Aufbau von Dreiecken

Aufbau von Dreiecken Übung

• Beschreibe den Aufbau eines Dreiecks.

  Tipps

  Beispiel:
  Für das Dreieck $ABC$ gilt:
  $\alpha = 75^\circ$
  $\beta = 90^\circ$
  $\gamma = 15^\circ$

  Lösung

  Ein Dreieck ist eine ebene, also zweidimensionale Figur. Es hat drei Ecken, die mit Großbuchstaben, zum Beispiel $A$, $B$ und $C$, gegen den Uhrzeigersinn bezeichnet werden.

  Ein Dreieck hat drei Seiten. Sie werden mit Kleinbuchstaben beschriftet, zum Beispiel $a$, $b$ und $c$. Sie werden immer entsprechend dem gegenüberliegenden Eckpunkt beschriftet: Gegenüber von Punkt $A$ liegt also die Seite $a$, gegenüber von Punkt $B$ die Seite $b$ und gegenüber von Punkt $C$ die Seite $c$.

  Jede Seite hat eine Höhe. Sie steht immer senkrecht auf der zugehörigen Seite. Die Höhe, die senkrecht auf der Seite $a$ steht, heißt $h_a$, die Höhe senkrecht auf der Seite $b$ heißt $h_b$ und die Höhe zur Seite $c$ heißt $h_c$. Die Höhe verbindet jeweils die Seite mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt.

  Das Dreieck hat außerdem drei Innenwinkel. Sie werden entsprechend der Eckpunkte, bei denen sie liegen, mit griechischen Buchstaben, zum Beispiel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$, beschriftet. Die Summe aller Innenwinkel beträgt $180^\circ$:
  $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

• Gib an, welches Teil des Dreiecks jeweils rosa hervorgehoben ist.

  Tipps

  Die Höhe steht immer senkrecht auf der zugehörigen Seite.

  Die jeweilige Seite liegt immer gegenüber dem zugehörigen Winkel.

  Lösung

  Erstes Bild: Es ist eine Seite rosa markiert: Eine Seite verbindet immer zwei Eckpunkte. Die markierte Seite liegt gegenüber dem Punkt $A$ und heißt daher Seite $a$.

  Zweites Bild: Es ist eine Höhe rosa markiert. Die rosa Höhe steht senkrecht auf der Seite $a$ und heißt daher Höhe $h_a$.

  Drittes Bild: Es ist ein Winkel rosa markiert. Der Winkel ist beim Punkt $A$ und wird daher mit dem griechischen Buchstaben $\alpha$ beschriftet.

  Viertes Bild: Es ist ein Punkt rosa markiert: der Punkt $C$.

• Bestimme den dritten Winkel des Dreiecks $ABC$.

  Tipps

  Die Summe aller Innenwinkel beträgt $180^\circ$.

  Beispiel: Gegeben sind $\alpha = 75^\circ$, $\beta = 40^\circ$ und $\alpha = 65^\circ$:

  $75^\circ + 40^\circ + 65^\circ= 180^\circ$

  Lösung

  Der Innenwinkelsummensatz besagt, dass die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks immer $180^\circ$ beträgt. Es gilt also:

  $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

  Um den dritten Winkel zu berechnen, subtrahieren wir daher von $180°$ die beiden gegebenen Winkel. Wir erhalten dann:

  $\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ$

  $\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma = 180^\circ - 100^\circ - 25^\circ = 55^\circ$

  $\alpha = 180^\circ - \beta - \gamma = 180^\circ - 88^\circ - 68^\circ = 24^\circ$

• Überprüfe die Aussagen.

  Tipps

  Die Summe aller Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180$^\circ$.

  Lösung

  Ein Dreieck kann keine zwei rechten Winkel haben.
  Diese Aussage ist richtig. Die Summe aller Innenwinkel im Dreieck beträgt $180^\circ$. Die Summe aus den beiden rechten Winkeln wäre aber bereits $180^\circ$, sodass nichts für den dritten Winkel übrig bleibt.

  Alle Höhen eines Dreiecks sind kürzer als die jeweils zugehörige Seite.
  Diese Aussage ist falsch. Die Länge der Höhe ist unabhängig von der Länge der zugehörigen Seite.

  Es gibt kein Dreieck mit einem $100^\circ$-Winkel.
  Diese Aussage ist falsch. Es gibt lediglich die Regel, dass die Summe der Innenwinkel $180^\circ$ beträgt. Es gibt also beispielsweise ein Dreieck mit den Winkeln $100^\circ$, $70^\circ$ und $10^\circ$.

  Es gibt kein Dreieck mit zwei parallelen Seiten.
  Diese Aussage ist richtig. Da ein Dreieck nur drei Seiten hat, gibt es keine gegenüberliegenden Seiten. Zwei Seiten treffen sich immer in einem Eckpunkt.

  Ein Dreieck hat drei Flächeninhalte.
  Diese Aussage ist falsch. Ein Dreieck hat einen Flächeninhalt, der von den drei Seiten umschlossen ist.

• Gib die Bezeichnung der Teile des Dreiecks $ABC$ an.

  Tipps

  Die Höhen werden entsprechend der gegenüberliegenden Seite benannt.

  Winkel werden mit griechischen Buchstaben bezeichnet.

  Lösung

  Die Eckpunkte eines Dreiecks werden mit Großbuchstaben entgegen dem Uhrzeigersinn beschriftet: $A$, $B$ und $C$.

  Die Seiten eines Dreiecks werden entsprechend dem gegenüberliegenden Eckpunkt mit Kleinbuchstaben beschriftet: $a$, $b$ und $c$.

  Die Winkel eines Dreiecks werden mit den griechischen Buchstaben $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ beschriftet.

  Die Höhen werden mit einem kleinen $h$ beschriftet. Jede Höhe hat außerdem im Index die Seite, auf der sie senkrecht steht, also $h_a$, $h_b$ und $h_c$.

• Vervollständige die Beschriftung der Dreiecke.

  Tipps

  Die Seiten werden entsprechend der gegenüberliegenden Eckpunkte benannt.

  Eckpunkte werden mit Großbuchstaben ($A$, $B$ und $C$) benannt.

  Lösung

  Wir beschriften die Dreiecke nach folgenden Regeln:

  Beim eingetragenen Winkel $\alpha$ liegt der Punkt $A$. Die weiteren Punkte $B$ und $C$ beschriften wir dann gegen den Uhrzeigersinn. Beim Punkt $B$ liegt dann der Winkel $\beta$ und beim Punkt $C$ der Winkel $\gamma$. Die Seite $a$ liegt gegenüber von Punkt $A$, die Seite $b$ gegenüber von Punkt $B$ und die Seite $c$ gegenüber von Punkt $C$.