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Fehlende Größen im Dreieck berechnen

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Team Digital
Fehlende Größen im Dreieck berechnen
lernst du in der Unterstufe 1. Klasse - 2. Klasse - 3. Klasse

Grundlagen zum Thema Fehlende Größen im Dreieck berechnen

Inhalt

Einführung: fehlende Größen im Dreieck berechnen

Aufgaben zu Dreiecken sind oft Textaufgaben. Aus den Angaben im Text musst du zuerst herauslesen, welche Größen gegeben sind und welche Größen gesucht werden. In diesem Text und Video wird dir einfach und verständlich erklärt, wie du fehlende Größen im Dreieck berechnen kannst. Dazu verwenden wir verschiedene Formeln, die passend zu der Aufgabe umgeformt werden müssen. Nach der Berechnung der fehlenden Größen formulierst du noch einen Antwortsatz, der zu dem Kontext der Textaufgabe passt.

Wie berechnet man fehlende Größen im Dreieck?

Um eine Textaufgabe zu lösen, ist es oft nützlich, in mehreren Schritten vorzugehen. Bevor wir an die Textaufgabe selbst herangehen, überlegen wir uns, welche Formeln für die Aufgabe relevant sind:

Formeln im Dreieck

Es gibt viele verschiedene Formeln für Dreiecke, mit denen du fehlende Größen berechnen kannst. Wir betrachten als Beispiel die Formeln zur Berechnung des Flächeninhalt und des Umfangs. Für den Flächeninhalt $A$ eines Dreiecks haben wir die drei Formeln:

$A=\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$

Hierbei bezeichnen $a$, $b$ und $c$ die drei Seiten des Dreiecks und $h_a$, $h_b$ und $h_c$ die jeweiligen Höhen. Für den Umfang $U$ des Dreiecks haben wir die Formel:

$U = a+b+c$

Fehlende Größen im Dreieck berechnen

Gegebene Größen finden

In einer Textaufgabe zu Dreiecken sind typischerweise verschiedene Größen bereits vorgegeben. Lies den Aufgabentext aufmerksam durch und schreibe dir auf, welche Größen in der Aufgabe gegeben sind. Wir betrachten als Beispiel ein Dreieck, bei dem die Seitenläng $a$ und der Flächeninhalt $A$ gegeben sind. Außerdem kennen wir die Höhe $h_b$ zu der Seite $b$.

Gesuchte Größen finden

Um zu wissen, wie du die Textaufgabe löst, musst du als Nächstes herausfinden, welche Größen in der Aufgabe bestimmt werden sollen. Lies den Text aufmerksam durch und schreibe dir heraus, welche Größen gesucht sind. In unserem Beispiel sind die Größen $h_a$ und $b$ gesucht, also die Höhe $h_a$ zu der Seite $a$ und die Länge der Seite $b$.

Formeln passend umformen

Um die gesuchten Größen zu berechnen, müssen wir zuerst eine oder mehrere Formeln auswählen, in denen jeweils nur eine der gesuchten Größen vorkommt. Für unser Beispiel verwenden wir zwei Formeln für den Flächeninhalt::

$A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b$

Die erste dieser beiden Formeln können wir nach der gesuchten Größe $h_a$ umstellen:

$A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a \quad | \; \cdot 2 \newline 2 A = a \cdot h_a \quad |\; : a \newline \frac{2A}{a} = h_a$

Diese Formel gibt also die gesuchte Größe $h_a$ an und verwendet zur Darstellung nur die gegebenen Größen $A$ und $a$. Wir können in diese Formel die vorgegebenen Werte für die Seitenlänge $a$ und den Flächeninhalt $A$ einsetzen und so den fehlenden Wert der Höhe $h_a$ berechnen.

Um die gesuchte Größe $h_b$ zu bestimmen, können wir die zweite Formel für den Flächeninhalt nach $b$ umstellen:

$A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b \quad | \; \cdot 2 \newline 2 A = b \cdot h_b \quad |\; : h_b \newline \frac{2A}{h_b} = b$

Wieder können wir die gegebenen Werte für $A$ und $h_b$ einsetzen und den fehlenden Wert für die Seitenlänge $b$ berechnen.

Fehlende Größen im Dreieck berechnen – Beispiele

Beispiel 1

Wir lösen hier eine Aufgabe, bei der folgende Größen gegeben sind:

  • Umfang $U$
  • Seitenlängen $a$ und $b$
  • Höhe $h_b$

Gesucht sind alle weiteren Größen des Dreiecks:

  • Seitenlänge $c$,
  • Höhen $h_a$ und $h_c$
  • Flächeninhalt $A$

Mit der Seitenlänge $b$ und der Höhe $h_b$ können wir den Flächeninhalt berechnen. Dazu verwenden wir die Formel:

$A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b$

Um die Seitenlänge $c$ zu berechnen, können wir zum Beispiel die Formel für den Umfang verwenden und nach $c$ auflösen:

$U = a+b+c \quad |\; -a-b \newline U-a-b = c$

Die beiden Höhen $h_a$ und $h_c$ berechnen wir wieder durch Umstellen der Formel für den Flächeninhalt. Wir erhalten dadurch die Formeln:

$h_a = \frac{2A}{a} \qquad$ und $\qquad h_c = \frac{2A}{c}$

Beispiel 2

In unserem zweiten Beispiel sind die Größen nicht direkt gegeben, sondern sie kommen in Gleichungen vor. Vorgegeben sind folgende Gleichungen:

$a = 2b = 1,5c$

Außerdem sind der Umfang $U$ und die Höhe $h_c$ gegeben. Gesucht sind wieder alle fehlenden Größen des Dreiecks.

Wie können wir eine solche Aufgabe lösen? Zuerst müssen wir eine Formel finden, in die wir die Gleichung $a = 2b = 1,5c$ sinnvoll einsetzen können. In der Formel für den Umfang $U$ kommen die Seitenlängen $a$, $b$ und $c$ vor sowie der vorgegebene Umfang. Setzen wir also die Gleichungen dort ein. Wie machen wir das? Wir stellen zuerst die beiden Gleichungen $a=2b$ und $a=1,5c$ nach $b$ und $c$ um:

$b = \frac{a}{2} \qquad $ und $\qquad c = \frac{a}{1,5} = \frac{2}{3} a$

Nun können wir diese Gleichungen in die Formel für den Umfang einsetzen, indem wir $b$ durch $\frac{a}{2}$ ersetzen und $c$ durch $\frac{2}{3}a$:

$U= a+b+c = a+\frac{a}{2} + \frac{2}{3}a$

Nun fassen wir die drei Terme auf der rechten Seite der Gleichung zusammen, indem wir alle Vorfaktoren von $a$ auf den Hauptnenner $6$ bringen:

$U= a+\frac{a}{2} + \frac{2}{3}a = \frac{6}{6}a + \frac{3}{6}a + \frac{4}{6}a = \frac{13}{6}a$

Jetzt können wir die Gleichung nach der unbekannten Größe $a$ auflösen, denn der Umfang $U$ ist in der Aufgabe vorgegeben:

$a = \frac{6}{13} U$

Nun können wir mit dem gegebenen Wert für $U$ den gesuchten Wert für $a$ berechnen. Wir können auch den Wert für $b$ berechnen, dazu nutzen wir die Formel $b=\frac{a}{2}$, die wir zuvor erhalten hatten. Für die unbekannte Seitenlänge $c$ haben wir die Formel $c=\frac{2}{3}a$. Hiermit können wir jetzt auch den Wert der Seitenlänge $c$ berechnen.

Mit der vorgegebenen Höhe $h_c$ können wir nun den Wert für den Flächeninhalt $A$ berechnen:

$A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$

Mit den Formeln wie oben können wir schließlich auch die Höhen $h_a$ und $h_b$ berechnen:

$h_a = \frac{2A}{a} \qquad $ und $\qquad h_b= \frac{2A}{b}$

Zusammenfassung: fehlende Größen im Dreieck berechnen

In dem Text und Video wird verständlich erklärt, wie man fehlende Seiten im Dreieck berechnet. Dazu benutzen wir Formeln für den Flächeninhalt $A$ und den Umfang $U$. Um fehlende Winkel zu berechnen, brauchst du weitere Formeln, z. B. die Innenwinkelsumme des Dreiecks. Ergänzend zu diesem Video über fehlende Größen im Dreieck findest du interaktive Übungen und ein Arbeitsblatt hier auf der Seite.

Transkript Fehlende Größen im Dreieck berechnen

Die Einwohner der Schieferstraße wollen ihre Häuser für das Schieferfest dekorieren. Das könnte bei dieser Architektur etwas schwierig werden. Jedes Haus hat eine einzigartige Form. Um herauszufinden, wie lang die Girlanden für jedes einzelne Haus werden, müssen wir „Fehlende Größen im Dreieck berechnen.“ Bevor wir uns die Hausdächer der Schieferstraße genauer anschauen, wiederholen wir noch einmal, was wir bisher schon wissen. Die verschiedenen Dreiecksarten können wir nach den Eigenschaften ihrer Seiten einteilen. Da gibt es gleichseitige, gleichschenklige und unregelmäßige Dreiecke. Ebenso gut können wir Dreiecke aber auch nach ihren Winkeln einteilen. Hier kennen wir spitzwinklige, stumpfwinklige und rechtwinklige Dreiecke. Jedes Dreieck hat außerdem eine Grundseite und eine Höhe. Diese beiden Längen brauchen wir, wenn wir den Flächeninhalt eines Dreieckes berechnen wollen. Dafür müssen wir die Grundseite und die Höhe multiplizieren und durch zwei teilen. Wir können „durch zwei“ auch nach vorne ziehen und einfach „mal ein Halb“ rechnen, das führt zum gleichen Ergebnis. Bei rechtwinkligen Dreiecken können wir statt „g“ und „h“ auch die beiden kurzen Seiten multiplizieren. Wenn wir dagegen den Umfang von Dreiecken berechnen wollen, müssen wir die drei Seitenlängen addieren. Da bei einem gleichseitigen Dreieck alle drei Seiten gleich lang sind, brauchen wir nur „drei mal a“ zu rechnen. Bei gleichschenkligen Dreiecken rechnen wir dagegen „zwei mal a plus b“, wobei die beiden gleichlangen Seiten mit „a“ bezeichnet sind. Jetzt haben wir alle Werkzeuge beisammen, um die Dächer mal ganz genau zu untersuchen. Das erste Dach ist ganz eindeutig ein stumpfwinkliges Dach, noch dazu sogar ein gleichschenkliges! Der Umfang des Giebels ist bekannt, das sind achtzehn Meter. „Giebel“ nennt man übrigens die dreieckige Wand direkt unter dem Dach. Außerdem ist die Länge der beiden Schenkel bekannt, sie sind fünf Meter lang. Wir möchten die fehlende Seitenlänge berechnen. Dafür nutzen wir unsere Umfangsformel für gleichschenklige Dreiecke, und setzen die gegebenen Größen ein. Nun können wir die Formel noch weiter zusammenfassen, und überlegen, welche Zahl wir für b einsetzen müssen, damit die Gleichung stimmt. Richtig, b muss genau acht Meter lang sein! Gut, dann auf zum nächsten Haus! Hier ist der Giebel eindeutig ein spitzwinkliges Dreieck. Der Flächeninhalt beträgt laut Hausbewohnerin genau 7,5 Quadratmeter. Außerdem konnte sie die Grundseite nachmessen. Sie beträgt fünf Meter. Was noch berechnet werden muss, ist die Höhe. Wir brauchen also die Formel für den Flächeninhalt von allgemeinen Dreiecken. Wir nehmen die Formel deshalb, weil darin die gegebenen Größen und die gesuchte Größe vorkommen. In diese Formel setzen wir wieder unsere gegebenen Größen ein. Dann können wir die Formel auch noch ein wenig vereinfachen. Hmm, welche Zahl mal 2,5 ergibt denn 7,5? Die drei muss es sein! Die Höhe h beträgt also drei Meter! Grandios, dann werfen wir einen Blick auf das nächste Haus! Wieder ein spitzwinkliger Giebel, diesmal handelt es sich sogar um ein gleichseitiges Dreieck. Die Hausbewohnerin kann sich nur daran erinnern, dass der Umfang zwölf Meter beträgt. Aber wie kriegt sie denn jetzt raus, wie lang jede einzelne Seite ist? Nichts leichter als das! Mit unserer Umfangsformel für gleichseitige Dreiecke finden wir das schnell heraus. Wir setzen einfach die zwölf Meter für den Umfang ein, und überlegen einmal ganz scharf, welche Zahl mit drei multipliziert zwölf ergibt. Richtig erkannt, a ist vier Meter lang. Ein letztes Haus, dann sind die Vorbereitungen für das Fest erledigt! Der Hausbewohner hebt stolz den rechtwinkligen Giebel hervor, und gibt an, dass der Flächeninhalt sechs Quadratmeter beträgt. Außerdem ist die linke Dachseite vier Meter lang. Kannst du die fehlende Seitenlänge mithilfe der passenden Formel berechnen? Pausiere doch kurz das Video und versuche es selbst einmal. Die Seite b ist drei Meter lang, hast du es rausbekommen? Während die Hausbewohner nun mit dem Schmücken ihrer Häuser loslegen, fassen wir die Vorgehensweise noch einmal kurz zusammen. Um fehlende Größen im Dreieck zu bestimmen, müssen wir zuerst genau notieren, welche Größen gegeben und gesucht sind. Dann wählen wir eine Formel aus, in der die gegebenen Größen und die gesuchte Größe vorkommen, und setzen die gegebenen Größen ein. Meistens können wir die Rechnung nach dem Einsetzen zusammenfassen oder vereinfachen. Mit ein bisschen Probieren sollte die Lösung schnell zu erkennen sein. Und hat sich die ganze Arbeit in der Schieferstraße denn auch gelohnt? Ostern, Weihnachten, Geburtstag und Halloween? Ganz schön schräg, diese Schieferstraße!

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Erste!
    Super video Freu mich schon auf eure Meinung! Bleibt gleich Fresh Team Digital!
    NOCH EINEN SCHÖNEN TAG EUCH ALLEN
    feline

    Von Feline , vor 5 Monaten
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