das Produkt des Flächeninhalts $A_G$ seiner Grundseite mit der Höhe $h$ berechnen:

    $V = A_G \cdot h$

    Die Einheit eines Quaders mit Seitenlängen in $\text{cm}$ ist dann $\text{cm}^3$.

    Im Bild siehst du alle falsch bezeichneten Bilder von oben mit den korrekten Beschriftungen:

    1. Die korrekte Einheit für das Volumen ist $\text{cm}^3$ statt $\text{cm}^2$.
    2. Das Volumen ist das Produkt und nicht die Summe von Grundfläche und Höhe: $V=A_G \cdot h \neq A_G +h$.
    3. Das Volumen des Quaders ist das Produkt seiner drei nicht parallelen Seiten: $V = 5~\text{cm} \cdot 2~\text{cm} \cdot 2~\text{cm}$. Diese drei Seiten müssen keine verschiedenen Längen haben.
  • Überprüfe die Aussagen.

    Tipps

    Vergleiche die Formeln $V = l \cdot b \cdot h$ und $V=A_G \cdot h$ und überlege, was beim Drehen des Quaders mit den Seiten geschieht.

    Es gilt $1000~\text{cm}^3=1~\text{m}^3$.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Das Volumen ändert sich nicht, wenn man den Quader dreht.“ Das Volumen ist das Produkt der drei Seitenlängen, und diese ändern sich beim Drehen nicht. Lediglich die Bezeichnungen könnte man tauschen.
    • „Das Produkt einer Seitenfläche und der dazu senkrechten Seitenlänge ergibt für alle Seitenflächen denselben Wert.“ Dieses Produkt ist nämlich genau das Volumen des Quaders.
    • „Werden die Längen der Seitenflächen in $\text{cm}$ angegeben, so kann man das Volumen des Quaders auch in $\text{m}^3$ angeben.“ Die Einheit $\text{m}^3$ ist eine Volumeneinheit, die du immer verwenden kannst, wenn du ein Volumen angibst. Ob die Einheit $\text{cm}^3$ oder $\text{m}^3$ praktischer ist, hängt von der Größe der Zahlenwerte ab. Beachte aber: Berechnest du das Volumen aus Längen in der Einheit $\text {cm}$, so passt genau die Einheit $\text{cm}^3$ zu dem Produkt der Zahlenwerte. Für die Umrechnung in $\text {m}^3$ musst du diesen Wert durch $1.000$ dividieren.
    $\,$

    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Das Volumen des Quaders ist das Produkt einer Seitenfläche und einer Seitenlänge. Welche Fläche und Seite man wählt, ist egal.“ Du kannst eine Seitenfläche beliebig auswählen, aber als Höhe musst du dann die dazu senkrechte Seite verwenden.
    • „Die Höhe ändert sich nicht, wenn man den Quader dreht.“ Als Höhe bezeichnet man meistens die vertikale Seite des Quaders. Die Seitenlängen des Quaders als solche ändern sich beim Drehen natürlich nicht. Aber welche Seite vertikal liegt, ändert sich, wenn du den Quader drehst. Auch wenn du das Volumen als Produkt von Grundfläche und Höhe berechnest, musst du beachten, dass sich die Höhe ändert, wenn du die Grundfläche wechselst.
    • „Um das Volumen zu berechnen, muss man immer die Seite als Grundfläche wählen, die unten liegt.“ Du kannst jede beliebige Seite als Grundfläche nehmen. Aber du musst dann die dazu passende Höhe verwenden, nämlich die zur Grundfläche senkrechte.
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