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Quadratische Ergänzung

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Team Digital
Quadratische Ergänzung
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Beschreibung zum Video Quadratische Ergänzung

Wenn du zu einem Term nichts hinzuaddierst, ändert sich …nichts. Oder?

Grundsätzlich stimmt es natürlich, dass es am Wert eines Terms nichts ändert, wenn null addiert wird. Warum es trotzdem nützlich sein kann, null zu addieren, erfährst du in diesem Video. Dazu wiederholen wir zunächst quadratische Gleichungen und binomische Formeln. Dann lernst du die quadratische Ergänzung kennen und erfährst, wie man sie anwendet. Anhand eines Beispiels wird dir das Vorgehen Schritt für Schritt erklärt. Die interaktiven Übungen auf dieser Seite werden im Anschluss kein Problem mehr für dich sein.

Grundlagen zum Thema Quadratische Ergänzung

Was ist eine quadratische Ergänzung?

Die quadratische Ergänzung ist ein Verfahren, um quadratische Terme umzuformen.

Ein Term der Form $ax^2+bx+c$, also mit dem höchsten Exponenten $2$, ist ein quadratischer Term. Dabei muss $a \neq 0$ sein.

Beispiele für quadratische Terme:

  • $x^2+3x$
  • $2x^2-4x$
  • $0{,}5x^2-2x+4$

Hier kannst du den Wert des Terms berechnen, indem du eine konkrete Zahl für die Variable $x$ einsetzt. Zwei Terme, die für den gleichen $x$-Wert stets denselben Term-Wert liefern, heißen äquivalent. Zwei äquivalente Terme können wir durch geeignete Termumformungen ineinander umwandeln.

Bei einer quadratischen Ergänzung wird ein Term allerdings nicht irgendwie umgeformt. Das Ziel ist es, die 1. binomische Formel oder 2. binomische Formel anzuwenden.

Hierfür schauen wir uns einmal ein Beispiel an, bei dem ein Term mit Hilfe der 1. binomischen Formel umgeformt und dann vereinfacht wurde:

$2(x+2)^2-18=2(x^2+4x+4)-18=2x^2+8x-10$.

Bei der quadratischen Ergänzung willst du nun genau andersherum vorgehen. Du beginnst mit dem quadratischen Term $2x^2+8x-10$ und möchtest diesen so umformen, dass du zu dem Term $2(x+2)^2-18$ gelangst. Wir sagen auch: „Der Term wird teilweise faktorisiert.
Wie geht das?

Quadratische Ergänzung – Durchführung

Um den quadratischen Term $2x^2+8x-10$ quadratisch zu ergänzen, gehst du wie folgt vor:

  • Da vor dem $x^2$ ein Faktor steht, musst du diesen ausklammern:
    $2x^2+8x-10 = 2(x^2+4x-5)$
  • Nun schaust du dir den Faktor vor dem Term $x$ in der Klammer an:
    Dieser ist $4$.
  • Dividiere diesen Faktor durch $2$:
    $4 : 2 = 2$
  • Quadriere das Ergebnis:
    $2^2=4$
  • Addiere dieses Quadrat zu dem Term in der Klammer und subtrahiere es anschließend wieder. So hast du insgesamt $0$ addiert, den Wert des Terms also nicht verändert.
    $2(x^2+4x ~\underbrace{+~4-4}_{+0} -5)$
  • Schaue dir die ersten drei Summanden in der Klammer an:
    $x^2+4x+4$
    Fällt dir etwas auf? Mit der 1. binomischen Formel kannst du wie folgt umformen:
    $x^2+4x+4=(x+2)^2$
  • Dies setzt du in den quadratisch ergänzten Term ein und fasst anschließend zusammen:

$\quad ~~~\begin{array}{rcl}2(x^2+4x+4-4-5)&=&2((x+2)^2-4-5) \\&=&2((x+2)^2-9)\\&=&2(x+2)^2-18\end{array}$.

Mit diesen Schritten kannst du einen beliebigen quadratischen Term quadratisch ergänzen. Wir betrachten dazu noch einige weitere Beispiele.

Quadratische Ergänzung – Beispiele

Beispiel 1:

$\begin{array}{rcl}x^2+3x&=&x^2+3x+1{,}5^2-1{,}5^2\\&=&(x+1{,}5)^2-2{,}25\end{array}$

Beispiel 2:

$\begin{array}{rcl}2x^2-4x&=&2(x^2-2x)\\&=&2(x^2-2x+1-1)\\&=&2((x-1)^2-1)\\&=&2(x-1)^2-2\end{array}$

Beispiel 3:

$\begin{array}{rcl}0{,}5x^2-2x+4&=&0{,}5(x^2-4x+8)\\&=&0{,}5(x^2-4x+4-4+8)\\&=&0{,}5((x-2)^2+4)\\&=&0{,}5(x-2)^2+2\end{array}$

Quadratische Ergänzung – Anwendung

Es gibt verschiedenen Anwendungen der quadratischen Ergänzungen im Bereich von quadratischen Gleichungen und quadratischen Funktionen. Die wichtigsten wollen wir im Folgenden betrachten.

Quadratische Gleichungen durch quadratisches Ergänzen lösen

Eine Gleichung bei der die Variable im Quadrat vorkommt heißt quadratische Gleichung.

Eine solche Gleichung kannst du mit Hilfe der $pq$-Formel oder der Mitternachtsformel, welche auch $abc$-Formel genannt wird, lösen.

Wir schauen uns die Anwendung der quadratischen Ergänzung am Beispiel der quadratischen Gleichung $2x^2+8x-10 = 0$ an. Dabei wird im ersten Schritt der quadratische Term ${2x^2+8x-10}$ mittels quadratischer Ergänzung umgeformt zu: ${2(x+2)^2-18}$. Im Anschluss können wir die Ergebnisse der Gleichung ohne die Verwendung einer Lösungsformel bestimmen.

$\begin{array}{crclll}&2x^2+8x-10&=&0\\ \Leftrightarrow&2(x+2)^2-18&=&0&|&+18\\ \Leftrightarrow&2(x+2)^2&=&18&|&:2\\ \Leftrightarrow&(x+2)^2&=&9&|&\sqrt{~~~}\\ \Leftrightarrow&x+2&=&\pm3&|&-2 \end{array}$

Damit erhalten wir die Lösungen $x_1=-2-3=-5$ und $x_2=-2+3=1$.

Um zu prüfen, ob diese Lösungen richtig sind, setzten wir sie zur Probe in den quadratischen Term ein:

  • $2\cdot (-5)^2+8\cdot (-5)-10=50-40-10=0~~~\surd$
  • $2\cdot 1^2+8\cdot 1-10=2+8-10=0~~~\surd$

Nach einer quadratischen Ergänzung können die Ergebnisse einer quadratischen Gleichung ohne Lösungsformel bestimmt werden.

Herleitung der $pq$-Formel mit Hilfe der quadratischen Ergänzung

Es soll die quadratische Gleichung $x^2+px+q=0$ allgemein gelöst werden.

Hierfür wird zunächst der quadratische Term $x^2+px+q$ quadratisch ergänzt:

$\begin{array}{rcl}x^2+px+q&=&x^2+px+\left(\frac p2\right)^2-\left(\frac p2\right)^2+q\\ &=&\left(x+\frac p2\right)^2-\left(\frac p2\right)^2+q \end{array}$

Im Anschluss lösen wir die Gleichung wie oben:

$\begin{array}{rclll}\left(x+\frac p2\right)^2-\left(\frac p2\right)^2+q&=&0&|&+\left(\frac p2\right)^2-q\\ \left(x+\frac p2\right)^2&=&\left(\frac p2\right)^2-q&|&\sqrt{~~~}\\ x+\frac p2&=&\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}&|&-\frac p2\\ x_{1,2}&=&-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q} \end{array}$

Das Ergebnis entspricht der $pq$-Formel.

Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion durch quadratische Ergänzung

Du kannst mit Hilfe der quadratischen Ergänzung auch eine Scheitelpunktform ${f(x)=a(x-d)^2+e}$ einer quadratischen Funktion mit dem Scheitelpunkt $S(d|e)$ herleiten.

Hierfür betrachten wir das Beispiel der Funktion $f(x)=-x^2+4x+4$.

Wieder wird der quadratische Term $-x^2+4x+4$ quadratisch ergänzt:

$\begin{array}{rcl}-x^2+4x+4&=&-(x^2-4x-4)\\&=&-(x^2-4x+4-4-4)\\&=&-((x-2)^2-8)\\&=&-(x-2)^2+8\end{array}$

Somit ist $f(x)=-(x-2)^2+8$. Der Scheitelpunkt der Funktion liegt also bei $S(2|8)$.
An dem Faktor $-1$ vor dem quadratischen Term $x^2$ kannst du zudem erkennen, dass der Funktionsgraph eine nach unten geöffnete Normalparabel ist. Du kannst den Graphen also zeichnen, indem du eine nach unten geöffnete Normalparabel im Scheitelpunkt $S(2|8)$ ansetzt.

Häufig gestellte Fragen zum Thema quadratische Ergänzung

Was ist eine quadratische Ergänzung?
Wann wird die quadratische Ergänzung genutzt?
Wie funktioniert die quadratische Ergänzung?
Wann werden quadratische Ergänzung und $pq$-Formel verwendet?
Teste dein Wissen zum Thema Quadratische Ergänzung!

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Vorschaubild einer Übung

Transkript Quadratische Ergänzung

Zeronimus liebt die Weltabgeschiedenheit. Er grübelt über die ganz großen Themen – alles, nichts. Vor allem über das Nichts - und seinen Nutzen. Gefäße beispielsweise werden dadurch nutzbar, dass sie einen Hohlraum - also nichts - enthalten. Und natürlich fällt Zeronimus auch ein Beispiel aus der Mathematik ein. Dort kommt es nämlich ebenfalls manchmal vor, dass das Nichts - in Gestalt der Null - sehr nützlich ist. Zeronimus denkt dabei an die Quadratische Ergänzung. In diesem Video beschränken wir uns dabei auf quadratische Gleichungen, beziehungsweise die zugehörigen Terme, in Normalform. Wir erinnern uns: In einer quadratischen Gleichung heißt dieses Glied quadratisches Glied, dieses lineares Glied und dieses Absolutglied. Wir verwenden diese Begriffe auch für quadratische Terme. Zunächst wiederholen wir, wie man einen solchen Term mit Hilfe der zweiten binomischen Formel faktorisiert. Das geht nur mit speziellen quadratischen Termen: Sie müssen aus drei Gliedern bestehen und einen Subtrahenden enthalten, der die beiden anderen Glieder in der richtigen Weise kombiniert. Nur wenn diese zwei Bedingungen erfüllt sind, können wir den Term vollständig faktorisieren. Bei diesem Term haben wir hier einen Subtrahenden. Überprüfen wir, ob er die beiden anderen Glieder auf die richtige Weise kombiniert. 64 ist 8 Quadrat. 'minus 16 x' ist 'minus 2' mal x mal 8. 8 steht hier und hier, und x hier und hier. Jetzt entspricht es genau der Form der zweiten binomischen Formel. Daher können wir mit ihr den Term nun umformen. Aber wie ist das bei diesem Term? Hier fehlt das Absolutglied, die 64, die wir benötigen, um den Term umzuformen. Was können wir tun? Einfach ergänzen dürfen wir die 64 nicht. Wenn wir aber 64 addieren und gleich wieder subtrahieren, ändern wir den Term nicht, denn zusammen ergeben diese beiden Zahlen Null. Dadurch können wir immerhin diesen Teil des Terms mit der zweiten binomischen Formel umformen. So ist es möglich, den Term teilweise zu faktorisieren. Wir erhalten das Quadrat einer Differenz, wobei hier 'minus 64' übrig bleibt. Um den Term mit Hilfe der binomischen Formel umzuformen, haben wir diesen Teil ergänzt. Er heißt quadratische Ergänzung. Die Null, die wir dabei ergänzen, hat viele Namen: "nahrhafte Null", "produktive Null" oder "Nullergänzung". Wie sieht es denn bei diesem Term aus? Auch hier fehlt das Absolutglied. Um die Nullergänzung herauszubekommen, betrachten wir das lineare Glied näher. Weil davor ein Pluszeichen steht, vergleichen es mit der allgemeinen Form der ersten binomischen Formel. Wir können den Term so umformen. Die Nullergänzung lautet hier also plus 6 Quadrat' 'minus 6 Quadrat'. Es ist genau die Hälfte des Vorfaktors im linearen Glied zum Quadrat. Deshalb heißt diese Ergänzung quadratische Ergänzung. Dann können wir diesen Teil des Terms mit Hilfe der ersten binomischen Formel umformen. Hier bleibt dann noch minus '6 Quadrat', also 'minus 36', übrig. Dieses Verfahren können wir auch allgemein formulieren: Haben wir einen quadratischen Term ohne Absolutglied gegeben, kann dieser Term nicht direkt mit der ersten oder zweiten binomischen Formel umgeformt werden. Wenn wir hier eine 2 rausziehen, sehen wir, dass dem Gesamtterm genau die Hälfte des Vorfaktors vom linearen Glied 'p' zum Quadrat fehlt. Um die quadratische Ergänzung auszuführen, müssen wir also genau das addieren und subtrahieren. Dann können wir diesen Teil des Terms durch Anwendung von einer der binomischen Formeln faktorisieren. Ob man die erste oder die zweite binomische Formel verwendet, ergibt sich dabei aus dem Vorzeichen des linearen Gliedes. Und Zeronimus? Willkommen in der Wirklichkeit! Nein, es ist nichts! Gar nichts!

4 Kommentare
4 Kommentare
  1. bin ich auch nicht. ist aber ein gut gemachtes video

    Von Elija, vor 3 Monaten
  2. Bin Ned mal in der13 sondern in der 9 lol aber trotzdem gut gemacht 😁👍

    Von Safa, vor 5 Monaten
  3. ganz in ordnung

    Von nils, vor mehr als einem Jahr
  4. 🥇

    Von Yiren Y., vor fast 4 Jahren

Quadratische Ergänzung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Ergänzung kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die Faktorisierung.

    Tipps

    In der unteren Zeile steht die zweite binomische Formel. Du erhältst sie, indem du das Quadrat $(a-b)^2$ ausmultiplizierst und gleiche Terme zusammenfasst.

    Ergänze in der oberen Zeile den Term so, dass er von $64$ subtrahiert $0$ ergibt.

    Den Term $x^2 + 4x$ kannst du durch $0 = 4-4$ ergänzen und dann teilweise faktorisieren:

    $x^2 + 4x = x^2 + 4x + 4 -4 = (x+2)^2 -4$

    Lösung

    Die quadratische Ergänzung ist eine Methode, um einen quadratischen und einen linearen Term mittels der ersten oder zweiten binomischen Formel in ein Quadrat und ein Absolutglied umzuformen. Die Normalform einer quadratischen Gleichung lautet:

    $x^2 + px + q=0$

    Du kannst den Term auf der linken Seite so erweitern, dass er zu einem Quadrat und einem Absolutglied umgeformt wird. Dazu addierst und subtrahierst du $\big(\frac{p}{2}\big)^2$:

    $x^2 + px + q= x^2 +2 \cdot \frac{p}{2} \cdot x + \big(\frac{p}{2}\big)^2 - \big(\frac{p}{2}\big)^2 +q$

    Nun kannst du auf der rechten Seite die Terme der binomischen Formel erkennen. Diese lautet:

    $(a+b)^2 = a^2 + 2 \cdot ab + b^2$

    Setzt du $a = x$ und $b=\frac{p}{2}$, findest du genau die ersten drei Terme der rechten Seite der Gleichung oben. Du kannst die Terme daher mit der binomischen Formel zusammenfassen:

    $x^2 +2 \cdot \frac{p}{2} \cdot x + \big(\frac{p}{2}\big)^2 - \big(\frac{p}{2}\big)^2 +q = \big(x+\frac{p}{2}\big)^2 -\big(\frac{p}{2}\big)^2 +q$

    In dem Bild in der Aufgabe steht eine solche quadratische Ergänzung mit $p=-16$ und $q=0$. Du erhältst also:

    $x^2 - 16x = x^2 - 2 \cdot 8x - 8^2 - 8^2 = x^2 - 2 \cdot 8x + 64-64 = (x-8)^2 - 64$

  • Bestimme die quadratische Ergänzung.

    Tipps

    Wähle als quadratische Ergänzung immer das Quadrat der Hälfte des Koeffizienten des linearen Terms.

    Beispiel: Betrachten wir den Term $x^2-12x$, so ist der lineare Term $-12x$ und der Koeffizient $-12$. Die Hälfte davon, also $-6$, nutzen wir dann, um die quadratische Ergänzung auszuführen:

    $x^2-12x+(-6)^2-(-6)^2$

    Hat der lineare Term ein negatives Vorzeichen, steht auch in der quadrierten Klammer ein negatives Vorzeichen.

    Den Term $x^2-14x$ kannst du durch das Quadrat von $7=\frac{14}{2}$ erweitern:

    $x^2 -14x = x^2-14x +7^2-7^2 = (x-7)^2 -7^2$

    Lösung

    Die quadratische Ergänzung dient dazu, einen quadratischen und linearen Term so umzuformen, dass sich ein quadratischer Term und ein Absolutglied ergeben. Ist der quadratische Term in der Form

    $x^2 + px$

    gegeben, kannst du mit $\big(\frac{p}{2}\big)^2$ erweitern. Dabei kann $p$ positiv oder negativ sein. Nach dem Erweitern kannst du die binomische Formel anwenden:

    $x^2 + px = x^2 + px + \big(\frac{p}{2}\big)^2 - \big(\frac{p}{2}\big)^2 = \big(x+\frac{p}{2}\big)^2 - \big(\frac{p}{2}\big)^2$

    So erhältst du aus dem gegebenen Term links einen Term rechts, der ein Quadrat und ein Absolutglied enthält.

    In der Aufgabe findest du folgende richtige quadratische Ergänzungen (mit Zwischenschritten):

    • $x^2+12x = x^2 + 2 \cdot (6x) +6^2 - 6^2 = (x+6)^2-36$
    • $x^2+px = x^2 + 2 \cdot \frac{p}{2} \cdot x + \frac{p^2}{4} -\frac{p^2}{4} =\big(x+ \frac{p}{2}\big)^2 -\big(\frac{p}{2}\big)^2$
    • $x^2-16x = x^2 - 2 \cdot 8x + 8^2 + 8^2 =(x-8)^2 -64$

    Die folgenden quadratischen Ergänzungen dagegen sind falsch:

    • $x^2-16x \neq (x-8)^2 +64$
    Denn das Vorzeichen der $64$ auf der rechten Seite ist falsch.
    • $x^2-px \neq (x- p)^2 -p^2$
    Denn für die quadratische Ergänzung muss man als Subtrahend in der quadrierten Klammer die Hälfte des Koeffizienten $p$ des linearen Terms wählen. Entsprechend ist der zu ergänzende Term das Quadrat der Hälfte des Koeffizienten $p$ des linearen Terms.
    • $x^2+12x \neq (x+12)^2-36$
    Hier ist fast derselbe Fehler passiert: Der Summand in der quadrierten Klammer muss die Hälfte des Koeffizienten des linearen Terms sein, also hier $6$ statt $12$. Der zu ergänzende Term ist dann das Quadrat dieser Hälfte, also $6^2 = 36$. Dieser Term stimmt in der vorliegenden Ergänzung, aber er passt nicht zu dem Ausdruck in der Klammer und ergibt daher nicht die linke Seite der Gleichung.
  • Erschließe die Gleichungen mittels quadratischer Ergänzung.

    Tipps

    Die passende Umformung erkennst du an dem linearen Term.

    Ist der Term $x^2 + px$ gegeben, so kannst du mit $\big(\frac{p}{2}\big)^2$ erweitern und erhältst:

    $x^2 + px = \big(x+\frac{p}{2}\big)^2 - \big(\frac{p}{2}\big)^2$

    Für den Term $x^2 - 5x$ lautet die quadratische Ergänzung und Umformung wie folgt:

    $x^2 + 5x = x^2 + 2\cdot 2,5\cdot x + (2,5)^2 - (2,5) ^2 = (x-2,5)^2 - (2,5)^2$

    Lösung

    Die quadratische Ergänzung dient dazu, Terme ganz oder teilweise zu faktorisieren. Um die passende quadratische Ergänzung zu finden, kannst du dich an dem linearen Glied orientieren: Lautet der umzuformende Term $x^2 + px$, kannst du für die quadratische Ergänzung das Quadrat der Hälfte des Koeffizienten des linearen Terms verwenden, also $\big(\frac{p}{2}\big)^2$. Dann erhältst du mit der binomischen Formel:

    $x^2 + px = x^2 + 2 \cdot \frac{p}{2}x + \big(\frac{p}{2}\big)^2 - \big(\frac{p}{2}\big)^2 = \big(x-\frac{p}{2}\big)^2 -\big(\frac{p}{2}\big)^2$

    Diese Formel für die quadratische Ergänzung passt immer. Du musst aber das Vorzeichen von $p$ beachten.

    In der Aufgabe findest du folgende Umformungen (mit Zwischenschritten):

    • $x^2 -4x = x^2 - 4x + 2^2 - 2^2 = (x-2)^2 -4$
    • $x^2+2x = x^2 +2x +1^2 -1^2 = (x+1)^2-1$
    • $x^2 + 3x = x^2 +2 \cdot \frac{3}{2}x + \big(\frac{3}{2}\big)^2 - \big(\frac{3}{2}\big)^2 = \big(x+\frac{3}{2}\big) - \frac{9}{4}$
    • $x^2 - 6x = x^2 -6x + 3^2 - 3^2 = \big(x-\frac{6}{2}\big)^2 - 9$
    • $x^2-12x = x^2 -2 \cdot 6x +6^2 -6^2= (x-6)^2 - 36$
  • Bestimme die quadratische Ergänzung.

    Tipps

    Der zu ergänzende Term ist das Quadrat der Hälfte des Koeffizienten des linearen Terms.

    Schreibe die Terme der quadratischen Ergänzung als gekürzte Brüche.

    Lösung

    Die quadratische Ergänzung dient meistens der Umformung und Faktorisierung quadratischer und linearer Terme. Ziel der Faktorisierung ist es, eine Summe aus einem quadratischen Term, einem linearen Term und einem Absolutglied in die Summe einer quadrierten Klammer und eines Absolutgliedes umzuformen. Die passende quadratische Ergänzung kannst du immer an dem linearen Term ablesen. Die Hälfte des Koeffizienten des linearen Terms steht am Ende in der zu quadrierenden Klammer. Daher musst du mit dem Quadrat dieser Hälfte erweitern. Du erhältst dann folgende quadratische Ergänzungen und Umformungen:

    $\begin{array}{lllll} x^2 -14x &=& x^2 -14x +7^2 -7^2 &=& (x-7)^2-7^2 \\ \\ x^2 - 5x &=& x^2 -5x + \Big(\frac{5}{2}\Big)^2 - \Big(\frac{5}{2}\Big)^2 &=& \Big(x-\frac{5}{2}\Big)^2 - \Big(\frac{5}{2}\Big)^2 \\ \\ x^2 - 5x + 2 &=& x^2 -5x + \frac{5}{2}^2 - \frac{5}{2}^2 +2 &=& \Big(x-\frac{5}{2}\Big)^2 - \frac{17}{4} \end{array}$

  • Berechne das Produkt.

    Tipps

    Das Quadrat einer Zahl oder eines Terms ist die Zahl oder der Term mit sich selbst multipliziert.

    Die erste binomische Formel lautet:

    $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

    Das Absolutglied enthält kein $x$.

    Lösung

    Die binomischen Formeln erhältst du durch Ausmultiplizieren der Produkte von Klammern. Die zweite binomische Formel lautet:

    $(a-b)^2 = (a-b) \cdot (a-b) = a \cdot a + a\cdot (-b) + (-b) \cdot a + (-b) \cdot (-b) = a^2 - 2ab + b^2$

    In dieser Aufgabe ist $a=x$ und $b=8$. Du erhältst also:

    $(x-8)^2 = (x-8) \cdot (x-8) = x^2 - 2\cdot 8\cdot x + 8^2 = x^2 - 16x + 64$

    Hierbei ist $x^2$ das quadratische Glied, $-16x$ das lineare Glied und $64$ das Absolutglied.

  • Wende die quadratische Ergänzung an.

    Tipps

    Die quadratische Ergänzung kannst du als Addieren von $0$ zu einem Term oder als Addieren des gleichen Terms auf beiden Seiten einer Gleichung verwenden.

    Lösung

    Die quadratische Ergänzung wird hier verwendet, um die quadratische Gleichung $3 x^2 + 9x - 12 =0$ zu lösen. Dazu wird die Gleichung zuerst auf die Normalform gebracht. Dies geschieht durch Division beider Seiten durch den Koeffizienten von $x^2$, also durch $3$.

    Die äquivalente Gleichung $x^2 +3x -4=0$ kann man nun mittels quadratischer Ergänzung weiter umformen. Zuerst wird das Absolutglied durch Addition von $4$ auf die andere Seite der Gleichung gebracht. Der zu ergänzende Term der quadratischen Ergänzung orientiert sich an dem Koeffizienten des linearen Terms und lautet $\big(\frac{3}{2}\big)^2$. Da es sich um eine Gleichung handelt, kann anstelle der Addition und Subtraktion von $\big(\frac{3}{2}\big)^2$ auf der linken Seite auch der Term $\big(\frac{3}{2}\big)^2$ auf beiden Seiten addiert werden.

    Mit der binomischen Formel kann jetzt die linke Seite der Gleichung zu dem Quadrat einer Klammer zusammengefasst werden. Zieht man aus der linken Seite die Wurzel, so ergibt sich eine Lösung der ursprünglichen quadratischen Gleichung.

    Hier ist die Rechnung zusammengefasst:

    $\begin{array}{lllll} & 3 x^2 + 9x - 12 &=& 0 & | :3 \\ \Leftrightarrow & x^2 + 3x - 4 &=& 0 & | +4 \\ \Leftrightarrow & x^2 + 3x &=& 4 & | \ \text{quadratische Ergänzung} \\ \Leftrightarrow & x^2 + 3x + \big(\frac{3}{2}\big)^2 &=& 4 + \big(\frac{3}{2}\big)^2 & | \ \text{binomische Formel} \\ \Leftrightarrow & \big(x+\frac{3}{2}\big)^2 &=& \frac{25}{4} & | \ \text{Wurzel ziehen}\\ \Leftrightarrow & \big(x+\frac{3}{2}\big) &=& \pm\frac{5}{2} & \end{array}$