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Team Digital
Gleichungsumformungen mit den Grundrechenarten
lernst du in der Unterstufe 1. Klasse - 2. Klasse - 3. Klasse - 4. Klasse

Grundlagen zum Thema Gleichungsumformungen mit den Grundrechenarten

Inhalt

Gleichungen umformen

Um den Wert einer unbekannten Größe zu bestimmen, ist meistens eine Gleichung gegeben, in der diese unbekannte Größe vorkommt. Meistens bezeichnet man die Unbekannte mit $x$. Eine Gleichung sieht dann zum Beispiel so aus:

$3x+5=17$

Die Gleichung zu lösen bedeutet, eine Zahl zu finden, die, anstelle von $x$ eingesetzt, die Gleichung erfüllt. Da man einer Gleichung ihre Lösung nicht immer direkt ansieht, muss man die Gleichung nach der unbekannten Größe $x$ umstellen. Und genau das geht mit Gleichungsumformungen mithilfe der Grundrechenarten.

Umformen von Gleichungen einfach erklärt

Die Gleichung $3x+5=17$ kannst du dir symbolisch wie eine Waage im Gleichgewicht vorstellen. Auf der linken Waagschale liegen drei Stück der unbekannten Größe $x$ und zusätzlich $5$ bekannte, gleich große Klötzchen. Auf der rechten Waagschale liegen $17$ derselben Klötzchen. Dass diese beiden Werte genau gleich sind, wird durch das Gleichheitszeichen ausgedrückt. Im Bild entspricht das Gleichheitszeichen der Tatsache, dass die Waage im Gleichgewicht ist.

Gleichungsumformungen

Die Waage bleibt im Gleichgewicht, wenn wir auf jeder Waagschale dasselbe wegnehmen oder hinzufügen. Wir können zum Beispiel auf beiden Seiten $5$ wegnehmen. Dann bleiben auf der linken Seite $3x$, auf der rechten Seite $12$. Dasselbe können wir statt mit den Waagschalen auch mit der Gleichung machen: Wir subtrahieren auf beiden Seiten $5$. Das bedeutet, wir rechnen auf der linken Seite der Gleichung $3x+5-5=3x$ und auf der rechten Seite $17-5=12$. Wir erhalten dadurch die neue Gleichung $3x=12$. Die linke Seite entspricht der linken Waagschale, die rechte Seite der rechten Waagschale. Wir haben die Gleichung durch Subtraktion umgestellt.

Wir wollen nun den Wert für $x$ bestimmen. Auf der linken Seite der Gleichung steht $3x$, auf der rechten Seite der Wert, den diese $3x$ haben. Den Wert für $x$ finden wir heraus, indem wir die Gleichung durch Division umstellen: Der Wert für $3x$ ist dreimal so groß wie der Wert für $x$. Diesen finden wir heraus, wenn wir den Wert für $3x$ durch $3$ dividieren. Anders gesagt: Wir teilen beide Seiten der Gleichung durch $3$. Auf der linken Seite rechnen wir also $3x:3=x$, auf der rechten Seite $12:3=4$. Wir erhalten die neue Gleichung $x=4$. Wir haben also den Wert der Unbekannten $x$ herausgefunden.

Gleichungen umformen mit Grundrechenarten

Die Waage ist ein Symbol dafür, was bei Gleichungsumformungen zu tun ist: Jede Rechenoperation muss auf beiden Seiten der Gleichung in derselben Weise ausgeführt werden. Du kannst Gleichungen umformen, indem du auf beiden Seiten die Grundrechenarten anwendest: Du darfst also auf beiden Seiten einer Gleichung:

  • dieselbe Zahl addieren
  • dieselbe Zahl subtrahieren
  • mit derselben Zahl – außer null – multiplizieren
  • durch dieselbe Zahl – außer null – dividieren

Diese Umformungen können beliebig angewendet werden.

Gleichungen durch Umformen lösen – Vorgehensweise

Um eine Gleichung mithilfe der Umformungen mit den Grundrechenarten zu lösen, ist eine bestimmte Reihenfolge der Umformungen zielführend. Um das zu erklären, schauen wir uns die Gleichung $4x-3=13$ an. Wie kommt der Term auf der linken Seite zustande? Zuerst wird die Unbekannte $x$ mit $4$ multipliziert, danach wird $3$ subtrahiert. Um aus dem Term $4x-3$ auf die Unbekannte $x$ zu kommen, müssen wir also diese Rechenoperationen rückgängig machen. Dabei müssen wir die Reihenfolge der Operationen beachten. Um die einzelnen Schritte rückgängig zu machen, kehren wir die Reihenfolge um und beginnen mit dem letzten Schritt: Wir addieren $3$, um die Subtraktion von $3$ rückgängig zu machen. Da wir eine Gleichung umstellen, müssen wir diese Operation auf beiden Seiten in derselben Weise durchführen:

$4x-3=13 ~ ~ | \; +3 \newline 4x = 16$

Nun machen wir die Multiplikation mit $4$ rückgängig: Wir teilen beide Seiten der Gleichung durch $4$.

$4x=16 ~ ~ | \; : 4 \newline x = 4$

Gleichungen umformen vorwärts rückwärts

Gleichungen umformen – Beispiel

Wir schauen uns noch ein kompliziertes Beispiel an und lösen die Gleichung:

$3 \cdot \left( \frac{x}{3}-4 \right)+8=11$

Hier kommen alle vier Grundrechenarten vor – aber in welcher Reihenfolge? Den Term auf der linken Seite erhalten wir, indem wir die Unbekannte $x$ zuerst durch $3$ dividieren, als Nächstes davon $4$ subtrahieren, dann das Ergebnis mit $3$ multiplizieren und schließlich $8$ addieren. Um die Gleichung nach $x$ aufzulösen, machen wir jeden einzelnen dieser Schritte rückgängig – und zwar in umgekehrter Reihenfolge: Wir subtrahieren $8$, dividieren dann durch $3$, addieren $4$ und multiplizieren schließlich mit $3$. Als Gleichungsumformung mit den Grundrechenarten sieht das so aus:

Gleichungsumformungen alle Grundrechenarten

Gleichungen mit einer Unbekannten – mehrfaches Auftreten

Tritt die Unbekannte in einer Gleichung mehrfach auf, so ist es nützlich, zuerst alle Terme mit der Unbekannten auf einer Seite der Gleichung zu sammeln und zusammenzufassen. Das machen wir wieder mit Umformungen mithilfe der Grundrechenarten. Bei der Gleichung $5x-6=2x+3$ subtrahieren wir auf beiden Seiten $2x$, um die Terme mit der Unbekannten auf der linken Seite der Gleichung zu sammeln. Analog sammeln wir alle Terme ohne die Unbekannte auf der rechten Seite der Gleichung:

$5x-6=2x+3 ~ ~ | \; -2x \newline 5x-6-2x = 3 \newline 5x-6-2x = 3 ~ ~ | \; +6 \newline 5x-2x = 9$

Die beiden Terme mit der Unbekannten fassen wir zusammen, indem wir die Vorfaktoren der Unbekannten verrechnen: $5x-2x = 3x$. Wir erhalten also die Gleichung:

$3x=9$

Division durch $3$ auf beiden Seiten ergibt die Lösung $x=3$. Du kannst also auch Glieder mit der Unbekannten in Gleichungsumformungen verwenden. Aber Achtung:

  • Glieder mit der Unbekannten dürfen nur addiert oder subtrahiert werden. Du darfst nicht mit $x$ multiplizieren und nicht durch $x$ dividieren.

Warum das so ist, können wir an einem Beispiel zeigen: Dividierst du in der Gleichung $4x=6x$ durch die Unbekannte $x$, so erhältst du die falsche Gleichung $4=6$. Hat die Gleichung $4x=6x$ also etwa keine Lösung? Um das herauszufinden, verwenden wir wieder die Grundrechenarten zum Umstellen: Wir subtrahieren auf beiden Seiten $4x$ und erhalten:

$4x=6x ~ ~ | \; -4x \newline 0 = 2x ~ ~ | \; :2 \newline 0=x$

An der Lösung $x=0$ erkennen wir auch, warum wir nicht durch $x$ dividieren durften: Denn durch null kann man nicht dividieren!

Dieses Video über das Umformen von Gleichungen mit Grundrechenarten ...

... erklärt einfach und verständlich, wie man in Mathe Gleichungen durch Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division umstellt und löst. Du findest interaktive Übungen zum Umformen von Gleichungen mit Grundrechenarten hier auf dieser Seite.

Transkript Gleichungsumformungen mit den Grundrechenarten

Gleichungen, Umformungen - so viele Regeln - da kann man schnell den Überblick verlieren. Zum Glück bist du jetzt auf DAS ultimative Video zu „Gleichungsumformungen mit den Grundrechenarten gestoßen."

Oft hat man eine Größe gegeben, deren Wert unbekannt ist. Aber man hat eine Gleichung vorliegen, die die unbekannte Größe enthält. Was muss man denn für x einsetzen, damit die Gleichung erfüllt ist? Das kann man einer Gleichung nicht immer auf den ersten Blick ansehen. Und wie kommt man dann an den Wert der gesuchten Größe? Stellen wir uns dazu eine Waage vor. Auf der linken Seite liegen 3 x und 5. Rechts liegen 17. Die Waage ist im Gleichgewicht. Sie BLEIBT im Gleichgewicht, wenn wir auf beiden Seiten 5 ... wegnehmen. Jetzt liegen links noch 3 x und rechts 12. Wir wollen links aber nur EIN x haben, denn das ist ja die gesuchte Größe. Wenn wir links die Menge auf ein Drittel reduzieren, müssen wir das auch rechts tun. Und damit haben wir die Lösung: x gleich 4.

Du musst jetzt aber nicht bei jeder Gleichung so eine Waage hinzeichnen. Die soll nur verdeutlichen, was bei Gleichungsumformungen zu tun ist: Jede Rechenoperation muss AUF BEIDEN SEITEN gleichermaßen durchgeführt werden. Und welche Gleichungsumformungen sind ERLAUBT? Nun, wir dürfen auf BEIDEN Seiten die Grundrechenarten anwenden: Das heißt, die gleiche Zahl addieren, die gleiche Zahl subtrahieren, mit der gleichen Zahl, außer Null, multiplizieren und durch die gleiche Zahl, außer Null, dividieren. Wichtig ist hier, dass die Umformung AUF BEIDEN SEITEN gleichermaßen erfolgt und dass man weder mit Null multipliziert, noch durch Null teilt. Kommen wir nun zur Anwendung dieser erlaubten Umformungen: Natürlich kannst du jede der erlaubten Umformungen beliebig anwenden. Um am Ende aber eine Lösung zu erhalten, solltest du nach einer bestimmten Reihenfolge vorgehen. Schauen wir uns dazu DIESE Gleichung an und speziell den Term mit der Unbekannten. In welcher Reihenfolge wird hier gerechnet? Offenbar wird die Unbekannte x zunächst mit 4 multipliziert und davon werden dann 3 abgezogen. So kommt man auf den Term, der HIER steht. Um zur UNBEKANNTEN zurückzukehren, müssen wir also DIESE Rechenoperationen rückgängig machen. Und das in der umgekehrten Reihenfolge. Um die Subtraktion der 3 rückgängig zu machen, müssen wir 3 addieren auf beiden Seiten. Dann steht da noch '4 x ist gleich 16'. Um die Multiplikation mit 4 rückgängig zu machen, teilen wir durch 4 auf beiden Seiten. So erhalten wir 'x gleich 4'. Das ist das Ergebnis.

Betrachten wir zur Übung noch ein etwas komplizierteres Beispiel. Die Unbekannte wird hier zunächst durch 3 geteilt, dann werden 4 abgezogen, das Ganze wird mit 3 multipliziert und dazu werden 8 addiert.

Diese Schritte müssen wir jetzt rückwärts durchführen. Also subtrahieren wir zunächst 8, teilen durch 3, addieren 4 und multiplizieren mit 3. Das Ergebnis ist also 'x gleich 15'.

Nun müssen wir noch einen weiteren Fall besprechen: Die Unbekannte x kann in einer Gleichung nämlich auch MEHRFACH auftreten. Dann ist es hilfreich, die Glieder MIT der Unbekannten auf EINER Seite zu sammeln und die Glieder OHNE Unbekannte auf der ANDEREN Seite. Die Glieder MIT der Unbekannten kannst du zusammenbringen, indem Du die VORFAKTOREN verrechnest. 5x minus 2x ergibt also 3x.

Indem wir durch 3 teilen, erhalten wir das Ergebnis 'x gleich 3'.

Dabei muss man beachten, dass man Glieder mit der Unbekannten NUR addiert und subtrahiert! Man darf mit der Unbekannten nicht multiplizieren und nicht durch die Unbekannte dividieren. Um das zu verstehen, schauen wir uns DIESES Beispiel an. Wenn man hier durch die Unbekannte x teilt, kommt die Gleichung 4 gleich 6 heraus. Das ist natürlich falsch. Hat diese Gleichung also keine Lösung?

Doch, es wurde nur falsch gerechnet. Wenn man stattdessen 4x subtrahiert und durch 2 teilt, erhält man die Lösung. x gleich 0.

6 Kommentare

6 Kommentare
  1. Mega gut
    Awesome

    Von Alex, vor 26 Tagen
  2. schönes video (!_!)

    Von Feline , vor 3 Monaten
  3. Schönes Video aber noch etwas umständlich und schnell

    Von Bigmo, vor 5 Monaten
  4. cool

    Von Christoph Jasinski, vor 9 Monaten
  5. Singh Saarder ist GRINCH

    Von Master-X-Fire, vor 9 Monaten
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Gleichungsumformungen mit den Grundrechenarten Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gleichungsumformungen mit den Grundrechenarten kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, wie du die Gleichung löst.

    Tipps

    Die Umkehroperation für die Addition ist die Subtraktion und umgekehrt.

    Die Umkehroperation für die Multiplikation ist die Division und umgekehrt.

    Sieh dir folgendes Beispiel an:

    $\begin{array}{llll} 2x+8 &=& 12 & \vert -8 \\ 2x &=& 4 & \vert :2 \\ x &=& 2 & \end{array}$

    Lösung

    Wenn wir erst einmal wissen, in welcher Reihenfolge wir einen Term berechnen, können wir diese Rechenoperationen rückgängig machen, um eine Gleichung zu lösen. Wir betrachten im Folgenden die Gleichung:

    $\begin{array}{ll} & 3x+5 = 17 \end{array}$

    Um den Term $3x+5$ zu lösen, würden wir aufgrund der Regel „Punkt- vor Strichrechnung“ die Unbekannte zuerst mit $3$ multiplizieren und dann zu diesem Produkt $5$ addieren. Beim Umstellen der Gleichung machen wir diese Rechenoperationen nun in umgekehrter Reihenfolge rückgängig. Wir subtrahieren also zuerst $5$, denn die Umkehroperation für die Addition ist die Subtraktion:

    $\begin{array}{lllll} & 3x+5 &=& 17 & \vert -5 \\ & 3x &=& 12 & \end{array}$

    Die Umkehroperation für die Multiplikation ist die Division, also dividieren wir jetzt durch $3$:

    $\begin{array}{lllll} & 3x &=& 12 & \vert :3 \\ & x &=& 4 & \end{array}$

    Die Lösung der Gleichung ist also $x=4$.

    Übrigens: Die ermittelte Lösung einer Gleichung kannst du mit einer Probe leicht auf Richtigkeit prüfen. Hierzu setzt du in der ursprünglichen Gleichung für die Unbekannte deine Lösung ein und prüfst, ob du eine wahre Aussage erhältst. Also:

    $\begin{array}{ll} & 3\cdot 4+5 = 12+5 = 17 \ \checkmark \end{array}$

  • Bestimme die Lösungen der Gleichungen.

    Tipps

    Tritt die Unbekannte $x$ in einer Gleichung mehrfach auf, ist es hilfreich, die Glieder mit der Unbekannten $x$ auf einer Seite und die Glieder ohne Unbekannte $x$ auf der anderen Seite der Gleichung zu sammeln.

    Beim Umstellen einer Gleichung darfst du Glieder mit der Unbekannten $x$ nur addieren und subtrahieren!

    Sieh dir folgendes Beispiel an:

    $\begin{array}{rcll} 2\cdot (\frac{x}{4}-1)+10 &=& 12&\vert -10 \\ 2\cdot (\frac{x}{4}-1) &=& 2&\vert :2 \\ \frac{x}{4}-1 &=& 1&\vert +1 \\ \frac{x}{4} &=& 2&\vert \cdot 4 \\ x &=& 8 & \end{array}$

    Du kannst auch mithilfe von Einsetzen von Werten für $x$ überprüfen, ob du eine wahre Aussage erhältst.

    Zum Beispiel kannst du $x=3$ bei der Gleichung $4x=6x$ einsetzen:

    $\begin{array}{rcll} 4x&=&6x \\ 4 \cdot 3 &=& 6 \cdot 3 \\ 12&=&18 \end{array}$

    Das ist keine wahre Aussage, also kann $x=3$ nicht Lösung der Gleichung sein.

    Lösung

    Wenn wir wissen, in welcher Reihenfolge wir einen Term berechnen, können wir diese Rechenoperationen rückgängig machen, um eine Gleichung zu lösen. Genauso gehen wir in den folgenden Beispielen vor:

    Beispiel 1: $~4x-3=13$

    Auf der linken Seite wird die Unbekannte $x$ zunächst mit $4$ multipliziert und von diesem Produkt wird die $3$ abgezogen. Um diese Rechenoperationen rückgängig zu machen, müssen wir zuerst $3$ addieren und anschließend durch $4$ dividieren:

    $\begin{array}{rcll} 4x-3 &=& 13 & \vert +3 \\ 4x &=& 16 & \vert :4 \\ x &=& 4 & \end{array}$

    Damit ist die Lösung dieser Gleichung $x=4$. Die Probe $4\cdot 4-3=16-3=13$ zeigt, dass unsere Lösung stimmt.

    Beispiel 2: $~3\cdot (\frac{x}{3}-4)+8 = 11$

    Beim Lösen des linken Terms gehen wir wie folgt vor: Die Unbekannte $x$ wird hier zunächst durch $3$ geteilt. Davon wird die $4$ abgezogen. Die Differenz wird mit $3$ multipliziert und zu diesem Produkt wird die $8$ addiert. Wir müssen also folgendermaßen umstellen:

    $\begin{array}{rcll} 3\cdot (\frac{x}{3}-4)+8 &=& 11 &\vert -8 \\ 3\cdot (\frac{x}{3}-4) &=& 3 &\vert :3 \\ \frac{x}{3}-4 &=& 1 &\vert +4 \\ \frac{x}{3} &=& 5 &\vert \cdot 3 \\ x &=& 15 & \end{array}$

    Die Probe $3\cdot (\frac {15}3-4)+8=3\cdot (5-4)+8=3\cdot 1+8=3+8=11$ zeigt, dass die Lösung $x=15$ korrekt ist.

    Beispiel 3: $~5x-6=2x+3$

    Tritt die Unbekannte $x$ in einer Gleichung mehrfach auf, ist es hilfreich, die Glieder mit der Unbekannten $x$ auf einer Seite und die Glieder ohne Unbekannte $x$ auf der anderen Seite der Gleichung zu sammeln. Beachte dabei: Beim Umstellen einer Gleichung darfst du Glieder mit der Unbekannten $x$ nur addieren und subtrahieren! Wir erhalten:

    $\begin{array}{rcll} 5x-6 &=& 2x+3 & \vert -2x \\ 5x-2x-6 &=& 3 & \vert +6 \\ 5x-2x &=& 3+6 & \\ 3x &=& 9 & \vert :3 \\ x &=& 3 & \end{array}$

    Diese Lösung ist korrekt, denn die Probe lautet: $\underbrace{5\cdot 3-6 = 15-6}_{\text{linke Seite}}=9=\underbrace{6+3 = 2\cdot 3+3}_{\text{rechte Seite}}$

    Beispiel 4: $~4x=6x$

    Auch hier müssen wir beachten, dass wir Glieder mit der Unbekannten $x$ nur addieren und subtrahieren dürfen. Es folgt:

    $\begin{array}{rcll} 4x &=& 6x & \vert -4x \\ 0 &=& 2x & \vert :2 \\ 0 &=& x & \end{array}$

    Die Probe liefert: $\underbrace{4\cdot 0}_{\text{linke Seite}}=0=\underbrace{2\cdot 0}_{\text{rechte Seite}}$.

  • Erschließe die Lösungen der Gleichungen mittels einer Probe.

    Tipps

    $x=6$ ist die korrekte Lösung der Gleichung $2x+12=4x$, denn die Probe liefert folgende wahre Aussage:

    $\underbrace{2\cdot 6+12}_{\text{linke Seite}}=24=\underbrace{4\cdot 6}_{\text{rechte Seite}}$

    Beachte die Rechenregeln:

    • Klammern zuerst
    • Punkt- vor Strichrechnung
    Lösung

    In dieser Aufgabe können wir mithilfe der Probe die richtige Lösung einer Gleichung ermitteln. Hierzu setzen wir die gegebenen Lösungen in die Gleichungen ein und überprüfen, für welche Lösungen wir jeweils eine wahre Aussage erhalten. Damit erhalten wir die folgenden Rechnungen:

    Lösung: $~x=3$

    Diese Lösung liefert für folgende Gleichungen eine wahre Aussage:

    • $2x=6$, denn $2\cdot 3=6$
    • $2(x+5)+2=6x$, denn $2(3+5)+2=18=6\cdot 3\\$
    Lösung: $~x=5$

    Diese Lösung liefert für folgende Gleichungen eine wahre Aussage:

    • $x+5=2x$, denn $5+5=10=2\cdot 5$
    • $8(x-4)+1=9$, denn $8(5-4)+1=9\\$
    Lösung: $~x=9$

    Diese Lösung liefert für folgende Gleichungen eine wahre Aussage:

    • $3x-5=22$, denn $3\cdot 9-5=22$
  • Ermittle die Lösungen der linearen Gleichungen und führe die Probe durch.

    Tipps

    Überlege dir im ersten Beispiel, in welcher Reihenfolge du den Term auf der linken Seite lösen würdest. Zum Umstellen der Gleichung musst du diese Rechenoperationen rückgängig machen.

    Die nächste Zeile der Rechnung gibt dir einen Hinweis dazu, welche Rechenoperation in der vorigen Zeile ausgeführt wurde.

    Bei der Durchführung einer Probe setzt du die Lösung der Gleichung anstelle von $x$ ein und berechnest den Term. Erhältst du auf beiden Seiten der Gleichung denselben Wert, ist die Lösung für $x$ korrekt.

    Lösung

    Wir stellen beide Gleichungen so um, dass $x$ allein auf einer Seite der Gleichung steht. Die Lösung überprüfen wir, indem wir jeweils eine Probe durchführen. Hierzu setzen wir die Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein. Liefern beide Seiten der Gleichung denselben Wert, so ist die Lösung korrekt.

    Beispiel 1

    $\begin{array}{rcll} 3(\frac x8+5)-11 &=& 10 & \vert +11\\ 3(\frac x8+5) &=& 21 & \vert :3 \\ \frac x8+5 &=& 7 & \vert -5 \\ \frac x8 &=& 2 & \vert \cdot 8 \\ x &=& 16 & \end{array}$

    Die Probe liefert: $~3(16:8+5)-11=3\cdot 7-11=21-11=10$

    Damit liefert die Gleichung für $x=16$ eine wahre Aussage.

    Beispiel 2

    $\begin{array}{rcll} 9x-6 &=& 5x+2 & \vert +6 \\ 9x &=& 5x+8 & \vert -5x \\ 4x &=& 8 & \vert :4 \\ x &=& 2 & \end{array}$

    Die Probe liefert für die ...

    • ... linke Seite: $~9\cdot 2-6= 18 -6= 12$.
    • ... rechte Seite: $ 5\cdot 2 +2= 10 +2= 12$.
    Damit liefert die Gleichung für $x=2$ eine wahre Aussage.

  • Bestimme die korrekten Aussagen.

    Tipps

    Damit die Waage im Gleichgewicht bleibt, muss man rechts und links jeweils den gleichen Körper wegnehmen oder hinzufügen.

    Die Umkehroperation der Multiplikation ist die Division.

    Lösung

    Um eine Gleichung nach der Unbekannten aufzulösen, ist es sinnvoll, sich die Reihenfolge, in der gerechnet wird, anzugucken. Um zur Unbekannten zurückzukehren, muss man dann alle Rechenoperationen rückgängig machen. Dazu nutzt man die folgenden Umkehroperationen:

    • Die Umkehroperation der Addition ist die Subtraktion.
    • Die Umkehroperation der Subtraktion ist die Addition.
    • Die Umkehroperation der Multiplikation ist die Division.
    • Die Umkehroperation der Division ist die Multiplikation.
    Das bedeutet zum Beispiel: Um eine Multiplikation mit $4$ rückgängig zu machen, muss durch $4$ geteilt werden.

    Dabei ist es ganz wichtig, dass beim Umstellen einer Gleichung die Umformung auf beiden Seiten der Gleichung gleichermaßen erfolgen muss.

    Die Unbekannte kann in einer Gleichung auch mehrfach auftreten. Dann ist es hilfreich, die Glieder mit der Unbekannten auf der einen Seite und die Glieder ohne die Unbekannte auf der anderen Seite zu sammeln.

  • Bestimme die Reihenfolge der Rechenoperationen beim Umstellen der Gleichung.

    Tipps

    Überlege, wie du den Term auf der linken Seite der Gleichung berechnen würdest. Mache dann alle Rechenoperationen in umgekehrter Reihenfolge rückgängig, um die Gleichung nach $x$ aufzulösen.

    Beachte, dass du beim Umstellen einer Gleichung immer die jeweilige Umkehroperation nutzen musst. Wird in einem Term zum Beispiel mit $4$ multipliziert, so musst du durch $4$ dividieren, um diese Operation rückgängig zu machen.

    Lösung

    Wir untersuchen den Term auf der linken Seite der Gleichung: $~ \dfrac{(5(2x+3)-5)}{2}-3=17$.

    Dieser wird in folgender Reihenfolge berechnet:

    1. Die Unbekannte wird mit $2$ multipliziert.
    2. Zu diesem Produkt wird $3$ addiert.
    3. Diese Summe wird mit $5$ multipliziert.
    4. Von diesem Produkt wird $5$ subtrahiert.
    5. Diese Differenz wird durch $2$ dividiert.
    6. Von diesem Quotienten wird $3$ subtrahiert.
    Zum Umstellen der Gleichung werden nun diese Rechenoperationen in umgekehrter Reihenfolge rückgängig gemacht. Es folgt:

    1. Es wird auf beiden Seiten $3$ addiert.
    2. Beide Seiten werden mit $2$ multipliziert.
    3. Es wird auf beiden Seiten $5$ addiert.
    4. Beide Seiten werden durch $5$ dividiert.
    5. Es wird von beiden Seiten $3$ subtrahiert.
    6. Beide Seiten werden durch $2$ dividiert.
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