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Gleichungen durch geschicktes Probieren lösen

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Team Digital
Gleichungen durch geschicktes Probieren lösen
lernst du in der Unterstufe 3. Klasse - 4. Klasse

Grundlagen zum Thema Gleichungen durch geschicktes Probieren lösen

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Gleichungen durch geschicktes Probieren zu lösen.

Zunächst lernst du, wie du eine gegebene Aufgabenstellung in eine Gleichung übersetzen kannst. Anschließend lernst du, wie du diese Gleichung durch geschicktes Probieren lösen kannst.

Lerne wie du Zahlenrätsel mit Hilfe von Gleichungen lösen kannst.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Gleichung, Term und Variable.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was eine Gleichung ist.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, zu lernen, wie man Gleichungen mit Hilfe von Äquivalenzumformungen löst.

Transkript Gleichungen durch geschicktes Probieren lösen

Lucy rätselt mal wieder ne Runde. Heute hat sie sich ein Zahlenrätsel vorgenommen: „Das Dreifache einer Zahl ist um zwei kleiner als die Differenz aus dem Fünffachen der Zahl und acht. Welche Zahl ist es?“ Hmm, gar nicht so einfach die richtige Zahl zu finden. Aber Lucy hat sich schon eine Strategie zurechtgelegt: Sie wird das Rätsel in eine mathematische Gleichung übersetzen. Denn Gleichungen können wir „durch geschicktes Probieren lösen.“ Eine Gleichung kann zum Beispiel so aussehen: „fünf plus zwei x gleich einundzwanzig“ Sie verbindet zwei Terme mit einem Gleichheitszeichen. Außerdem enthalten Gleichungen oft eine Variable beziehungsweise Unbekannte. In unserem Fall ist es das x. Die Frage ist nun: Welchen Wert müssen wir für x wählen, damit unsere Gleichung erfüllt ist, also beide Seiten unserer Gleichung den gleichen Wert annehmen? Um die Lösung unserer Gleichung zu bestimmen, können wir verschiedene Ansätze wählen. Wir können die Gleichung zum Beispiel äquivalent umformen, das ist der klassische Weg. In diesem Video wollen wir uns aber darauf konzentrieren, wie wir Gleichungen durch geschicktes Probieren lösen können. Lass uns dafür mal unsere Gleichung anschauen und einen ersten Versuch starten: Was erhalten wir denn, wenn wir für das x eine sechs einsetzen? Fünf plus zwei mal sechs ist siebzehn. Unsere Gleichung ist nicht erfüllt. Siebzehn ist schließlich kleiner als einundzwanzig. Der Wert, den wir für das x gewählt haben, war also zu klein. Probieren wir also eine größere Zahl, die zehn. Wenn wir zehn einsetzen, erhalten wir auf der linken Seite fünfundzwanzig. Wieder falsch! Aber dieses Mal war der eingesetzte Wert zu groß. Unsere gesuchte Lösung muss also zwischen sechs und zehn liegen. Versuchen wir es mit der sieben: Wir erhalten neunzehn. Fast! Du erkennst, wahrscheinlich schon welche Zahl wir einsetzen müssen: Genau, die Acht! Und tatsächlich: Für x gleich acht ist unsere Gleichung erfüllt, wir haben die Lösung gefunden. Wie sind wir also vorgegangen? Wir haben zunächst einen ersten Wert eingesetzt, um zu sehen, ob dieser zu groß oder zu klein ist. Du kannst hier mit einem beliebigen Wert beginnen, der dir plausibel erscheint. Anschließend können wir dann die gesuchte Lösung durch das Einsetzen von weiteren Werten immer weiter eingrenzen, bis wir die Lösung gefunden haben. Alles klar, dann können wir uns jetzt mal ein weiteres Zahlenrätsel anschauen, es lautet wie folgt: „Wenn man zu dem Doppelten einer Zahl zwanzig hinzuaddiert, ergibt das das Vierfache der Zahl, um acht vermindert. Welche Zahl ist es?“ In diesem Fall haben wir noch keine Gleichung gegeben. Wir müssen sie erst mit Hilfe der im Text gegebenen Informationen aufstellen. Gesucht ist eine noch unbekannte Zahl, nennen wir sie x. Auf der linken Seite der Gleichung haben wir das Doppelte von x, also zwei x. Außerdem müssen wir noch zwanzig addieren. Das ist schonmal der erste Term unserer Gleichung. Auf der anderen Seite haben wir das Vierfache der Zahl, sprich vier x, und müssen noch acht subtrahieren. Diese beiden Terme sollen gleichwertig sein, somit haben wir unsere Gleichung: „Zwei x plus zwanzig gleich vier x minus acht.“ Unsere Unbekannte x steht jetzt auf beiden Seiten der Gleichung. Diese können wir nun wieder mit geschicktem Probieren lösen. Setzen wir zunächst die fünf ein. Wir erhalten dreißig auf der linken und zwölf auf der rechten Seite. Okay, das passt noch nicht. Versuchen wir mal eine größere Zahl, die zehn. Vierzig und zweiunddreißig. Auch das ist nicht richtig. Aber die Werte, die wir auf der linken und der rechten Seite der Gleichung erhalten haben, liegen schon deutlich näher beieinander. Wie sieht es denn mit fünfzehn aus? fünfzig und zweiundfünfzig! Wir sind der Lösung anscheinend schon sehr nah gekommen. Doch jetzt ist die rechte Seite der Gleichung größer als die linke. Wir müssen also einen etwas kleineren Wert wählen, versuchen wir die vierzehn. Geht doch! Achtundvierzig gleich achtundvierzig. Unsere Gleichung ist erfüllt. Vierzehn ist unsere gesuchte Zahl! Jetzt sind wir auch bestens für Lucys Zahlenrätsel gewappnet. Vorher fassen wir aber nochmal kurz zusammen: Wir können Gleichungen durch geschicktes Probieren lösen. Manchmal müssen wir die Gleichung zunächst noch aufstellen, indem wir die relevanten Informationen aus der Aufgabenstellung oder einem Text ablesen. Dann setzen wir einen plausiblen Startwert für unsere unbekannte Variable ein.
Anschließend arbeiten wir uns systematisch durch weitere Versuche mit sinnvollen Werten an die Lösung heran. So können wir die gesuchte Lösung immer weiter eingrenzen. Zurück zu Lucys Rätsel. Kannst du es lösen? Wenn du magst, pausiere doch kurz das Video und überlege selbst. Die Lösung erfährst du in drei, zwei, eins! Die gesuchte Zahl ist fünf! Die Gleichung, die wir für das Zahlenrätsel aufstellen mussten, lautet: „Drei x plus zwei gleich fünf x minus acht.“ Hast du die Lösung des Rätsels gefunden? Schreib es uns doch gerne in die Kommentare!

10 Kommentare

10 Kommentare
  1. Aber jetzt weis ich die Lösung.

    Von MNE and CH Bayern München Fan, vor 4 Monaten
  2. Ich war zu Faulum es zu lösen .😃😆😉

    Von MNE and CH Bayern München Fan, vor 4 Monaten
  3. 😎

    Von Adriano, vor 6 Monaten
  4. Ich hatte es richtig

    Von Finley, vor 7 Monaten
  5. ja ich habe es gewusst

    Von Anton, vor 8 Monaten
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Gleichungen durch geschicktes Probieren lösen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gleichungen durch geschicktes Probieren lösen kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie man die Lösung einer Gleichung bestimmen kann.

    Tipps

    Bei der Gleichung $5+2x=21$ ist die Variable $x$ die Unbekannte. Wir suchen also den Wert, den wir für $x$ einsetzen müssen, damit die Gleichung richtig ist.

    Beispiel:
    $3x-5=13$
    Setzen wir als Startwert für $x=3$ ein, so erhalten wir:
    $9-5\stackrel{?}{=}13$
    $4\neq13$
    Diese Gleichung ist falsch. Wir müssen also einen anderen Wert für $x$ einsetzen.

    Lösung

    Ist die Gleichung in Wortform gegeben, so müssen wir die mathematische Gleichung zunächst aufstellen.
    Beispiel: Das Doppelte einer Zahl ist gleich der Summe aus der Zahl und $3$.
    $2x=x+3$
    Anschließend wählen wir einen Startwert für die Unbekannte $x$, z. B. $x=1$.
    Wir setzen diesen Startwert für die Unbekannte $x$ ein und überprüfen die Gleichung:
    $2 \cdot 1 \stackrel{?}{=} 1+3$
    $2 \neq 4$
    Die Gleichung stimmt nicht, also ist $1$ nicht Lösung der Gleichung.
    Wir setzen also systematisch weitere Werte für die Unbekannte ein und grenzen so die Lösung immer weiter ein.
    $x=2$
    $2 \cdot 2 \stackrel{?}{=} 2+3$
    $4 \neq 5$
    $2$ ist keine Lösung der Gleichung.
    $x=3$
    $2 \cdot 3 \stackrel{?}{=} 3+3$
    $6=6$
    Wir haben mit $x=3$ die Lösung der Gleichung gefunden, da beim Einsetzen des Werts eine wahre Gleichung herauskommt.

  • Bestimme die Lösung der Gleichung durch geschicktes Probieren.

    Tipps

    Beispiel: $x=3$ ist Lösung folgender Gleichung:
    $2x-5=x-2$
    Einsetzen des Werts in die Gleichung ergibt nämlich:
    $2 \cdot 3 - 5 = 3-5$
    $1=1$

    Wir überprüfen, ob ein Wert Lösung einer Gleichung ist, indem wir ihn in die Gleichung für die Variable einsetzen. Wir berechnen dann beide Seiten der Gleichung. Wenn beide Seiten die gleiche Zahl ergeben, ist die Zahl Lösung der Gleichung. Ergeben sich links und rechts unterschiedliche Werte, so ist die Zahl keine Lösung der Gleichung.

    Lösung

    Der Startwert ist $x=5$. Wir setzen also für jedes $x$ in der Gleichung $5$ ein:
    $2 \cdot 5 + 20 \stackrel{?}{=}4 \cdot 5 -8$
    Wir rechnen beide Seiten aus und erhalten:
    $10+20\stackrel{?}{=}20-8$
    $30 \neq 12$
    $5$ ist also nicht die Lösung.

    Nun probieren wir es mit $x=10$.Wir setzen also für jedes $x$ in der Gleichung $10$ ein:
    $2 \cdot 10 + 20 \stackrel{?}{=}4 \cdot 10 -8$
    Wir rechnen beide Seiten aus und erhalten:
    $20+20\stackrel{?}{=}40-8$
    $40 \neq 32$
    $10$ ist also nicht die Lösung.

    Für $x=15$ erhalten wir folgende Rechnung:
    $2 \cdot 15 + 20 \stackrel{?}{=}4 \cdot 15 -8$
    Wir rechnen beide Seiten aus und erhalten:
    $30+20\stackrel{?}{=}60-8$
    $50 \neq 52$
    $15$ ist also nicht die Lösung.

    Schließlich versuchen wir es noch mit $x=14$ und erhalten:
    $2 \cdot 14 + 20 \stackrel{?}{=}4 \cdot 14 -8$
    Wir rechnen beide Seiten aus und erhalten:
    $28+20\stackrel{?}{=}56-8$
    $48=48$
    $14$ ist also die Lösung.

  • Stelle eine Gleichung zu der Formulierung auf.

    Tipps
    • $3x$: das Dreifache einer Zahl
    • $5+x$: die Summe aus $5$ und einer Zahl
    • $x-3$: die Differenz aus einer Zahl und $3$

    Wird zum Doppelten einer Zahl $4$ addiert, so ist das Ergebnis das Dreifache der Zahl:
    $2x+4=3x$

    Lösung

    Zu den einzelnen Formulierungen können wir Terme und Rechenoperationen schreiben. Daraus bilden wir Gleichungen:

    Wird von einer Zahl $15$ subtrahiert, so ist dies gleich dem Doppelten der Zahl.

    • Von einer Zahl $15$ subtrahieren: $x-15$
    • Das Doppelte einer Zahl: $2x$
    $x-15=2x$

    Wird zum Dreifachen einer Zahl das Doppelte der Zahl addiert, so ist das Ergebnis $15$.

    • Das Dreifache einer Zahl: $3x$
    • Das Doppelte einer Zahl: $2x$
    $3x+2x=15$

    Die Summe aus $15$ und dem Vierfachen einer Zahl ist gleich der Differenz aus der Zahl und $6$.

    • Das Vierfache einer Zahl: $4x$
    • Die Summe aus $15$ und dem Vierfachen einer Zahl: $15+4x$
    • Die Differenz aus einer Zahl und $6$: $x-6$
    $15+4x=x-6$

    Wird von einer Zahl $8$ subtrahiert, so ist das Ergebnis das Dreifache der Zahl.

    • Von einer Zahl $8$ subtrahieren: $x-8$
    • Das Dreifache einer Zahl: $3x$
    $x-8=3x$

  • Bestimme die Lösung der Gleichung.

    Tipps

    Wir können überprüfen, ob eine Zahl Lösung einer Gleichung ist, indem wir die Zahl für die Variable einsetzen und überprüfen, ob die Gleichung dann stimmt.

    Beispiel: $~3x+4=10$
    Für $x=1$ folgt:

    $3 \cdot 1 + 4 \stackrel{?}{=} 10$
    $3+4\stackrel{?}{=}10$
    $7 \neq 10$

    $x=1$ ist nicht Lösung der Gleichung.

    Beispiel: $~3x+4=10$
    Für $x=2$ folgt:

    $3 \cdot 2 + 4 \stackrel{?}{=} 10$
    $6+4\stackrel{?}{=}10$
    $10 = 10$

    $x=2$ ist Lösung der Gleichung.

    Lösung

    Wir setzen jeweils die einzelnen Werte in die Gleichung ein und überprüfen, ob die Gleichung eine wahre Aussage liefert:

    Beispiel 1: $~3x+5=x+9$
    Wir wählen als Startwert $x=1$. Wir setzen also für jedes $x$ in der Gleichung $1$ ein:
    $3 \cdot 1 + 5 \stackrel{?}{=} 1 +9$
    Wir rechnen beide Seiten aus und erhalten:
    $8 \neq 10$
    $1$ ist also nicht die Lösung.
    Wir setzen nun $x=2$ ein:
    $3 \cdot 2 + 5 \stackrel{?}{=} 2 +9$
    Wir rechnen beide Seiten aus und erhalten:
    $11=11$
    $2$ ist also die Lösung.

    Beispiel 2: $~6=4x-8+2$
    Wir wählen als Startwert $x=4$ und setzen diesen in der Gleichung für $x$ ein:
    $6 \stackrel{?}{=} 4 \cdot 4 -8+2$
    Wir rechnen beide Seiten aus und erhalten:
    $6 \neq 10$
    $4$ ist also nicht die Lösung.
    Wir setzen nun $x=3$ ein:
    $6 \stackrel{?}{=} 4 \cdot 3 -8+2$
    Wir rechnen beide Seiten aus und erhalten:
    $6=6$
    $3$ ist also die Lösung.

    Beispiel 3: $~9x+x-3=6x+1$
    Wir wählen als Startwert $x=1$ und erhalten folgende Rechnung:
    $9 \cdot 1 + 1-3 \stackrel{?}{=} 6 \cdot 1 +1$
    Wir rechnen beide Seiten aus und erhalten:
    $7=7$
    $1$ ist also die Lösung.

    Beispiel 4: $~8-x=x:3$
    Wir wählen als Startwert $x=10$. Eingesetzt in die Gleichung folgt:
    $8-10 \stackrel{?}{=} 10:3$
    Wir rechnen beide Seiten aus und erhalten:
    $-2 \neq \frac{10}{3}$
    $10$ ist also nicht die Lösung.
    Wir setzen nun $x=6$ ein:
    $8-6 \stackrel{?}{=} 6:3$
    Wir rechnen beide Seiten aus und erhalten:
    $2=2$
    $6$ ist also die Lösung.

  • Gib die Gleichung in Worten an.

    Tipps

    Die Gleichung $3-4x=x+2$ lautet in Worten:
    Die Differenz aus $3$ und dem Vierfachen einer Zahl ist gleich der Summe aus der Zahl und $2$.

    • Die Summe ist das Ergebnis einer Plusaufgabe.
    • Die Differenz ist das Ergebnis einer Minusaufgabe.
    • Das Produkt ist das Ergebnis einer Malaufgabe.
    • Der Quotient ist das Ergebnis einer Geteiltaufgabe.
    Lösung

    Die Variable $x$ ist eine unbekannte Zahl. Der Term $3x$ ist das Dreifache der Zahl. Der Term $5x$ ist das Fünffache der Zahl. Auf der rechten Seite der Gleichung steht außerdem ein Minuszeichen, also eine Differenz. Wir können den Term $5x-8$ also in Worten als „Die Differenz aus dem Fünffachen und $8$“ ausdrücken. Das Dreifache der Zahl ($3x$) ist dann um $2$ kleiner als dieser Term.

  • Bestimme die Lösung der Gleichung.

    Tipps

    Stelle zunächst eine passende Gleichung auf.

    Setze verschiedene plausible Werte für die Variable ein und überprüfe, ob die Gleichung stimmt.

    Lösung

    Wir stellen jeweils zuerst die Gleichung auf und bestimmen die Lösung dann durch Probieren:

    Beispiel 1

    Wird vom Doppelten einer Zahl $6$ subtrahiert, so ist das Ergebnis $4$.
    Die Gleichung lautet:
    $2x-6=4$
    Wir setzen ein: $x=5$:
    $2 \cdot 5 -6 = 4$
    $4=4$
    $5$ ist also die Lösung der Gleichung.

    Beispiel 2

    Die Summe aus einer Zahl und $2$ ist gleich der Differenz aus dem Vierfachen der Zahl und $22$.
    Die Gleichung lautet:
    $x+2=4x-22$
    Wir setzen ein: $x=8$:
    $8+2=4 \cdot 8 -22$
    $10 = 10$
    $8$ ist also die Lösung.

    Beispiel 3

    Wird eine Zahl mit $10$ multipliziert, so ist das Ergebnis gleich der Summe aus der Zahl und $9$.
    Die Gleichung lautet:
    $x \cdot 10 = x+9$
    Wir setzen ein: $x=1$
    $1 \cdot 10 = 1+9$
    $10=10$
    $1$ ist also die Lösung.

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