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Binomische Formeln – Überblick

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Team Digital

Binomische Formeln – Überblick

lernst du in der Unterstufe 3. Klasse - 4. Klasse - Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Beschreibung Binomische Formeln – Überblick

Einführung: Die binomischen Formeln

Die binomischen Formeln stellen Spezialfälle des Produktes von Klammertermen dar: $(a+b)\cdot (c+d)$.

Jeder Summand der linken Klammer wird mit jedem der rechten multipliziert: $(a+b)\cdot (c+d)=a\cdot c+b\cdot c+a\cdot d+b\cdot d$.

Ein Term der Form $a+b$ wird als Binom bezeichnet, da in diesem zwei Monome miteinander verknüpft werden. Daher kommt auch der Name der binomischen Formeln. Die binomischen Formeln behandeln das Produkt von Binomen.

Es gibt drei binomische Formeln:

  • 1. binomische Formel: $(a+b)^2 =a^2+2ab+b^2$
  • 2. binomische Formel: $(a-b)^2 =a^2-2ab+b^2$
  • 3. binomische Formel: $(a+b)\cdot (a-b) =a^2-b^2$

Binomische Formeln erkennen

In der ersten und zweiten binomischen Formel wird eine Summe oder Differenz quadriert. In der dritten binomischen Formel wird die Summe zweier Terme mit der Differenz der gleichen Terme multipliziert. Die jeweils rechten Seiten der ersten und zweiten binomischen Formel sehen sehr ähnlich aus. Der Unterschied ist das Minus vor dem gemischten Term $2ab$ in der zweiten binomischen Formel. Die dritte binomische Formel kann daran erkannt werden, dass auf der rechten Seite die Differenz zweier Quadrate steht.

Binomische Formeln - Übungen

1. Beispiel: $(x+2)^2$

Um dieses Quadrat aufzulösen, kann eine binomische Formel verwendet werden. Welche binomische Formel liegt vor? Hier wird eine Summe quadriert: Dies ist die erste binomische Formel. Auf der rechten Seite wird $a$ durch $x$ und $b$ durch $2$ ersetzt:

$(x+2)^2=x^2+2\cdot x\cdot 2+2^2=x^2+4x+4$

2. Beispiel: $(2y-3)^2$

Das Quadrat einer Differenz zeigt an, dass es sich hier handelt um die zweite binomische Formel handelt mit $a=2y$ und $b=3$. Das Rechenzeichen $-$ kommt in der binomischen Formel auf der rechten Seite vor:

$(2y-3)^2=(2y)^2-2\cdot (2y)\cdot 3+3^2=4y^2-12y+9$

3. Beispiel: $(4x+2y)\cdot (4x-2y)$

Abschließend noch ein Beispiel zur dritten binomischen Formel:

$(4x+2y)\cdot (4x-2y)=(4x)^2-(2y)^2=16x^2-4y^2$

Binomische Formeln - Anwendungen

Häufig ist es wichtig die binomischen Formeln von rechts nach links anzuwenden. Dies wird in vielen Zusammenhängen benötigt. Auch dabei ist es wichtig, zu erkennen, welche der binomischen Formeln vorliegt:

In der ersten und zweiten binomischen Formel stehen auf der rechten Seite drei Terme: Die Quadrate der beiden Terme, die addiert oder subtrahiert werden, sowie ein gemischter Term. Bei der ersten binomischen Formel wird der gemischte Term addiert und bei der zweiten subtrahiert. In der dritten binomischen Formel steht auf der rechten Seite die Differenz zweier Quadrate.

Binomische Formeln - rechnen

1. Beispiel: $9a^2-18a+9$

Es liegen drei Terme vor. Das Minus zeigt an, dass die zweite binomische Formel vorliegt. Der Term kann noch ein wenig umgeschrieben werden, damit genau zu erkennen ist, was $a$ und was $b$ ist: $9a^2-18a+9=(3a)^2-2\cdot (3a)\cdot 3+3^2$. Also spielt $3a$ die Rolle von $a$ und $3$ die Rolle von $b$ in der binomischen Formel. Es ist also $9a^2-18a+9=(3a-3)^2$.

Genauso verhält es sich bei der zweiten binomischen Formel.

2. Beispiel: $25x^2-4$

Es liegen zwei Terme vor: Diese sind jeweils Quadrate und werden subtrahiert: $25x^2-4=(5x)^2-2^2$. So ist die rechte Seite der dritten binomischen Formel genau erkennbar: $25x^2-4=(5x+2)\cdot (5x-2)$.

Binomische Formeln - ein Zahlenbeispiel

Mit Hilfe der binomischen Formeln können auch Rechnungen vereinfacht werden: Es soll das Produkt $42\cdot 38$ berechnet werden. Hierfür kann nun die schriftliche Multiplikation verwendet oder aber die 3. binomische Formel.

$42\cdot 38=(40+2)\cdot(40-2)$

Nun kann die Differenz zweier Quadratzahlen berechnet werden: $(40+2)\cdot(40-2)=40^2-2^2=1600-4=1596$.

Also ist $42\cdot 38=1596$.

Dieses Video

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, die binomischen Formeln anzuwenden.

Zunächst lernst du, wie die drei binomischen Formeln definiert sind. Anschließend wendest du diese auf unterschiedliche Beispiele an. Abschließend lernst du, wie du durch Anwendung der binomischen Formeln geschickt und schnell rechnen kannst.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie du das Distributivgesetz anwendest und gleichartige Terme zusammenfasst.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, das Vereinfachen von Termen mittels der binomischen Formeln zu lernen.

Binomische Formeln – Überblick

Erste binomische Formel (a+b)²=a²+2ab+b²
Zweite binomische Formel (a-b)²= a²-2ab+b²
Dritte binomische Formel (a+b)(a-b)=a²-b²

Transkript Binomische Formeln – Überblick

AQuadrat und Cyberfüchsin sind Hacker. Sie versuchen bei jeder Gelegenheit, sich gegenseitig zu überbieten. Heute wollen sie sich in das Sicherheitssystem eines Unternehmens hacken. Wer zuerst in das System knackt, dem ist ewig währender Ruhm sicher. AQuadrat steht vor der ersten Sicherheitsschranke. Um sie zu überwinden, muss er folgenden Ausdruck vereinfachen: a + b in Klammern zum Quadrat. Also: a + b in Klammern mal a+ b in Klammern. AQuadrat weiß, wie er das Produkt dieser beiden Binome berechnen kann. Dafür nimmt er eine Fläche zu Hilfe. Und zwar ein Quadrat, das er in zwei Zeilen und zwei Spalten unterteilt. Jedes Teilstück markiert er mit einem Term aus den zwei Binomen. Dann berechnet er die Fläche von jedem Teilstück und schreibt die Formel dafür in das passende Teilstück. a mal a ist gleich a Quadrat, a mal b ist gleich ab. b mal a ist ebenfalls gleich ab. b mal b ist gleich b Quadrat. Er addiert die Terme, fasst gleichartige Terme zusammen und schreibt den Ausdruck in der Normalform: a² + 2ab + b². Ja, jetzt hat er es! Er gibt das Passwort ein. Verflixt! Cyberfüchsin war schneller. Wie kann das denn sein? Kennt sie etwa einen schnelleren Weg, um das Produkt von zwei Binomen zu berechnen? Und ob sie den kennt! Die schlaue Füchsin hat in dem Ausdruck sofort ein Muster erkannt. Sie kennt nämlich die 1. binomische Formel: a+b in Klammern zum Quadrat = a² + 2ab + b². AQuadrat kommt zur zweiten Sicherheitsschranke. Dieses Mal will er schneller sein und probiert eine andere Methode. Um Klammer auf a minus b Klammer zu mal Klammer auf a minus b Klammer zu auszurechnen, nutzt er das Distributivgesetz. Dabei multipliziert er jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer. Los, wir müssen uns ranhalten! Zuerst die beiden vorderen Terme: a mal a ist gleich a². Jetzt die beiden äußeren Terme: a mal -b ist gleich -ab. Nun die inneren Terme: -b mal a ist gleich -ab. Und zuletzt die beiden hinteren Terme: -b mal -b ist gleich b². Gleichartige Terme werden zusammengefasst und wir erhalten: a² - 2ab + b². Schnell das Passwort eingeben und. Verflixt! Er hat zwar flink gerechnet, aber Cyberfüchsin hat ihn trotzdem ausgestochen. Wie das denn? Sie hat wieder das Muster erkannt. Dieses Mal nämlich das der 2. binomischen Formel: a - b in Klammern zum Quadrat ist gleich a² - 2ab + b². Ah, die letzte Sicherheitsschranke. Dieses Mal muss ein Produkt gelöst werden: 42 mal 38. Kein Problem, AQuadrat kann multiplizieren wie kein Zweiter. Soll das ein Witz sein?! Cyberfüchsin ist wirklich ausgefuchst. Sie hat die Differenz von zwei Quadratzahlen genutzt, um die Rechnung zu lösen. Du hast den Ausdruck: In Klammern a + b mal in Klammern a – b. Schau, was beim Ausmultiplizieren passiert. Diese Produkte heben sich gegenseitig auf. Übrig bleibt die Differenz von zwei Quadratzahlen, a Quadrat minus b Quadrat. Clevere Cyberfüchsin. Sie hat die Zahlen 42 und 38 umgeschrieben zu 40 plus 2 und 40 minus 2 und so die Differenz von zwei Quadratzahlen erhalten. Die Potenzen hat sie dann ausgerechnet und ratzfatz die Differenz erhalten: 1.596. Sie hat die 3. binomische Formel erkannt. Pass gut auf, dann wirst du diese Muster auch erkennen, genau wie Cyberfüchsin. Mit dieser Zusammenfassung hier kannst du dir die binomischen Formeln leicht merken. Dann bist du auch so schnell wie Cyberfüchsin. Und die hat ganz klar gewonnen. Aber was ist das? Sieht so aus, als ob die beiden Hacker gehackt werden. Von ihrer Mutter?! Zeit fürs Abendessen!

57 Kommentare

57 Kommentare
  1. Super Video!!! Jedoch lenkt das ganze mit dem hacken etwas vom Thema ab. Sonst aber alles gut und deutlich erklärt! :)

    Von Cetinkaya 2, vor 21 Tagen
  2. 1. Gutes Video :)
    2. Ich fühle mich Dezent angesprochen xD
    3. Es geht zwar um die Binomischen Formeln, aber wäre der Weg von 'A Quadrat' beim dritten Beispiel nicht viel einfacher gewesen, als der von Cyberfüchsin?

    Von Janan, vor etwa einem Monat
  3. Karma: Wer andere hackt wird am ende selbst gehackt.

    Von Eric Z., vor etwa einem Monat
  4. Schön gestaltet!(:

    Von Pruegel, vor etwa 2 Monaten
  5. Total witzig wie sie von ihrer Mutter gehackt worden sind.

    Von Blaues Monster, vor etwa 2 Monaten
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Binomische Formeln – Überblick Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Binomische Formeln – Überblick kannst du es wiederholen und üben.
  • Berechne die Terme mithilfe der binomischen Formeln.

    Tipps

    Du kannst eine Potenz auch so aufschreiben:

    $a^2=a\cdot a$.

    Beide Schreibweisen haben die gleiche Bedeutung.

    Du kannst zum Ausmultiplizieren der Klammern auch das Distributivgesetz anwenden. Dieses lautet:

    $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$.

    Du darfst nur gleichartige Terme addieren oder subtrahieren. Schau dir folgendes Beispiel an:

    $x+y+3y+xy+yx=x+4y+2xy$.

    Es gilt nämlich: $~ xy=yx$.

    Lösung

    Folgende Terme sind uns gegeben:

    • $(a+b)^2$,
    • $(a-b)^2$,
    • $(a+b)(a-b)$ und
    • $(40+2)(40-2)$.
    Diese Terme können wir entweder direkt über die jeweilige binomische Formel oder mithilfe des Distributivgesetzes berechnen. Im Folgenden werden diese Terme ausführlich unter Anwendung des Distributivgesetzes berechnet und somit alle drei binomischen Formeln hergeleitet.

    1. binomische Formel: $~(a+b)^2$

    • $~(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2$
    2. binomische Formel: $~(a-b)^2$
    • $~(a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ba+b^2=a^2-2ab+b^2$
    3. binomische Formel: $~(a+b)(a-b)$
    • $~(a+b)(a-b)=a^2-ab+ba-b^2=a^2-b^2$
    Für das Zahlenbeispiel können wir nun die dritte binomische Formel anwenden:

    • $(40+2)(40-2)=40^2-2^2=1600-4=1596$.
  • Beschreibe, wie du die Multiplikation $42\cdot 38$ mithilfe der dritten binomischen Formel lösen kannst.

    Tipps

    Eine Multiplikation der Form $(a+b)\cdot (c+d)$ kannst du ebenfalls durch Anwendung des Distributivgesetzes lösen. Hierzu gilt:

    $(a+b) \cdot (c+d)=ac+ad+bc+bd$.

    Die binomischen Formeln stellen eine Sonderform beim Auflösen zweier Klammerterme dar.

    Die dritte binomische Formel lautet:

    $(a+b) \cdot (a-b)=a^2-ab+ba-b^2=a^2-b^2$.

    Lösung

    Die Multiplikationsaufgabe $42\cdot 38$ können wir sowohl mittels schriftlicher Multiplikation als auch durch geschickte Anwendung der dritten binomischen Formel lösen.

    Das Vorgehen bei der schriftlichen Multiplikation kannst du der hier dargestellten Abbildung entnehmen.

    Deutlich schneller kannst du diese Aufgabe durch Anwendung der dritten binomischen Formel $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$ rechnen. Dazu schreiben wir die Aufgabe zunächst so um, dass wir zwei Klammerterme erhalten. Wir rechnen wie folgt:

    $42\cdot 38=(40+2)\cdot (40-2)=40^2-2^2=1600-4=1596$.

  • Ermittle mithilfe der binomischen Formeln die Lösungen der Terme.

    Tipps

    Die erste und zweite binomische Formel lauten:

    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ und// $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

    Du quadrierst eine Zahl, indem du sie einmal mit sich selbst multiplizierst:

    $6^2=6\cdot 6=36$.

    Lösung

    Unter Anwendung der binomischen Formeln möchten wir im Folgenden die gegebenen Beispiele lösen. Die drei binomischen Formeln lauten wie folgt:

    1. Binomische Formel: $~ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$,

    2. Binomische Formel: $~ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2$,

    3. Binomische Formel: $~ (a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$.

    Mit diesen Formeln können wir nun die gegebenen Klammerterme berechnen. Hier siehst du die Rechenwege:

    • $(11+3)^2=121+66+9=196$,
    • $(12-5)^2=144-120+25=49$,
    • $(5+3)\cdot (5-3)=25-9=16$,
    • $(13-4)^2=169-104+16=81$.
  • Bestimme den Term für die markierten Flächen.

    Tipps

    Die Fläche eines Quadrates mit der Seitenlänge $a$ entspricht $a^2$.

    Die erste binomische Formel lautet: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

    Hier siehst du die dritte binomische Formel:

    $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$.

    Lösung

    Wir betrachten hier zwei Flächen, welche je durch eine der binomischen Formeln beschrieben wird. Die binomischen Formeln kann man sich nämlich jeweils als Fläche vorstellen.

    Gegeben sind dabei ein großes Quadrat mit der Seitenlänge $a$ sowie ein kleines Quadrat mit der Seitenlänge $b$, das in dem großen Quadrat liegt. Die Fläche eines Quadrates entspricht dem Quadrat seiner Seitenlänge. Somit hat das große Quadrat eine Fläche von $a^2$ und das kleine Quadrat eine Fläche von $b^2$.

    Rote Fläche

    Zunächst schauen wir uns die rote Fläche an. Dieses Quadrat hat die Seitenlänge $a-b$ und somit die Fläche $(a-b)^2$. Sie entspricht also der Quadratfläche, welche durch die zweite binomische Formel beschrieben wird.

    Diese lautet: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

    Da die linke Seite dieser Gleichung die rote Fläche beschreibt, muss diese auch durch die rechte Seite beschrieben werden. Das bedeutet, dass wir von dem großen Quadrat zunächst zweimal die Fläche $a\cdot b$ abziehen. Anschließend addieren wir die Fläche $b^2$, da wir dieses Stück zweimal abgezogen haben.

    Grüne Fläche

    Nun betrachten wir die grüne Fläche. Diese Fläche erhalten wir, wenn wir von dem großen Quadrat das kleine Quadrat abziehen. Der Flächeninhalt des großen Quadrats beträgt $a^2$ und der Flächeninhalt des kleinen Quadrats beträgt $b^2$. Der Flächeninhalt der grünen Fläche wird also durch den Term $a^2-b^2$ beschrieben. Du kannst dies auch auf dem Bild erkennen. Dieser Term ist gegeben durch die dritte binomische Formel.

    Diese lautet: $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$.

    Ebenso wird die grüne Fläche auch durch die linke Seite der Gleichung beschrieben.

  • Gib an, mit welcher binomischen Formel das jeweilige Beispiel gelöst werden kann.

    Tipps

    Die erste binomische Formel lautet:

    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

    Die zweite binomische Formel lautet:

    $(a-b)\cdot (a-b)=a^2-2ab+b^2$.

    Einen mathematischen Ausdruck der Form $(a+b)^2$ kannst du auch ausschreiben zu $(a+b)\cdot (a+b)$.

    Lösung

    Es sind die folgenden Beispiele gegeben:

    • $(4+2)\cdot (4-2)$,
    • $(5-3)^2$,
    • $(x-y)\cdot (x+y)$ und
    • $(4+5)\cdot (4+5)$.
    Gesucht ist jeweils die binomische Formel, welche man zum Auflösen der Klammerterme anwenden muss. Die drei binomischen Formeln lauten wie folgt:

    • $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$,
    • $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ und
    • $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$.
    Einen mathematischen Ausdruck der Form $(a+b)^2$ kannst du auch ausschreiben zu $(a+b)\cdot (a+b)$. Dann erhalten wir die folgende Lösung:

    • $(4+2)\cdot (4-2) ~\rightarrow ~$ 3. binomische Formel
    • $(5-3)^2 ~\rightarrow ~$ 2. binomische Formel
    • $(x-y)\cdot (x+y) ~\rightarrow ~$ 3. binomische Formel
    • $(4+5)\cdot (4+5)=(4+5)^2 ~\rightarrow ~$ 1. binomische Formel
  • Ermittle das zugehörige Produkt von Klammertermen.

    Tipps

    Die dritte binomische Formel lautet: $~ (a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$.

    Schau dir folgendes Beispiel an:

    $(x+y)\cdot (-x-y)=-1\cdot (x+y)\cdot (x+y)=-1\cdot (x+y)^2$.

    Lösung

    Bevor wir uns die Beispiele anschauen, notieren wir uns zunächst die drei binomischen Formeln:

    • 1. Binomische Formel: $~ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$,
    • 2. Binomische Formel: $~ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2$,
    • 3. Binomische Formel: $~ (a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$.
    Nun können wir uns die Beispiele anschauen.

    Beispiel 1: $~ 9-6x+x^2$

    Diesen Term schreiben wir zunächst um zu: $~ 3^2-2\cdot 3\cdot x+x^2$.

    In dieser Schreibweise können wir nun die Klammerterme ablesen. Die Rechenzeichen verraten uns, dass es sich hier um die zweite binomische Formel handelt. Somit erhalten wir: $~ (3-x)^2$.

    Beispiel 2: $~ 9-x^2$

    Diesen Term können wir auch so schreiben: $~ 3^2-x^2$.

    Durch diese Schreibweise können wir wieder die Klammerterme ablesen. Da wir die Subtraktion zweier Quadratzahlen haben und kein nichtquadratisches Glied enthalten ist, handelt es sich hierbei um die dritte binomische Formel. Somit erhalten wir: $~ (3+x)\cdot (3-x)$.

    Beispiel 3: $~ -9-6x-x^2$

    Dieser Term erscheint zunächst anders, aber wir können ihn umformen zu: $~ -1\cdot (9+6x+x^2)=-1\cdot (3^2+2\cdot 3\cdot x+x^2)$.

    In dieser Schreibweise erkennen wir nun sowohl die Klammerterme als auch die erste binomische Formel in der Klammer. Somit erhalten wir: $~ -1\cdot (3+x)^2=-1\cdot (3+x)\cdot (3+x)=(3+x)(-3-x)$.

    Beispiel 4: $~ 9+6x+x^2$

    Der letzte Term kann umgeformt werden zu: $~ 3^2+2\cdot 3\cdot x+x^2$.

    In dieser Schreibweise können wir nun die Klammerterme ablesen. Die Rechenzeichen verraten uns, dass es sich hier um die erste binomische Formel handelt. Somit erhalten wir: $~ (3+x)^2$.

    Die restlichen Multiplikationsaufgaben

    Die Lösung für die übrigen Klammerausdrücke erhältst du durch Anwendung der ersten und dritten binomischen Formel. Es folgt dann:

    $(9+x)^2=81+18x+x^2$,

    $(9+x)\cdot (9-x)=81-x^2$.

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