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Binomische Formeln – Beispielaufgaben

Die Kenntnis über die binomischen Formeln erleichtert in vielen Bereichen der Mathematik das Rechnen.

Inhalt

  • Binomische Formeln
  • Anwendungsaufgaben
  • Binomische Formeln

    Die drei binomischen Formeln ergeben sich aus Rechengesetzen zum Ausmultiplizieren von Klammern und dienen als Merkformeln.

    1. binomische Formel

    In der ersten binomischen Formel werden zwei Zahlen $a$ und $b$ addiert und die Summe mit sich selbst multipliziert, also quadriert (Plus-Formel):

    $(a + b)^{2} = (a + b) \cdot (a + b) = a^{2} + 2ab + b^{2}$

    2. binomische Formel

    In der zweiten binomischen Formel werden zwei Zahlen $a$ und $b$ subtrahiert und die Differenz mit sich selbst multipliziert, also quadriert (Minus-Formel):

    $(a - b)^{2} = (a - b) \cdot (a - b) = a^{2} - 2ab + b^{2}$

    3. binomische Formel

    In der dritten binomischen Formel wird die Summe zweier Zahlen $a$ und $b$ mit deren Differenz multipliziert (Plus-Minus-Formel):

    $(a + b) \cdot (a - b) = a^{2} - b^{2}$

    Anwendungsaufgaben

    Die binomischen Formeln lassen sich in zahlreichen algebraischen und geometrischen Problemstellungen anwenden. Dies soll in den nachfolgenden fünf Beispielen veranschaulicht werden:

    Große Zahlen multiplizieren

    Es soll das Produkt der Zahlen $18$ und $22$ ohne Taschenrechner bestimmt werden. Durch Kenntnis der $3.$ binomischen Formel ist das Vorgehen klar:

    $18\cdot 22 = (20 - 2)\cdot (20 + 2) = 400 - 4 = 396$

    Dieser "Trick" funktioniert bei Faktoren, deren Differenz gerade ist.

    Rechenrätsel

    Das Quadrat der Summe einer Zahl und $2$ ist gleich der Summe aus dem Quadrat der Zahl und $8$.

    Um das Rätsel zu lösen, wird folgende Gleichung aufgestellt, wobei man die gesuchte Zahl mit der Variablen $x$ bezeichnet:

    $\begin{array}{llll} (x + 2)^{2} &=&x^{2} + 8 & \\ x^{2} + 4x + 4 &=& x^{2} + 8 & \vert -x^2\\ 4x + 4 &=& 8 & \vert -4\\ 4x &=& 4 & \vert :4\\ x &=& 1 \end{array}$

    Beweise

    Beim Betrachten der Quadratzahlen $1,4, 9, 16, 25, …$ fällt auf, dass die Differenz zweier benachbarter Quadratzahlen immer um $2$ wächst:

    $\begin{array}{lll} 4 - 1 &=& 3\\ 9 - 4 &=& 5\\ 16 - 9 &=& 7\\ 25 - 16 &=& 9\\ …\\ \end{array}$

    Dies lässt sich mit Hilfe der ersten binomischen Formel folgendermaßen erklären:

    Bezeichnet man die natürlichen Zahlen mit $n$, so sind $n$ und $n + 1$ zwei aufeinanderfolgende Zahlen und $n^{2}$ und $(n + 1)^{2}$ deren Quadrate. Die Differenz zweier aufeinanderfolgender Quadratzahlen ist dann:

    $(n + 1)^{2} - n^{2} = n^{2} + 2n + 1 - n^{2} = 2n + 1$

    Setzt man für $n$ jeweils die nächstgrößere natürliche Zahl ein, so wird die Differenz wegen $2\cdot n$ immer um $2$ größer.

    Flächen berechnen

    Häufig verwendet man binomische Formeln, um Quadrat- und Rechteckflächen zu bestimmen.

    Beispiel 1: Quadrat

    Verlängert man die Seiten um $3$ Meter, so nimmt der Flächeninhalt um $24\ \text{m}^2$ zu. Wie lang sind die Seiten des ursprünglichen und des neuen Quadrats?

    Die nachfolgende Gleichung greift die Informationen aus der Aufgabenstellung auf:

    $\begin{array}{llll} (a + 3)^{2} &=& a^{2} + 24 & \\ a^{2} + 6a + 9 &=& a^{2} + 24 & \vert -a^2 \\ 6a + 9 &=& 24 & \vert -9 \\ 6a &=& 15 & \vert :6 \\ a &=& 2,5 \\ \end{array}$

    Die ursprüngliche Seitenlänge des Quadrats beträgt $2,5\ \text{m}$, die neue Seitenlänge ist $5,5\ \text{m}$.

    Beispiel 2: Quadrat und Rechteck

    Der Flächeninhalt der unten abgebildeten Figur soll bestimmt werden. Je nach Ansicht bieten sich hier zwei Lösungswege an:

    binomische_Formel.png

    Rote Figur:

    Man betrachtet die Fläche als großes Quadrat mit der Seitenlänge $a$ und zieht die fehlende Ecke ab, also das kleine Quadrat mit der Seitenlänge $b$. So rechnet man mit der dritten binomischen Formel:

    $A = a^{2} - b^{2}$

    Blaue Figur:

    Alternativ könnte man an der Figur eine Verschiebung vornehmen, um ein Rechteck mit den Seitenlängen $a + b$ und $a - b$ zu erhalten. Der Flächeninhalt berechnet sich dann auch über die dritte binomische Formel:

    $A = (a + b)\cdot (a - b) = a^{2} - b^{2}$