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Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten lösen

Löse Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten: Erlerne, Gleichungen umzuformen, um den Wert der gesuchten Variablen zu bestimmen. Finde Schritt-für-Schritt-Beispiele, wie du komplexe Gleichungen erfolgreich lösen kannst. Interessiert? Das und vieles mehr erwartet dich im folgenden Text!

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Wie löst man Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten?

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Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten lösen
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Grundlagen zum Thema Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten lösen

Lösen von Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten – Anleitung

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Vorschaubild einer Übung

Um Gleichungen mit Variablen lösen zu können, nutzen wir die Äquivalenzumformungen. Dabei wird eine Gleichung so umgeformt, dass sich ihr Wert nicht verändert. So können wir eine Gleichung nach der gesuchten Variablen umstellen und ihren Wert ermitteln. Dabei müssen wir beachten, dass wir auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Veränderung vornehmen. Eine ausführliche Erklärung findest du im Video über die Äquivalenzumformung.

Im Folgenden schauen wir uns anhand von Beispielen an, wie man Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten lösen kann.

Wie löst man Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten?

Schauen wir uns dafür zunächst die folgende Gleichung mit der Variablen xx auf beiden Seiten an:

5x+1=2x+105\,x + 1 = 2\,x + 10

Wir wollen diese Gleichung nun nach xx auflösen. Auch hier nutzen wir die Äquivalenzumformungen, um xx allein auf einer Seite stehen zu haben. Schrittweises Vorgehen hilft uns dabei, den Überblick zu behalten.

Zunächst subtrahieren wir auf beiden Seiten 11:

5x+1=2x+1015\,x + 1 = 2\,x + 10 \quad \vert -1
    5x=2x+9\quad \, \, \, \, 5\,x = 2\,x + 9

Nun subtrahieren wir auf beiden Seiten 2x2\,x:

5x=2x+92x5\,x = 2\,x +9 \quad \vert -2\,x
3x=93\,x = 9

Im letzten Schritt dividieren wir beide Seiten durch 33:

3x=9:33\,x = 9 \quad \vert :3
    x=3\, \, \, \, x = 3

Für xx haben wir den Wert 33 erhalten.

Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten – Aufgabe

Schauen wir uns nun ein etwas komplizierteres Beispiel an.

3(2x5)+10=4x+93 \cdot \bigl(2\,x - 5 \bigr) + 10 = 4\,x + 9

Auch hier hilft uns schrittweises Vorgehen, damit wir beim Lösen der Gleichung nicht durcheinanderkommen. Dafür vereinfachen wir die Gleichung zunächst einmal.

Schritt 1: vereinfachen
Mithilfe des Distributivgesetzes können wir die Klammern auflösen. Dafür multiplizieren wir die Zahl vor der Klammer, also die 33, einzeln mit den Zahlen in der Klammer. Dieser Vorgang wird auch Ausmultiplizieren genannt. Eine ausführliche Erklärung findest du im Video über das Distributivgesetz.

3(2x5)=32x+3(5)=6x153 \cdot \bigl(2\,x - 5 \bigr) = 3 \cdot 2\,x + 3 \cdot \bigl(-5\bigr) = 6\,x -15

Die Gleichung lautet nun:

6x15+10=4x+96\,x - 15 + 10 = 4\,x + 9

Um die Gleichung übersichtlicher zu machen, können gleichartige Terme auf jeder Seite einzeln zusammengefasst werden. So können wir auf der linken Seite 15-15 und 1010 zu 5-5 zusammenfassen.

6x5=4x+96\,x - 5 = 4\,x + 9

Schritt 2: umstellen
Mithilfe der Äquivalenzumformungen stellen wir die Gleichung so um, dass alle gleichartigen Terme auf jeweils einer Seite stehen. So wollen wir alle Terme mit einem xx auf der einen und alle Terme ohne xx auf der anderen Seite stehen haben. Dafür addieren wir zunächst auf beiden Seiten 55.

6x5=4x+9+56\,x - 5 = 4\,x + 9 \quad \vert +5
    6x=4x+14\quad \, \, \, \, 6\,x = 4\,x + 14

Nun subtrahieren wir auf beiden Seiten 4x4\,x und erhalten:

6x=4x+144x6\,x = 4\,x + 14 \quad \vert -4\,x
2x=142\,x = 14

Schritt 3: nach xx auflösen
Um die Gleichung nun nach xx aufzulösen, müssen wir nur noch beide Seiten durch 22 dividieren.

2x=14:22\,x = 14 \quad \vert :2
    x=7\, \, \, \, x = 7

Für xx erhalten wir den Wert 77.

Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten – Übungen

Zusätzlich zum Text und dem Video findest du hier auf der Seite noch Übungen und Arbeitsblätter zum Thema Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten lösen.

Transkript Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten lösen

Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten lösen

Erik und Johanna besuchen eine Zoohandlung, um neue schillernde Freunde für ihre Aquarien zu kaufen. Beide haben gleich viel Geld dabei.

Einleitung ins Thema

Erik kauft zwei Regenbogen-Blinkys und zehn graue Guppys. Johanna liebt Regenbogen-Blinkys, deshalb kauft sie 5 davon und nur einen Guppy. Beide haben nun ihr ganzes Geld ausgegeben. Als Erik Johannas buntes Aquarium sieht, ist er traurig, dass er nicht noch einen weiteren Regenbogen-Blinky gekauft hat. Er fragt sich: Wie viele graue Guppys muss er für einen weiteren Blinky eintauschen? Um das herauzufinden, kann Erik eine Gleichung mit derselben Variablen auf beiden Seiten aufstellen.

Rückblick: Was ist eine Gleichung?

Erinnerst du dich? Eine Gleichung ist wie eine Waage. Damit sie im Gleichgewicht bleibt, muss du alle Rechenoperationen, die du auf einen Seite ausführst, auch auf der anderen Seite durchführen. Johanna hat fünf Regenbogen-Blinkys und einen grauen Guppy gekauft. Für den gleichen Geldbetrag hat Erik zwei Blinkys und zehn Guppys gekauft. Die Waage ist also im Gleichgewicht.

Berechnung der Beispielaufgabe

Ein grauer Guppy kostet 1€. Deshalb können wir die Gleichung 5x + 1 = 2x + 10 aufstellen. x steht für den Betrag, den ein Regenbogen-Blinky kostet. Um herauszufinden, wie viele graue Guppys dem Preis von einem Regenbogen-Blinky entsprechen, musst du die Gleichung nach x auflösen, indem du mithilfe von Umkehroperationen alle x allein auf eine Seite der Gleichung bringst. 5x plus 1 ist gleich 2x plus 10. Zuerst subtrahieren wir von beiden Seiten 1: 5x ist gleich 2x plus 9. Als nächstes subtrahieren wir 2x von beiden Seiten der Gleichung. So bleibt die Waage im Gleichgewicht. 3x ist gleich 9. Um nach x aufzulösen, nutzen wir die Umkehroperation der Multiplikation: Wir dividieren beide Seiten durch 3. [entfällt!] x ist also gleich 3. Das heißt, ein Regenbogen-Blinky kostet genauso viel wie drei graue Guppys. Erik kann deshalb 3 Guppys gegen einen Blinky umtauschen. Das freut ihn!

Beispielaufgabe 2

Lass uns nun einen Blick auf ein etwas komplizierteres Beispiel werfen: 3 mal [...] Klammer auf [...] 2x minus 5 [...] Klammer zu [...] plus 10 [...] ist gleich 4x plus 9 Zum Auflösen der Klammern nutzt du das Distributitvgesetz und multiplizierst aus. 3 mal 2x ist gleich 6x und 3 mal -5 ist gleich -15. Das ergibt 6x - 15 + 10 ist gleich 4x + 9. Um das Ganze übersichtlicher zu machen, kannst du gleichartige Terme auf jeder Seite der Gleichung zusammenfassen. Das ergibt 6x minus 5 ist gleich 4x plus 9. Jetzt nutzt du Umkehroperationen, um alle gleichartigen Terme auf jeweils eine Seite zu bringen. Überlege, was du auf welche Seite bringen möchtest, um möglichst einfache Gleichungen zu haben. Hier addieren wir zuerst auf jeder Seite der Gleichung 5. Wir erhalten die Gleichung 6x ist gleich 4x plus 14. Jetzt subtrahieren wir noch 4x auf jeder Seite. Das ergibt die Gleichung 2x ist gleich 14. Danach nutzt du die Umkehroperation, um nach x aufzulösen. Dividiere beide Seiten der Gleichung durch 2. x ist gleich 7. Gehe bei Gleichungen wie diese immer Schritt für Schritt vor, um den Überblick zu behalten.

Ende

Wie es wohl den Fischen geht? Friedlich ziehen sie ihre Bahnen... Au Backe - noch ein Fan von Regenbogen Blinkeys...

38 Kommentare
  1. Sehr gut erklärt bro

    Von Armin Jin, vor 3 Monaten
  2. Mega gutes Video, hat mir echt geholfen :)

    Von Gnömli, vor mehr als einem Jahr
  3. Mega Video, super erklärt🤭 Könntet ihr das nächste mal nochmal mehr Beispiele machen? Ich habe nähmlich als erstes bei der 2 Aufgabe die Variablen zusammen „gepackt“ , aber es kam das gleiche Ergebnis raus. IST ABER NICHT SCHLIMM!! Nicht das ihr euch angegriffen fühlt😅❤️🤭

    Von Deleted User 978260, vor etwa 2 Jahren
  4. Mega gut wärn noch ein paar mehr Beispiele wäre es perfekt

    Von Sebastian, vor mehr als 2 Jahren
  5. Super

    Von Raphael, vor mehr als 2 Jahren
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