Kreis – Umfang und Flächeninhalt
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Grundlagen zum Thema Kreis – Umfang und Flächeninhalt
Einführung: Kreis
Ein Kreis oder genauer eine Kreislinie ist gegeben durch alle Punkte, die zu dem Mittelpunkt $M$ des Kreises den gleichen Abstand haben. Dieser Abstand wird Radius $r$ genannt. Das Doppelte des Radius ist der Durchmesser $d$.
Es gilt also: $d=2r$ oder $r=\frac d2$.
Ein Kreis besitzt einen Umfang sowie einen Flächeninhalt:
- Der Kreisumfang ist die Länge der Kreislinie.
- Die Kreisfläche ist der Flächeninhalt, der von der Kreislinie eingeschlossen wird.
Kreisumfang berechnen
Die Länge der Kreislinie wird als Umfang $U$ bezeichnet.
Die Kreisumfangformel lautet:
$U_{\text{Kreis}}=2\pi\cdot r$.
Dabei ist $\pi=3{,}141592 ...$ die sogenannte Kreiszahl.
Kreisumfang berechnen – Beispiele
Mit der Formel können wir beispielsweise den Umfang eines Kreises mit Radius $r = 10~\text{cm}$ berechnen:
$U_{\text{Kreis}} = 2 \cdot \pi \cdot 10~\text{cm} \approx 62{,}8~\text{cm}$
Wir wollen die Formel für den Kreisumfang noch bei einem weiteren Beispielen anwenden.
Umfangsberechnung mithilfe des Durchmessers
Gegeben ist ein Kreis mit dem Durchmesser $d=4{,}55~\text{m}$. Um den Umfang zu berechnen, gehen wir in folgenden Schritten vor:
- Wir notieren zunächst die bekannte Formel für den Umfang:
$U_{\text{Kreis}}=2\pi\cdot r$. - Wir nutzen den Zusammenhang $d = 2r$ zwischen Durchmesser und Radius:
$\qquad U_{\text{Kreis}}=2\pi\cdot r = \pi \cdot \underbrace{(2 \cdot r)}_{d} = \pi \cdot d$
- Wir setzten den gegebene Durchmesser ein und berechnen:
$U_{\text{Kreis}}=\pi\cdot 4{,}55~\text{m}\approx 14{,}29~\text{m}$.
Der Umfang eines Kreises kann auch mit dem Durchmesser berechnet werden:
$U_{\text{Kreis}}=\pi\cdot d$.
Flächeninhalt eines Kreises berechnen einfach erklärt
Der Flächeninhalt eines Kreises ist die Fläche, die von der Kreislinie eingeschlossen wird.
Die Formel für die Kreisfläche lautet:
$A_{\text{Kreis}}= \pi \cdot r^2$.
Um zu verstehen, woher diese Formel kommt, kannst du dir vorstellen, dass die Stücke einer Pizza so aneinandergelegt werden, dass näherungsweise ein Rechteck entsteht. Wenn wir Länge und Breite dieses Rechtecks multiplizieren, erhalten wir den Flächeninhalt des Kreises.
Flächeninhalt eines Kreises berechnen – Beispiele
Wie wir auch schon beim Kreisumfang können wir bei gegebenem Radius die Kreisfläche direkt durch Einsetzen in die Formel berechnen.
Für die Kreisfläche erhalten wir so bei einem Kreis mit Radius $r = 10~\text{cm}$:
$A_{\text{Kreis}}= \pi \cdot (10~\text{cm})^2 \approx 314{,}2~\text{cm}^2$
Hinweis: Achte bei der Flächenberechnung auf die korrekte Flächeneinheit, wie hier $\text{cm}^2$.
Im Folgenden betrachten wir zwei weitere Beispiele, bei denen der Flächeninhalt eines Kreises mithilfe des Durchmessers bzw. des Umfangs berechnet wird.
Kreisfläche mit dem Durchmesser berechnen
Wir betrachten erneut einen Kreis mit dem Durchmesser $d=4{,}55~\text{m}$. Um den Flächeninhalt zu berechnen, gehen wir in folgenden Schritten vor:
- Wir notieren zunächst die bekannte Formel für die Kreisfläche:
$A_{\text{Kreis}}= \pi \cdot r^2$. - Wir nutzen den Zusammenhang $r = \frac{d}{2}$ zwischen Durchmesser und Radius:
$A_{\text{Kreis}}= \pi \cdot r^2 = \pi \cdot \left(\dfrac{d}{2}\right)^2 = \pi \cdot \dfrac{d^2}{4}$ - Wir setzten den gegebene Durchmesser ein und berechnen:
$A_{\text{Kreis}}=\pi \cdot \dfrac{(4{,}55~\text{m})^2}{4} \approx 16{,}26~\text{m}^2$.
Der Flächeninhalt eines Kreises kann auch mit dem Durchmesser berechnet werden:
$A_{\text{Kreis}}= \pi \cdot \dfrac{d^2}{4}$
Kreisfläche mit dem Umfang berechnen
In dem nächsten Beispiel ist der Umfang eines Kreises $U_{\text{Kreis}}=30~\text{m}$, also die Länge der Kreislinie, gegeben. Wir betrachten dazu zunächst die uns bekannten Formeln:
| Kreis | Umfang | Flächeninhalt |
|---|---|---|
| Formel | $U = 2 \pi r$ | $A = \pi r^2$ |
Der Radius kann durch Umformung der Umfangsformel ermittelt werden: $U_{\text{Kreis}} = 2\pi\cdot r$. Dieses Mal wird der Umfang eingesetzt: $30~\text{m}=2\pi\cdot r$
Division durch $2\pi$ führt zu dem gesuchten Radius:
$r=\dfrac{30~\text{m}}{2\pi} = \dfrac{15}{\pi}~\text{m}$.
Mithilfe dieses Radius können wir nun die Kreisfläche berechnen:
$A_{\text{Kreis}} =\pi\cdot \left(\dfrac{15}{\pi}~\text{m}\right)^2 = \dfrac{15^2}{\pi}~\text{m}^2 \approx 71{,}6~\text{m}^2$
Kreis: Umfang und Flächeninhalt – Zusammenfassung
- Ein Kreis wird durch einen Kreislinie beschrieben, deren Punkte alle den gleichen Abstand zum Kreismittelpunkt $M$ haben.
- Der Abstand zwischen Mittelpunkt und Kreislinie wird als Radius $r$ bezeichnet. Der Durchmesser $d$ ist stets genau doppelt so lang wie der Radius.
- Die Länge der Kreislinie ist der Umfang $U$ des Kreises.
- Die Fläche, die durch die Kreislinie eingeschlossen wird, ist der Flächeninhalt $A$ des Kreises.
- Es gelten die Formeln:
$\qquad U_{\text{Kreis}}=2\pi\cdot r$ und
$\qquad A_{\text{Kreis}}= \pi \cdot r^2$
Häufig gestellte Fragen zum Thema Kreisumfang und Flächeninhalt Kreis
Transkript Kreis – Umfang und Flächeninhalt
Der Sumo-Wettkampf des Jahres steht an. Während der große Yogi Mathemashi seinen Titel verteidigt, kämpfen wir mit dem Kreis und berechnen Umfang und Flächeninhalt. Yogi Mathemashi wird seinem leichtgewichtigen Erzfeind herausgefordert. Nach alter japanischer Tradition soll ein kreisförmig ausgelegtes Seil den Sumo-Ring bilden. Schauen wir uns an einem Kreis einmal alle wichtigen Größen an: Die Kreislinie hat an jeder Stelle den gleichen Abstand zum Mittelpunkt des Kreises. Dieser Abstand wird Radius r genannt. Der Durchmesser d ist doppelt so lang wie der Radius, beträgt also zweimal r. Anders gesagt ist die Hälfte vom Durchmesser genau der Radius. Die Länge der Kreislinie wird als Umfang des Kreises bezeichnet und mit zwei Pi mal den Radius berechnet oder durch den Durchmesser R ausgedrückt: Zwei Pi mal die Hälfte vom Durchmesser. Wenn wir den Faktor Zwei mit der Zwei aus dem Nenner kürzen, erhalten wir vereinfacht Pi mal den Durchmesser. Innerhalb des Kreises liegt die Kreisfläche. Der Flächeninhalt des Kreises berechnet sich durch Pi mal r zum Quadrat. Lass uns auch hier für den Radius noch die Hälfte des Durchmessers verwenden. Dabei müssen wir auf jeden Fall Klammern setzen, denn das Quadrat bezieht sich auf den Zähler und auf den Nenner. Zurück zum Sumo-Ring: Der Durchmesser des Kreises beträgt nach japanischem Standard 4,55 Meter. Welche Länge muss dann das Seil haben? Dafür müssen wir den Umfang des Kreises berechnen. Wir verwenden die Umfangformel mit dem Durchmesser und setzen den gegebenen Wert für den Durchmesser ein. Mithilfe des Taschenrechners erhalten wir circa 14 Meter und 29 Zentimeter für die Länge des Seils. In einem richtigen Sumo-Ring ist außerdem der Boden mit einer dünnen Schicht Sand bedeckt. Um abzuschätzen, wie viel Sand benötigt wird, berechnen wir noch den Flächeninhalt des Kreises. Dazu verwenden wir die Flächeninhaltsformel mit dem Durchmesser und setzen wieder den gegebenen Wert für den Durchmesser ein. Achtung - das Quadrat am Durchmesser bezieht sich auf die Zahl und auf die Einheit! So erhalten wir im Zähler rund 20,70 Quadratmeter. "Geben wir den gesamten Ausdruck in den Taschenrechner ein, erhalten wir gute 16 Quadratmeter." Lass uns noch ein weiteres Beispiel untersuchen! Wie wäre es, wenn dir der Umfang vorgegeben wäre und du damit den Radius und den Flächeninhalt berechnen müsstest? Dann beginnst du mit der Formel für den Umfang, in welcher der Radius vorkommt. Diesmal setzen wir den Wert für den Umfang in die Gleichung ein. Indem wir durch zwei Pi teilen, lösen wir die Gleichung nach dem gesuchten Radius auf. Wir kürzen noch mit Zwei und ermitteln das Ergebnis mit unserem Taschenrechner! Den Flächeninhalt können wir nun berechnen, indem wir in die Flächeninhaltsformel mit dem Radius den bestimmten Radius einsetzen. Als erstes lösen wir die Klammer auf. Das ergibt rund Pi mal 23 Komma Null Quadratmeter und das sind mehr als 72 Quadratmeter. Wir fassen zusammen: Jeder Kreis besitzt eine Kreislinie und eine Kreisfläche. Der Abstand vom Mittelpunkt zur Kreislinie ist der Radius r und der Durchmesser d ist der größtmögliche Abstand zweier Punkte auf der Kreislinie. Die Länge der Kreislinie wird Kreisumfang U genannt und die Größe der Kreisfläche ist der Flächeninhalt A des Kreises. Oftmals wird dir in deinen Aufgaben der Radius oder der Durchmesser gegeben sein. Hast du den Radius, so kannst du damit den Durchmesser, den Umfang und den Flächeninhalt des Kreises bestimmen. Mit dem Durchmesser andererseits, kannst du den Radius, den Umfang und den Flächeninhalt ermitteln. Sobald du eine der Größen gegeben hast, kannst du damit jede andere Größe ausrechnen. Der Ring ist fertig - los geht's! Oh, wow, das Leichtgewicht geht ja ziemlich ab. Aber Yogi Mathemashi weiß seinen Umfang richtig einzusetzen.
Kreis – Umfang und Flächeninhalt Übung
-
Bestimme die korrekten Aussagen zu den Eigenschaften eines Kreises.
TippsDer Durchmesser ist der maximale Abstand zweier Punkte auf der Kreislinie.
Die Formeln für Flächeninhalt und Umfang enthalten beide den Radius $r$ des Kreises. Dieser kann wiederum durch den Durchmesser $d$ ausgedrückt werden.
LösungDieses Aussagen sind falsch:
- Der Radius eines Kreises ist doppelt so lang wie sein Durchmesser.
- Die Länge der Kreislinie heißt Flächeninhalt des Kreises.
Dieses Aussagen sind wahr:
- Alle Punkte des Kreises haben den gleichen Abstand $r$ vom Kreismittelpunkt.
- Flächeninhalt und Umfang eines Kreises können entweder durch den Durchmesser oder den Radius des Kreises ausgedrückt werden.
$d=2r$
Durch Einsetzen können die beiden Größen auch durch den Durchmesser ausgedrückt werden.
- Die Formel für den Flächeninhalt $A$ eines Kreises lautet $A= \pi r^2$.
-
Berechne den Umfang und Flächeninhalt eines Kreises.
TippsDer Radius eines Kreises ist der Abstand des Kreismittelpunkts zu jedem Punkt auf der Kreislinie. Der Durchmesser ist der maximale Abstand zweier Punkte auf der Kreislinie. Damit ist der Durchmesser doppelt so lang wie der Radius eines Kreises.
Die Länge der Kreislinie heißt Umfang des Kreises und wird berechnet, indem man den Durchmesser des Kreises mit $\pi$ multipliziert. Du kannst den Umfang aber auch über den Radius ausrechnen.
Um das Quadrat einer Länge zu bestimmen, musst du die Zahl und die Einheit quadrieren:
$(2~\text{m})^2=2^2~\text{m}^2 = 4~\text{m}^2$.
LösungDer Lückentext kann folgendermaßen ausgefüllt werden:
- Der Durchmesser $d$ eines Sumoringes beträgt $4,55~\text{m}$. Daraus kann der Radius $r$ berechnet werden, denn es gilt:
- $r=\frac{d}{2}$, also $r=\frac{4,55~\text{m}}{2} = 2,275~\text{m}$.
- (...) Dazu kann der Umfang eines Kreises berechnet werden:
- $U=2 \pi \cdot r$, hier also $U= 2 \pi \cdot 2,275~\text{m}\approx14,29~\text{m}$.
- (...) $A= \pi r^2$, in unserem Fall also $A= \pi \cdot (2,275~\text{m})^2= 16,26~\text{m}^2$.
-
Bestimme den Flächeninhalt eines Kreises aus seinem Umfang.
TippsMit dem gegebenen Umfang kannst du den Radius bestimmen, den du wiederum in die Formel des Flächeninhalts einsetzen kannst.
LösungHier ist nach einer Möglichkeit gesucht, den gegebenen Umfang mit der Fläche eines Kreises in Verbindung zu bringen. Da wir wissen, dass der Radius $r$ in den Formeln für beide Größen vorkommt, können wir ihn als „Bindeglied“ nutzen, indem wir über einen Zwischenschritt erst den Radius und mit diesem dann die Kreisfläche berechnen.
- Zuerst setzt du den gegebenen Umfang in die Gleichung ein: $U=106,81~\text{cm}=2 \pi \cdot r$.
- Dann teilst du durch $2\pi$:
- Und berechnest den Radius $r$: $r\approx 17 ~\text{cm}$.
Mit dem so bestimmten Radius kannst du anschließend den Flächeninhalt berechnen.
- Den Radius kannst du in die Formel des Flächeninhalts einsetzen: $A=\pi \cdot r^2=\pi \cdot (17 ~\text{cm})^2$.
- Und schließlich ausrechnen: $A\approx908 ~\text{cm}^2$.
-
Bestimme die Kenngrößen der Kreise.
TippsDen Radius $r$ kannst du aus dem Durchmesser $d$ bestimmen:
$r=\frac{d}{2}$.
Den Radius kannst du auch aus dem Umfang bestimmen.
$\begin{array}{llll} U&=&2 \pi \cdot r & \vert : 2 \pi \\ r &=& \frac{U}{2 \pi} &\\ \end{array}$
LösungDie fehlenden Größen der Tabelle kannst du wie folgt berechnen.
Den Radius $r$ bestimmst du aus dem Durchmesser $d$
$r=\frac{d}{2}$, $r_1=\frac{6 ~\text{cm}}{2}=3 ~\text{cm}$
oder aus dem Umfang $U$.
$\begin{array}{llll} U_3= 15~\text{cm}&=&2 \pi \cdot r_3 & \vert : 2 \pi \\ \frac{15~\text{cm}}{2 \pi} &=& r_3 &\\ 2,39~\text{cm} &\approx & r_3 \end{array}$
Den Durchmesser $d$ bestimmt du aus dem Radius:
$d=2r$, z.B. $d_3=2\cdot 2,39~\text{cm}= 4,78~\text{cm}$.
Den Umfang aus dem Radius:
$U=2 \pi r$, also
$\begin{array}{lll} U_1&=&2 \pi \cdot 3~\text{cm}\\ U_1&\approx&18,85 ~\text{cm}\\ U_2&=&2 \pi \cdot 6~\text{cm}\\ U_2&\approx&37,70~\text{cm}\\ \end{array}$
Und den Flächeninhalt $A$ aus dem Radius:
$A=\pi r^2$, also
$\begin{array}{lll} A_2&=&\pi(6~\text{cm})^2\\ A_2&\approx&113,10~\text{cm}^2\\ A_3&\approx&\pi (2,39~\text{cm})^2\\ A_3&\approx& 17,95~\text{cm}^2\\ \end{array}$
Um $A_3$ zu berechnen, setzt du hier den vorher aus dem Umfang $U_3$ bestimmten Radius $r_3\approx2,39~\text{cm}$ ein.
-
Forme die Gleichungen um.
TippsDer Durchmesser $d$ ist das Doppelte des Radius $r$:
$d=2r$.
LösungFolgende Ausdrücke gehören zusammen.
- Der Radius ist der Abstand zwischen Kreismittelpunkt und Kreislinie.
$d=2r$.- Der Durchmesser ist der größtmögliche Abstand zweier Punkte auf der Kreislinie und somit gleich dem doppelten Abstand zwischen Kreismittelpunkt und Kreislinie.
- Für den Umfang $U$ gilt $U= 2 \pi r= \pi d$.
- Für den Flächeninhalt $A$ eines Kreises gilt $A=\pi r^2=\frac{\pi}{4} d^2$.
-
Erarbeite die Berechnung von Kreissektoren.
TippsNach einer Konvention wird der Innenwinkel eines Kreises in $360$ gleich große Teile zerlegt. Jedes dieser Teile nennt man ein „Grad“.
LösungDie Lücken können so vervollständigt werden:
- Ein Anteil einer Kreisfläche heißt Kreissektor. Diese Fläche bestimmst du über den dabei aufgespannten Winkel $\alpha$. Der komplette Kreis spannt dabei einen Winkel von $360^{\circ}$ auf.
- Die Fläche des Kreissektors $A_{S}$ bestimmst du, indem du den Anteil des aufgespannten Winkels $\alpha$ am Gesamtwinkel von $360^{\circ}$ mit der normalen Formel der Kreisfläche multiplizierst. $A_{S}=\frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot \pi r^2$
- Ein Viertel eines Kreises hat einen aufgespannten Winkel von $90^{\circ}$.
- Setzt du das in die obige Formel ein, erhältst du: $A_{S}=\frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot \pi r^2$.
- (...) $r=\frac{d}{2}=\frac{30~\text{cm}}{2}=15~\text{cm}$.
- (...) $A_{S}=\frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot \pi (15~\text{cm})^2=\frac{1}{4} \cdot \pi (15~\text{cm})^2\approx 176,71~\text{cm}^2$.
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