Über 1,6 Millionen Schüler*innen nutzen sofatutor!
  • 93%

    haben mit sofatutor ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert

  • 94%

    verstehen den Schulstoff mit sofatutor besser

  • 92%

    können sich mit sofatutor besser auf Schularbeiten vorbereiten

Satz von Vieta – Anwendung und Beweis

Der Satz von Vieta ist eine Methode, um zu überprüfen, ob zwei Zahlen die Lösung einer quadratischen Gleichung sind. Indem man die negative Summe und das Produkt der Lösungen berechnet, kann man die Werte p und q bestimmen. Möchtest du mehr über den Satz von Vieta erfahren? Dann bleib dran!

Du willst ganz einfach ein neues Thema lernen
in nur 12 Minuten?
Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
  • Das Mädchen lernt 5 Minuten mit dem Computer 5 Minuten verstehen

    Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.

    92%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen.
  • Das Mädchen übt 5 Minuten auf dem Tablet 5 Minuten üben

    Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.

    93%
    der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert.
  • Das Mädchen stellt fragen und nutzt dafür ein Tablet 2 Minuten Fragen stellen

    Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.

    94%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Bewertung

Ø 5.0 / 13 Bewertungen
Die Autor*innen
Avatar
Team Digital
Satz von Vieta – Anwendung und Beweis
lernst du in der Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Satz von Vieta – Anwendung und Beweis Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Satz von Vieta – Anwendung und Beweis kannst du es wiederholen und üben.
  • Fasse den Satz von Vieta zusammen.

    Tipps

    $q=x_1 \cdot x_2$

    $p=-(x_1+x_2)$

    Lösung

    Ist eine quadratische Gleichung in Normalform gegeben, so entspricht das Absolutglied $q$ dem Lösungsprodukt und der Vorfaktor des linearen Glieds $p$ der negativen Lösungssumme.

  • Belege mithilfe des Satzes von Vieta, dass $x_1=4$ und $x_2=2$ Lösungen der Gleichung sind.

    Tipps

    Berechne die negative Summe der beiden Zahlen und das Produkt der beiden Zahlen.

    Lösung

    Die negative Summe der Lösungen $4$ und $2$ entspricht genau dem Vorfaktor $p$:
    $-(4+2) = -6 $
    Das Produkt der Lösungen entspricht genau dem Absolutglied $q$:
    $4 \cdot 2 = 8$
    Der Satz von Vieta ist also erfüllt, daher sind $4$ und $2$ Lösungen der Gleichung.

  • Bestimme jeweils, ob die beiden Werte $x_1$ und $x_2$ Lösung der Gleichung sind.

    Tipps

    Wenn nur eine der beiden Bedingungen erfüllt ist, sind die beiden Zahlen nicht die Lösung der quadratischen Gleichung.

    Die negative Summe der beiden Lösungen muss $p$ entsprechen.

    Überprüfe, ob das Produkt der beiden Lösungen gleich dem Absolutglied $q$ ist.

    Lösung

    $x^2+2x-8=0;~\mathbb{L}=\{-4; 2\}$
    $-(x_1+x_2) = -((-4)+2) = 2 = p$
    $x_1 \cdot x_2 = (-4) \cdot 2 = -8 = q$
    Der Satz von Vieta ist erfüllt, also sind die beiden Zahlen Lösung der Gleichung.

    $x^2+5x+1=0;~\mathbb{L}=\{2; 3\}$
    $-(x_1+x_2) = -(2+3) = -5 \neq p$
    $x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot 3 = 6 \neq q$
    Der Satz von Vieta ist nicht erfüllt, also sind die beiden Zahlen keine Lösung der Gleichung.

    $x^2+2x-3=0;~\mathbb{L}=\{-3; 1\}$
    $-(x_1+x_2) = -((-3)+1) = 2 = p$
    $x_1 \cdot x_2 = (-3) \cdot 1 = -3 = q$
    Der Satz von Vieta ist erfüllt, also sind die beiden Zahlen Lösung der Gleichung.

    $x^2+7x+10=0;~\mathbb{L}=\{-5; -2\}$
    $-(x_1+x_2) = -((-5)+(-2)) = 7 = p$
    $x_1 \cdot x_2 = (-5) \cdot (-2) = 10 = q$
    Der Satz von Vieta ist erfüllt, also sind die beiden Zahlen Lösung der Gleichung.

    $x^2+2x-3=0;~\mathbb{L}=\{-1; 3\}$
    $-(x_1+x_2) = -((-1)+3) = -2 \neq p$
    $x_1 \cdot x_2 = (-1) \cdot 3 = -3 = q$
    Der Satz von Vieta ist nicht erfüllt, also sind die beiden Zahlen keine Lösung der Gleichung.

  • Bestimme die zweite Lösung der Gleichung mithilfe des Satzes von Vieta.

    Tipps

    Beachte:
    $x_1 \cdot x_2 =q$
    $-(x_1+x_2)=p$

    Lösung

    Was wir wissen:

    • Aus der Gleichung $x^2-x-12=0$ ergibt sich, dass $p=-1$ und $q=-12$ ist.
    • Mithilfe des Satzes von Vieta wissen wir, dass $x_1 \cdot x_2 = q$ gelten muss, also das Produkt der beiden Lösungen $-12$ ergeben muss.
    • Eine Lösung kennen wir, nämlich $x_1=4$.

    Wir rechnen also rückwärts:

    $x_1 \cdot x_2 = q$
    $4 \cdot x_2 = -12$
    $x_2= -12:4=-3$

    Mit $x_2= -3$ ist auch die zweite Bedingung des Satzes von Vieta erfüllt:
    $-(x_1+x_2)=-(4+(-3))=-1=p$

  • Benenne in den quadratischen Gleichungen das quadratische Glied, das Absolutglied und das lineare Glied.

    Tipps

    Das quadratische Glied enthält die Variable in der zweiten Potenz und den zugehörigen Vorfaktor.

    Das lineare Glied enthält die Variable in linearer Form und den zugehörigen Vorfaktor.

    Das Absolutglied enthält nicht die Variable.

    Lösung

    $ax^2+bx+c=0$
    Hierbei ist $ax^2$ das quadratische Glied, $bx$ das lineare Glied und $c$ das Absolutglied.
    $x^2+px+q=0$
    Hierbei ist $x^2$ das quadratische Glied, $px$ das lineare Glied und $q$ das Absolutglied.

    Denke daran: Der Vorfaktor gehört immer mit zum Glied!

  • Überprüfe, welche Lösungsmenge zu welcher Gleichung gehört.

    Tipps

    Wenn nur eine Lösung gegeben ist, setze sowohl für $x_1$ als auch für $x_2$ diesen Wert ein.

    Setze jeweils ein:
    $-(x_1+x_2)$
    $x_1 \cdot x_2$

    Vergleiche mit den Werten der gegebenen Gleichungen:
    $-(x_1+x_2)=p$
    $x_1 \cdot x_2=q$

    Lösung

    Von $x^2-2x+1=0$ ist die Lösung $x=1$, denn:
    $-(x_1+x_2) = -(1+1) = -2 = p$
    $x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot 1 = 1 = q$

    Von $x^2+x-2=0$ ist die Lösung $x_1=-2$ und $x_2=1$, denn:
    $-(x_1+x_2) = -((-2)+1) = 1 = p$
    $x_1 \cdot x_2 = (-2) \cdot 1 = -2 = q$

    Von $x^2-2x-3=0$ ist die Lösung $x_1=-1$ und $x_2=3$, denn:
    $-(x_1+x_2) = -((-1)+3) = -2 = p$
    $x_1 \cdot x_2 = (-3) \cdot 1 = -3 = q$

    Von $x^2-4=0$ ist die Lösung $x_1=-2$ und $x_2=2$, denn:
    $-(x_1+x_2) = -((-2)+2) = 0 = p$
    $x_1 \cdot x_2 = (-2) \cdot 2 = -4 = q$