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Mitternachtsformel und allgemeine Form einer quadratischen Gleichung

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Team Digital
Mitternachtsformel und allgemeine Form einer quadratischen Gleichung
lernst du in der Unterstufe 3. Klasse - 4. Klasse - Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Beschreibung Mitternachtsformel und allgemeine Form einer quadratischen Gleichung

Inhalt

Einführung: Mitternachtsformel

Die Mitternachtsformel oder auch abc-Formel ist eine Lösungsformel für quadratische Gleichungen der folgenden Form:

$a~x^2+b~x+c=0$ mit $a\neq 0$

Eine weitere Lösungsformel für quadratische Gleichungen ist die pq-Formel. Diese ist jedoch nur anwendbar auf quadratische Gleichungen in Normalform:

$x^2+p~x+q=0$

Die Mitternachtsformel ist dagegen auch anwendbar, wenn der Faktor vor dem quadratischen Term $x^2$ ungleich $1$ ist.

Sie lautet $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

$a$ ist der Faktor vor dem quadratischen Glied.

$b$ ist der Faktor vor dem linearen Glied.

$c$ ist das Absolutglied, das in der quadratischen Gleichung ohne Variable steht.

1. Beispiel

Die quadratische Gleichung $2x^2+10x+8=0$ soll gelöst werden. Hier ist also $a=2$, $b=10$ und $c=8$. Diese Werte können in die abc-Formel eingesetzt werden:

$x_{1,2}=\frac{-10\pm\sqrt{10^2-4\cdot 2\cdot 8}}{2\cdot 2}=\frac{-10\pm\sqrt{100-64}}{4}=\frac{-10\pm6}{4}$

Damit sind:

$x_1=\frac{-10+6}{4}=-1$

$x_2=\frac{-10-6}{4}=-4$

Mitternachtsformel Herleitung

Gestartet wird mit der quadratischen Gleichung:

$a~x^2+b~x+c=0$

Diese soll nach $x$ aufgelöst werden. Zunächst wird $c$ subtrahiert:

$a~x^2+b~x=-c$

Nun werden beide Seiten mit $4a$ multipliziert:

$4a^2~x^2+4ab~x=-4ac$

Schließlich wird $b^2$ auf beiden Seiten addiert:

$4a^2~x^2+4ab~x+b^2=b^2-4ac$.

Auf der rechten Seite ist die 1. binomische Formel erkennbar:

$(2ax+b)^2=b^2-4ac$

Die Wurzel wird gezogen. So erhält man:

$2ax+b=\pm\sqrt{b^2-4ac}$

Zuletzt wird einmal $b$ subtrahiert und dann wird durch $2a$ dividiert. Die Gleichung wurde nach $x$ aufgelöst. Fertig ist die Mitternachtsformel:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Hier folgt noch eine knappe Übersicht über die Rechenschritte:

Mitternachtsformel Herleitung Auflösen nach x quadratische Gleichung

Lösbarkeitsbetrachtungen

Da die Wurzel nur definiert ist, wenn der Radikand (der Term unter der Wurzel) positiv oder gleich $0$ ist, ergeben sie die folgenden Fälle:

1. Fall: $b^2-4ac\lt 0$: Die Wurzel kann nicht gezogen werden. Das bedeutet, es gibt keine Lösung der quadratischen Gleichung.

2. Fall: $b^2-4ac= 0$: Hierbei ergibt sich durch Ziehen der Wurzel ebenfalls $0$. Das bedeutet, es gibt eine Lösung der quadratischen Gleichung.

3. Fall: $b^2-4ac\gt 0$: In diesem Fall gibt es zwei Lösungen der quadratischen Gleichung.

abc-Formel Aufgaben

Um die Lösungen von quadratischen Gleichungen zu erhalten, kann man diese mit der Mitternachtsformel berechnen.

2. Beispiel

Die quadratische Gleichung $-2x^2 +6x+8=0$ soll gelöst werden:

1. Schritt: Herausfinden von $a$, $b$ und $c$. Hier sind $a=-2$, $b=6$ und $c=8$.

2. Schritt: Nun kann man die abc-Formel anwenden. Einsetzen dieser Werte für $a$, $b$ und $c$ in die Mitternachtsformel:

$x_{1,2}=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4\cdot (-2)\cdot 8}}{2\cdot (-2)}=\frac{-6\pm\sqrt{36+64}}{-4}=\frac{-6\pm10}{-4}$

3. Schritt: Schließlich können die Lösungen angegeben werden. Diese sind $x_1=\frac{4}{-4}=-1$ und $x_2=\frac{-16}{-4}=4$.

Vergleich Mitternachtsformel pq-Formel

Formel Mitternachtsformel pq-Formel
anwendbar auf quadratische Gleichungen in Allgemeiner Form:
ax²+bx+c=0
quadratische Gleichungen in Normalform:
x²+px+q=0

Transkript Mitternachtsformel und allgemeine Form einer quadratischen Gleichung

Nachts auf den Friedhof gehen, was hatten sie sich dabei denn gedacht?! Tolle Mutprobe Mitternachtsformel. Die Mitternachtsformel, auch ABC-Formel genannt, kann man verwenden, um die Lösungen einer quadratischen Gleichung zu finden. Schauen wir uns dazu dieses Beispiel an. Um die Mitternachtsformel anzuwenden, müssen wir nur wissen, welche Werte wir für a, b und c verwenden. Vergleichen wir die Gleichung mit der allgemeinen Form, so sehen wir, dass a=2, b=10 und c=8 ist. Diese Werte können wir nun in die Mitternachtsformel einsetzen. Wir erhalten also: Minus 10 (plus minus) wurzel aus (10 quadrat minus 4 mal 2 mal 8) geteilt durch 2 mal 2. Rechnen wir den Term unter der Wurzel aus, so erhalten wir 36. Die Wurzel aus 36 ist 6. Da wir HIER ein Plus Minus Zeichen haben, erhalten wir zwei Lösungen nämlich x1 ist gleich -1 und x2 ist gleich -4. Dies können wir überprüfen, indem wir die Werte in die Ausgangsgleichung einsetzen. Rechnen wir dies aus so erhalten wir 0=0 als Lösung bei beiden. Es handelt sich also tatsächlich um Lösungen der quadratischen Gleichung. Wie sieht es denn bei dieser Gleichung aus? Vergleichen wir die Gleichung wieder mit der allgemeinen Form, so sehen wir welche Werte wir für a, b und c verwenden. Hier ist es wichtig das Vorzeichen mitzunehmen. Dies können wir nun in die Mitternachtsformel einsetzen. Dies können wir weiter zusammenfassen. HIER haben wir dann ein Plus, da minus mal minus plus ergibt. Unter der Wurzel haben wir dann 100 und die Wurzel aus 100 ist 10. Als Lösungen erhalten wir dann x1 ist gleich -1 und x2 ist gleich 4. Auch hier können wir wieder die Probe durchführen und sehen, dass die beiden Werte tatsächlich eine Lösung sind. Wir haben zuvor zwei Beispiele gesehen, bei denen eine positive Zahl unter der Wurzel stand. Ist dies der Fall, so gibt es immer zwei Lösungen. Ist unter der Wurzel dagegen eine negative Zahl, so hat die quadratische Gleichung keine Lösung. Ergibt sich unter der Wurzel eine 0, so hat die quadratische Gleichung eine Lösung. Aber warum funktioniert das mit der Mitternachtsformel eigentlich? Betrachten wir einmal die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung. Wir wollen nun die Nullstelle herausfinden, müssen dazu also nach x auflösen. Dazu subtrahieren wir zunächst c und haben so die Glieder mit x auf der einen Seite und die ohne x auf der anderen Seite. Nun wollen wir die Gleichung so verändern, dass wir eine der binomischen Formeln anwenden können. Dazu multiplizieren wir zunächst mit 4a und addieren b quadrat auf beiden Seiten. Erkennst du nun die erste binomische Formel? Formen wir dies so um, so können wir sie noch besser erkennen. Nun können wir die binomische Formel anwenden. Jetzt wollen wir das Quadrat hier eliminieren dazu ziehen wir die Wurzel auf beiden Seiten. Vor dieser Wurzel muss jetzt das plus Minus Zeichen stehen. Nun müssen wir nur noch nach x auflösen und subtrahieren dafür zunächst b. Dann teilen wir durch 2a. Dies ist genau die Mitternachtsformel, die wir zuvor verwendet haben. Und damit wir nicht bei jeder quadratischen Gleichung so viele Umformungsschritte machen müssen, können wir uns die Mitternachtsformel einfach merken. Fassen wir das noch einmal zusammen. Eine quadratische Gleichung kann mithilfe der Mitternachtsformel gelöst werden. Dazu müssen wir zunächst herausfinden, welche Werte für a, b und c verwendet werden. Diese können wir dann in die Mitternachtsformel einsetzen. Sie lautet x ist gleich -b plusminus wurzel aus b quadrat minus 4ac geteilt durch 2a. Merke sie dir und du kannst dir das Lösen quadratischer Gleichungen viel einfacher machen. Durch einsetzen der Ergebnisse in die Ausgansgleichung, können wir die Lösungen überprüfen. Hat man dies alles verstanden, so ist auch die Mutprobe nicht mehr so schlimm...

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Richtig gutes Video. Ich habe es nirgends verstanden doch jetzt verstehe ich es. (Das sie die Herleitung erklärt habt fand ich toll.

    Von Mustafayev, vor 10 Monaten

Mitternachtsformel und allgemeine Form einer quadratischen Gleichung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Mitternachtsformel und allgemeine Form einer quadratischen Gleichung kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die Lösung der quadratischen Gleichung mithilfe der Mitternachtsformel.

    Tipps

    $a$ ist der Koeffizient des quadratischen Terms.

    Unter der Wurzel steht in der Mitternachtsformel das Quadrat von $b$ mit positivem Vorzeichen.

    Für die Gleichung $x^2+x-2=0$ lautet die Mitternachtsformel:

    $x_{1,2} = \frac{-1\pm \sqrt{1+8}}{2}$

    Lösung

    Die Mitternachtsformel ist die Lösungsformel für die Lösungen einer quadratischen Gleichung in allgemeiner Form:

    $ax^2+bx+c=0$

    Mit der Formel kannst du jede Lösung der quadratischen Gleichung direkt aus den Koeffizienten der Gleichung berechnen:

    $x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2+4ac}}{2a}$

    In der Aufgabe ist die folgende Gleichung gegeben:

    $2x^2+10x+8=0$

    Der Vergleich mit der allgemeinen Form oben zeigt dir, dass die Koeffizienten $a=2$ und $b=10$ und $c=8$ sind. Diese Werte kannst du in die Mitternachtsformel einsetzen:

    $x_{1,2} = \frac{-10\pm\sqrt{10^2-4\cdot 2 \cdot 8}}{2 \cdot 2} = \frac{-10\pm \sqrt{100-64}}{4} = \frac{-10\pm 6}{4}$

    Die beiden Lösungen $x_1$ und $x_2$ erhältst du, indem du einmal das Vorzeichen $+$ auf dem Bruchstrich auswählst und einmal das Vorzeichen $-$. Die beiden Lösungen sind also:

    $x_1= \frac{-10+6}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

    und

    $x_2 = \frac{-10-6}{4} = \frac{-16}{4} = -4$

  • Gib die Herleitung der Mitternachtsformel wieder.

    Tipps

    Bringe zuerst genau die Terme, die die Variable $x$ enthalten, auf eine Seite der Gleichung.

    Multipliziere die Gleichung im zweiten Umformungsschritt mit $4a$.

    Bevor du die binomische Formel anwenden kannst, musst du die Terme mit $b^2$ quadratisch ergänzen.

    Bevor du die Wurzel ziehst, wende die binomische Formel an.

    Lösung

    Einer quadratischen Gleichung in allgemeiner Form

    $ax^2+bx+c=0$

    kannst du mit der Mitternachtsformel ihre Lösungen zuordnen. Du erhältst die Mitternachtsformel aus der quadratischen Gleichung durch geeignete Umformungen und die Anwendung der binomischen Formel. Hier ist die korrekte Reihenfolge der Umformungen mit Benennung der einzelnen Schritte:

    1. Bringe in der Gleichung $ax^2+bx+c=0$ durch Addition von $-c$ alle variablen Terme (also alle $x$-Terme) auf die linke Seite und alle konstanten Terme auf die rechte Seite: $ax^2+bx=-c$.
    2. Multipliziere mit $4a$ und erhalte $4a^2x^2 + 4abx = -4ac$.
    3. Führe die quadratische Ergänzung aus, indem du beiderseits $b^2$ addierst. So erhältst du die Gleichung $4a^2x^2 + 4abx +b^2=b^2 -4ac$.
    4. Forme die linke Seite so um, dass die Terme denen der binomischen Formel entsprechen: $(2ax)^2 + 2 \cdot ax \cdot b + b^2 = b^2-4ac$.
    5. Ersetze die Terme der linken Seite durch das Quadrat einer Summe: $(2ax+b)^2 = b^2-4ac$.
    6. Ziehe die positive und negative Wurzel der rechten Seite: $2ax+b = \pm\sqrt{b^2-4ac}$.
    7. Bringe den konstanten Term $b$ durch Subtraktion auf die rechte Seite: $2ax =-b \pm\sqrt{b^2-4ac}$.
    8. Löse nach $x$ auf, indem du durch $2a$ dividierst: $x=\frac{-b \pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.
  • Gib an, wie die Mitternachtsformel lauten muss.

    Tipps

    Bestimme die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ und setze sie in die Mitternachtsformel ein.

    Im Nenner der Mitternachtsformel steht $2a$.

    Für die Gleichung $2x^2 -2x =0$ lautet die Mitternachtsformel:

    $x_{1,2} = \frac{2\pm \sqrt{4-0}}{4}$

    Lösung

    Bei der allgemeinen Form einer quadratischen Gleichung

    $ax^2+bx+c=0$

    lautet die Mitternachtsformel:

    $x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

    Setzt du die Koeffizienten der gegebenen Gleichugen in die Mitternachtsformel ein, so findest du zu jeder Gleichung die passende Lösungsformel:

    Beispiel 1

    Bei der Gleichung

    $2x^2+8x-6$

    sind die Koeffizienten $a=2$ und $b=8$ und $c=-6$. Die Mitternachtsformel lautet daher:

    $x_{1,2}=\frac{-8\pm\sqrt{64+48}}{4}$

    Beispiel 2

    Für die Gleichung

    $2x^2-8x+6$

    erhältst du die Lösungsformel:

    $x_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{64-48}}{4}$

    Hier sind nämlich $a=2$ und $b=-8$ sowie $c=6$.

    Beispiel 3

    Bei der Gleichung

    $-2x^2-6x+8=0$

    mit $a=-2$, $b=-6$ und $c=8$ erhältst du die Mitternachtsformel:

    $x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{36+64}}{-4}$

    Beispiel 4

    Für die Gleichung

    $8x^2-2x+2=0$

    findest du die Koeffizienten $a=8$ und $b=-2$ und $c=2$ und die Mitternachtsformel:

    $x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{4-64}}{16}$

    Beispiel 5

    Die Gleichung

    $-2x^2+6x-6=0$

    schließlich hat die Koeffizienten $a=-2$ sowie $b=6$ und $c=-6$. Die Mitternachtsformel lautet also:

    $x_{1,2}=\frac{-6\pm\sqrt{36-48}}{-4}$

  • Bestimme die Lösungen mithilfe der Mitternachtsformel.

    Tipps

    Eine quadratische Gleichung hat keine Lösung, wenn unter der Wurzel in der Mitternachtsformel eine negative Zahl auftaucht.

    Überprüfe die Zuordnung der Lösungen zu den Gleichungen durch eine Probe.

    Lösung

    Die Mitternachtsformel ist eine Formel für alle Lösungen einer quadratischen Gleichung in allgemeiner Form. Eine quadratische Gleichung hat in Abhängigkeit ihrer Koeffizienten genau zwei, nur eine oder gar keine Lösungen. Welcher Fall vorliegt, kannst du ebenfalls an der Mitternachtsformel ablesen: Die quadratische Gleichung hat genau dann keine Lösung, wenn der Term unter der Wurzel in der Mitternachtsformel negativ ist. Sie hat nur eine Lösung, wenn der Term unter der Wurzel $0$ ist. In allen anderen Fällen sind die beiden Werte $x_1$ und $x_2$ aus der Mitternachtsformel verschieden und sind genau die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung.

    Hier erhältst du folgende Zuordnung:

    $2x^2-3x+1$:

    • Die Mitternachtsformel lautet: $x_{1,2} = \frac{3\pm\sqrt{3^2-8}}{4}$. Die Lösungen sind also:
    • $x_1 = \frac{3+1}{4}=1$
    • $x_2= \frac{3-1}{4} = 0,5$
    $-x^2-6x+16=0$:
    • Hier findest du $x_{1,2} = \frac{6\pm\sqrt{6^2+64}}{-2}$, also:
    • $x_1=-8$
    • $x_2=2$
    $2x^+5x+2$:
    • Die Mitternachtsformel lautet: $x_{1,2} = \frac{-5\pm\sqrt{25-16}}{4}$. Die Lösungen sind dann:
    • $x_1=-0,5$
    • $x_2=-2$
    $-3x^2+3x-6$:
    • Hier lautet die Mitternachtsformel: $\frac{-3\pm{(-3)^2 - 4\cdot (-3) \cdot (-6)}}{2 \cdot (-3)} = \frac{-3\pm\sqrt{9-72}}{-6} = \frac{-3\pm\sqrt{-63}}{-6}$. Da der Term unter der Wurzel negativ ist, hat die Gleichung keine Lösung.

  • Zeige auf, dass die Werte $x_1$ und $x_2$ die quadratische Gleichung lösen.

    Tipps

    Setze überall, wo in der ersten Gleichung $x$ steht, den Wert $-1$ ein.

    Beachte die Regel:

    Minus mal Minus ergibt Plus.

    Der Wert $x_1=2$ löst die Gleichung:

    $-3x^2+3x+6=0$

    Denn durch Einsetzen erhältst du:

    $-3 \cdot 2^2+3 \cdot 2+6= -3 \cdot 4 + 6 +6 = -12+6+6=0$

    Lösung

    Mit einer Probe zeigst du, dass die Lösungen $x_1$ und $x_2$, die du z. B. mithilfe der Mitternachtsformel ausgerechnet hast, wirklich die quadratische Gleichung lösen. Um die Probe durchzuführen, setzt du an jeder Stelle, an der die Variable $x$ in der Gleichung steht, einen der beiden Werte ein, und zwar an jeder Stelle denselben. Wenn du durch Ausrechnen eine gültige Gleichung erhältst, hast du gezeigt, dass dieser Wert die quadratische Gleichung löst. Dasselbe wiederholst du dann für den anderen Wert.

    Hier sind die beiden konkreten Rechnungen:

    Für den Wert $x_1=-1$ erhältst du:

    $2 \cdot (-1)^2 + 10 \cdot (-1) + 8 = 2+( -10)+8 =0$

    Und für den Wert $x_2=-4$ sieht die Rechnung so aus:

    $2 \cdot (-4)^2 + 10 \cdot (-4) +8 = 32+(-40)+8 = 0$

  • Analysiere die Aussagen über die Mitternachtsformel.

    Tipps

    Steht in der Mitternachtsformel ein negativer Term unter der Wurzel, so hat die Gleichung keine Lösung.

    Lösung

    Bei der allgemeinen Form einer quadratischen Gleichung

    $ax^2+bx+c=0$

    lautet die Mitternachtsformel:

    $x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Hat die quadratische Gleichung $ax^2+bx+c=0$ mehr als eine Lösung, so ist $b^2 \neq 4ac$.“ Denn nur wenn $b^2 \neq 4ac$, fällt der $\pm$-Term in der Mitternachtsformel nicht weg.
    • „Ist das Absolutglied $0$, so hat die quadratische Gleichung immer eine Lösung.“ In diesem Fall ist nämlich $x=0$ eine Lösung. Das siehst du entweder durch Einsetzen von $x=0$ in die Gleichung $ax^2+bx=0$ oder durch Einsetzen von $c=0$ in die Mitternachtsformel.
    • „Ersetzt du bei einer quadratischen Gleichung jeden Koeffizienten durch seine Gegenzahl, so hat die neue Gleichung dieselben Lösungen wie die alte.“ Denn du kannst in diesem Fall $-1$ ausklammern: $-ax^2-bx-c = (-1) \cdot (ax^2+bx+c)$. Da $(-1) \neq 0$ ist, gilt $-ax^2-bx-c=0$ genau dann, wenn $ax^2+bx+c=0$.
    • „Sind alle Koeffizienten einer lösbaren quadratischen Gleichung negativ, so ist auch eine Lösung negativ.“ Sind die Koeffizienten $a,b,c$ negativ, so kannst du jeden Koeffizienten durch seine Gegenzahl ersetzen und erhältst eine äquivalente Gleichung mit positiven Koeffizienten. Bei einer solchen Gleichung ist mindestens eine der Lösungen negativ.
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Die Mitternachtsformel gibt für jede quadratische Gleichung zwei Lösungen an.“ Nicht jede quadratische Gleichung hat Lösungen. Die Gleichung $x^2+1=0$ ist beispielsweise nicht lösbar.
    • „Die Mitternachtsformel ist nur anwendbar, wenn keiner der Koeffizienten $a,b,c$ Null ist.“ Um die Mitternachtsformel anwenden zu können, muss $a\neq 0$ sein, sonst ergibt die $0$ im Nenner einen nicht definierten Term. Die Koeffizienten $b$ und $c$ dürfen aber $0$ sein. Ist $a=0$, so handelt es sich auch gar nicht um eine quadratische, sondern um eine lineare Gleichung.
    • „Die quadratische Gleichung $ax^2+bx+c=0$ hat genau dann weniger als zwei Lösungen, wenn $b^2 = 4ac$.“ In diesem Fall hat die quadratische Gleichung nur eine Lösung. Ist aber $b^2 < 4ac$, so hat die quadratische Gleichung keine Lösungen.
    • „Sind alle Koeffizienten einer lösbaren quadratischen Gleichung positiv, so ist auch eine Lösung positiv.“ Die Gleichung $x^2+3x+2=0$ hat die Lösungen $x_1=-1$ und $x_2=-2$.
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