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Lösungsverhalten quadratischer Gleichungen – die Diskriminante

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sofatutor Team
Lösungsverhalten quadratischer Gleichungen – die Diskriminante
lernst du in der Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Lösungsverhalten quadratischer Gleichungen – die Diskriminante Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Lerntext Lösungsverhalten quadratischer Gleichungen – die Diskriminante kannst du es wiederholen und üben.
  • Welche Aussagen zum Lösungsverhalten quadratischer Gleichungen sind richtig?

    Tipps

    Zwei Aussagen sind richtig.

    Lösung

    Bei der Diskriminante handelt es sich um den Term unter der Wurzel in der $pq$-Formel, also um den Term $(\frac{p}{2})^{2}~–~q$.

    Die Anzahl der Lösungen einer Gleichung ist abhängig davon, ob die Diskriminante größer, kleiner oder gleich $0$ ist.

  • Welche Aussagen gehören zusammen?

    Tipps

    Es geht darum, ob die Diskriminante kleiner, gleich oder größer als 0 ist.

    Lösung

    $(\frac{p}{2})^{2}~–~q > 0 \Rightarrow$ Die Gleichung hat zwei Lösungen.

    $(\frac{p}{2})^{2}~–~q = 0 \Rightarrow$ Die Gleichung hat eine Lösung.

    $(\frac{p}{2})^{2}~–~q < 0 \Rightarrow$ Die Gleichung hat keine Lösungen.

  • Wie viele Lösungen hat die Gleichung?

    Tipps

    $(\frac{p}{2})^{2}~–~q > 0 \Rightarrow$ Die Gleichung hat zwei Lösungen.

    $(\frac{p}{2})^{2}~–~q = 0 \Rightarrow$ Die Gleichung hat eine Lösung.

    $(\frac{p}{2})^{2}~–~q < 0 \Rightarrow$ Die Gleichung hat keine Lösungen.

    Lösung

    Wir betrachten die quadratische Gleichung $0 = x^{2} + 4x~–~5$.

    Damit ist $p = 4$ und $q = –5$.

    Die Werte werden in die $pq$-Formel eingesetzt:

    $x_{1{,}2} = –\frac{4}{2} \pm \sqrt{(\frac{4}{2})^{2} + 5}$

    Die Diskriminante ist der Term $(\frac{4}{2})^{2} + 5$.

    Dieser Term ist größer als $0$.

    <p>$\begin{array}{rcccl} x_{1{,}2} & = & –\frac{4}{2} & \pm & \sqrt{(\frac{4}{2})^{2} + 5} \\ & = & –2 & \pm & \sqrt{2^{2} + 5} \\ & = & –2 \pm & \sqrt{9} \\ & = & –2 \pm & 3 \\ \end{array}$</p>

    $\Rightarrow x_1 = –2 + 3 = 1~\text{und}~x_2 = –2~–~3 = –5$

    Diese Gleichung hat also zwei Lösungen.

  • Wie viele Lösungen haben die quadratischen Gleichungen?

    Tipps

    $(\frac{p}{2})^{2}~–~q > 0 \Rightarrow$ Die Gleichung hat zwei Lösungen.

    $(\frac{p}{2})^{2}~–~q = 0 \Rightarrow$ Die Gleichung hat eine Lösung.

    $(\frac{p}{2})^{2}~–~q < 0 \Rightarrow$ Die Gleichung hat keine Lösungen.

    Lösung

    $2$ Lösungen:

    $x_{1{,}2} = –\frac{4}{2} \pm \sqrt{(\frac{4}{2})^{2} + 5}$

    $x_{1{,}2} = –\frac{9}{2} \pm \sqrt{(\frac{9}{2})^{2} + 14}$

    $1$ Lösung:

    $x_{1{,}2} = –\frac{2}{2} \pm \sqrt{(\frac{2}{2})^{2}~–~1}$

    $x_{1{,}2} = –\frac{4}{2} \pm \sqrt{(\frac{4}{2})^{2}~–~4}$

    $0$ Lösungen:

    $x_{1{,}2} = –\frac{6}{2} \pm \sqrt{(\frac{6}{2})^{2}~–~22}$

    $x_{1{,}2} = –\frac{4}{2} \pm \sqrt{(\frac{4}{2})^{2}~–~5}$

  • Finde die Fehler in der Rechnung.

    Tipps

    Vier Stellen müssen markiert werden.

    Lösung

    Wir betrachten die quadratische Gleichung $0 = x^{2} + 6x + 21$.

    Damit ist $p = 6$ und $q = 21$.

    Die Werte werden in die $pq$-Formel eingesetzt:

    $x_{1{,}2} = –\frac{6}{2} \pm \sqrt{(\frac{6}{2})^{2}~–~21}$

    Die Diskriminante ist damit der Term $(\frac{6}{2})^{2}~–~21 = 9~–~21$.

    Dieser Term ist kleiner als $0$.

    Wir lösen die obige Gleichung.

    <p>$\begin{array}{rcccl} x_{1{,}2} & = & –\frac{6}{2} & \pm & \sqrt{(\frac{6}{2})^{2}~–~21} \\ & = & –3 & \pm & \sqrt{9~–~21} \\ & = & –3 \pm & \sqrt{–12} \\ \end{array}$</p>

    Die Wurzel $\sqrt{–12}$ können wir nicht ziehen, da es innerhalb der reellen Zahlen nicht möglich ist, die Wurzel aus negativen Zahlen zu ziehen.

    Diese Gleichung hat also keine Lösungen.

  • Für welche Parameter von $a$ hat die Gleichung eine Lösung?

    Tipps

    Parameter sind Variablen, die mit anderen Variablen kombiniert auftreten. Dabei sind Parameter im Gegensatz zu den anderen Variablen für den jeweilig betrachteten Fall festgelegt. Ein einfaches Beispiel ist die allgemeine lineare Funktionsgleichung $y = m \cdot x + b$, in der $m$ und $b$ Parameter und $x$ und $y$ Variablen sind.

    Lösung

    Wir betrachten die quadratische Gleichung $0 = x^{2}~–~2ax + 4a + 5$.

    Um bestimmen zu können, für welche Werte des Parameters $a$ die Gleichung eine Lösung besitzt, schauen wir uns die Diskriminante der Gleichung an.

    Dazu stellen wir die $pq$-Formel mit $p = –2a$ und $q = 4a + 5$ auf.

    $x_{1{,}2} = –\frac{–2a}{2} \pm \sqrt{(\frac{–2a}{2})^{2}~–~(4a + 5)}$

    Wir vereinfachen die Diskriminante:

    $(\frac{–2a}{2})^{2}~–~(4a + 5) = (–a)^{2}~–~4a~–~5 = a^{2}~–~4a~–~5$

    Diese Diskriminante muss für eine Lösung $= 0$ sein.

    Wir wollen also die Gleichung $0 = a^{2}~–~4a~–~5$ lösen, was wiederum eine quadratische Gleichung ist, die wir mit der $pq$-Formel lösen können:

    <p>$\begin{array}{rcccl} a_{1{,}2} & = & –\frac{–4}{2} & \pm & \sqrt{(\frac{–4}{2})^{2} + 5} \\ & = & -2 & \pm & \sqrt{4 + 5} \\ & = & -2 \pm & \sqrt{9} \\ & = & -2 \pm & 3 \end{array}$</p> $\Rightarrow a_1 = -2+3 = 1 \text{ und } a_2 = -2-3 = –5$

    Also wird die Diskriminante unserer quadratischen Gleichung für $a_1 = 1$ und $a_2 = –5$ zu $0$.

    Das bedeutet auch, dass für diese Werte die quadratische Gleichung $0 = x^{2} –2ax + 4a + 5$ nur eine Lösung hat.