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Was sind quadratische Funktionen? 03:19 min

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Transkript Was sind quadratische Funktionen?

Du kennst die Plakate. Und die Reklametafeln. Jetzt ist es so weit: Die Frage des Sommers wird endlich beantwortet. Die quadratischen Funktionen präsentieren den Star unter den Softdrinks: Parabola. Parabola Xtra Strong ist so phantastisch, es optimiert sogar die Schwerkraft! Der Sprung ist eine perfekte Parabel! Wow, was für eine U-Form! Der extrastarke Geschmack wird dich umhauen. Einfach erfrischend. Was die geheime Zutat von Parabola ist? Okay, wir verraten es dir! Parabeln! Du fragst dich vielleicht, ob die eine Normalform haben, so wie lineare Funktionen. Aber sowas von! Die Normalform einer quadratischen Funktion sieht so aus: f(x) = ax² + bx + c. a darf dabei nicht 0 sein. Auch du willst eine quadratische Funktion sein? Der 2. Grad hält die Lösung parat! Außerdem von den quadratischen Funktionen: Parabola Chill. Zähme das Tier in dir. Schau dir nur diese wunderbare Parabel an! Probier's aus. Sei irre und schrill mit Parabola Chill! Lädt die Akkus wieder auf ein bisschen zumindest. Zurück zu Parabeln und quadratischen Funktionen. Schauen wir uns mal einige Merkmale der Funktionen und ihrer Graphen an. Der Koeffizient a bestimmt die Breite, also die Streckung oder die Stauchung, des Graphen. Je größer der Betrag von a, desto gestreckter ist die Parabel. Das hier ist ein Graph mit a = 1, nämlich f(x) = x². Und das ist ein Graph mit a kleiner 1: f(x) = (1/2)x². Hier ist a größer als 1: f(x) = 6x². Verglichen mit dem Graphen von f(x) = x² scheint der hier beinahe so, als sei er auf Diät, aber zurück zu den Energydrinks! Fühlst du dich manchmal belastet und schwermütig? Durch das neue Parabola Lite fühlst du dich leicht wie eine Feder. Vielleicht trotzt du sogar der Schwerkraft. Schau dir diese wunderschöne Parabel an. Siehst du, wie leicht er sich dank Parabola Lite fühlt? Sollen wir dir noch ein Geheimnis über Parabeln verraten? Das Vorzeichen von a bestimmt die Öffnung der Parabel. Ist a negativ, sieht die Parabel aus wie ein trauriger Mund. Wenn a aber positiv ist, zaubert das jedem Griesgram ein Lächeln ins Gesicht. Jetzt kennst du alle geheimen Zutaten von Parabeln. Oh je. Vielleicht hätten sie ihr Geld in die Entwicklung des Geschmacks stecken sollen und nicht in Spezialeffekte.

12 Kommentare
  1. möga

    Von Yiren Y., vor 2 Monaten
  2. Hallo Juliangoetz1104,
    den Einfluss der Parameter b und c kannst du dir in dem Video „Graphen quadratischer Funktionen“ ansehen.

    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Cansu Ayguezel, vor 2 Monaten
  3. Es wurde nichts über bx und c gesagt

    Von Juliangoetz1104, vor 2 Monaten
  4. Hallo Hanno Ballin, danke für deinen Kommentar. Wir arbeiten stetig an der Verbesserung unserer Inhalte und freuen uns immer über Feedback.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Albrecht Kröner, vor 6 Monaten
  5. Ich weiß jetzt alles über Parabola Chill und so, aber fast nichts über quadratische Funktionen. Meiner Meinung nach war diese Storyline komplett unnötig und überflüssig.

    Von Hanno Ballin, vor 6 Monaten
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Was sind quadratische Funktionen? Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Was sind quadratische Funktionen? kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Eigenschaften der Parabeln an.

    Tipps

    Der Faktor $a=-5$ hat den Betrag $|a|=5$. Der Faktor $a=5$ hat ebenfalls den Betrag $|a|=5$.

    Zeigen Mundwinkel nach oben, so hängt das oft mit positiver Stimmung zusammen.

    Multiplizierst du die Funktion $f(x)$ mit der Zahl $-1$, so erhältst du die Funktion $-f(x)$. Wenn du dir den Graphen dieser neuen Funktion ansiehst, wirst du bemerken, dass er genauso aussieht wie der Graph der ursprünglichen Funktion, nur dass er an der $x$-Achse gespiegelt ist. Das gilt für beliebige Funktionen, also auch für quadratische!

    Lösung

    Allen drei Teilaufgaben ist gemeinsam, dass Terme $bx$ (also ein Vielfaches von $x$ ohne Quadrat) nicht vorkommen. Ebenso ist den Funktionen in den Teilaufgaben gemeinsam, dass jeweils keine zu addierende Zahl ohne $x$ vorkommt (diese Zahl heißt in der Normalform $c$). In allen drei Fällen ist also $b$ und $c$ gleich $0$. Wir müssen also nur mit einer vereinfachten Form der Parabel $y=ax^2$ vergleichen.

    Erste Teilaufgabe: $f(x)=\frac{1}{2}x^2$

    Diese Funktion hat den Koeffizienten $a=\frac{1}{2}$ ($a$ ist stets die Zahl, die in der Normalform vor dem $x^2$ steht). Die Zahl $a=\frac{1}{2}$ hat kein negatives Vorzeichen, ist also eine herkömmliche positive Zahl größer als $0$. Der Betrag der Zahl $a=\frac{1}{2}$ ist kleiner als $1$. Wie du in einer Wertetabelle siehst, steigen die Funktionswerte $f(x)=\frac{1}{2}x^2$ links (negative Zahlen) und rechts (positive Zahlen) immer weiter an, die Parabel ist also nach oben geöffnet.

    \begin{array}{l|rrrr} \hline \mbox{Wert von } x &-2&-1&0&1&2\\ \hline \mbox{Normalparabel } x^2& 4 & 1 & 0 & 1 & 4\\ \mbox{Parabel } \frac{1}{2}x^2 & 2 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 2\\ \hline \end{array}

    Zweite Teilaufgabe: $g(x)=-x^2$

    Der Koeffizient $a$ ist hier $-1$. Diese Zahl ist negativ, also kleiner als $0$. Der Betrag von $-1$ ist $1$, was du durch Weglassen des Minuszeichens erhältst. Eine Wertetabelle zeigt Folgendes: Wenn du dich von dem $x$-Wert $0$ entfernst, bei dem die Parabel den $y$-Wert $0$ erreicht, fallen die $y$-Werte ab. Somit ist die Parabel nach unten geöffnet.

    \begin{array}{l|rrrr} \hline \mbox{Wert von } x &-2&-1&0&1&2\\ \hline \mbox{Parabel } -x^2& -4 & -1 & 0 & -1 & -4\\ \hline \end{array}

    Dritte Teilaufgabe: $h(x)=6x^2$

    Diese Funktion vergleichst du am besten mit der Vereinfachung der Normalform $y=ax^2$. In diesem Fall muss $a=6$ sein. Diese Zahl $a=6$ ist größer als $0$ und hat auch einen größeren Betrag als $1$. Wie alle Parabeln mit einem positiven Koeffizienten $a$ ist die Parabel also nach oben geöffnet. Das kannst du wieder anhand einer Wertetabelle nachvollziehen:

    \begin{array}{l|rrrr} \hline \mbox{Wert von } x &-2&-1&0&1&2\\ \hline \mbox{Parabel } 6x^2& 24 & 6 & 0 & 6 & 24\\ \hline \end{array}

  • Bestimme die zu den abgebildeten Parabeln gehörigen Funktionen.

    Tipps

    Eine kleine Wertetabelle für die Normalparabel ist die Folgende: \begin{array}{l|rrr} \hline x & -1 & 0 & 1\\ \hline \mbox{Funktionswert } f(x) & 1& 0 & 1 \\ \hline \end{array}

    Kennst du den Graphen zu einer Funktion $f(x)$, könnte dir folgender Trick helfen: Wenn du den Graphen an der $x$-Achse spiegelst, so erhältst du den Graphen der Funktion $-f(x)$. So kannst du zum Beispiel von den Parabeln mit positivem Faktor $a$ auf Parabeln mit negativem $a$ übergehen.

    Betrachten wir eine Parabel mit unbekanntem $a$-Wert (und $b=c=0$), die an der Stelle $x=2$ den folgenden Funktionswert hat:
    $g(2)=a\cdot 2^2 = 2$.
    Wir müssen also die Gleichung $a\cdot 2^2 = 2$ lösen, um einen Wert für $a$ zu erhalten.

    Lösung

    1. Die erste Parabel ist die einzige, die negative Funktionswerte aufweist. Da das Quadrat einer Zahl immer größer oder gleich null ist, können die negativen Werte nur von dem Vorzeichen „$-$“ in $f(x)=-x^2$ stammen. Diesen Verdacht können wir noch an drei anderen Stellen prüfen. Für die Funktion gilt nämlich die folgende Wertetabelle:

    \begin{array}{l|rrr} \hline x & -1 & 0 & 1\\ \hline \mbox{Funktionswert } f(x)=-x^2 & -1& 0 & -1 \\ \hline \end{array}

    Die Punkte $(-1\vert{-1})$, $(0\vert0)$, $(1\vert{-1})$ sind also in der zu $f(x)=-x^2$ gehörigen Parabel enthalten, was der abgebildeten Parabel entspricht.

    2. Die zweite Parabel können wir der Gleichung $f(x)=x^2$ zuordnen. Diese durchläuft unter anderem die folgenden Funktionswerte:

    \begin{array}{l|rrr} \hline x & -1 & 0 & 1\\ \hline \mbox{Funktionswert } f(x)=x^2 & 1& 0 & 1 \\ \hline \end{array}

    Kombinieren wir die Werte von $x$ und $f(x)=x^2$ zu Punkten der Form $(x\vert f(x))$, so sehen wir, dass die Punkte $(-1\vert 1)$, $(0\vert0)$ und $(1\vert1)$ in der Parabel enthalten sind. Das passt auch zur Abbildung.

    3. Die Gleichung zur dritten Parabel ist $f(x)=6x^2$. Die größere Zahl $a=6$ in der Normalform der Parabel $f(x)=ax^2$ bewirkt, dass die Parabel rascher ansteigt, sobald wir uns von dem $x$-Wert $0$ entfernen. Das sieht man auch in einer Wertetabelle: \begin{array}{l|rrrrr} \hline x & -1 & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 1\\ \hline \mbox{Funktionswert } f(x)=6x^2 & 6 & \frac{3}{2} & 0 & \frac{3}{2} & 6 \\ \hline \end{array} Schon für betragsmäßig kleine $x$-Werte wie $-\frac{1}{2}$ und $\frac{1}{2}$ sind die Funktionswerte hier größer als $1$, d.h., im Vergleich zur Normalparabel werden dieselben Funktionswerte früher erreicht, was erneut den steileren Anstieg verdeutlicht.

    4 . Die letzte Parabel, die im Vergleich zu den anderen Parabeln in Bezug auf die $y$-Achse gestaucht ist, entspricht der Gleichung $f(x)=\frac{1}{2}x^2$. In der Abbildung der Parabel ist der Punkt $(2\vert2)$ hervorgehoben. Davon motiviert, untersuchen wir das Paar von $x$-Wert $2$ und Funktionswert $f(x)=f(2)=2$. Mit der allgemeinen Form $f(x)=ax^2$ erhalten wir für diesen Spezialfall $2=f(2)=a \cdot 2^2=a\cdot 4$. Also rechnen wir, indem wir die Gleichung $a\cdot 4 = 2$ durch $4$ teilen:

    \begin{align} a &=\frac{2}{4}\\ &=\frac{1}{2} \end{align}

    Gegenüber der Normalparabel, bei der an der Stelle $x=2$ der Funktionswert $4$ auftritt, ist der Funktionswert von $f(x)=\frac{1}{2}x^2$ genau auf die Hälfte, nämlich $f(2)=2$ reduziert. Diese Verkleinerung auf die Hälfte entspricht genau der Verkleinerung des Vorfaktors $a$ auf die Hälfte, nämlich von $1$ auf $\frac{1}{2}$.

  • Ordne den abgebildeten Parabeln Eigenschaften zu.

    Tipps

    Strecken wir eine Parabel in $y$-Richtung, so vergrößert sich der Betrag des Faktors $a$ in der zugehörigen quadratischen Funktion.

    Falls die Funktion zur Parabel die Form $f(x)=ax^2$ hat, kannst du durch Einsetzen und Berechnen einzelner Punkte um $x = 0$ herum testen, wie der grundsätzliche Verlauf in Abhängigkeit des Vorzeichens von $a$ ist. Setze zum Beispiel $-1$, $0$ und $1$ ein.

    Lösung

    Im ersten Diagramm ist eine nach oben geöffnete Parabel abgebildet. Das heißt, dass die Arme der Parabel ansteigen, wenn man vom Zentrum nach links und rechts dem Funktionsverlauf folgt. Die Parabel hat, wie die Normalparabel $y = x^2$, ihren Scheitelpunkt in $(0\vert 0)$. Auf der abgebildeten Parabel liegt der Punkt $(1 \vert 3)$. Dieser ist weiter von der $x$-Achse entfernt als der entsprechende Punkt $(1\vert 1)$ der Normalparabel. Damit ist die abgebildete Parabel in $y$-Richtung gestreckt.
    Diese Streckung der Parabel ist gleichbedeutend mit $a>1$ in der zugehörigen quadratischen Funktion in Normalform. Der genaue Wert für $a$ (den du durch Rechnung noch einmal überprüfen solltest) beträgt $a=3$. Die abgebildete Parabel ist also $y=3x^2$.

    Im zweiten Diagramm sehen wir eine nach unten geöffnete Parabel, was bedeutet, dass $a<0$ ist. Die Parabel ist, wiederum im Vergleich mit der Normalparabel, in $y$-Richtung gestaucht. Das bedeutet $|a|<1$. Den genauen Wert $a=-\frac{1}{4}$ kannst du durch Vergleich des Verlaufs der abgebildeten Parabel und der Normalparabel an der Stelle $x=2$ ablesen. Die Normalparabel hätte hier einen $y$-Wert von $4$. Die abgebildete Parabel hat stattdessen den Wert $-1$.

    Die dritte abgebildete Parabel ist nach oben geöffnet. Das ist wieder gleichbedeutend mit $a>0$. Sie ist außerdem in $y$-Richtung gestaucht, also gilt $|a|<1$. Wollen wir den genauen Wert für $a$ wissen, können wir ihn ausrechnen. Dazu brauchen wir nur einen Punkt $(x\vert f(x))$ zu kennen. In diesem Beispiel nutzen wir dafür den Punkt $(2\vert 1)$:

    $\begin{array}{lllll} f(2) &=& a\cdot 2^2 & =1&\\ a\cdot 4 &=& 1 & &\vert :4 \\ a &=& \frac{1}{4} &&\\ \end{array}$

  • Ermittle, welche Eigenschaften der Faktor $a$ aus der Normalform der Parabel hat.

    Tipps

    Parabeln mit negativem $a$ treten zum Beispiel in der Physik bei Flugbahnen von geworfenen Objekten auf.

    Lösung

    Die abgebildete Parabel links oben hat einen Faktor $a>0$, da sie nach oben geöffnet ist. Der Betrag $|a|$ ist größer als $1$, da sie schneller als die Normalparabel ansteigt.
    (Die abgebildete Parabel gehört zur Funktion $f(x)=4x^2-2$. Auch wenn hier nicht nach der Funktion gefragt ist, kannst du das auch einmal selbst nachrechnen.)

    Die oben mittig abgebildete Parabel hat einen Faktor $a>0$ in der zugehörigen Funktion in Normalform, da die Parabel nach oben geöffnet ist. Der Betrag $|a|$ ist kleiner als $1$, da die abgebildete Parabel im Vergleich zur Normalparabel in $y$-Richtung gestaucht ist. Vom tiefsten Punkt, dem Scheitel, der einen $y$-Wert von etwa $-1$ hat, müssen wir mehr als $2$ Einheiten nach rechts oder links schreiten, bis der $y$-Wert auf $0$ angestiegen ist und die Parabel die $x$-Achse schneidet. Das heißt, dass die abgebildete Parabel langsamer als die Normalparabel ansteigt.
    (Die abgebildete Parabel gehört zur Funktion $f(x)=\frac{1}{9} x^2 + \frac{1}{9}x - 1$.)

    Die rechts abgebildete Parabel hat ihren tiefsten Punkt $(1\vert -1)$ beim $x$-Wert $x=1$. Außerdem verläuft sie durch den Punkt $(2\vert 0)$. Eine Änderung des $x$-Werts vom $x$-Wert des Scheitelpunkts weg um eine Differenz von $1$ führt bei der abgebildeten Parabel also zu einem Anstieg des $y$-Werts um $1$. Das bedeutet, dass die abgebildete Parabel genauso schnell ansteigt wie die Normalparabel und in der Funktion zur abgebildeten Parabel $a=1$ ist.
    (Die abgebildete Parabel ist der Graph der Funktion $f(x)=x^2-2x$.)

    Die unten links abgebildete Parabel ist nach unten geöffnet. Also ist $a<0$.
    (Diese Parabel gehört zur Funktion $f(x) = -x^2-2x$.)

    Die letzte, unten mittig abgebildete, Parabel ist nach unten geöffnet. Deshalb ist $a<0$.
    (Die abgebildete Parabel ist der Graph der quadratischen Funktion $f(x)=-\frac{1}{16}x^2$.)

  • Gib wieder, welche Aussagen zu Parabeln und ihren Gleichungen korrekt sind.

    Tipps

    Du siehst hier Smileys, die wir wie folgt beschreiben können: Eine große gelbe Kreisscheibe, überschrieben mit je zwei schwarzen Kreisscheiben und einer nach oben oder unten geöffneten schwarzen Parabel. Hoffen wir, dass der Programmierende einen guten Tag hat und ein $a>0$ für die Parabeln wählt.

    Falls die Parabeln zu den Gleichungen $f(x)=6x^2$ und $g(x)=x^2$ gleich sind, so sind sie auch gleich steil.

    Im Gegensatz zu Geraden, die überall die gleiche Steigung haben, ändern Parabeln während ihres Verlaufs ihre Steigung. Dafür ist in der Normalform einer Parabel (also $f(x)=ax^2+bx+c$) aber nur der Term $ax^2$ verantwortlich. Wenn wir diesen Term streichen, erhalten wir die Funktion:

    $f(x)=bx+c$.

    Diese kennst du bereits als Normalform einer anderen Art von Funktionen! (Lass dich hier nicht von den Namen der Parameter verunsichern, nur auf die Form der Gleichung kommt es an.)

    Lösung

    Erste Aussage: Alle Parabeln lassen sich aus der Normalparabel erzeugen, indem man sie an der $x$-Achse spiegelt oder passend in $y$-Richtung verschiebt.
    Diese Aussage ist falsch. Betrachtest du die Parabel zu der quadratischen Funktion $f(x)=2x^2$, so fällt dir auf, dass die Parabel im Vergleich zur Normalparabel in Bezug auf die $y$-Achse gestreckt ist und steiler ansteigt. Diese Streckung können wir weder durch Spiegelung noch durch Verschieben erreichen. Um aus der Normalparabel alle beliebigen Parabeln zu erzeugen, müssen wir Kombinationen aus Spiegelungen, Verschiebungen in $x$- und $y$-Richtung und Streckung bzw. Stauchung in $y$-Richtung benutzen.

    Zweite Aussage: Nach oben geöffnete Parabeln haben, in der Normalform geschrieben, einen positiven Faktor vor dem $x^2$.
    Das ist richtig. Das kannst du nachvollziehen, indem du dich an die Merkhilfe „positiver Gesichtsausdruck = Mundwinkel nach oben“ erinnerst. Alternativ: Durch Nachrechnen siehst du, dass folgende Punkte in der Parabel enthalten sind:

    • $(-1\vert a)$ (im zweiten Quadranten, da $a$ positiv)
    • $(0\vert0)$ (der Ursprung)
    • $(1\vert a)$ (im ersten Quadranten, da $a$ positiv)
    Deshalb müssen die Äste der Parabel links und rechts vom Ursprung ansteigen.

    Dritte Aussage: Die Parabeln, die durch die Gleichungen $f(x)=6x^2$ und $g(x)=x^2$ festgelegt werden, sind gleich.
    Diese Aussage ist wieder falsch. Die Normalparabel hat Äste, die links und rechts des Punktes $(0\vert0)$ ansteigen. Alle Parabeln mit $a>1$ sind im Vergleich zur Normalparabel in Bezug auf die $y$-Achse gestreckt. Die Äste dieser gestreckten Parabel liegen also durchgehend über den Ästen der Normalparabel. Nur der Punkt $(0\vert0)$ ist von der Streckung nicht betroffen, da der $y$-Wert $0$ bei Multiplikation mit $a$ unverändert $0$ bleibt. Er ist also als einziger Punkt in beiden Parabeln enthalten. Insgesamt sind die Parabeln durch die unterschiedlich steilen Äste verschieden.
    Alternativ und eher rechnerisch können wir wie folgt vorgehen: Funktionen sind verschieden, wenn es einen oder mehrere Punkte gibt, an dem oder an denen die Funktionen sich unterscheiden. Ein Punkt mit verschiedenen Funktionswerten genügt bereits! Dass es solch einen Punkt gibt, können wir rechnerisch nachweisen, indem wir zum Beispiel die Stelle $x=1$ betrachten. $f(1)=6\cdot 1^2=6$, aber $g(1)=1^2=1$, also $f(1)\neq g(1)$. Somit sind die Funktionen ungleich, also auch ihre Graphen.

    Vierte Aussage: Eine Parabel hat stets eine Gleichung in Normalform $f(x)=a x^2+bx+c$, wobei $a$ eine beliebige Zahl ungleich $0$ ist.
    Diese Aussage ist richtig. Eine Gleichung $f(x)= ax^2+bx+c$ ist eine Parabel, falls $a\neq 0$ ist. Der problematische Sonderfall $a=0$ muss ausgeschlossen werden, weil die Gleichung dann die Gleichung einer linearen Funktion wäre.

    Fünfte Aussage: Eine lineare Funktion hat eine Normalform $f(x)=mx+b$. Im Koordinatensystem entspricht sie einer Geraden.
    Diese Aussage ist ebenfalls richtig. Die angegebene Funktion ist eine lineare Funktion in Normalform. Die zugehörige Gerade steigt mit einer Steigung $m$ konstant an. Die Steigung kann übrigens auch null sein, was zu einer konstanten Funktion führt. Dieser Sonderfall ist aber dennoch eine lineare Gleichung.

  • Ordne den abgebildeten Parabeln die zugehörigen Funktionen zu.

    Tipps

    Ein im Vergleich zu $1$ kleinerer Betrag des Koeffizienten $a$ in der Normalform der Parabel bewirkt, dass die Parabel in $y$-Richtung gestaucht wird.

    Wenn du dir nicht sicher bist, welche von zwei Funktionen die richtige ist, kannst du einige $x$-Werte in beide Funktionen einsetzen und so eine davon ausschließen.

    Du kannst außerdem überprüfen, in welchen Punkten die abgebildete Parabel die $x$-Achse schneidet. Dort ist der $y$-Wert $0$. Nennen wir den $x$-Wert zu so einer Stelle $x_0$. Dann muss auch für die zur Parabel gehörige quadratische Funktion $f(x_0)=0$ gelten.

    Lösung

    Wir sehen als Erstes, dass die Parabeln 1, 2, 4 und 5 nach unten geöffnet sind. Das bedeutet für die jeweiligen quadratischen Funktionen, dass $a$ kleiner als $0$ ist. Einziger Ausreißer ist die Parabel 3, die nach oben geöffnet ist und ein $a>0$ hat.

    Die erste Parabel ist im Vergleich zur Normalparabel in $y$-Richtung gestreckt und somit steiler. Wir sehen uns das Verhalten der Parabel bei den $x$-Werten $-2$, $-1$ und $0$ an. Die Funktion startet bei $0$, springt um $2$ auf $2$ und sinkt wieder um $2$ auf $0$. Dieser Sprung ist genau doppelt so hoch wie bei der Normalparabel, was auf $|a|=2$ hinweist. \begin{array}{l|rr} \hline \mbox{Wert von } x &-2&-1&0&\\ \hline \mbox{abgebildete Parabel } & 0 & 2 & 0\\ \hline \end{array} Wir wissen, dass die Parabel nach unten geöffnet und $a$ negativ ist. Also ist $a=-2$. Deshalb kommt von den vorgegebenen Funktionen nur die Funktion $f(x)=-2x^2-4x$ in Frage.

    Die zweite Parabel hat ein negatives $a$, da sie nach unten geöffnet ist. Zusätzlich sehen wir, dass sie in $y$-Richtung gestaucht ist und somit $|a|<1$ ist. Wir lesen die Stelle, an der der $y$-Wert 0 ist und die Parabel die $x$-Achse schneidet, als $x=1$ ab. Von den möglichen Funktionen aus dem Vorrat mit $|a|<1$ ist die Formel $f(x)=-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$ die einzige, die $f(1)=0$ erfüllt. Somit ist $f(x)=-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$ die richtige Lösung.

    Die dritte Parabel ist eine mit positivem Koeffizienten $a$. Von den gegebenen Parabeln ist sie die einzige mit dieser Eigenschaft. Somit kommt nur $f(x)=x^2-5x+6$ als Lösung in Frage.

    Die vierte Parabel sieht einer an der $x$-Achse gespiegelten Normalparabel recht ähnlich. Der höchste Punkt tritt bei $x=0$ auf. Eine solche Parabel mit höchstem Punkt bei $x=0$ ist das Ergebnis einer Spiegelung an der $x$-Achse mit einer darauf folgenden Streckung in Bezug auf die $y$-Achse. Die Spiegelung sorgt für das negative Vorzeichen des Faktors $a$. Die Streckung in Bezug auf die $y$-Achse passt den Betrag des Faktors $a$ an.
    Nach diesen geometrischen Änderungen der Parabel haben wir also eine Funktion $f(x)=ax^2$ mit negativem $a$. Das Besondere an dieser Form ist, dass der Scheitelpunkt genau wie bei einer Normalparabel im Punkt $(0\vert 0)$ liegt. Die vorliegende Parabel lässt sich durch eine letzte geometrische Änderung bewerkstelligen: Wir verschieben die gesamte Parabel nach unten, ändern also alle $y$-Werte von Punkten auf der Parabel durch Subtraktion von $2$. Verfolgen wir auch hier die Auswirkung auf die zugehörige quadratische Funktion mit, so drückt sie sich folgendermaßen aus:

    $f(x)=ax^2\quad \xrightarrow{\text{Verschiebung um 2 nach unten}} \quad f(x)=ax^2-2$.

    Zu dieser Form der Funktion mit $a<0$ und dem $c=-2$ gibt es in unserem Vorrat nur eine Funktion, nämlich $-\frac{1}{9}x^2-2$.

    Um uns noch einmal abzusichern, dass wir nicht $f(x)-\frac{1}{9}x^2-2$ und $f(x)=-\frac{1}{9}x^2+2$ verwechseln, überlegen wir, was sich aus den Vorzeichen der Terme ergibt, die in diesen Funktionen aufsummiert werden.

    Quadrate von Zahlen sind immer positiv oder 0. Das Produkt einer solchen positiven Zahl oder 0 mit einer negativen Zahl $a$ ist negativ oder 0. Deshalb wäre der größtmögliche Wert von $f(x)=ax^2+c$, wenn $x^2=0$ ist, also wenn $x=0$ ist. Die abgebildete Parabel schafft es nie über einen $y$-Wert von 0 hinaus, bei der Formel $-\frac{1}{9}x^2+2$ würden sich aber zum Beispiel für $x=0$ ein $y$-Wert von 2 ergeben. Deshalb bleibt als Lösung $f(x)=-\frac{1}{9}x^2-2$.

    Die fünfte Parabel ist die einzig verbleibende mit der zugehörigen quadratischen Gleichung $f(x)= -\frac{1}{4}x^2 - x$, wenn wir uns an die Argumentation bei der vierten Parabel erinnern, bei dir wir festgestellt hatten, dass sowohl $f(x)=-\frac{1}{9}x^2-2$ als auch $-\frac{1}{9}x^2+2$ ihren Scheitelpunkt bei dem $x$-Wert $x=0$ haben. Die hier abgebildete Parabel hat einen Scheitelpunkt mit einem von $0$ abweichenden $x$-Wert.

    Geht man unabhängig von dem Ausschluss der vorigen Funktionen vor, kann man die Lösung folgendermaßen finden:
    Die abgebildete Parabel ist nach unten geöffnet und in Bezug auf die $y$-Achse gestaucht. Dazu gibt es zwei passende Kandidaten für die Funktion: $f(x) = -\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$ und $f(x)= -\frac{1}{4}x^2 - x$. Die Eigenschaft, dass die Parabel durch den Punkt $(0\vert0)$ verläuft, bedeutet für die zugehörige Funktion $f(0)=0$. Dies trifft nur auf die Funktion $f(x)= -\frac{1}{4}x^2 - x$ zu.