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Ausmultiplizieren mehrerer Summen

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Team Digital
Ausmultiplizieren mehrerer Summen
lernst du in der Unterstufe 3. Klasse - 4. Klasse

Grundlagen zum Thema Ausmultiplizieren mehrerer Summen

Inhalt

Ausmultiplizieren von Summen – Erklärung

In der Mathematik arbeitet man sehr viel mit Termen, also mathematischen Ausdrücken, die aus Zahlen, Variablen, Klammern und Rechenzeichen bestehen. Durch Termumformungen können wir Terme so verändern, dass sie anders aussehen, aber im Ergebnis gleich bleiben. Dafür gibt es verschiedene Regeln und Vorgehensweisen wie das Ausmultiplizieren. In diesem Text und Video wird das Ausmultiplizieren von Summen einfach erklärt.

Ausmultiplizieren – Wiederholung

Wenn wir ein Produkt gegeben haben, in dem einer der Faktoren eine Summe ist, können wir den anderen Faktor mit allen Summanden in der Klammer multiplizieren:

$a\cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$

Auf diese Weise können wir die Klammer auflösen. Man nennt diese Termumformung Ausmultiplizieren.

Wie werden zwei Summen ausmultipliziert?

Wir können auch ausmultiplizieren, wenn beide Faktoren Summen sind. Um das zu verstehen, schauen wir uns als Beispiel den Term $(k+r)\cdot (h+d)$ an. Wir fassen dafür die rechte Klammer zunächst als einfachen Faktor auf und lösen nur die linke Klammer auf:

$(k+r)\cdot (h+d) = k\cdot (h+d)+r\cdot (h+d)$

Nun stehen dort zwei Summanden, die wir wiederum ausmultiplizieren können:

$ k\cdot (h+d)+r\cdot (h+d) = k \cdot h + k\cdot d + r\cdot h + r\cdot d$

Wir haben also den ersten Summanden der einen Klammer mit beiden Summanden der anderen Klammer multipliziert, mit dem zweiten Summanden der ersten Klammer haben wir es genauso gemacht.

Geometrische Darstellung

Termumformungen kann man häufig in die Geometrie übertragen und so zusätzlich veranschaulichen. Für das Ausmultiplizieren von Summen betrachten wir dafür folgendes Rechteck:

Ausmultiplizieren Rechteck

Das Rechteck hat die Seitenlängen $b+a$ und $c+d$. Wir können den Flächeninhalt berechnen, indem wir die Seitenlängen miteinander multiplizieren: $(b+a)\cdot(c+d)$.

Das Rechteck ist durch die Seitenlängen $a$, $b$, $c$ und $d$ unterteilt in vier kleine Rechtecke mit den Flächeninhalten $b\cdot c$, $b \cdot d$, $a\cdot c$ und $a\cdot d$. Wenn wir diese vier Flächeninhalte addieren, erhalten wir ebenfalls den Flächeninhalt des großen Rechtecks. Also ist:

$(b+a)\cdot(c+d) = b\cdot c + b \cdot d + a\cdot c +a\cdot d$

Dies entspricht genau der Termumformung zum Ausmultiplizieren zweier Summen, die wir oben gelernt haben.

Summen ausmultiplizieren – Beispiele

$(2x+5y)\cdot (7x+3y) = 2x\cdot 7x + 2x\cdot 3y + 5y \cdot 7x + 5y\cdot 3y$

Diesen Term können wir nun noch vereinfachen und zusammenfassen, indem wir die Zahlen in den einzelnen Summanden direkt ausmultiplizieren, gleiche Variablen in einem Produkt zu Potenzen umschreiben und gleichartige Summanden zusammenfassen. Dann erhalten wir folgendes Ergebnis:

$(2x+5y)\cdot (7x+3y) = 14x^{2} + 41xy + 15 y^{2}$

Wie multipliziert man mehrere Summen aus?

Bisher haben wir Beispiele gesehen, die aus zwei Faktoren bestehen. Wir können aber natürlich auch Produkte aus drei Summen ausmultiplizieren. Dafür gehen wir schrittweise vor und multiplizieren zunächst zwei der Klammern aus und lassen den dritten Faktor erst einmal so stehen. Zum Beispiel:

$(a+b)\cdot(a+c)\cdot(b+c) = (a+b)\cdot (ab+ac+bc+c^{2})$

Wichtig dabei ist, dass wir das Ergebnis der beiden ausmultiplizierten Klammern wieder in Klammern setzen. Nun haben wir nur noch ein Produkt aus zwei Summen und können wie gehabt vorgehen und jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multiplizieren:

$(a+b)\cdot (ab+ac+bc+c^{2}) = a^{2}b+a^{2}c+abc+ac^{2} + ab^{2} + abc+ b^{2}c+bc^{2}$

Wir können hier noch gleichartige Summanden zusammenfassen und erhalten damit insgesamt das Ergebnis:

$(a+b)\cdot(a+c)\cdot(b+c) = a^{2}b+a^{2}c+2abc+ac^{2} + ab^{2} + b^{2}c+bc^{2}$

Genauso können wir vorgehen, wenn wir Produkte von Summen mit mehr als drei Faktoren ausmultiplizieren möchten: Wir multiplizieren immer zuerst zwei der Faktoren aus und gehen dann schrittweise vor, bis wir alle Klammern aufgelöst haben.

Produkte von Summen ausmultiplizieren – Zusammenfassung

Enthält ein mathematischer Term ein Produkt aus zwei Summen, können wir den Term umformen, indem wir die Klammern ausmultiplizieren. Dafür multiplizieren wir jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer:

$(k+r)\cdot (h+d) = k \cdot h + k\cdot d + r\cdot h + r\cdot d$

Das Ausmultiplizieren mehrerer Summen führen wir immer auf den Fall von zwei Summen zurück, indem wir nach und nach jeweils zwei Faktoren ausmultiplizieren.

Möchtest du nun durch weitere Beispiele zum Ausmultiplizieren von Summen Übung in dem Thema bekommen? Auf dieser Seite findest du Aufgaben und interaktive Übungen zum Ausmultiplizieren von Summen.

Transkript Ausmultiplizieren mehrerer Summen

Ahoi, ihr hungrigen Landratten! In Hardys Kombüse gibt es lecker Essen für wenig Geld. Sein Angebot ist überschaubar: Es gibt Kartoffeln oder Reis und dazu helle Soße oder dunkle Soße. Damit es nach etwas mehr aussieht, wendet er einen Trick an. Er hat zwei verschiedene Speisekarten. Auf der ersten steht es so: Einmal hat man die Wahl zwischen Kartoffeln und Reis. Für die Beilage kann man dann zwischen heller und dunkler Soße entscheiden. Auf der zweiten hat er die Gerichte ausformuliert: Kartoffeln mit heller Soße. Kartoffeln mit dunkler Soße. Reis mit heller Soße und Reis mit dunkler Soße. Aber eigentlich beschreiben beide Speisekarten genau dasselbe Angebot. Es sieht nur etwas anders aus. Bei vielen Termen ist das genauso. Sie sehen unterschiedlich aus, bedeuten aber dasselbe. Um diese Terme ineinander umzuformen, kann man Termumformungen verwenden, wie das Ausmultiplizieren. In diesem Video geht es um das Ausmultiplizieren mehrerer Summen. Zunächst wiederholen wir, was Ausmultiplizieren eigentlich ist: Haben wir ein Produkt gegeben, von dem einer der Faktoren eine Summe ist, können wir den anderen Faktor mit allen Summanden in der Klammer multiplizieren. So können wir die Klammer auflösen. Diese Termumformung heißt ausmultiplizieren. Das können wir auch machen, wenn beide Faktoren Summen sind. Wenn wir die rechte Klammer als einfachen Faktor auffassen, dürfen wir die linke Klammer so ausmultiplizieren. Dann haben wir zwei Summanden, die wir auch ganz normal ausmultiplizieren dürfen. Schauen wir uns diese Umformung noch einmal genauer an: Offenbar haben wir den ersten Summanden der einen Klammer mit beiden Summanden der anderen Klammer multipliziert. Mit dem zweiten Summanden haben wir es genauso gemacht. Ganz analog funktioniert das bei Hardys Speisekarten: Laut der ersten Speisekarte kann man sich zwischen Kartoffeln und Reis entscheiden und dazu hat man die Wahl zwischen heller und dunkler Soße. Kartoffeln kann man mit beiden Soßen kombinieren und Reis auch. Folglich kann man es auch so schreiben: Man kann wählen zwischen Kartoffeln mit heller Soße und Kartoffeln mit dunkler Soße und Reis mit heller Soße und Reis mit dunkler Soße. Das entspricht der zweiten Speisekarte. Beide Speisekarten beschreiben dasselbe Angebot, wie bei der Termumformung. Termumformungen kann man häufig auch in die Geometrie übertragen. Für die geometrische Darstellung des Ausmultiplizierens zweier Summen betrachten wir dieses Rechteck. Das teilen wir in vier unterschiedlich große Rechtecke auf. Diese Seiten sollen die Länge a, diese die Länge b, diese die Länge c und diese die Länge d haben. Das große Rechteck hat also die Seitenlängen a plus b und c plus d. Indem wir beide Summen miteinander multiplizieren, können wir den Flächeninhalt berechnen. Wir können den Flächeninhalt aber auch bestimmen, indem wir erst die Flächeninhalte der vier kleinen Rechtecke ermitteln und diese dann addieren. Auch so erhalten wir also die bereits bekannte Termumformung. Wenden wir sie doch einmal an: Wir können dieses Produkt aus zwei Summen ausmultiplizieren, indem wir jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multiplizieren. Die Zahlen in den Produkten können wir direkt ausrechnen. Gleiche Variablen in einem Produkt können wir zu Potenzen umschreiben. Gleichartige Summanden dürfen wir zusammenfassen. So erhalten wir das Ergebnis, das wir nicht weiter vereinfachen können. Und wie ist das in einem Produkt aus drei Summen? Da wählen wir uns zunächst zwei Klammern und multiplizieren diese aus. Hier beginnen wir mit der zweiten und dritten. Dazu verrechnen wir jeden Summanden der zweiten Klammer mit jedem Summanden der dritten Klammer. Was dabei herauskommt, müssen wir aber wieder in Klammern schreiben. Dann haben wir nur noch zwei Klammern, die wir genauso ausmultiplizieren dürfen: Den ersten Summanden der ersten Klammer multiplizieren wir mit jedem Summanden der zweiten Klammer. Mit dem zweiten Summanden der ersten Klammer verfahren wir genauso. Wir erhalten acht Summanden. Gleichartige dürfen wir zusammenfassen. So kommen wir auf das Ergebnis, das wir nicht noch weiter vereinfachen können. Fassen wir das noch einmal zusammen: Haben wir ein Produkt aus zwei Summen gegeben, können wir das ausmultiplizieren, indem wir jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer verrechnen. Das sieht dann so aus. Haben wir ein Produkt aus mehreren Summen gegeben, multiplizieren wir zunächst zwei davon aus. Was dabei herauskommt können wir mit der nächsten Klammer verrechnen. So kann man den Term schrittweise umformen. Und Hardy? Der hat heute hohen Besuch - einen Restaurant-Kritiker! Na, dem scheint's ja zu schmecken! Aber klar! Wer so gut rechnen kann, der macht auch spitzenmäßige Soßen!

6 Kommentare

6 Kommentare
  1. Tolles Video alles verstanden

    Von Lenchen , vor 11 Monaten
  2. 😅

    Von Maal, vor mehr als einem Jahr
  3. sehr gut hab alles verstanden danke

    Von Cbarut08, vor etwa 2 Jahren
  4. gut

    Von Cbarut08, vor etwa 2 Jahren
  5. Gut!

    Von Linyinihao, vor etwa 2 Jahren
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Ausmultiplizieren mehrerer Summen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ausmultiplizieren mehrerer Summen kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die korrekten Aussagen zum Ausmultiplizieren mehrerer Summen.

    Tipps

    Auch wenn Terme manchmal sehr unterschiedlich aussehen, können sie äquivalent sein.

    Hier wurden zwei Summen ausmultipliziert: $(k+r)\cdot (h+d)= k \cdot h +k \cdot d + r \cdot h + r\cdot d $

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Sehen Terme unterschiedlich aus, kann man sie niemals ineinander umformen.“

    • Auch wenn Terme manchmal sehr unterschiedlich aussehen, können sie äquivalent sein. In diesem Fall kann man sie ineinander umformen.
    „Ausmultiplizieren ist keine Termumformung.“

    • Beim Ausmultiplizieren wird ein Term auf eine andere Art und Weise aufgeschrieben. Das ist eine Termumformung.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Beim Ausmultiplizieren wird ein Faktor, der mit einer Summe multipliziert wird, mit allen Summanden der Summe einzeln multipliziert.“

    • Durch einen Term ausgedrückt, sieht das so aus: $a (b+c)=a \cdot b + a\cdot c = ab+ac$
    „Die Multiplikation zweier Summen kann man allgemein so schreiben: $(k+r)\cdot (h+d)$“

    „Möchte man zwei Summen ausmultiplizieren, muss man jeden Summanden der ersten Klammer mit allen Summanden der zweiten Klammer multiplizieren.“

    • Hier wurden zwei Summen ausmultipliziert: $(k+r)\cdot (h+d)= k \cdot h +k \cdot d + r \cdot h + r\cdot d $
  • Beschreibe, wie man zwei Summen ausmultipliziert.

    Tipps

    Jeder Summand der ersten Klammer wird mit allen Summanden der zweiten Klammer multipliziert.

    Nach der Multiplikation kannst du gleichartige Terme zusammenfassen. Zum Beispiel:

    $3yx+2yx=5yx$

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Das Ausmultiplizieren von zwei allgemeinen Summen kannst du so ausdrücken:

    $(k+r)\cdot (h+d)= k \cdot h + k \cdot d + r \cdot h + r\cdot d $“

    • Jeder Summand der ersten Klammer wird mit allen Summanden der zweiten Klammer multipliziert.
    „Wenden wir das auf den gegebenen Term an, erhalten wir:

    $(2x+5y) \cdot (7x+3y)= 2x \cdot 7x+2x \cdot 3y+ 5y\cdot 7x + 5y \cdot 3y$

    Vereinfacht ergibt sich dann:

    $14x^2+41xy+15y^2$“

    • Auch hier musst du alle Summanden miteinander multiplizieren. Anschließend kannst du gleichartige Terme zusammenfassen.
  • Wende die Regeln zum Ausmultiplizieren zweier Summen an.

    Tipps

    Multipliziere jeden Summanden der ersten Klammer mit beiden Summanden der zweiten Klammer.

    Gleichartige Terme kannst du zusammenfassen. Gleichartige Terme sind Terme, in denen die gleichen Variablen vorkommen. Zum Beispiel sind $3x$ und $4x$ gleichartig. Du kannst sie also zu $7x$ zusammenfassen.

    Lösung

    Du kannst die Terme verbinden, indem du die Summen ausmultiplizierst. Multipliziere dabei jeden Summanden der ersten Klammer mit beiden Summanden der zweiten Klammer. So erhältst du:

    $\begin{array}{ll} \\ (2x+y) \cdot (3x+2y)&=2x \cdot 3x+ 2x \cdot 2y + y \cdot 3x + y \cdot 2y\\ &= 6x^2+4xy+3xy+2y^2\\ &=6x^2+7xy+2y^2\\ \\ \end{array}$

    $\begin{array}{ll} (x+y) \cdot (3x+3y)&=x \cdot 3x + x \cdot 3y + y \cdot 3x+ y \cdot 3y\\ &=3x^2+3xy+3xy+3y^2\\ &=3x^2+6xy+3y^2\\ \\ \end{array}$

    $\begin{array}{ll} (3x+2) \cdot (4y+3)&=3x \cdot 4y + 3x \cdot 3 + 2 \cdot 4y+ 2 \cdot 3\\ &=12xy+9x + 8y+6\\ \\ \end{array}$

    $\begin{array}{ll} (x+2) \cdot (3y+2)&=x \cdot 3y + x \cdot 2 + 2 \cdot 3y +2 \cdot 2\\ &=3xy+2x + 6y+4\\ \end{array}$

  • Bestimme die ausmultiplizierte Form der Terme.

    Tipps

    So multiplizierst du zwei allgemeine Summen aus:

    $(k+r)\cdot (h+d)= k \cdot h + k \cdot d + r \cdot h + r\cdot d $

    Gleichartige Terme kannst du zusammenfassen. Ein gleichartiger Term ist ein Term, in dem die gleichen Variablen vorkommen. Zum Beispiel sind die Terme $3x$ und $4x$ gleichartig.

    Lösung

    Du kannst die Terme verbinden, indem du die Summen ausmultiplizierst. Multipliziere dabei jeden Summanden der ersten Klammer mit beiden Summanden der zweiten Klammer. So erhältst du:

    $\begin{array}{ll} \\ (5x+4y) \cdot (6x+7y)&= 5x \cdot 6x +5x \cdot 7y+ 4y \cdot 6x + 4y \cdot 7y\\ &=30x^2+35xy+24xy +28y^2\\ &=30x^2+59xy +28y^2\\ \\ \end{array}$

    $\begin{array}{ll} \\ (2x+4y) \cdot (9x+8y) &=2x \cdot 9x + 2x \cdot 8y + 4y \cdot 9x + 4y \cdot 8y\\ &=18x^2+16xy+36xy +32y^2\\ &=18x^2+52xy +32y^2\\ \\ \end{array}$

    $\begin{array}{ll} \\ (7x+3y) \cdot (2y+5x)&=7x \cdot 2y + 7x \cdot 5x + 3y \cdot 2y + 3y \cdot 5x\\ &=35x^2+14xy+15xy +6y^2\\ &=35x^2+29xy +6y^2\\ \\ \end{array}$

    $\begin{array}{ll} \\ (4y+3x) \cdot (7x+3y)&=4y \cdot 7x + 4y \cdot 3y + 3x \cdot 7x + 3x \cdot 3y\\ &=21x^2+28xy+9xy +12y^2\\ &=21x^2+37xy +12y^2\\ \\ \end{array}$

  • Beschreibe die geometrische Darstellung des Ausmultiplizierens zweier Summen.

    Tipps

    Du kannst den Flächeninhalt des großen Rechtecks bestimmen, indem du seinen Flächeninhalt direkt bestimmst. Das ist hier die linke Seite der Gleichung.

    Du kannst aber auch die Flächeninhalte der Teilrechtecke bestimmen und anschließend addieren. Das ist die rechte Seite der Gleichung.

    Du kannst die Terme zuordnen, indem du die Seitenlängen der jeweiligen Rechtecke multiplizierst.

    Lösung

    Jeder Term entspricht einem Teil des gesamten Rechtecks. Du kannst die Terme zuordnen, indem du die Seitenlängen der jeweiligen Rechtecke multiplizierst. Die Seitenlängen des gelben Rechtecks sind zum Beispiel $c$ und $b$. Also gehört dieses Rechteck zum Term $bc$. Mit diesen Überlegungen kannst du alle anderen Terme zuordnen.

  • Ermittle die korrekten Rechnungen.

    Tipps

    Du kannst bestimmen, welche Rechnungen korrekt sind, indem du die Summen/Differenzen ausmultiplizierst. Multipliziere also alle Teile der ersten Klammer mit beiden Teilen der zweiten Klammer.

    Beachte dabei die Vorzeichen. Erinnere dich, dass die Multiplikation zweier Faktoren mit ungleichen Vorzeichen $(+/-)$ oder $(-/+)$ ein negatives Ergebnis $(-)$ und mit gleichen Vorzeichen $(+/+)$ oder $(-/-)$ ein positives Ergebnis $(+)$ ergibt.

    Lösung

    Du kannst bestimmen, welche Rechnungen korrekt sind, indem du die Summen bzw. Differenzen ausmultiplizierst. Multipliziere also alle Teile der ersten Klammer mit beiden Teilen der zweiten Klammer. Beachte dabei die Vorzeichen. Erinnere dich, dass die Multiplikation zweier Faktoren mit ungleichen Vorzeichen, also $(+/-)$ oder $(-/+)$, ein negatives Ergebnis $(-)$ ergibt. Haben die beiden Faktoren gleiche Vorzeichen $(+/+)$ oder $(-/-)$, so ist das Produkt positiv $(+)$. So erhältst du, dass diese Rechnungen falsch sind:

    $(2x-8y) \cdot (3y+3x)=8x^2-18xy+24y^2$

    • Hier rechnen wir:
    $\begin{array}{lllll} && (2x-8y) \cdot (3y+3x) &=& 2x \cdot 3y + 2x \cdot 3x-8y \cdot 3y -8y \cdot 3x \\ && &=& 6xy + 6x^2-24y^2 -24xy \\ && &=& 6x^2-24xy+6xy-24y^2 \\ && &=& 6x^2-18xy-24y^2 \\ \\ \end{array}$

    $(8y+3) \cdot (x-2y)=-16y^2-6y-8xy+3x$

    • Hier wird gerechnet:
    $\begin{array}{lllll} && (8y+3) \cdot (x-2y) &=& 8y \cdot (-2y) +3 \cdot x + 8y \cdot x +x \cdot (-2y) \\ && &=& -16y^2 +3x + 8xy -2xy \\ && &=& -16y^2 +3x + 6xy \\ \\ \end{array}$

    Diese Rechnungen sind korrekt:

    • $(3x-4) \cdot (5x-3)=15x^2-9x-20x+12=15x^2-29x+12$
    • $(8x-7y) \cdot (x-y)=8x^2-7xy-8xy+7y^2=8x^2-15xy+7y^2$
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