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Gleichungen in einem Schritt lösen

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Team Digital
Gleichungen in einem Schritt lösen
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Grundlagen zum Thema Gleichungen in einem Schritt lösen

Inhalt

Wie löst man Gleichungen mit dem Waagemodell?

Wenn es um Gleichungen geht, dann werden häufig Bilder von Waagen gezeigt. Hast du dir schon einmal die Frage gestellt, was eine Gleichung mit einer Waage zu tun hat? In diesem Text wird der Zusammenhang zwischen einer Gleichung und einer Waage einfach erklärt.

Waagemodell bei Gleichungen

Das Lösen einer Gleichung lässt sich anhand einer Waage gut darstellen. Auf beiden Seiten einer Waage muss das gleiche Gewicht liegen, damit die Waage im Gleichgewicht ist. Bei einer Gleichung müssen beide Seiten den gleichen Wert haben, damit die Gleichung erfüllt ist.
Nimmt man bei der Waage auf der einen Seite etwas weg, muss auf der anderen Seite das gleiche Gewicht weggenommen werden, damit die Waage im Gleichgewicht bleibt. Gibt man etwas dazu, muss es ebenfalls auf beiden Seiten das Gleiche sein. Dieses Prinzip kann genauso auf Gleichungen übertragen werden.

Gleichungen enthalten oft eine Variable. Um herauszufinden, für welchen Wert der Variable die Gleichung erfüllt ist, müssen wir die Gleichung lösen. Beim Lösen einer Gleichung ist es das Ziel, dass die Variable allein auf einer Seite steht. Um das zu erreichen, helfen uns die Umkehroperationen. Die Umkehroperation der Addition ist die Subtraktion und umgekehrt. Die Umkehroperation der Multiplikation ist die Division und andersherum. Mithilfe der Umkehroperationen können wir Zahlen auf beiden Seiten abziehen und hinzufügen, bis die Variable allein auf einer Seite steht. Behalte beim Umstellen immer die Waage im Hinterkopf. Alles, was auf einer Seite verändert wird, muss auch auf der anderen Seite geändert werden.

Gleichungen mit dem Waagemodell lösen

Schauen wir uns das an dem folgenden Beispiel an:

$x + 2 = 7$

Diese Gleichung können wir zunächst auf einer Waage darstellen. Das $x$ ist eine unbekannte Größe. Wir können es als blauen Würfel darstellen. Sein Gewicht ist unbekannt. Die Zahlen können wir als braune Würfel darstellen. Jeder einzelne braune Würfel hat das gleiche Gewicht. Zwei braune Würfel wiegen zusammen mit dem blauen Würfel genauso viel wie sieben braune Würfel.

Gleichungen Waage Beispiel

Soll der blaue Würfel nun allein auf seiner Seite sein, müssen wir zwei braune Würfel wegnehmen. Damit die Waage im Gleichgewicht bleibt, müssen wir auch auf der anderen Seite zwei braune Würfel wegnehmen. Der blaue Würfel wiegt also genauso viel wie fünf braune Würfel.

Schauen wir uns das nun noch einmal an der Gleichung an. Damit die Variable $x$ allein steht, muss die $+2$ weg. Die Umkehroperation von $+2$ ist $-2$. Das können wir, getrennt durch einen senkrechten Strich, hinter die Gleichung schreiben.

$ x + 2 = 7 \quad \vert -2$

Nun erinnere dich an die Waage: Die Veränderung muss immer auf beiden Seiten gleich sein. Wir subtrahieren also auf beiden Seiten $2$.

$ x + 2 \textcolor{orange}{-2} = 7 \textcolor{orange}{-2}$

Wir erhalten die Gleichung:

$x=5$

Betrachten wir ein weiteres Beispiel:

$ 3 \cdot x = 30$

Wir nutzen wieder die Umkehroperation, um zu erreichen, dass x allein auf einer Seite steht. Die Umkehroperation der Multiplikation ist die Division. Wir teilen also beide Seiten durch $3$.

$\qquad \, \, 3 \cdot x = 30 \quad \vert :3$
$\bigl(3 \cdot x\bigr) \textcolor{orange}{:3} = 30 \textcolor{orange}{:3}$
$\qquad \quad \, \, \, x = 10$

Dann haben wir die Gleichung so umgeformt, dass wir den Wert von x ablesen können. Umformungen, die die Lösungsmenge einer Gleichung nicht verändern, nennt man Äquivalenzumformungen. Eine ausführliche Erklärung dazu findest du im Video über Äquivalenzumformungen.

Zusammenfassung – Lösen von Gleichungen

Die folgenden Stichpunkte fassen noch einmal das Wichtigste zum Lösen von Gleichungen zusammen.

  • Mithilfe von Umkehroperationen lassen sich Gleichungen lösen, indem man die Variable allein auf eine Seite bringt.
  • Die Umkehroperation der Addition ist die Subtraktion und andersherum.
  • Die Umkehroperation der Multiplikation ist die Division und andersherum.
  • Auf beiden Seiten der Gleichung müssen dieselben Rechenoperationen durchgeführt werden.

Zusätzlich zum Text und dem Video findest du hier auf der Seite noch Übungen und Arbeitsblätter, bei denen du Gleichungen mit dem Waagemodell lösen kannst.

Transkript Gleichungen in einem Schritt lösen

Große Aufregung im Londoner Zoo! Ein paar Löwenjungen sind ausgebüchst. Nur 2 der 7 kleinen Löwen sind im Gehege. Wie viele Löwenbabys müssen die Tierwärter wieder einfangen? Mit einer Gleichung finden wir die Antwort. Die Variable x steht für die vermissten kleinen Löwen. Dazu addieren wir die 2, die noch im Gehege sind. Das ergibt 7, die Anzahl aller Löwenjungen im Zoo. Eine Gleichung ist wie eine Waage. In der linken Waagschale siehst du ein x. Es steht für die Anzahl der vermissten Löwenkinder. Außerdem gibt es 2 Löwenbabys, die noch im Gehege sind. Die rechte Waagschale enthält die Anzahl aller kleinen Löwen des Zoos, also 7. Gerade ist die Waage im Gleichgewicht. Nimmst du einen Löwen aus der linken Schale, ist die Waage im Ungleichgewicht. Wenn du aber dieselbe Anzahl, einen Löwen, auch aus der rechten Schale nimmst, ist sie wieder im Gleichgewicht. Wenn du ein weiteres Löwenjunges von der links nimmst und eins von der rechten Seite siehst du, dass x gleich 5 sein muss. Es fehlen also 5 Löwenbabys im Gehege. So funktionieren auch Gleichungen. Behalte die Waage im Hinterkopf! Das Ziel ist, dass x allein auf einer Seite der Gleichung steht. Um die "plus 2" auf der linken Seite der Gleichung loszuwerden, nutzen wir die Umkehroperation. Die Umkehroperation von "plus 2" ist "minus 2". Denk an die Waagschalen. Wenn du eine Seite veränderst, musst du das Gleiche auch auf der anderen Seite tun. Wir subtrahieren also 2 auf beiden Seiten. x plus 2 minus 2 ergibt x. 7 minus 2 ist gleich 5. Unsere Gleichung lautet jetzt: x ist gleich 5. Hier ist ein anderes Beispiel: Die Gleichung lautet: 3x=30. Damit x allein steht, nutzt du wieder die Umkehroperation. Bei der Multiplikation ist das die Division. Du musst hier durch 3 teilen. Nicht vergessen! Was du auf der einen Seite machst, musst du auch auf der anderen Seite tun. Also teilen wir beide Seiten durch 3. 3x /3=x und 30/3=10. Unsere Gleichung lautet nun: x = 10. Merke dir: Um x zu berechnen, nutze die Umkehroperation. Das ist bei der Addition die Subtraktion und andersherum. Die Umkehroperation der Multiplikation ist die Division und umgekehrt. Führe auf beiden Seiten der Gleichung dieselben Rechenoperationen durch. Zurück zu unseren Löwenbabys. Es ist bereits 5 Uhr nachmittags und immer noch wird ein kleines Löwenjunges vermisst. Aufruhr im Schlangenhaus! Der kleine Löwe scheint in Schwierigkeiten zu sein. Puh! Das ist nur die 5-Uhr-Tee-Runde bei der Englischen Teeschlange.

37 Kommentare
37 Kommentare
  1. richtig lustiges und langes ende (endlich)

    Von Yan Holiday, vor 5 Monaten
  2. wow richtig gutes Video die Löwen sind so süß und lustiges ende

    Von ZÜMRA, vor 8 Monaten
  3. baby Löwen! Voll süss! Und lustiges ende!

    Von Nuha.S, vor 8 Monaten
  4. 4/5. Gut.😊

    Von Nuha.S, vor 8 Monaten
  5. 5/5

    Von Milo, vor etwa einem Jahr
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Gleichungen in einem Schritt lösen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gleichungen in einem Schritt lösen kannst du es wiederholen und üben.
  • Stelle die gesuchte lineare Gleichung auf.

    Tipps

    Du kannst dir eine Gleichung wie eine Waage vorstellen. In diesem Beispiel enthält die linke Waagschale alle vermissten sowie zurückgebliebenen Löwenjungen. Die rechte Waagschale muss demnach alle Löwenjungen enthalten, damit die Waage im Gleichgewicht ist.

    Die Gleichung lautet in Worten wie folgt:

    Anzahl vermisster Löwenjungen $+$ Anzahl zurückgebliebener Löwenjungen $=$ Anzahl aller Löwenjungen

    Lösung

    Lass uns das kleine Löwen-Problem gemeinsam lösen. Folgendes ist uns bekannt:

    • Im Normalfall befinden sich im Gehege $7$ Löwenjungen.
    • Heute sitzen nur noch $2$ Löwenjungen im Gehege.
    Die Tierwärter suchen die genaue Anzahl der vermissten Löwenjungen und möchten diese mittels einer linearen Gleichung ermitteln. Erst dann können sie sich auf die tatsächliche Suche machen!

    Gebraucht wird also eine lineare Gleichung für die Berechnung der Anzahl vermisster Löwenjungen. Nimm dabei an, dass die Variable $x$ für die Anzahl vermisster Löwenjungen steht.

    Wir können uns eine Gleichung wie eine Waage vorstellen, welche wir stets im Gleichgewicht halten möchten. Wenn wir also alle $7$ Löwenjungen auf die rechte Waagschale setzen, so müssen wir auf der linken Waagschale $x$ vermisste und $2$ zurückgebliebene Löwenjungen platzieren.

    In Form einer linearen Gleichung sieht diese Vorstellung wie folgt aus:

    $x+2=7$

  • Berechne die Unbekannte $x$ in einem Schritt.

    Tipps

    Beim Umstellen einer Gleichung notiert man hinter einem Umformungsstrich die Umkehroperation, welche im nächsten Schritt auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden soll.

    Das Ziel beim Umstellen einer Gleichung ist, die Unbekannte allein auf einer Seite des Gleichheitszeichens stehen zu haben. Dafür verwenden wir folgende Umkehroperationen:

    Addition $\rightleftarrows$ Subtraktion

    Multiplikation $\rightleftarrows$ Division

    Schaue dir folgendes Beispiel an:

    $ \begin{array}{llll} 2 \cdot x+4 &=& 8 & \vert -4 \\ 2 \cdot x &=& 4 & \vert :2 \\ x &=& 2 & \end{array} $

    Lösung

    Es sind zwei lineare Gleichungen in je einem Schritt zu lösen:

    • $x+2=7$
    • $3 \cdot x=30$
    Dabei müssen die Gleichungen so umgestellt werden, dass die Unbekannte allein auf einer Seite des Gleichheitszeichens steht. Hierfür verwenden wir folgende Umkehroperationen:

    • Addition $\rightleftarrows$ Subtraktion
    • Multiplikation $\rightleftarrows$ Division
    Diese wählen wir so, dass die Gleichung in nur einem Schritt gelöst ist. Betrachten wir nun unsere Gleichungen:

    1. Gleichung

    $~ x+2=7$

    Auf der linken Seite der Gleichung wird zu der Variablen $x$ die $2$ addiert. Da die Variable $x$ allein auf einer Seite der Gleichung stehen soll, subtrahieren wir auf beiden Seiten der Gleichung die $2$, denn die Subtraktion ist die Umkehroperation zur Addition:

    $ \begin{array}{llll} x+2 &=& 7 & \vert -2 \\ x &=& 5 & \end{array} $

    2. Gleichung

    $~ 3 \cdot x=30$

    Auf der linken Seite der Gleichung wird die Variable $x$ mit der $3$ multipliziert. Da die Variable $x$ allein auf einer Seite der Gleichung stehen soll, dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch die $3$, denn die Division ist die Umkehroperation zur Multiplikation:

    $ \begin{array}{llll} 3 \cdot x &=& 30 & \vert :3 \\ x &=& 10 & \end{array} $

  • Bestimme die Umkehroperation, mit der die gegebene lineare Gleichung in einem Schritt lösbar ist.

    Tipps

    Jede dieser Gleichungen kann in nur einem Schritt gelöst werden. Das heißt, dass du mit nur einer Umkehroperation erreichen kannst, dass die Variable $x$ allein auf einer Seite der Gleichung steht.

    Beachte Folgendes bei der Wahl der Umkehroperation:

    • Addition $\rightleftarrows$ Subtraktion
    • Multiplikation $\rightleftarrows$ Division
    Lösung

    Es sind vier lineare Gleichungen gegeben. Jede dieser Gleichungen kann bereits in einem Schritt gelöst werden. Das heißt, dass wir mit nur einer Umkehroperation erreichen können, dass die Variable $x$ allein auf einer Seite der Gleichung steht.

    Lass uns die gegebenen vier Gleichungen gemeinsam betrachten:

    1. Gleichung

    $~ x+20=40$

    Auf der linken Seite der Gleichung wird zu der Variablen $x$ die $20$ addiert. Damit die Variable $x$ allein auf der linken Seite der Gleichung steht, subtrahieren wir auf beiden Seiten der Gleichung die $20$:

    $ \begin{array}{llll} x+20 &=& 40 & \vert -20 \\ x &=& 20 & \end{array} $

    2. Gleichung

    $~ 20 \cdot x=40$

    Auf der linken Seite der Gleichung wird die Variable $x$ mit der $20$ multipliziert. Damit die Variable $x$ allein auf der linken Seite der Gleichung steht, dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch $20$:

    $ \begin{array}{llll} 20 \cdot x&=& 40 & \vert :20\\ x &=& 2 & \end{array} $

    3. Gleichung

    $~ x-20=40$

    Auf der linken Seite der Gleichung wird von der Variablen $x$ die $20$ subtrahiert. Damit die Variable $x$ allein auf der linken Seite der Gleichung steht, addieren wir auf beiden Seiten der Gleichung die $20$:

    $ \begin{array}{llll} x-20 &=& 40 & \vert +20 \\ x &=& 60 & \end{array} $

    4. Gleichung

    $~ \frac x{20}=40$

    Auf der linken Seite der Gleichung wird die Variable $x$ durch die $20$ dividiert. Damit die Variable $x$ allein auf der linken Seite der Gleichung steht, multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit der $20$:

    $ \begin{array}{llll} \frac x{20}&=& 40 & \vert \cdot 20 \\ x &=& 800 & \end{array} $

  • Ermittle die gesuchte lineare Gleichung und löse sie.

    Tipps

    Folgende Beziehung gilt für die Kaffeemenge:

    gesamte Kaffeemenge $=$ Anzahl der Beutel $\cdot$ Kaffeemenge pro Beutel

    Eine Gleichung kannst du durch Äquivalenzumformung verändern, ohne deren Lösungsmenge zu ändern. Dafür musst du eine Rechenoperation immer auf beiden Seiten der Gleichung durchführen.

    Es gilt also auch:

    gesamte Kaffeemenge $:$ Kaffeemenge pro Beutel $=$ Anzahl der Beutel

    Lösung

    Diese Angabe ist uns bekannt:

    Die eingetroffene Kaffeemenge passt genau in $30$ verschiedene $1,5$-Kilogramm-Beutel.

    Stelle dir vor:

    Wir teilen den eingetroffenen Kaffee in Häufchen. Jedes davon besteht genau aus $1,5$ Kilogramm Kaffee. Am Ende erhalten wir genau $30$ Häufchen Kaffee. Mathematisch haben wir dabei Folgendes gemacht:

    gesamte Kaffeemenge $:$ Kaffeemenge pro Häufchen $=$ Anzahl der resultierenden Häufchen

    Nun füllen wir diese Häufchen in unsere $1,5$-Kilogramm-Beutel. Dann folgt:

    gesamte Kaffeemenge $:$ Kaffeemenge pro Beutel $=$ Anzahl der resultierenden Beutel

    Zudem haben wir angenommen, dass die Variable $x$ für die gesamte Kaffeemenge in Kilogramm steht. Es ergibt sich somit die lineare Gleichung:

    $x:1,5=30$

    Durch Äquivalenzumformung erhalten wir die Lösung der linearen Gleichung:

    $ \begin{array}{llll} x:1,5 &=& 30 & \vert \cdot 1,5 \\ x &=& 45 & \end{array} $

  • Beschreibe, wie du eine lineare Gleichung löst.

    Tipps

    Eine Gleichung ist wie eine Waage im Gleichgewicht: Nimmst du von der linken Waagschale ein Objekt herunter, so musst du dieses auch von der rechten Waagschale herunternehmen, damit die Waage im Gleichgewicht bleibt.

    Schaue dir folgendes Beispiel an:

    $ \begin{array}{llll} 3 \cdot x-5 &=& 10 & \vert +5 \\ 3 \cdot x-5+5 &=& 10+5 & \\ 3 \cdot x &=& 15 & \vert :3 \\ 3 \cdot x:3 &=& 15:3 & \\ x &=& 5 & \end{array} $

    Lösung

    Lass uns das Vorgehen beim Lösen einer linearen Gleichung an einem konkreten Beispiel untersuchen. Wir betrachten die folgenden Rechenschritte:

    $ \begin{array}{llll} 3 \cdot x-5 &=& 10 & \vert +5 \\ 3 \cdot x-5+5 &=& 10+5 & \\ 3 \cdot x &=& 15 & \vert :3 \\ 3 \cdot x:3 &=& 15:3 & \\ x &=& 5 & \end{array} $

    Dabei fällt zunächst auf, dass zum Umstellen der linearen Gleichung Umkehroperationen verwendet werden. Wir sehen, dass in der ersten Zeile für die Addition die Umkehroperation Subtraktion angewandt wird. In der dritten Zeile wird durch die $3$ dividiert, um die Variable $x$ zu isolieren. Die Division ist demnach die Umkehroperation für die Multiplikation. Es gilt also Folgendes für die Umkehroperationen:

    • Addition $\rightleftarrows$ Subtraktion
    • Multiplikation $\rightleftarrows$ Division
    Des Weiteren können wir der Berechnung entnehmen, dass die jeweilige Umkehroperation hinter einem Umformungsstrich notiert und im nächsten Schritt auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt wird.

  • Prüfe die einzelnen Rechenschritte auf ihre Richtigkeit.

    Tipps

    Verwende zum Ausklammern das Distributivgesetz:

    $a \cdot (b+c)=a \cdot b+a\cdot c$

    Um eine Gleichung nach der Unbekannten umzustellen, werden Umkehroperationen verwendet, welche auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden müssen.

    Schau dir folgendes Beispiel an:

    $ \begin{array}{llll} 4 \cdot x+4 &=& 12 & \vert -4 \\ 4 \cdot x &=& 8 & \vert :4 \\ x &=& 2 & \end{array} $

    Lösung

    Wenn wir eine Gleichung umformen, müssen wir darauf achten, dass wir jede Rechenoperation auf beiden Seiten der Gleichung durchführen. Es handelt sich hierbei um eine Äquivalenzumformung. Das bedeutet, dass trotz Veränderung der Gleichung deren Lösungsmenge unverändert bleibt.

    Betrachten wir nun die gegebene fehlerbehaftete Berechnung:

    $ \begin{array}{llll} 3 \cdot (x+4)-2 &=& 5 \cdot x & \\ 3 \cdot x+12-2 &=& 5 \cdot x & \\ 3 \cdot x+10 &=& 5 \cdot x & \vert -3 \cdot x \\ 10 &=& 5 \cdot x & \vert :5 \\ 2 &=& x \end{array} $

    In den ersten beiden Zeilen wird die Ausgangsgleichung zunächst vereinfacht. Dabei wird im ersten Rechenschritt das Distributivgesetz angewendet. Im nächsten Schritt werden gleichartige Terme zusammengefasst.

    In der dritten Zeile erfolgt die erste Umformung mittels Umkehroperation. Es soll von beiden Seiten der Gleichung $3 \cdot x$ subtrahiert werden. Professor Brown subtrahiert auf der linken Seite der Gleichung den Term $3 \cdot x$, während er die rechte Seite der Gleichung unverändert lässt. Das ist keine Äquivalenzumformung und die Lösungsmenge bleibt somit nicht mehr unverändert! Daher ist die vierte Zeile falsch.

    Also machen wir es nun richtig:

    $ \begin{array}{llll} 3 \cdot (x+4)-2 &=& 5 \cdot x & \\ 3 \cdot x+12-2 &=& 5 \cdot x & \\ 3 \cdot x+10 &=& 5 \cdot x & \vert -3 \cdot x \\ 10 &=& 2 \cdot x & \vert :2 \\ 5 &=& x \end{array} $

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