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Betragsgleichungen lösen

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Team Digital
Betragsgleichungen lösen
lernst du in der Unterstufe 3. Klasse - 4. Klasse

Grundlagen zum Thema Betragsgleichungen lösen

Inhalt

Einführung: Betragsgleichungen lösen

Im folgenden Lerntext lernst du die Merkmale einer Betragsgleichung kennen. Anhand von einigen Beispielrechnungen wird einfach erklärt, wie man Betragsgleichungen lösen kann. Außerdem schauen wir uns an, in welchen Fällen eine Betragsgleichung keine Lösung hat.

Was ist ein Betrag? – Definition

Der Betrag einer Zahl gibt an, wie weit diese Zahl von $0$ entfernt ist. Er ist stets positiv. Wir schreiben dafür die Zahl in sogenannten Betragsstrichen:

$\vert -10\vert = 10 = \vert 10\vert$

Betragsgleichung – Definition

Die Definition für Betragsgleichungen lautet wie folgt:

Eine Betragsgleichung ist eine Gleichung, bei der die Variable oder ein Term, der die Variable enthält, im Betrag steht.

Da ein Betrag stets positiv ist, ist das Auflösen des Betrags vom Wert der enthaltenen Variable abhängig. Wir benötigen daher eine Fallunterscheidung, um die Gleichung lösen zu können.

Zudem haben Betragsgleichungen, bei denen der Betrag einem negativen Wert entsprechen soll, keine Lösung:

$\vert x + 5\vert = -7$

Da ein Betrag stets positiv ist, gibt es keinen Wert für $x$, der die Gleichung erfüllt.

Betragsgleichungen lösen – Beispiel

Wir können Betragsgleichungen mit verschiedenen Methoden lösen. Es gibt sowohl rechnerische als auch zeichnerische Verfahren. Dazu betrachten wir das Beispiel:

$\vert x-10\vert = 20$

Rechnerische Lösung

Da $\vert 20 \vert = 20 = \vert -20 \vert$ gilt, kann der Wert zwischen den Betragsstrichen hier der Zahl $20$ oder der Zahl $-20$ entsprechen. Wir können beide Gleichungen aufstellen und mit Äquivalenzumformungen lösen.

Aufgaben Betragsgleichungen Mathe

Hat die Betragsgleichung nicht die Form $\vert \text{Term}\vert = \text{Term}$, so müssen wir sie zunächst entsprechend umformen.

Alternativ zum Vorzeichen des betragsfreien Terms können wir auch die Fälle unterscheiden, in denen sich das Vorzeichen des Terms im Betrag ändert. In unserem Beispiel würde das folgendermaßen aussehen:

$x - 10 = 20$ oder $-(x - 10) = 20$

Durch Lösen dieser beiden Gleichungen erhalten wir ebenfalls:

$x = -10$ oder $x = 30$

Eine weitere Möglichkeit besteht darin, die Gleichung auf beiden Seiten zu quadrieren. Da das Quadrat einer Zahl immer positiv ist, fallen auch hier die Betragsstriche weg. Für unser Beispiel erhalten wir:

$\begin{array}{rlll} \vert x – 10 \vert^{2} &=& 20^{2}& \\ \\ x^{2} – 20x + 100& =& 400 & \vert -400\\ \\ x^{2} – 20x – 300 &= &0&\\ \end{array} $

Diese quadratische Gleichung hat ebenfalls die Lösungen:

$x = -10$ oder $x = 30$.

Zeichnerische Lösung

Um eine Betragsgleichung zeichnerisch zu lösen, zeichnen wir beide Seiten der Gleichung als Funktionen in ein Koordinatensystem. Die Schnittpunkte der Graphen sind dann die Lösungen der Betragsgleichung.

Erklärung Betragsgleichungen zeichnen

Auch hier erhalten wir die Lösungen $x = -10$ oder $x = 30$.

Um die Betragsfunktion graphisch darzustellen, spiegeln wir alle Teile des Graphen mit negativen Funktionswerten an der $x$-Achse, sodass die Funktion nur positive Werte annehmen kann.

Betragsgleichungen – Aufgaben

Aufgabe 1:

$3 - \vert 2 + 2x\vert = -13$

Wir isolieren zunächst den Betrag:

$\begin{array}{rlll} 3 - \vert 2 + 2x \vert &=& -13 & \vert -3 \\ \\ - \vert 2 + 2x \vert& =& -16 & \vert \cdot(-1) \\ \\ \vert 2 + 2x \vert &=& 16 &\\ \end{array} $

Nun machen wir die Fallunterscheidung:

$2 + 2x = 16$ oder $ 2 + 2x = -16$

und lösen beide Gleichungen nach $x$ auf:

$\begin{array}{rlll} 2 + 2x &=& 16 & \vert -2 \\ \\ 2x &= &14 & \vert :2 \\ \\ x &=& 7&\\ \end{array} $

oder

$\begin{array}{rlll} 2 + 2x &=& -16 & \vert -2 \\ \\ 2x &=& -18 & \vert :2 \\ \\ x &=& -9&\\ \end{array} $

Aufgabe 2:

$4 = 1 - \vert 5x - 7\vert$

Wir isolieren zunächst den Betrag:

$\begin{array}{rlll} 4 &=& 1 - \vert 5x - 7\vert & \vert -1 \\ \\ 3 &=& -\vert 5x - 7\vert & \vert \cdot(-1)\\ \\ -3 &=& \vert 5x - 7\vert&\\ \end{array} $

Diese Betragsgleichung hat keine Lösung, da ein Betrag nicht negativ sein kann.

Zusammenfassung: Betragsgleichungen lösen

In diesem Video zu Betragsgleichungen lernst du zunächst die Merkmale von Betragsgleichungen kennen. Wir betrachten Beispiele für das Lösen von Betragsgleichungen und schauen, in welchen Fällen eine Betragsgleichung keine Lösung hat.

Im Anschluss an das Video findest du bei sofatutor Arbeitsblätter und interaktive Übungen zu Betragsgleichungen.

Transkript Betragsgleichungen lösen

Jasmin ist auf dem Weg in den Urlaub und freut sich schon total auf die Reise. Sie hat ein Pauschalangebot zu einem sensationellen Preis gebucht. Es gibt da nur einen klitzekleinen Haken. Sie hat keine Ahnung, wo ihr Flugzeug landen wird, denn das Reiseziel ist eine Überraschung. Nur eines weiß sie: Zwischen ihrem Urlaubsort und ihrem Heimatort gibt es einen Temperaturunterschied von 20 °C. Bei ihr zuhause sind es 10 °C, also träumt sie schon vom Sonnenbaden am Strand oder abenteuerlichen Tagen im Dschungel. Endlich gelandet! Aber Moment mal da stimmt doch was nicht. Wo ist denn der Stand? Und die Sonne? Da ist ja nichts als grauer Himmel und Schnee. Jasmin versteht nicht, wie ihr so ein Fehler unterlaufen konnte. Werfen wir mal einen Blick auf Betragsgleichungen, um Jasmins Denkfehler herauszufinden. Wie war noch mal die Situation? Bei Jasmin zuhause sind es 10 °C. Die Temperatur des Reiseziels kennen wir nicht, also beschreiben wir sie mit der Variablen x. Man hat Jasmin versprochen, dass der Temperaturunterschied zwischen ihrem Zuhause und dem Urlaubsort 20 °C beträgt. Was Jasmin nicht bedacht hat: Das kann ja bedeuten, dass die Temperatur 20 °C höher oder aber 20 °C niedriger ist. Jasmin hat vergessen, dass der Betrag einer Zahl immer positiv ist. Lass uns eine Gleichung aufstellen, um diese Situation zu beschreiben. Der Betrag von "x - 10" ist 20. Der Ausdruck zwischen den Betragsstrichen kann gleich 20 oder -20 sein, also müssen wir zwei Gleichungen aufstellen. x - 10 = 20 oder x - 10 = -20. Nun löst du die Gleichungen, indem du 10 zu beiden Seiten jeder Gleichung addierst und so x isolierst. So bekommen wir zwei mögliche Lösungen: x = 30 °C oder x = -10 °C. Denk dran, deine Ergebnisse immer zu überprüfen. Arme Jasmin, sie hat sich auf 30 °C eingestellt, ist jetzt aber an einem Ort mit -10 °C. Kein Wunder, dass sie mit den Zähnen schlottert, statt in der Sonne zu brutzeln. Jetzt hast du das Konzept verstanden, lass uns also noch eine Betragsgleichung lösen. Der Betrag von "4x + 20" ist gleich 100. Überführe dies in zwei Gleichungen, eine mit einem positiven Wert als Ergebnis, eine mit einem negativen. 4x + 20 = 100 oder 4x + 20 = -100. Subtrahiere 20 von beiden Seiten jeder Gleichung und isoliere so 4x. Teile dann beide Seiten jeder Gleichung durch 4. Für die eine Gleichung gilt x = 20 und für die andere Gleichung gilt x = -30. Es ist immer gut, das Ergebnis noch mal zu überprüfen. Dafür setzt du es einfach in die Gleichung ein. Bei der positiven Gleichung setzt du also für x 20 ein. Und bei der negativen Gleichung setzt du für x -30 ein. Beide Lösungen ergeben wahre Aussagen. Also ist die Lösungsmenge für diese Betragsgleichung 20 und -30. Übung macht den Meister. Lass uns also noch ein Beispiel rechnen. Der Betrag von "x - 2" plus 8 ist 2. Isoliere hier als erstes den Betrag, bevor du die beiden Gleichungen aufstellst. Subtrahiere dafür von beiden Seiten der Gleichung 8. Der Betrag von "x - 2" ist -6. Moment mal, -6? Aber ein Betrag ist doch immer positiv, niemals negativ. Für diese Gleichung gibt es also keine Lösung. Arme Jasmin. Da steht sie jetzt also im Schnee und friert sich die Zehen ab. Oho! Sieht so aus als würde ihr wenigstens warm ums Herz werden.

7 Kommentare

7 Kommentare
  1. ich liebe dises video

    Von Feline , vor etwa einem Monat
  2. Die Videobeschreibung passt nicht zum Video dazu, das ende aber....😂😂😂

    Von ♥ Sophia ♥, vor 10 Monaten
  3. gutes video aber die beschreibung passt nicht

    Von Shafiei, vor mehr als einem Jahr
  4. Nicht so gute video😐
    Aber danke!(das ende....😂)

    Von scott l., vor mehr als einem Jahr
  5. Die Videobeschreibung passt nicht zum Video dazu 👎

    Von scott l., vor mehr als einem Jahr
Mehr Kommentare

Betragsgleichungen lösen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Betragsgleichungen lösen kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze den Text mit den passenden Begriffen.

    Tipps

    Ein Temperaturunterschied kann in zwei Richtungen gehen.

    Der Betrag einer Zahl besitzt nicht nur eine Lösung.

    Lösung

    Bei Jasmin zuhause sind es $10 °C$.

    Die Temperatur des Reiseziels kennen wir nicht, also beschreiben wir sie mit der Variablen $x$. Der Temperaturunterschied zwischen ihrem Zuhause und dem Urlaubsort soll $20 °C$ betragen.

    Das kann ja bedeuten, dass die Temperatur $20 °C$ höher oder aber $20 °C$ niedriger ist.

    Jasmin hat vergessen, dass der Betrag einer Zahl immer positiv ist.

    Lass uns eine Gleichung aufstellen, um diese Situation zu beschreiben.

    $\left|x-10\right|=20$

    Der Ausdruck zwischen den Betragsstrichen kann also positiv oder negativ sein, also müssen wir zwei Gleichungen aufstellen.

    $x - 10 = 20$ oder $x - 10 = -20$

    Wir erhalten also auch zwei mögliche Lösungen:

    $x=30$ oder $x=-10$

    Arme Jasmin, sie hat sich auf $30 °C$ eingestellt, ist jetzt aber an einem Ort mit $-10 °C$.

    Kein Wunder, dass sie mit den Zähnen schlottert, statt in der Sonne zu brutzeln.

  • Ergänze die Lösungsschritte der Gleichungen

    Tipps

    Der Betrag einer Zahl ist immer positiv oder null.

    Äquivalenzumformungen können hier helfen.

    Lösung

    Beginnen wir mit der Lösung für die erste Gleichung:

    $\left|4x+20\right|=100$

    $\\$

    $\mathbf{Lösung~ 1:}$

    $\\$

    $4x+20 = 100$

    Subtrahieren wir $20$ von beiden Seiten, so erhalten wir:

    $4x =80$

    Teilen wir nun durch $4$, so erhalten wir:

    $x=20$

    $\\$

    $\mathbf{Lösung ~2:}$

    $\\$

    $4x+20 = - 100$

    Subtrahieren wir hier $20$ von beiden Seiten, so erhalten wir:

    $4x=-120$

    Und teilen wir hier durch $4$, erhalten wir als zweite Lösung:

    $x=-30$

    $\\$

    Nun zur Lösung der zweiten Gleichung:

    $\\$

    $\left|x-10\right|=20$

    $\\$

    $\mathbf{Lösung~ 1:}$

    $\\$

    $x-10= 20$

    Hier addieren wir lediglich $10$ zu beiden Seiten und wir erhalten als Lösung direkt:

    $x =30$

    $\\$

    $\mathbf{Lösung~ 2:}$

    $\\$

    $x-10 =- 20$

    Nachdem wir auch hier $10$ zu beiden Seiten addiert haben, erhalten wir als zweite Lösung:

    $x=-10$

  • Prüfe, welche Betragsgleichung zu welcher Aufgabenstellung gehört.

    Tipps

    Temperaturunterschied bedeutet, dass es sowohl wärmer als auch kälter sein kann. Es kann also zwei Lösungen geben.

    Ist die Temperatur zu Hause $10°C$ und der Temperaturunterschied zum Urlaubsort soll $20°C$ entsprechen, so ergibt sich als Gleichung: $\left|x-10\right|=20$

    Lösung

    Da der Temperaturunterschied jeweils das Ergebnis aus der unbekannten Temperatur des Urlaubsziels, also $x$, und der bekannten Temperatur zu Hause ist, ist der Temperaturunterschied jeweils auf der rechten Seite des Gleichheitszeichen.

    $\\$

    Die Differenz der Temperatur im Urlaubsziel und der Temperatur zu Hause befindet sich also auf der linken Seite des Gleichheitszeichens. Diese Rechnung befindet sich in Betragsstrichen, da der Temperaturunterschied entweder niedriger oder höher sein kann.

    $\\$

    Beginnen wir nun mit der Gleichung für das erste Angebot:

    Es besteht ein Temperaturunterschied von $15°C$ zwischen dem Urlaubsziel und der Temperatur zu Hause.

    Es ergibt sich hier als Gleichung also:

    $\left|x-10\right|=15$

    $\\$

    Schauen wir uns das nächste Angebot an:

    Es besteht ein Temperaturunterschied von $10°C$ zwischen dem Urlaubsziel und der Hälfte der Temperatur zu Hause.

    Die Hälfte der Temperatur zu Hause ergibt sich durch $10:2=5$ und somit erhalten wir für die Gleichung:

    $\left|x-5\right|=10$

    $\\$

    Stellen wir nun die Gleichung für das nächste Angebot auf:

    Es besteht ein Temperaturunterschied von $5°C$ zwischen dem Urlaubsziel und dem Dreifachen der Temperatur zu Hause.

    Das Dreifache der Temperatur zu Hause ist hier also $3\cdot10=30$. Somit ergibt sich für die Gleichung:

    $\left|x-30\right|=5$

    $\\$

    Schauen wir uns nun noch das letzte Angebot an:

    Es besteht ein Temperaturunterschied von $20°C$ zwischen dem Urlaubsziel und einer Temperatur, die $10°C$ höher ist als die Temperatur zu Hause.

    Die $10°C$ höhere Temperatur ist also $10+10=20$.

    Es ergibt sich als Gleichung also:

    $\left|x-20\right|=20$

  • Sortiere die Betragsgleichungen.

    Tipps

    Um die Betragsgleichung zu lösen, musst du dir zwei verschiedene Gleichungen ansehen.

    Zum Ordnen musst du zunächst entscheiden, welche der beiden Lösungen einer Betragsgleichung die größere ist. Dabei müssen nicht immer beide Lösungen ausgerechnet werden.

    Lösung

    Berechnen wir die verschiedenen Lösungen der Betragsgleichungen, können wir entscheiden, welche dieser Gleichungen das größte und welche das kleinste Ergebnis enthält.

    $\\$

    Fangen wir mit der ersten Gleichung an:

    $\left|x-30\right|=150$

    Lösung $1$:

    $x-30=150$

    Addieren wir $30$ zu beiden Seiten, erhalten wir als erste Lösung:

    $x=180$

    Betrachten wir die Gleichung für die zweite Lösung, also $x-30=-150$, erkennen wir direkt, dass das Ergebnis dieser Gleichung eine negative Zahl sein wird. $180$ ist hier somit das größere Ergebnis.

    $\\$

    Betrachten wir die nächste Betragsgleichung:

    $\left|2x-40\right|=80$

    Lösung $1$:

    $2x-40=80$

    Addiert man $40$ zu beiden Seiten, erhalten wir:

    $2x=120$

    Teilt man hier durch $2$, ergibt sich als Lösung:

    $x=60$

    Auch hier kann man beim Betrachten der zweiten Gleichung, also $2x-40=-80$, direkt erkennen, dass die Lösung eine negative Zahl ist, also kleiner als $60$.

    $\\$

    Betrachten wir als Nächstes $\left|4x-30\right|=50$

    Lösung $1$:

    $4x-30=50$

    Addiert man $30$ zu beiden Seiten, ergibt sich:

    $4x=80$

    Und teilt man dann durch $4$, ergibt sich als Lösung:

    $x=20$

    Auch hier erkennt man, dass die zweite Lösung, also die Lösung der Gleichung $4x-30=-50$, wieder eine negative Zahl ist.

    $\\$

    Betrachten wir nun die letzte Gleichung:

    Lösung $1$:

    $x+15=30$

    Subtrahiert man $15$ von beiden Seiten, ergibt sich als Lösung hier:

    $x=15$

    Auch hier ist die Lösung der zweiten Gleichung, also $x+15=-30$, eine negative Zahl.

    $\\$

    Es ergibt sich also hier als Reihenfolge:

    $\left|x-130\right|=150$

    $\left|2x-40\right|=80$

    $\left|4x-30\right|=50$

    $\left|x=15\right|=80$

  • Nenne äquivalente Gleichungen für die Betragsgleichung.

    Tipps

    Der Betrag einer Zahl ist immer positiv oder Null.

    Eine Betragsgleichung hat immer zwei Lösung.

    Lösung

    Wenn wir die Betragsgleichung berechnen, werden wir sehen, welche Antworten hier richtig sind: $\left|4x+20\right|=100$

    $\\$

    Lösung 1:

    $4x+20= 100$

    Subtrahieren wir $20$ von beiden Seiten, so erhalten wir:

    $4x =80$

    Teilen wir nun durch $4$, so ergibt sich:

    $x=20$

    $\\$

    Lösung 2:

    $4x+20 =- 100$

    Subtrahieren wir hier $20$ von beiden Seiten, so erhalten wir:

    $4x=-120$

    Und teilen wir hier durch $4$, ist zweite Lösung:

    $x=-30$

    $\\$

    Die richtigen Antworten hier sind also:

    $4x+20+100$, $4x+20=-100$, $x=20$ und $x=-30$

  • Ermittle die Rechenschritte und Lösungen der jeweiligen Betragsgleichung.

    Tipps

    Eine Betragsgleichung kann zwei Lösungen besitzen.

    Das Durchführen der Rechnungen kann dir dabei helfen, die verschiedenen Gleichungen zuzuordnen.

    Lösung

    Führt man die Rechnungen der jeweiligen Betragsgleichungen durch, findet man die jeweiligen Zuordnungen ganz einfach.

    $\\$

    Für die erste Betragsgleichung ist die Rechnung folgende:

    $\left|x-5\right|=2$

    Lösung 1:

    $x-5=2$

    Addiert man zu beiden Seiten $5$, so ergibt sich die Lösung:

    $x=7$

    Lösung 2:

    $x-5=-2$

    Addiert man wieder $5$ zu beiden Seiten, ergibt sich hier:

    $x=3$

    $\\$

    Schauen wir uns die nächste Betragsgleichung an:

    $\left|x+19\right|-2=30$

    Hier muss man zunächst die 2 addieren, damit der Betragsausdruck auf der einen Seite isoliert wird. Man erhält also:

    $\left|x+19\right|=32$

    $\\$

    Nun können wir uns die zwei Lösungen wieder separat ansehen.

    Lösung 1:

    $x+19=32$

    Subtrahiert man $19$ von beiden Seiten, erhält man:

    $x=13$

    Lösung 2:

    $x+19=-32$

    Subtrahiert man hier $19$ von beiden Seiten, erhält man:

    $x=-51$

    $\\$

    Schauen wir uns nun noch die letzte Gleichung an:

    $\left|2x-25\right|=40$

    Lösung 1:

    $2x-25=40$

    Addiert man $25$ zu beiden Seiten, ergibt sich:

    $2x=65$

    Teilt man nun durch $2$, ergibt sich als Lösung:

    $x=32,5$

    Lösung 2:

    $2x-25=-40$

    Addiert man hier $25$ zu beiden Seiten, ergibt sich:

    $2x=-15$

    Teilt man dann durch $2$, erhält man für die Lösung

    $x=-7,5$

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