Binomische Formeln – Übungen

• Erste binomische Formel: $(a+b)^2=a^2 + 2ab + b^2$
• Zweite binomische Formel: $(a-b)^2=a^2 - 2ab + b^2$
• Dritte binomische Formel: $(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$

Lösung: $$(3a+2b)^2=(3a)^2+2\cdot3a\cdot2b+(2b)^2= \underline{\underline{9a^2+12ab+4b^2}}$$

Erklärung:
Dieser Term hat die Form der ersten binomischen Formel.

Lösung: $$(a-4)^2=a^2 - 2\cdot a \cdot 4 + 4^2= \underline{\underline{a^2-8a+16}}$$

Erklärung:
Dieser Term hat die Form der zweiten binomischen Formel.

Lösung: $$(3p+2q)\cdot (3p-2q)=(3p)^2 -(2q)^2=\underline{\underline{9p^2-4q^2}}$$

Erklärung:
Dieser Term hat die Form der dritten binomischen Formel.

Lösung: $$(4m+5n)^2=\underline{\underline{16m^2+40mn+25n^2}}$$

Erklärung:
Dieser Term hat die Form der ersten binomischen Formel.

Lösung: $$(0{,}5x+7y)\cdot (0{,}5x-7y)=\underline{\underline{0{,}25x^2-49y^2}}$$

Erklärung:
Dieser Term hat die Form der dritten binomischen Formel.

Lösung: $$(x-0{,}2y)^2=\underline{\underline{x^2-0{,}4xy+0{,}04y^2}}$$

Erklärung:
Dieser Term hat die Form der zweiten binomischen Formel.

Lösung: $$\left(6r+\frac{1}{3}s\right)\cdot \left(6r-\frac{1}{3}s\right)=\underline{\underline{36r^2-\frac{1}{9}s^2}}$$

Erklärung:
Dieser Term hat die Form der dritten binomischen Formel.
Wenn wir einen Bruch quadrieren, quadrieren wir sowohl den Zähler, als auch den Nenner:
$\left(\frac{1}{3}s\right)^2=\frac{1^2}{3^2}s^2=\frac{1}{9}s^2$

Lösung: $$\left(\frac{2}{7}c+\frac{3}{4}d\right)^2=\underline{\underline{\frac{4}{49}c^2+\frac{3}{7}cd+\frac{9}{16}d^2}}$$

Erklärung:
Dieser Term hat die Form der ersten binomischen Formel.
Der mittlere Term ergibt sich durch die Rechnung:
$2 \cdot \frac{2}{7}c \cdot \frac{3}{4}d=2 \cdot \frac{6}{28}cd= \frac{12}{28}cd= \frac{3}{7}cd$

Lösung: $$25a^2+30ab+9b^2=(5a)^2+2\cdot5a\cdot3b+(3b)^2=\underline{\underline{(5a+3b)^2}}$$

Erklärung:
Wir erkennen, dass $25a^2=(5a)^2$ und $9b^2=(3b)^2$. Der mittlere Term berechnet sich zu $2\cdot5a\cdot3b=30ab$. Damit folgt, dass der Ausdruck der ersten binomischen Formel entspricht. Durch das Rückwärts-Anwenden dieser Formel erhalten wir das Quadrat des Binoms $(5a+3b)$.

Lösung: $$a^2-14a+49=a^2-2\cdot a\cdot7+7^2=\underline{\underline{(a-7)^2}}$$

Erklärung:
Hier ist $a^2$ das Quadrat von $a$ und $49$ das Quadrat der Zahl $7$. Der Mittelterm kann als $2\cdot a\cdot7=14a$ geschrieben werden, wobei das negative Vorzeichen zu berücksichtigen ist. Somit handelt es sich um die zweite binomische Formel, deren Rückanwendung zur Faktorisierung in $(a-7)^2$ führt.

Lösung: $$4m^2+36mn+81n^2=(2m)^2+2\cdot2m\cdot9n+(9n)^2=\underline{\underline{(2m+9n)^2}}$$

Erklärung:
Im Term entspricht $4m^2$ dem Quadrat von $2m$ und $81n^2$ dem Quadrat von $9n$. Der mittlere Term lässt sich als $2\cdot2m\cdot9n=36mn$ schreiben, was anzeigt, dass der Ausdruck der ersten binomischen Formel folgt. Das Rückwärts-Anwenden der Formel führt zur Faktorisierung in das Quadrat des Binoms $(2m+9n)$.

Lösung: $$49p^2-9q^2=(7p)^2-(3q)^2=\underline{\underline{(7p+3q)(7p-3q)}}$$

Erklärung:
In diesem Ausdruck ist $49p^2=(7p)^2$ und $9q^2=(3q)^2$. Dies entspricht der dritten binomischen Formel (Differenz von zwei Quadraten). Das Rückwärts-Anwenden dieser Formel führt zur Zerlegung des Ausdrucks in das Produkt $(7p+3q)(7p-3q)$.

Lösung: $$0{,}01x^2-36y^2=(0{,}1x)^2-(6y)^2=\underline{\underline{(0{,}1x+6y)(0{,}1x-6y)}}$$

Erklärung:
Hier haben wir mit Dezimalzahlen zu tun. Es gilt, dass $0{,}01x^2=(0{,}1x)^2$ und $(6y)^2 = 36y^2$. Da der Ausdruck in der Form $a^2-b^2$ vorliegt, wenden wir die dritte binomische Formel an. So zerlegt sich der Term in das Produkt der Binome $(0{,}1x+6y)$ und $(0{,}1x-6y)$.

Lösung: $$x^2-xy+0{,}25y^2=x^2-2\cdot x\cdot0{,}5y+(0{,}5y)^2=\underline{\underline{(x-0{,}5y)^2}}$$

Erklärung:
Im gegebenen Term ist $x^2$ das Quadrat von $x$ und $0{,}25y^2$ entspricht dem Quadrat von $0{,}5y$. Der Term $xy$ entspricht $2\cdot x\cdot0{,}5y$. Somit passt der Ausdruck in die zweite binomische Formel, die uns erlaubt, den Ausdruck als Quadrat des Binoms ${(x-0{,}5y)}$ zu schreiben.

Lösung: $$64r^2-\frac{4}{25}s^2=(8r)^2-\left(\frac{2}{5}s\right)^2=\underline{\underline{(8r+\frac{2}{5}s)(8r-\frac{2}{5}s)}}$$

Erklärung:
Der Ausdruck $64r^2$ ist das Quadrat von $8r$, und $\frac{4}{25}s^2$ ist das Quadrat von $\frac{2}{5}s$. Dies entspricht der dritten binomischen Formel (Differenz von zwei Quadraten). Durch Rückwärts-Anwenden der Formel wird der Ausdruck in das Produkt der Binome $(8r+\frac{2}{5}s)$ und $(8r-\frac{2}{5}s)$ zerlegt.

Lösung: $$\frac{25}{36}c^2+\frac{35}{24}cd+\frac{49}{64}d^2=\left(\frac{5}{6}c\right)^2+2\cdot\frac{5}{6}c\cdot\frac{7}{8}d+\left(\frac{7}{8}d\right)^2= \underline{\underline{\left(\frac{5}{6}c+\frac{7}{8}d\right)^2}}$$

Erklärung:
In diesem Term erkennen wir, dass $\frac{25}{36}c^2=\left(\frac{5}{6}c\right)^2$ und $\frac{49}{64}d^2=\left(\frac{7}{8}d\right)^2$. Der mittlere Term $2\cdot\frac{5}{6}c\cdot\frac{7}{8}d=\frac{35}{24}cd$ bestätigt, dass der Ausdruck der ersten binomischen Formel entspricht. So können wir den Ausdruck als Quadrat des Binoms $\left(\frac{5}{6}c+\frac{7}{8}d\right)$ schreiben.

Lösung:

$$(4r+5s)^2-25s^2=(16r^2+40rs+25s^2)-25s^2=\underline{\underline{16r^2+40rs}}$$

Erklärung:
Dieser Term hat die Form der ersten binomischen Formel. Nachdem die Klammer aufgelöst wurde, lässt sich der Term weiter vereinfachen indem du $25s^2-25s^2 = 0$ rechnest.

Lösung:

$$\left(\frac{1}{3}x-4y\right)^2+\frac{8}{3}xy=\left(\frac{1}{9}x^2-\frac{8}{3}xy+16y^2\right)+\frac{8}{3}xy=\underline{\underline{\frac{1}{9}x^2+16y^2}}$$

Erklärung:
Dieser Term besitzt die Form der zweiten binomischen Formel. Nach dem Ausmultiplizieren kannst du die gleichartiger Terme $-\frac{8}{3}xy + \frac{8}{3}xy$ zusammenfassen.

Lösung:

$$\begin{array}{rcl}(5x-3y)^2+9y \cdot \left( \frac{10}{3}x-y \right) & = & (25x^2-30xy+9y^2)+(30xy-9y^2) \\ \\ & = & \underline{\underline{25x^2}} \end{array}$$

Erklärung:
Der erste Klammer-Term hat die Form der zweiten binomischen Formel. Wir multiplizieren die hintere Klammer aus und fassen gleichartige Terme zusammen.

Lösung:

$$\begin{array}{rcl}(5x-3y)^2-(3x+y)^2 & = & (25x^2-30xy+9y^2)-(9x^2+6xy+y^2) \\ \\ & = & 25x^2-30xy+9y^2-9x^2-6xy-y^2 \\ \\ & = & 25x^2-9x^2-30xy-6xy+9y^2-y^2 \\ \\ & = & \underline{\underline{16x^2-36xy+8y^2}}\end{array}$$

Erklärung:
Hier wenden wir zuerst die erste und zweite binomische Formel an. Anschließend lösen wir die Klammern auf und addieren bzw. subtrahieren gleichartige Terme.

Lösung:

$$\dfrac{x^2-9}{x+3}=\dfrac{(x-3)\cancel{(x+3)}}{\cancel{x+3}}=\underline{\underline{x-3}}$$

Erklärung:
Der Ausdruck im Zähler entspricht der dritten binomischen Formel (Differenz zweier Quadrate $x^2$ und $9$). Wir können ihn also nach dem Schema $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ faktorisieren. Anschließend kürzen wir den Bruch mit ${(x+3)}$ und erhalten unser Endergebnis.