Ausklammern – Übungen

1) Term: $5\cdot23 + 17\cdot5$
Faktorisierung: $5(23 + 17)$

Erläuterung:

• Beide Summanden enthalten den Faktor $5$, der ausgeklammert werden kann.
• Schreibe:
  $$5\cdot23 + 17\cdot5 = 5\cdot23 + 5\cdot17 = 5\,(23 + 17)$$
• In der Klammer stehen die übrig gebliebenen Faktoren $23$ und $17$.

2) Term: $4\cdot15 + 7\cdot4$
Faktorisierung: $4(15 + 7)$

Erläuterung:

• Erkenne den gemeinsamen Faktor $4$ in beiden Summanden.
• Schreibe:
  $$4\cdot15 + 7\cdot4 = 4\cdot15 + 4\cdot7 = 4\,(15 + 7)$$
• In der Klammer stehen die Restfaktoren $15$ und $7$.

3) Term: $14 + 21$
Faktorisierung: $7(2 + 3)$

Erläuterung:

• Der größte gemeinsame Teiler von $14$ und $21$ ist $7$: $\mathrm{ggT}(14,21) = 7$.
• Schreibe:
  $$14 + 21 = 7\cdot2 + 7\cdot3 = 7\,(2 + 3)$$

4) Term: $24 - 8$
Faktorisierung: $8(3 - 1)$

Erläuterung:

• $\mathrm{ggT}(24,8) = 8$.
• Schreibe:
  $$24 - 8 = 8\cdot3 - 8\cdot1 = 8\,(3 - 1)$$

5) Term: $5x + 10x$
Faktorisierung: $5x(1 + 2)$

Erläuterung:

• In beiden Summanden ist der Faktor $x$ enthalten. Außerdem haben sowohl die $5$ als auch die $10$ den Teiler $5$, der größte gemeinsame Teiler ist daher $5x$.
• Schreibe:
  $$5x + 10x = 5x\cdot1 + 5x\cdot2 = 5x\,(1 + 2)$$

6) Term: $6y - 3y$
Faktorisierung: $3y(2 - 1)$

Erläuterung:

• Gemeinsamer Faktor: $3y$.
• Schreibe:
  $$6y - 3y = 3y\cdot2 - 3y\cdot1 = 3y\,(2 - 1)$$

Lösung:

$$ \begin{array}{rcl} 31\cdot7 + 9\cdot7 &=& 7\cdot(31 + 9) \\ &=& 7\cdot40 \\ &=& \underline{\underline{280}} \end{array} $$

Erklärung:
Weil der Faktor $7$ in beiden Summanden vorkommt, kann er als gemeinsamer Teiler ausgeklammert werden. Anschließend kannst du zuerst die Klammer ausrechnen und so die Rechnung deutlich vereinfachen.

Lösung:

$$ \begin{array}{rcl} 14\cdot5 + 5\cdot8 &=& 5\cdot(14 + 8) \\ &=& 5\cdot22 \\ &=& \underline{\underline{110}} \end{array} $$

Erklärung:
Der Faktor $5$ steht in beiden Summanden, also klammern wir $5$ aus. Dann berechnest du in der Klammer $14+8=22$, bevor du $5\cdot22$ ausmultiplizierst.

Lösung:

$$ \begin{array}{rcl} 22\cdot6 + 12\cdot14 &=& 22\cdot6 + (6\cdot2)\cdot14 \\ &=& 22\cdot6 + 6\cdot28 \\ &=& 6\cdot(22 + 28) \\ &=& 6\cdot50 \\ &=& \underline{\underline{300}} \end{array} $$

Erklärung:
Erkenne zuerst, dass in den Faktoren $6$ und $12$ der gemeinsame Teiler $6$ steckt. Forme dann so um, dass du $6$ ausklammern kannst, berechne die Klammer und das Ergebnis.

Lösung:

$$ \begin{array}{rcl} 13\cdot3 + 8\cdot9 + 3\cdot23 &=& 13\cdot3 + 8\cdot(3\cdot3) + 3\cdot23 \\ &=& 13\cdot3 + 8\cdot3\cdot3 + 3\cdot23 \\ &=& 3\cdot(13 + 24 + 23) \\ &=& 3\cdot60 \\ &=& \underline{\underline{180}} \end{array} $$

Erklärung:
Der Faktor $3$ kommt in allen Summanden vor (da $9=3\cdot3$). Nach dem Ausklammern berechnest du zuerst die Klammer, dann das Endergebnis.

Lösung:

$$ \begin{array}{rcl} 24\cdot5 - 9\cdot5 &=& 5\cdot(24 - 9) \\ &=& 5\cdot15 \\ &=& \underline{\underline{75}} \end{array} $$

Erklärung:
Auch bei Subtraktion lassen sich gemeinsame Faktoren ausklammern. Zuerst berechnest du $24-9=15$, dann multiplizierst du $5\cdot15$.

Lösung:

$$ \begin{array}{rcl} 5\cdot11 + 5\cdot22 + 5\cdot33 &=& 5\cdot11\cdot(1 + 2 + 3) \\ &=& 55\cdot(1 + 2 + 3) \\ &=& 55\cdot6 \\ &=& \underline{\underline{330}} \end{array} $$

Erklärung:
Alle Summanden enthalten die Faktoren $5$ und $11$ (bzw. den Faktor $55$). Klammere sie aus, addiere $1+2+3=6$ und multipliziere.

Lösung:

$$ \begin{array}{rcl} 16\cdot7 + 8\cdot13 - 16\cdot2 &=& (8\cdot2)\cdot7 + 8\cdot13 - (8\cdot2)\cdot2 \\ &=& 8\cdot14 + 8\cdot13 - 8\cdot4 \\ &=& 8\cdot(14 + 13 - 4) \\ &=& 8\cdot23 \\ &=& \underline{\underline{184}} \end{array} $$

Erklärung:
Suche den Faktor $8$ in allen Termen, klammere ihn aus, berechne die Klammer und bestimme das Endergebnis.

Lösung:

$$ \begin{array}{rcl} 3 + 25 + 5\cdot95 &=& 3 + 5\cdot5 + 5\cdot95 \\ &=& 3 + 5\cdot(5 + 95) \\ &=& 3 + 5\cdot100 \\ &=& 3 + 500 \\ &=& \underline{\underline{503}} \end{array} $$

Erklärung:
Achte auf die Rechenzeichen! Klammer den gemeinsamen Faktor $5$ aus den hinteren Summanden aus. Berechne die Klammer und multipliziere mit $5$.
Zuletzte musst du noch die $3$ addieren.

Lösung:

$$ \begin{array}{rcl} 129\cdot11 - 99 &=& 129\cdot11 - 9\cdot11 \\ &=& 11\cdot(129 - 9) \\ &=& 11\cdot120 \\ &=& \underline{\underline{1320}} \end{array} $$

Erklärung:
Hier kann der Faktor $11$ ausgeklammert werden, um die Rechnung zu vereinfachen.

Lösung:

$$ \begin{array}{rcl} 3x^2 + 5x &=& 3x \cdot x + 5 \cdot x) \\ &=& \underline{\underline{x(3x + 5)}} \end{array} $$

Erklärung:
Beide Summanden enthalten die Variable $x$. Wir klammern $x$ aus, in der Klammer verbleiben $3x + 5$.

Lösung:

$$ \begin{array}{rcl} 2a + 4ab - a &=& a\,(2 + 4b - 1) \\ &=& \underline{\underline{a\,(1+4b)}} \end{array} $$

Erklärung:
$ab$ ist die Kurzschreibweise für $a\cdot b$, bei der das Malzeichen einfach weggelassen wird. Alle drei Terme enthalten daher den Faktor $a$. Nach dem Ausklammern kannst du den Term in der Klammer noch die Summanden $2$ und $-1$ zusammenfassen.

Lösung:

$$ \begin{array}{rcl} 8ab^2 - 2ab + 4a^2b &=& 2ab \cdot 4b - 2ab \cdot 1 + 2ab \cdot 2a \\ &=& \underline{\underline{2ab(4b - 1 + 2a)}} \end{array} $$

Erklärung:
Hier können wir den gemeinsamen Faktor $2ab$ ausklammern, der in allen drei Summanden vorkommt.

Lösung:

$$ \begin{array}{rcl} 3xy + 5xz + 2xy &=& x(3y + 5z + 2y) \\ &=& x(5y+5z) \\ &=& \underline{\underline{5x(y+z)}} \end{array} $$

Erklärung:
Die Variable $x$ ist in allen Summanden vertreten. Nach dem Ausklammern addierst du die gleichartigen Term in der Klammer $3y+2y=5y$. Dann können wir zusätzlich den gemeisamen Faktor $5$ vor die Klammer schreiben.

Lösung:

$$ \begin{array}{rcl} 2x^{2}y + 3xy &=& \underline{\underline{xy\,(2x + 3)}} \end{array} $$

Erklärung:
Beide Terme enthalten $x$ und $y$. $x^2$ ist gleich $x\cdot x$. Wir können also ein $x$ aus beiden Termen ausklammern, das zweite $x$ „verbleibt“ in der Klammer.

Lösung:

$$ \begin{array}{rcl} 5x^{2}y + 10x^{2}y^{2} - x^{3}y &=& \underline{\underline{x^2\,y\,(5 + 10y - x)}} \\ \end{array} $$

Erklärung:
$x$ und $y$ kommen jeweils in allen Summanden als Faktoren vor. Wir klammer sie jeweils in der höchsten Potzenz aus, die in allen Summanden vorkommt: $x^2$ und $y$.

Lösung:

$$ \begin{array}{rcl} 6x + 12x^2-3xy &=& \underline{\underline{3x\,(2 + 4x - y)}} \end{array} $$

Erklärung:
Der größte gemeinsame Faktor ist $3x$. Im zweiten Summanden bleibt dann $4x$ und im dritten $-y$ in der Klammer übrig.

Lösung:

$$ \begin{array}{rcl} 9x^{3}y^2 - 3x^{4}y^5 + 6x^{3}y^{5}z &=& \underline{\underline{3x^{3}y^{2}\,(3 - xy^3 + 2y^{3}z)}} \end{array} $$

Erklärung:
Die höchsten gemeinsamen Potenzen lassen sich ausklammern, hier $x^3$ und $y^2$. Außerdem ist in jedem Term der Faktor $3$ enthalten.

Lösung:

$$ \begin{array}{rcl} 2ab - 3ac + 5bc &=& \underline{\underline{a(2b - 3c) + 5bc}} \\ \end{array} $$

Erklärung:
Bei diesem Term müssen wir aufpassen, da es zwar gemeinsame Faktoren zwischen jeweils zwei Summanden gibt, aber keinen gemeinsamen Faktor, der in allen drei Summanden vorkommt. Wir können also jeweils nur aus zwei Summanden ausklammern.
Alternativ hätten wir uns hier auch für das Ausklammern von $b$ (aus den Summanden $2ab$ und $5bc$) oder $c$ (aus den Summanden $-3ac$ und $5bc$) entscheiden können:

• $b(2a + 5c) - 3ac$
• $2ab + c(-3a + 5b)$

Term 1: $8x-12$
Faktorisierung: $4\,(2x -3)$

Erläuterung:
Der größte gemeinsame Teiler der Zahlen $8$ und $12$ ist $4$. Variablen kommen hier nur bei $8x$ vor, also bleibt das $x$ in der Klammer erhalten.
Wir klammern $4$ aus und erhalten in der Klammer:

• $2x$ (aus $8x:4$)
• $-3$ (aus $-12:4$)

Term 2: $-6a+12ab$
Faktorisierung: $-6a\,(1 -2b)$

Erläuterung:
Wir suchen den größten gemeinsamen Teiler. Bei den Koeffizienten ist es $6$, bei $a$ die kleinste Potenz $a^1$. Weil das Vorzeichen des ersten Summanden negativ ist, klammern wir $-6a$ aus.
In der Klammer entsteht:

• $1$ (aus $-6a:-6a$)
• $-2b$ (aus $12ab:(-6a)$)

Term 3: $-4x^2+6x$
Faktorisierung: $-2x\,(2x -3)$

Erläuterung:
Die gemeinsamen Teiler sind $2$ bei den Zahlen und $x^1$ bei den Variablen. Weil der erste Summand negativ ist, wählen wir $-2x$ aus.
In der Klammer ergibt sich:

• $-4x^2:(-2x)=2x$
• $6x:(-2x)=-3$

Term 4: $9m^2n+12mn-3n$
Faktorisierung: $3n\,(3m^2 +4m -1)$

Erläuterung:
Hier ist der größte gemeinsame Teiler $3$ und $n$. Wir klammern $3n$ aus.
Dann folgt:

• $9m^2n:(3n)=3m^2$
• $12mn:(3n)=4m$
• $-3n:(3n)=-1$

Term 5: $-5x^2y+15xy^2-10y^3$
Faktorisierung: $-5y\,(x^2 -3xy +2y^2)$

Erläuterung:
Gemeinsam ist den Termen der Faktor $5$ und $y^1$, sowie das negative Vorzeichen. Klammern wir $-5y$ aus.
Dann ergibt sich:

• $-5x^2y:(-5y)=x^2$
• $15xy^2:(-5y)=-3xy$
• $-10y^3:(-5y)=2y^2$

Term 6: $\dfrac{2}{3}x^2y^3+\dfrac{4}{3}xy^3-\dfrac{1}{3}x^3y^4$
Faktorisierung: $\dfrac{1}{3}xy^3\,(2x+4 -x^2y)$

Erläuterung:
Wir suchen den größten gemeinsamen Teiler in den Koeffizienten: $\tfrac{1}{3}$. Bei den Variablen ist es $x^1y^3$. Klammern wir $\tfrac{1}{3}xy^3$ aus.
Dann folgt:

• $\tfrac{2}{3}x^2y^3:(\tfrac{1}{3}xy^3)=2x$
• $\tfrac{4}{3}xy^3:(\tfrac{1}{3}xy^3)=4$
• $-\tfrac{1}{3}x^3y^4:(\tfrac{1}{3}xy^3)=-x^2y$