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Formeln umstellen

Formeln spielen eine wichtige Rolle in der Mathematik, um verschiedene Größen miteinander zu verknüpfen und die gesuchte Größe zu berechnen. Sie bestehen aus Symbolen und Zahlen, wie zum Beispiel die pq-Formel. Durch Äquivalenzumformungen können Formeln so umgestellt werden, dass unterschiedliche Größen isoliert werden können. Interessiert? Erfahrt mehr in dem folgenden Text!

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Team Digital
Formeln umstellen
lernst du in der Unterstufe 3. Klasse - 4. Klasse

Formeln umstellen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Formeln umstellen kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib korrekte Umformungen der Formel nach $s$ und $t$ an.

    Tipps

    Beispiel:

    $ x + 5 = 10$

    Um die $5$ auf die andere Seite zu bekommen, rechnest du $- 5$:

    $\begin{array}{ccc} x + 5 - 5 &=& 10 - 5 \\ x &=& 5 \end{array}$

    Der Bruchstrich steht für geteilt.
    Der Bruch $\frac{1}{2}$ bedeutet das Gleiche wie $1 : 2$.

    Es gibt zwei richtige Lösungen.

    Lösung

    Stelle dir vor, du weißt die Geschwindigkeit und die zurückgelegte Strecke, nicht aber die dafür benötigte Zeit.
    Um diese auszurechnen, musst du die Formel für die Geschwindigkeit umstellen.

    Um die Formel $v=\dfrac{s}{t}$ nach $s$ aufzulösen, musst du $\cdot~t$ rechnen, denn der Bruchstrich steht für geteilt.
    Da es eine Gleichung ist, musst du diese Umformung auf beiden Seiten durchführen. Somit steht in der nächsten Zeile:

    $v \cdot t = \dfrac{s}{\color{#FF8C00}{t}} \cdot \color{#FF8C00}{t}$

    Das $t$ kannst du kürzen, somit ist die Umformung nach $s$:

    $\color{#99CC00}{s = v \cdot t}$


    Wenn du die Formel $v=\dfrac{s}{t}$ nach $t$ auflösen willst, musst du zuerst das $t$ durch $\cdot~ t$ auf die linke Seite bringen (wie bei der Umformung nach $s$).
    Dann lautet die Gleichung:

    $\\$ $v \cdot t = s$

    Im zweiten Schritt bringst du das $v$ auf die rechte Seite. Dies gelingt dir durch die Umformung $: v$.
    Da auch diese Umformung wieder auf beiden Seiten stattfindet, fällt das $v$ auf der linken Seite heraus. Somit ist die richtige Umformung nach $t$:

    $\color{#99CC00}{t = \dfrac{s}{v}}$

    Folgende Umformungen sind also falsch:

    • $t=s - v$
    • $s=\dfrac{v}{t}$
  • Vervollständige das Umstellen der Formel nach dem Radius $r$.

    Tipps

    Versuche zuerst, die Zahl auf die andere Seite zu bekommen.

    Die Gleichung $3 \cdot x = 9$ löst du, indem du $:3$ rechnest.

    Lösung

    Wenn du die Gleichung $U = 2 \cdot \pi \cdot r$ nach $r$ umformen möchtest, dann versuchst du zuerst, die $2$ auf die linke Seite zu bringen.

    Das gelingt dir, indem du $:\color{#99CC00}{2}$ rechnest (Umkehroperation).

    Somit kürzt sich die $2$ auf der rechten Seite heraus und auf der linken Seite steht dann noch:

    $\dfrac {U}{2} = \pi \cdot \color{#99CC00}{r}$

    Nun musst du nur noch $:\color{#99CC00}{\pi}$ rechnen.

    Wenn du einen Bruch durch eine Zahl oder Variable teilst, dann darfst du diese im Nenner multiplizieren.
    Somit ist die Umformung nach $r$:

    $\color{#99CC00}{r} \color{black}{~=~} \dfrac {\color{#99CC00}{U}}{2 \cdot \pi}$

  • Berechne den Radius $r$ des Kreises.

    Tipps

    Stelle zuerst die Gleichung um. Setze dann den Wert ein.

    Versuche zuerst, das $\pi$ auf die linke Seite zu bekommen.

    Lösung

    Um den Radius $r$ mithilfe des Flächeninhalts zu berechnen, musst du die bekannte Formel für den Flächeninhalt nach der gesuchten Größe umstellen. Dabei gehst du allgemein in folgenden Schritten vor:

    • Passende Formel suchen
    • Formel nach gesuchter Größe umstellen
    • gegebenen Wert einsetzen und gesuchte Größe ausrechnen

    Für unsere Aufgabe bedeutet dies:

    • gegeben: $A = 200~\text{cm}^2$
    • gesucht: $r = ~?$
    • Formel Kreisfläche: $~A = \pi \cdot r^2$

    Um die Formel $A= \pi \cdot r^{2}$ nach $r$ umzustellen, musst du im ersten Schritt das $\pi$ auf die linke Seite bekommen.
    Da $\pi$ mit $r^2$ multipliziert wird, musst du $\vert : \pi$ rechnen (Gegenteilrechnung). Somit steht in der nächsten Zeile:

    $\dfrac{A}{\pi} = r^{2}$

    Danach musst du noch die Wurzel ziehen:

    $\vert \sqrt{~}$

    Dann steht in der nächsten Zeile:

    $\sqrt{\dfrac{A}{\pi}} = r$

    Nun musst du nur noch den Wert für die bekannte Größe einsetzen ($A=200 ~\text{cm}^{2}$) und ausrechnen:

    $\sqrt{\dfrac{200~\text{cm}^{2}}{\pi}} = r$

    Als Ergebnis erhältst du dann $7{,}9788... ~\text{cm}$.

    Der Radius $r$ eines Kreises mit dem Flächeninhalt von $A= 200 ~\text{cm}^{2}$ ist somit gerundet $\underline{\underline{r=~ 7{,}98~ \text{cm}}}$.

  • Entscheide, welche Formel umgestellt wurde.

    Tipps

    Versuche zuerst, die Zahl auf die andere Seite zu bringen.

    Die Gleichung $2 \cdot x = 10$ stellst du nach $x$ um, indem du $:2$ rechnest.

    Somit lautet das Ergebnis:

    $x = 5$

    Lösung

    Wir stellen die Formeln jeweils nach $b$ und $c$ um.

    Erste Formel:

    $\begin{array}{ccll} a &=& 2 \cdot b \cdot c & \vert :2 \\ \\ \dfrac{a}{2} &=& b \cdot c & \vert :c \\ \\ \dfrac{a}{2 \cdot c} &=& b \end{array}$

    Die Umstellung nach $c$ verläuft ebenfalls in diesen Schritten. Wir erhalten:

    $\quad \color{#00CCBE}{b = \dfrac{a}{2c}} ~$ und $~\color{#00CCBE}{c = \dfrac{a}{2b}}$

    Zweite Formel:

    $\begin{array}{ccll} a &=& \dfrac {1}{2} \cdot b \cdot c & \vert \cdot 2 \\ \\ 2a&=& b \cdot c & \vert :c \\ \\ \dfrac{2 \cdot a}{c} &=& b \end{array}$

    Die Umstellung nach $c$ verläuft ebenfalls in diesen Schritten. Wir erhalten:

    $\quad \color{#EFDB43}{b = \dfrac{2 \cdot a}{c}} ~$ und $~\color{#EFDB43}{c = \dfrac{2 \cdot a}{b}}$

    Dritte Formel:

    $\begin{array}{ccll} 2 \cdot a &=& 2 \cdot b \cdot c & \vert : 2 \\ \\ a &=& b \cdot c & \vert :c \\ \\ \dfrac{a}{c} &=& b \end{array}$

    Die Umstellung nach $c$ verläuft ebenfalls in diesen Schritten. Wir erhalten:

    $\quad \color{#B989FF}{b = \dfrac{a}{c}}~$ und $~\color{#B989FF}{c = \dfrac {a}{b}}$

  • Beschreibe die dargestellte Situation durch eine Gleichung.

    Tipps

    Zähle die $x$ und die Gewichte.

    Beispiel:

    $x + 2 = 5$

    Lösung

    Um die Waagen den Gleichungen zuzuordnen, musst du die $x$ und die Gewichte zählen.
    Danach kannst du sie noch zusammenfassen, wenn möglich.

    Bild 1:

    Im obigen Bild liegen auf der linken Seite der Waage $x$ und $x$. Diese kannst du zusammenfassen zu $2x$.
    Auf der rechten Seite der Waage liegen $6$ Gewichte.

    Somit lautet die Gleichung:

    ${2x = 6}$

    Bild 2:

    Auf der linken Seite der Waage liegen $2x$ und $5$ Gewichte.
    Auf der rechten Seite der Waage liegen $7$ Gewichte.

    Somit lautet die Gleichung:

    ${2x + 5 = 7}$

    BIld 3:

    Auf der linken Seite der Waage liegen $3x$ und $2$ Gewichte.
    Auf der rechten Seite der Waage liegen $11$ Gewichte.

    Somit lautet die Gleichung:

    ${3x + 2 = 11}$

    Bild 4:

    Auf der linken Seite der Waage liegen $3x$ und $3$ Gewichte.
    Auf der rechten Seite der Waage liegen $10$ Gewichte.

    Somit lautet die Gleichung:

    ${3x + 3 = 10}$

  • Ermittle die fehlenden Größen der Pizza.

    Tipps

    Die Formel für den Umfang eines Kreises lautet:

    $u= 2 \cdot \pi \cdot r = \pi \cdot d$

    Die Formel für die Fläche des Trapezes lautet:

    $A = \dfrac{a + c}{2} \cdot h$

    Beispiel:

    Formel nach $a$ auflösen:

    $\begin{array}{cccl} A &=& \dfrac{a + c}{2} \cdot h &\vert :h \\ \\ \dfrac{A}{h} &=& \dfrac{a+c}{2} & \vert \cdot 2 \\ \\ \dfrac{2A}{h} &=& a + c & \vert -c \\ \\ \dfrac{2A}{h} - c &=& a \end{array}$

    Lösung

    Aufgabe 1:

    • gegeben: $u = 44~\text{cm}$
    • gesucht: $d$
    • Formel Kreisumfang: $u = 2 \cdot \pi \cdot r = \pi \cdot d$

    $\begin{array}{cccl} u &=& \pi \cdot d & \vert : \pi \\ \\ \dfrac{u}{\pi} &=& d \end{array}$

    $d = \dfrac{44\text{cm}}{\pi} = \underline{\underline{14~\text{cm}}}$

    Aufgabe 2:

    • gegeben: $A = 154~\text{cm}^2$ , $a= 13~\text{cm}$ , $h= 15,\!4 \text{cm}$
    • gesucht: $c$
    • Formel Flächeninhalt Trapez: $A = \dfrac {a+c}{2} \cdot h$

    $\begin{array}{cccl} A &=& \dfrac{a + c}{2} \cdot h &\vert :h \\ \\ \dfrac{A}{h} &=& \dfrac{a+c}{2} & \vert \cdot 2 \\ \\ \dfrac{2A}{h} &=& a + c & \vert -a \\ \\ \dfrac{2A}{h} - a &=& c \end{array}$

    $c = \dfrac{2 \cdot 154~\text{cm}^2}{15,\!4~\text{cm}} - 13~\text{cm} = \underline{\underline{7\text{cm}}}$