Quadratische Ergänzung
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Grundlagen zum Thema Quadratische Ergänzung
Inhalt
Einführung: quadratische Gleichungen in Normalform
Eine quadratische Gleichung hat die Form $ax^2 +bx+c=0$ mit $a\neq 0$.
Die spezielle quadratische Gleichung mit $a=1$ steht in Normalform. In diesem Fall wird der Faktor vor dem $x$ mit $p$ und der Term, der allein steht, mit $q$ bezeichnet: $x^2 +px+q=0$.
Bezeichnungen
- Der Term $x^2$ wird als quadratisches Glied bezeichnet.
- $px$ ist das lineare Glied.
- $q$ heißt Absolutglied.
Ziel der quadratischen Ergänzung ist eine Termumformung des quadratischen Terms, gegeben als $x^2 +px+q$. Dafür werden die ersten beiden binomischen Formeln benötigt:
1. binomische Formel: $a^2 +2ab+b^2=(a+b)^2$
2. binomische Formel: $a^2 -2ab+b^2=(a-b)^2$
Weil die binomischen Formeln dabei „rückwärts“ angewendet werden, wurden sie hier gleich so aufgeschrieben. Dabei hängt die Wahl der binomischen Formel vom Vorzeichen des linearen Glieds im konkret gegebenen quadratischen Term ab.
1. Beispiel
Betrachtet wird der quadratische Term $x^2-16x+64$. Wegen des negativen Vorzeichens des linearen Glieds wird die 2. binomische Formel angewendet.
Der Faktor $16$ wird als $2\cdot 8$ geschrieben:
$x^2-2\cdot x\cdot 8+64$
Die ersten beiden Summanden der 2. binomischen Formel sind bereits zu erkennen. Da $64=8^2$ ist, gilt:
$x^2-2 \cdot x\cdot 8+64=x^2-2 \cdot x\cdot 8+8^2$
Hier spielt also $x$ die Rolle von $a$ und $8$ die von $b$ in der binomischen Formel. Es ergibt sich also:
$x^2-2x\cdot 8+64=(x-8)^2$
Dieser Term konnte also mithilfe der 2. binomischen Formel umgewandelt werden. Aber das ist ein sehr spezieller Fall. Wie kann man nun vorgehen, wenn kein Absolutglied vorhanden ist?
Quadratische Ergänzung: Vorgehen
Fehlt bei einem quadratischen Term (gegeben durch $x^2 \pm px$) das Absolutglied, kann man wie folgt vorgehen:
Das quadratische Glied $x^2$ entspricht dem Term $a^2$ in der binomischen Formel. Also entspricht $x$ dem $a$. Der zweite Term in der binomischen Formel ist $2ab$. Das bedeutet, dass $px=2xb$ sein muss. Dies kann umgeformt werden zu $b=\frac{p}2$. Somit gilt:
$x^2 \pm px=x^2\pm 2x\cdot \frac{p}2$
Nun folgt die eigentliche quadratische Ergänzung: Einmal wird das Quadrat der Hälfte des Vorfaktors des linearen Glieds addiert und dann wieder subtrahiert:
$x^2 \pm px=x^2\pm 2x \cdot \frac p2+\left(\frac{p}2\right)^2-\left(\frac{p}2\right)^2$
Damit hat man den Term nicht verändert. Dieses Vorgehen erklärt auch den Namen dieses Verfahrens.
Fast fertig! Die ersten drei Summanden können nun mithilfe einer binomischen Formel umgeformt werden:
$x^2 \pm px=\left(x\pm \frac{p}2\right)^2-\left(\frac{p}2\right)^2$
2. Beispiel
Der quadratische Term $x^2-16x$ soll so quadratisch ergänzt werden, dass eine binomische Formel angewendet werden kann. Auch hier wird die 2. binomische Formel angewendet:
$x^2-16x=x^2-2 \cdot x \cdot 8=x^2-2 \cdot x \cdot 8+8^2 -8^2$
Jetzt können die ersten drei Summanden wieder mit der 2. binomischen Formel zusammengefasst werden:
$x^2-16x=(x-8)^2-8^2=(x-8)^2 -64$
3. Beispiel
Im quadratischen Term $x^2+12x$ steht vor dem linearen Glied ein positives Vorzeichen. Es wird also die 1. binomische Formel angewendet:
$x^2+12x=x^2+2x\cdot 6$
Nun folgt die quadratische Ergänzung:
$x^2+12x=x^2+2x\cdot 6+6^2-6^2$
Die 1. binomische Formel wird angewendet:
$x^2+12x=(x+6)^2-6^2=(x+6)^2-36$
Ausblick
Auch wenn der quadratische Term ein Absolutglied besitzt (in der Form $x^2 +px+q$), kann die obige quadratische Ergänzung verwendet werden:
$x^2 +px+q=\left(x+ \frac{p}2\right)^2-\left(\frac{p}2\right)^2+q$
Dies kann ebenso gemacht werden, wenn vor dem linearen Glied ein Minuszeichen steht:
$x^2 -px+q=\left(x- \frac{p}2\right)^2-\left(\frac{p}2\right)^2+q$
Transkript Quadratische Ergänzung
Zeronimus liebt die Weltabgeschiedenheit. Er grübelt über die ganz großen Themen – alles, nichts. Vor allem über das Nichts - und seinen Nutzen. Gefäße beispielsweise werden dadurch nutzbar, dass sie einen Hohlraum - also nichts - enthalten. Und natürlich fällt Zeronimus auch ein Beispiel aus der Mathematik ein. Dort kommt es nämlich ebenfalls manchmal vor, dass das Nichts - in Gestalt der Null - sehr nützlich ist. Zeronimus denkt dabei an die Quadratische Ergänzung. In diesem Video beschränken wir uns dabei auf quadratische Gleichungen, beziehungsweise die zugehörigen Terme, in Normalform. Wir erinnern uns: In einer quadratischen Gleichung heißt dieses Glied quadratisches Glied, dieses lineares Glied und dieses Absolutglied. Wir verwenden diese Begriffe auch für quadratische Terme. Zunächst wiederholen wir, wie man einen solchen Term mit Hilfe der zweiten binomischen Formel faktorisiert. Das geht nur mit speziellen quadratischen Termen: Sie müssen aus drei Gliedern bestehen und einen Subtrahenden enthalten, der die beiden anderen Glieder in der richtigen Weise kombiniert. Nur wenn diese zwei Bedingungen erfüllt sind, können wir den Term vollständig faktorisieren. Bei diesem Term haben wir hier einen Subtrahenden. Überprüfen wir, ob er die beiden anderen Glieder auf die richtige Weise kombiniert. 64 ist 8 Quadrat. 'minus 16 x' ist 'minus 2' mal x mal 8. 8 steht hier und hier, und x hier und hier. Jetzt entspricht es genau der Form der zweiten binomischen Formel. Daher können wir mit ihr den Term nun umformen. Aber wie ist das bei diesem Term? Hier fehlt das Absolutglied, die 64, die wir benötigen, um den Term umzuformen. Was können wir tun? Einfach ergänzen dürfen wir die 64 nicht. Wenn wir aber 64 addieren und gleich wieder subtrahieren, ändern wir den Term nicht, denn zusammen ergeben diese beiden Zahlen Null. Dadurch können wir immerhin diesen Teil des Terms mit der zweiten binomischen Formel umformen. So ist es möglich, den Term teilweise zu faktorisieren. Wir erhalten das Quadrat einer Differenz, wobei hier 'minus 64' übrig bleibt. Um den Term mit Hilfe der binomischen Formel umzuformen, haben wir diesen Teil ergänzt. Er heißt quadratische Ergänzung. Die Null, die wir dabei ergänzen, hat viele Namen: "nahrhafte Null", "produktive Null" oder "Nullergänzung". Wie sieht es denn bei diesem Term aus? Auch hier fehlt das Absolutglied. Um die Nullergänzung herauszubekommen, betrachten wir das lineare Glied näher. Weil davor ein Pluszeichen steht, vergleichen es mit der allgemeinen Form der ersten binomischen Formel. Wir können den Term so umformen. Die Nullergänzung lautet hier also plus 6 Quadrat' 'minus 6 Quadrat'. Es ist genau die Hälfte des Vorfaktors im linearen Glied zum Quadrat. Deshalb heißt diese Ergänzung quadratische Ergänzung. Dann können wir diesen Teil des Terms mit Hilfe der ersten binomischen Formel umformen. Hier bleibt dann noch minus '6 Quadrat', also 'minus 36', übrig. Dieses Verfahren können wir auch allgemein formulieren: Haben wir einen quadratischen Term ohne Absolutglied gegeben, kann dieser Term nicht direkt mit der ersten oder zweiten binomischen Formel umgeformt werden. Wenn wir hier eine 2 rausziehen, sehen wir, dass dem Gesamtterm genau die Hälfte des Vorfaktors vom linearen Glied 'p' zum Quadrat fehlt. Um die quadratische Ergänzung auszuführen, müssen wir also genau das addieren und subtrahieren. Dann können wir diesen Teil des Terms durch Anwendung von einer der binomischen Formeln faktorisieren. Ob man die erste oder die zweite binomische Formel verwendet, ergibt sich dabei aus dem Vorzeichen des linearen Gliedes. Und Zeronimus? Willkommen in der Wirklichkeit! Nein, es ist nichts! Gar nichts!
Quadratische Ergänzung Übung
-
Bestimme die Faktorisierung.
TippsIn der unteren Zeile steht die zweite binomische Formel. Du erhältst sie, indem du das Quadrat $(a-b)^2$ ausmultiplizierst und gleiche Terme zusammenfasst.
Ergänze in der oberen Zeile den Term so, dass er von $64$ subtrahiert $0$ ergibt.
Den Term $x^2 + 4x$ kannst du durch $0 = 4-4$ ergänzen und dann teilweise faktorisieren:
$x^2 + 4x = x^2 + 4x + 4 -4 = (x+2)^2 -4$
LösungDie quadratische Ergänzung ist eine Methode, um einen quadratischen und einen linearen Term mittels der ersten oder zweiten binomischen Formel in ein Quadrat und ein Absolutglied umzuformen. Die Normalform einer quadratischen Gleichung lautet:
$x^2 + px + q=0$
Du kannst den Term auf der linken Seite so erweitern, dass er zu einem Quadrat und einem Absolutglied umgeformt wird. Dazu addierst und subtrahierst du $\big(\frac{p}{2}\big)^2$:
$x^2 + px + q= x^2 +2 \cdot \frac{p}{2} \cdot x + \big(\frac{p}{2}\big)^2 - \big(\frac{p}{2}\big)^2 +q$
Nun kannst du auf der rechten Seite die Terme der binomischen Formel erkennen. Diese lautet:
$(a+b)^2 = a^2 + 2 \cdot ab + b^2$
Setzt du $a = x$ und $b=\frac{p}{2}$, findest du genau die ersten drei Terme der rechten Seite der Gleichung oben. Du kannst die Terme daher mit der binomischen Formel zusammenfassen:
$x^2 +2 \cdot \frac{p}{2} \cdot x + \big(\frac{p}{2}\big)^2 - \big(\frac{p}{2}\big)^2 +q = \big(x+\frac{p}{2}\big)^2 -\big(\frac{p}{2}\big)^2 +q$
In dem Bild in der Aufgabe steht eine solche quadratische Ergänzung mit $p=-16$ und $q=0$. Du erhältst also:
$x^2 - 16x = x^2 - 2 \cdot 8x - 8^2 - 8^2 = x^2 - 2 \cdot 8x + 64-64 = (x-8)^2 - 64$
-
Bestimme die quadratische Ergänzung.
TippsWähle als quadratische Ergänzung immer das Quadrat der Hälfte des Koeffizienten des linearen Terms.
Beispiel: Betrachten wir den Term $x^2-12x$, so ist der lineare Term $-12x$ und der Koeffizient $-12$. Die Hälfte davon, also $-6$, nutzen wir dann, um die quadratische Ergänzung auszuführen:
$x^2-12x+(-6)^2-(-6)^2$
Hat der lineare Term ein negatives Vorzeichen, steht auch in der quadrierten Klammer ein negatives Vorzeichen.
Den Term $x^2-14x$ kannst du durch das Quadrat von $7=\frac{14}{2}$ erweitern:
$x^2 -14x = x^2-14x +7^2-7^2 = (x-7)^2 -7^2$
LösungDie quadratische Ergänzung dient dazu, einen quadratischen und linearen Term so umzuformen, dass sich ein quadratischer Term und ein Absolutglied ergeben. Ist der quadratische Term in der Form
$x^2 + px$
gegeben, kannst du mit $\big(\frac{p}{2}\big)^2$ erweitern. Dabei kann $p$ positiv oder negativ sein. Nach dem Erweitern kannst du die binomische Formel anwenden:
$x^2 + px = x^2 + px + \big(\frac{p}{2}\big)^2 - \big(\frac{p}{2}\big)^2 = \big(x+\frac{p}{2}\big)^2 - \big(\frac{p}{2}\big)^2$
So erhältst du aus dem gegebenen Term links einen Term rechts, der ein Quadrat und ein Absolutglied enthält.
In der Aufgabe findest du folgende richtige quadratische Ergänzungen (mit Zwischenschritten):
- $x^2+12x = x^2 + 2 \cdot (6x) +6^2 - 6^2 = (x+6)^2-36$
- $x^2+px = x^2 + 2 \cdot \frac{p}{2} \cdot x + \frac{p^2}{4} -\frac{p^2}{4} =\big(x+ \frac{p}{2}\big)^2 -\big(\frac{p}{2}\big)^2$
- $x^2-16x = x^2 - 2 \cdot 8x + 8^2 + 8^2 =(x-8)^2 -64$
Die folgenden quadratischen Ergänzungen dagegen sind falsch:
- $x^2-16x \neq (x-8)^2 +64$
- $x^2-px \neq (x- p)^2 -p^2$
- $x^2+12x \neq (x+12)^2-36$
-
Erschließe die Gleichungen mittels quadratischer Ergänzung.
TippsDie passende Umformung erkennst du an dem linearen Term.
Ist der Term $x^2 + px$ gegeben, so kannst du mit $\big(\frac{p}{2}\big)^2$ erweitern und erhältst:
$x^2 + px = \big(x+\frac{p}{2}\big)^2 - \big(\frac{p}{2}\big)^2$
Für den Term $x^2 - 5x$ lautet die quadratische Ergänzung und Umformung wie folgt:
$x^2 + 5x = x^2 + 2\cdot 2,5\cdot x + (2,5)^2 - (2,5) ^2 = (x-2,5)^2 - (2,5)^2$
LösungDie quadratische Ergänzung dient dazu, Terme ganz oder teilweise zu faktorisieren. Um die passende quadratische Ergänzung zu finden, kannst du dich an dem linearen Glied orientieren: Lautet der umzuformende Term $x^2 + px$, kannst du für die quadratische Ergänzung das Quadrat der Hälfte des Koeffizienten des linearen Terms verwenden, also $\big(\frac{p}{2}\big)^2$. Dann erhältst du mit der binomischen Formel:
$x^2 + px = x^2 + 2 \cdot \frac{p}{2}x + \big(\frac{p}{2}\big)^2 - \big(\frac{p}{2}\big)^2 = \big(x-\frac{p}{2}\big)^2 -\big(\frac{p}{2}\big)^2$
Diese Formel für die quadratische Ergänzung passt immer. Du musst aber das Vorzeichen von $p$ beachten.
In der Aufgabe findest du folgende Umformungen (mit Zwischenschritten):
- $x^2 -4x = x^2 - 4x + 2^2 - 2^2 = (x-2)^2 -4$
- $x^2+2x = x^2 +2x +1^2 -1^2 = (x+1)^2-1$
- $x^2 + 3x = x^2 +2 \cdot \frac{3}{2}x + \big(\frac{3}{2}\big)^2 - \big(\frac{3}{2}\big)^2 = \big(x+\frac{3}{2}\big) - \frac{9}{4}$
- $x^2 - 6x = x^2 -6x + 3^2 - 3^2 = \big(x-\frac{6}{2}\big)^2 - 9$
- $x^2-12x = x^2 -2 \cdot 6x +6^2 -6^2= (x-6)^2 - 36$
-
Bestimme die quadratische Ergänzung.
TippsDer zu ergänzende Term ist das Quadrat der Hälfte des Koeffizienten des linearen Terms.
Schreibe die Terme der quadratischen Ergänzung als gekürzte Brüche.
LösungDie quadratische Ergänzung dient meistens der Umformung und Faktorisierung quadratischer und linearer Terme. Ziel der Faktorisierung ist es, eine Summe aus einem quadratischen Term, einem linearen Term und einem Absolutglied in die Summe einer quadrierten Klammer und eines Absolutgliedes umzuformen. Die passende quadratische Ergänzung kannst du immer an dem linearen Term ablesen. Die Hälfte des Koeffizienten des linearen Terms steht am Ende in der zu quadrierenden Klammer. Daher musst du mit dem Quadrat dieser Hälfte erweitern. Du erhältst dann folgende quadratische Ergänzungen und Umformungen:
$\begin{array}{lllll} x^2 -14x &=& x^2 -14x +7^2 -7^2 &=& (x-7)^2-7^2 \\ \\ x^2 - 5x &=& x^2 -5x + \Big(\frac{5}{2}\Big)^2 - \Big(\frac{5}{2}\Big)^2 &=& \Big(x-\frac{5}{2}\Big)^2 - \Big(\frac{5}{2}\Big)^2 \\ \\ x^2 - 5x + 2 &=& x^2 -5x + \frac{5}{2}^2 - \frac{5}{2}^2 +2 &=& \Big(x-\frac{5}{2}\Big)^2 - \frac{17}{4} \end{array}$
-
Berechne das Produkt.
TippsDas Quadrat einer Zahl oder eines Terms ist die Zahl oder der Term mit sich selbst multipliziert.
Die erste binomische Formel lautet:
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Das Absolutglied enthält kein $x$.
LösungDie binomischen Formeln erhältst du durch Ausmultiplizieren der Produkte von Klammern. Die zweite binomische Formel lautet:
$(a-b)^2 = (a-b) \cdot (a-b) = a \cdot a + a\cdot (-b) + (-b) \cdot a + (-b) \cdot (-b) = a^2 - 2ab + b^2$
In dieser Aufgabe ist $a=x$ und $b=8$. Du erhältst also:
$(x-8)^2 = (x-8) \cdot (x-8) = x^2 - 2\cdot 8\cdot x + 8^2 = x^2 - 16x + 64$
Hierbei ist $x^2$ das quadratische Glied, $-16x$ das lineare Glied und $64$ das Absolutglied.
-
Wende die quadratische Ergänzung an.
TippsDie quadratische Ergänzung kannst du als Addieren von $0$ zu einem Term oder als Addieren des gleichen Terms auf beiden Seiten einer Gleichung verwenden.
LösungDie quadratische Ergänzung wird hier verwendet, um die quadratische Gleichung $3 x^2 + 9x - 12 =0$ zu lösen. Dazu wird die Gleichung zuerst auf die Normalform gebracht. Dies geschieht durch Division beider Seiten durch den Koeffizienten von $x^2$, also durch $3$.
Die äquivalente Gleichung $x^2 +3x -4=0$ kann man nun mittels quadratischer Ergänzung weiter umformen. Zuerst wird das Absolutglied durch Addition von $4$ auf die andere Seite der Gleichung gebracht. Der zu ergänzende Term der quadratischen Ergänzung orientiert sich an dem Koeffizienten des linearen Terms und lautet $\big(\frac{3}{2}\big)^2$. Da es sich um eine Gleichung handelt, kann anstelle der Addition und Subtraktion von $\big(\frac{3}{2}\big)^2$ auf der linken Seite auch der Term $\big(\frac{3}{2}\big)^2$ auf beiden Seiten addiert werden.
Mit der binomischen Formel kann jetzt die linke Seite der Gleichung zu dem Quadrat einer Klammer zusammengefasst werden. Zieht man aus der linken Seite die Wurzel, so ergibt sich eine Lösung der ursprünglichen quadratischen Gleichung.
Hier ist die Rechnung zusammengefasst:
$\begin{array}{lllll} & 3 x^2 + 9x - 12 &=& 0 & | :3 \\ \Leftrightarrow & x^2 + 3x - 4 &=& 0 & | +4 \\ \Leftrightarrow & x^2 + 3x &=& 4 & | \ \text{quadratische Ergänzung} \\ \Leftrightarrow & x^2 + 3x + \big(\frac{3}{2}\big)^2 &=& 4 + \big(\frac{3}{2}\big)^2 & | \ \text{binomische Formel} \\ \Leftrightarrow & \big(x+\frac{3}{2}\big)^2 &=& \frac{25}{4} & | \ \text{Wurzel ziehen}\\ \Leftrightarrow & \big(x+\frac{3}{2}\big) &=& \pm\frac{5}{2} & \end{array}$
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