Einsetzungsverfahren – Übungen

Rechnung:

$\begin{array}{rrcll} y \text{ in I:} & 3x - 2(2x + 1) & = & -4 \\ & 3x - 4x - 2 & = & -4 \\ & -x - 2 & = & -4 & \vert +2 \\ & -x & = & -2 & \vert \cdot(-1) \\ & x & = & 2 \\ \\ x = 2 \text{ in II:} & y & = & 2 \cdot 2 + 1 \\ & y & = & 4 + 1 \\ & y & = & 5 \end{array}$

Vorgehen:

• Die zweite Gleichung ist bereits nach $y$ aufgelöst. Wir setzen den Term $2x + 1$ für $y$ in die erste Gleichung ein.
• Durch schrittweises Lösen erhalten wir $x = 2$.
• Wir setzen das Ergebnis für $x$ in die zweite Gleichung ein und erhalten $y = 5$.

Lösung:
$\underline{\underline{x = 2}}$ und $\underline{\underline{y = 5}}$

Rechnung:

$\begin{array}{rrcll} x \text{ in II:} & 2(y - 2{,}5) + y & = & 7 \\ & 2y - 5 + y & = & 7 \\ & 3y - 5 & = & 7 & \vert +5 \\ & 3y & = & 12 & \vert :3 \\ & y & = & 4 \\ \\ y = 4 \text{ in I:} & x & = & 4 - 3 \\ & x & = & 1 \end{array}$

Vorgehen:

• Die erste Gleichung ist nach $x$ aufgelöst. Wir setzen den Ausdruck $y - 2{,}5$ in die zweite Gleichung ein.
• Nach dem Umformen ergibt sich $y = 4$.
• Mit Rückeinsetzen erhalten wir $x = 1$.

Lösung:
$\underline{\underline{x = 1}}$ und $\underline{\underline{y = 4}}$

Rechnung:

$\begin{array}{rrcll} y \text{ in I:} & 2x + (-x + 2) & = & 4 \\ & 2x - x + 2 & = & 4 \\ & x + 2 & = & 4 & \vert -2 \\ & x & = & 2 \\ \\ x = 2 \text{ in II:} & y & = & -2 + 2 \\ & y & = & 0 \end{array}$

Vorgehen:

• Wir setzen die rechte Seite der zweiten Gleichung direkt für $y$ in die erste Gleichung ein.
• Nach Umformen ergibt sich $x = 2$.
• Rückeinsetzen in Gleichung zwei liefert $y = 0$.

Lösung:
$\underline{\underline{x = 2}}$ und $\underline{\underline{y = 0}}$

Rechnung:

$\begin{array}{rrcll} x \text{ in II:} & 5(y + 4) - y & = & 26 \\ & 5y + 20 - y & = & 26 \\ & 4y + 20 & = & 26 & \vert -20 \\ & 4y & = & 6 & \vert :4 \\ & y & = & 1{,}5 \\ \\ y = 1{,}5 \text{ in I:} & x & = & 1{,}5 + 4 \\ & x & = & 5{,}5 \end{array}$

Vorgehen:

• Die erste Gleichung ist nach $x$ aufgelöst. Wir setzen $y + 4$ in die zweite Gleichung ein.
• Nach Lösen der Gleichung ergibt sich $y = 1{,}5$.
• Rückeinsetzen ergibt $x = 5{,}5$.

Lösung:
$\underline{\underline{x = 5{,}5}}$ und $\underline{\underline{y = 1{,}5}}$

Rechnung:

$\begin{array}{rrcll} y \text{ in II:} & 3x + (4x - 7) & = & 11 \\ & 7x - 7 & = & 11 & \vert +7 \\ & 7x & = & 18 & \vert :7 \\ & x & = & \dfrac{18}{7} \\ \\ \\ x = \frac{18}{7} \text{ in I:} & y & = & 4 \cdot \dfrac{18}{7} - 7 \\ \\ & y & = & \dfrac{72}{7} - \dfrac{49}{7} \\ \\ & y & = & \dfrac{23}{7} \end{array}$

Vorgehen:

• Die erste Gleichung ist nach $y$ aufgelöst.
• Wir setzen $4x - 7$ in die zweite Gleichung ein und berechnen $x = \frac{18}{7}$.
• Das Ergebnis für $x$ setzen wir in die erste Gleichung ein und erhalten $y = \frac{23}{7}$.

Lösung:
$\underline{\underline{x = \frac{18}{7}}}$ und $\underline{\underline{y = \frac{23}{7}}}$

$\begin{array}{rrcl} \text{I:} & 3x + y & = & 10 \\ \text{II:} & 4x - 2y & = & 6 \\ \\ \text{I:} & 3x + y & = & 10 & \vert -3x \\ \text{I:} & y & = & 10 - 3x \\ \end{array}$

• $\text{I:} ~~ y = 10 - 3x$
  Wir können die erste Gleichung nach $y$ auflösen, indem wir auf beiden Seiten $3x$ subtrahieren.

$\begin{array}{rrcl} \text{I:} & 2y & = & 4x - 2 \\ \text{II:} & x - 2y & = & 3 \\ \\ \text{I:} & 2y & = & 4x - 2 & \vert :2 \\ \text{I:} & y & = & 2x - 1 \\ \end{array}$

• $\text{I:} ~~ y = 2x - 1$
  Wir teilen beide Seiten der ersten Gleichung durch $2$, um $y$ zu isolieren.

$\begin{array}{rrcl} \text{I:} & x - 4y & = & 2 \\ \text{II:} & 5x + 3y & = & 1 \\ \\ \text{I:} & x - 4y & = & 2 & \vert +4y \\ \text{I:} & x & = & 4y + 2 \\ \end{array}$

• $\text{I:} ~~ x = 4y + 2$
  Addieren von $4y$ auf beiden Seiten isoliert $x$ korrekt.

$\begin{array}{rrcl} \text{I:} & 2x + 5y & = & 12 \\ \text{II:} & -2y & = & 7 - 6x \\ \\ \text{II:} & -2y & = & 7 - 6x & \vert :(-2) \\ \text{II:} & y & = & -\dfrac{7}{2} + 3x \\ \text{II:} & y & = & 3x - 3{,}5 \\ \end{array}$

• $\text{II:} ~~ y = 3x - 3{,}5$
  Division durch $-2$ führt zur korrekten Umformung – beachte das Vorzeichen und die Umstellung.

$\begin{array}{rrcl} \text{I:} & y - 2x & = & 8 \\ \text{II:} & x + y & = & 1 \\ \\ \text{I:} & y - 2x & = & 8 & \vert +2x \\ \text{I:} & y & = & 2x + 8 \\ \end{array}$

• $\text{I:} ~~ y = 2x + 8$
  Durch Addition von $2x$ auf beiden Seiten erhalten wir die Gleichung nach $y$ aufgelöst.

Rechnung:

$\begin{array}{rrcll} \text{I:} & 2x + y & = & 8 & \vert -2x \\ & y & = & 8 - 2x \\ \\ y \text{ in II:} & 3x - (\,8 - 2x\,) & = & 7 \\ & 3x - 8 + 2x & = & 7 & \vert +8 \\ & 5x & = & 15 & \vert :5 \\ & x & = & 3 \\ \\ x \text{ in I:} & y & = & 8 - 2\cdot 3 \\ & y & = & 2 \end{array}$

Vorgehen:

• Erste Gleichung nach $y$ umstellen
• Ausdruck für $y$ in die zweite Gleichung einsetzen und nach $x$ lösen
• Gefundenes $x$ in die erste Gleichung einsetzen, um $y$ zu berechnen

Lösung:
$\underline{\underline{x = 3}}$ und $\underline{\underline{y = 2}}$

Rechnung:

$\begin{array}{rrcll} \text{I:} & x + 2y & = & 6 & \vert -2y \\ & x & = & 6 - 2y \\ \\ x \text{ in II:} & 3(6 - 2y) - y & = & 4 \\ & 18 - 6y - y & = & 4 \\ & 18 - 7y & = & 4 & \vert -18 \\ & -7y & = & -14 & \vert :(-7) \\ & y & = & 2 \\ \\ y \text{ in I:} & x & = & 6 - 2 \cdot 2 \\ & x & = & 2 \end{array}$

Vorgehen:

• Erste Gleichung nach $x$ umstellen
• Ausdruck für $x$ in die zweite Gleichung einsetzen und nach $y$ lösen
• Gefundenes $y$ in die erste Gleichung einsetzen, um $x$ zu berechnen

Lösung:
$\underline{\underline{x = 2}}$ und $\underline{\underline{y = 2}}$

Rechnung:

$\begin{array}{rrcll} \text{I:} & 4y - x & = & 7 & \vert -4y \\ & -x & = & 7 - 4y & \vert \cdot (-1) \\ & x & = & 4y - 7 \\ \\ x \text{ in II:} & 2(4y - 7) + y & = & 13 \\ & 8y - 14 + y & = & 13 \\ & 9y - 14 & = & 13 & \vert +14 \\ & 9y & = & 27 & \vert :9 \\ & y & = & 3 \\ \\ y \text{ in I:} & x & = & 4 \cdot 3 - 7 \\ & x & = & 5 \end{array}$

Vorgehen:

• Erste Gleichung nach $x$ umstellen
• Ausdruck für $x$ in die zweite Gleichung einsetzen und nach $y$ lösen
• Gefundenes $y$ in die erste Gleichung einsetzen, um $x$ zu berechnen

Lösung:
$\underline{\underline{x = 5}}$ und $\underline{\underline{y = 3}}$

Rechnung:

$\begin{array}{rrcll} \text{II:} & x + 3y & = & 4 & \vert -3y \\ & x & = & 5 - 3y \\ \\ x \text{ in I:} & 2(5 - 3y) - 4y & = & 5 \\ & 10 - 6y - 4y & = & 5 \\ & 10 - 10y & = & 5 & \vert -10 \\ & -10y & = & -5 & \vert :(-10) \\ & y & = & 0{,}5 \\ \\ y \text{ in II:} & x & = & 5 - 3 \cdot 0{,}5 \\ & x & = & 3{,}5 \end{array}$

Vorgehen:

• Zweite Gleichung nach $x$ umstellen
• Ausdruck für $x$ in die erste Gleichung einsetzen und nach $y$ lösen
• Gefundenes $y$ in die zweite Gleichung einsetzen, um $x$ zu berechnen

Lösung:
$\underline{\underline{x = 3{,}5}}$ und $\underline{\underline{y = 0{,}5}}$

Rechnung:

$\begin{array}{rrcll} \text{II:} & 2x + y & = & 2 & \vert -2x \\ & y & = & 2 - 2x \\ \\ y \text{ in I:} & 2x - \bigl(2 - 2x\bigr) & = & 4 \\ & 2x - 2 + 2x & = & 4 \\ & 4x - 2 & = & 4 & \vert +2 \\ & 4x & = & 6 & \vert :4 \\ & x & = & \dfrac{3}{2} = 1{,}5 \\ \\ x \text{ in II:} & y & = & 2 - 2\cdot 1{,}5 \\ & y & = & -1 \end{array}$

Vorgehen:

• Zweite Gleichung nach $y$ umstellen
• Ausdruck für $y$ in die erste Gleichung einsetzen und nach $x$ lösen
• Gefundenes $x$ in die zweite Gleichung einsetzen, um $y$ zu berechnen

Lösung:
$\underline{\underline{x = 1{,}5}}$ und $\underline{\underline{y = -1}}$

Rechnung:

$\begin{array}{rrcll} \text{II:} & 3x + 5y & = & 1 & \vert -5y \\ & 3x & = & 1 - 5y & \vert :3 \\ & x & = & \dfrac{1}{3} - \dfrac{5}{3}y \\ \\ x \text{ in I:} & 3 \cdot \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{5}{3}y \right) - 5y & = & -3 \\ & 1 - 5y - 5y & = & -3 \\ & 1 - 10y & = & -3 & \vert -1 \\ & -10y & = & -4 & \vert :(-10) \\ & y & = & \dfrac{2}{5} \\ \\ \\ y \text{ in II:} & x & = & \dfrac{1}{3} - \dfrac{5}{3} \cdot \dfrac{2}{5} \\ \\ & x & = & \dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{3} \\ \\ & x & = & -\dfrac{1}{3} \end{array}$

Vorgehen:

• Zweite Gleichung nach $x$ umstellen
• Ausdruck für $x$ in die erste Gleichung einsetzen und nach $y$ lösen
• Gefundenes $y$ in die zweite Gleichung einsetzen, um $x$ zu berechnen

Lösung:
$\underline{\underline{x = -\frac{1}{3}}}$ und $\underline{\underline{y = \frac{2}{5}}}$

Beim Einsetzen von $y$ in die zweite Gleichung wurden keine Klammern gesetzt:

$\begin{array}{rrcll} \text{I:} & 2x + y & = & -4 & \vert -2x \\ & y & = & -4 - 2x \\ \\ y \text{ in II:} & 3x \color{#EB5251}{~-~4 - 2x} & = & 4 \end{array}$

Richtige Rechnung:

$\begin{array}{rrcll} \text{I:} & 2x + y & = & -4 & \vert -2x \\ & y & = & -4 - 2x \\ \\ y \text{ in II:} & 3x - \color{#55CE54}{(-4 - 2x)} & = & 4 \\ & 3x + 4 + 2x & = & 4 & \vert -4 \\ & 5x & = & 0 & \vert :5 \\ & x & = & 0 \\ \\ x \text{ in I:} & y & = & -4 - 2\cdot 0 \\ & y & = & -4 \end{array}$

Lösung des Gleichungssystems:
$\underline{\underline{x = 0}}$ und $\underline{\underline{y = -4}}$

Beim Zusammenfassen nach dem Einsetzen von $x$ in die zweite Gleichung wurde $-~y$ im zweiten Schritt vergessen.

$\begin{array}{rrcll} \text{I:} & x + 4y & = & 7 & \vert -4y \\ & x & = & 7 - 4y \\ \\ x \text{ in II:} & 2 \cdot (7 - 4y) - y & = & -4 \\ & 14 - 8y \color{#EB5251}{~-~y} & = & -4 & \vert -14 \end{array}$

Richtige Rechnung:

$\begin{array}{rrcll} \text{I:} & x + 4y & = & 7 & \vert -4y \\ & x & = & 7 - 4y \\ \\ x \text{ in II:} & 2 \cdot (7 - 4y) - y & = & -4 \\ & 14 - 8y \color{#55CE54}{~-~y} & = & -4 & \vert -14 \\ & \color{#55CE54}{-9y} & = & -18 & \vert :(-9) \\ & y & = & 2 \\ \\ y \text{ in I:} & x & = & 7 - 4 \cdot 2 \\ & x & = & -1 \end{array}$

Lösung des Gleichungssystems:
$\underline{\underline{x = -1}}$ und $\underline{\underline{y = 2}}$

Beim Ausmultiplizieren der Klammer nach dem Einsetzen von $x = 1 + 2y$ in die erste Gleichung wurde vergessen, auch den hinteren Term $2y$ mit $3$ zu multipliziert.

$\begin{array}{rrcll} \text{II:} & x - 2y & = & 1 & \vert +2y \\ & x & = & 1 + 2y \\ \\ x \text{ in I:} & 3 \cdot (1 + 2y) + y & = & -4 \\ & 3 + \color{#EB5251}{2y~} \color{#0088B5}{+~ y} & = & -4 \end{array}$

Richtige Rechnung:

$\begin{array}{rrcll} \text{II:} & x - 2y & = & 1 & \vert +2y \\ & x & = & 1 + 2y \\ \\ x \text{ in I:} & 3 \cdot (1 + 2y) + y & = & -4 \\ & 3 + \color{#55CE54}{6y} \color{#333333}{~+~ y} & = & -4 \\ & 3 + 7y & = & -4 & \vert -3 \\ & 7y & = & -7 & \vert :7 \\ & y & = & -1 \\ \\ y \text{ in II:} & x & = & 1 + 2 \cdot (-1) \\ & x & = & -1 \end{array}$

Lösung des Gleichungssystems:
$\underline{\underline{x = -1}}$ und $\underline{\underline{y = -1}}$