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Was sind Funktionen? – Überblick

Funktionen sind mathematische Abbildungen, die Elemente einer Definitionsmenge einem Wert zuordnen. Die geben Schüler viele Kopfschmerzen auch. Lerne, wie eine Funktion durch eine Gleichung oder Abbildungsvorschrift beschrieben wird und wie ein Funktionsgraf das grafisch zeigt. Alles über lineare, quadratische, Potenz- und Wurzelfunktionen wartet auf dich im folgenden Artikel.

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Team Digital
Was sind Funktionen? – Überblick
lernst du in der Unterstufe 3. Klasse - 4. Klasse

Beschreibung zum Video Was sind Funktionen? – Überblick

Mathematische Funktionen spielen in den Naturwissenschaften, in der Wirtschaft und in vielen anderen Bereichen des Lebens eine wichtige Rolle. Aber was sind Funktionen in Mathe? In diesem Video erhältst du einen einfachen Überblick über dieses Thema. Du lernst die grundlegenden Begriffe und Eigenschaften kennen. Neben Text und Video findest du Übungen, mit denen du deine neu gewonnenen Kenntnisse gleich überprüfen kannst.

Grundlagen zum Thema Was sind Funktionen? – Überblick

Funktionen einfach erklärt

In der Mathematik ist eine Funktion eine Abbildung oder Relation, die jedem Element einer Definitionsmenge genau ein Element aus einer Wertemenge zuordnet.

Dabei werden in der Regel folgende Schreibweisen verwendet:

  • Funktionsgleichung: $~ f(x) = x^3 - 7$
  • Abbildungsvorschrift: $~ f{:}~ x \mapsto x^3 - 7$
  • Definitionsmenge: $~ \mathbb{D}$
  • Wertemenge: $~ \mathbb{W}$
  • unabhängige Variable: $~ x \in \mathbb{D}$
  • Funktionswert oder abhängige Variable: $~ f(x)$ oder $y \in \mathbb{W}$

Entscheidend ist, dass die Zuordnung der Funktionswerte $f(x)$ für jedes $x$ aus der Definitionsmenge $\mathbb{D}$ eindeutig ist. Das ist an einer graphischen Darstellung im Koordinatensystem besonders gut zu erkennen. Hier siehst du einen Graphen, bei dem die Funktionswerte nicht eindeutig zugeordnet werden, er gehört daher nicht zu einer Funktion.

Beispiel kein Funktionsgraph

Hinweis: Es kann bei einer Funktion aber durchaus sein, dass mehrere $x$-Werte denselben Funktionswert haben. Wichtig ist nur, dass für jeden $x$-Wert nur ein zugehöriger Funktionswert existiert.

Beispiele für Funktionen

Eine Funktion ist eine Zuordnung zwischen zwei Größen. Ein Beispiel dafür ist der Kauf von mehreren Muffins in einem Geschäft. Wenn ein Muffin $2\,€$ kostet, können wir uns den folgenden Zusammenhang zwischen den Größen Anzahl und Preis überlegen:

$\quad$ Anzahl an Muffins $\cdot$ $2\,€$ $=$ Gesamtpreis dieser Anzahl an Muffins in$\,€$

Dies ist ein klassisches Beispiel für eine proportionale Zuordnung. Interessiert uns nun der Gesamtpreis von $7$ Muffins, erhalten wir ihn direkt aus unserer Gleichung:

$\quad 7\cdot 2\,€ = 14\,€$

Wir wollen uns das Prinzip der eindeutigen Zuordnung mit zwei weiteren Beispielen veranschaulichen.

Funktionen – Beispiel Geburtstag

Betrachten wir zum Beispiel eine Gruppe von fünf Personen. Man kann jedem dieser Personen einen Geburtstag zuordnen. Wir schreiben Namen und Geburtstag zunächst in einer Tabelle auf:

Name Geburtstag
Dorit 18. März
Klara 8. August
Georg 1. Januar
Pierre 30. Dezember
Agnes 18. März

Die fünf Personen sind die Definitionsmenge und die Geburtstage die Wertemenge. Die FunktionGeburtstag von“ ordnet jeder Person ihren Geburtstag zu.
Hier erkennen wir eine wichtige Eigenschaft von Funktionen. Eine Funktion weist jedem Element aus der Definitionsmenge genau ein Element aus der Wertemenge zu:
Jede der Personen hat nur einen Geburtstag.
Ein Paar aus Person und Geburtstag bildet ein Wertepaar. In die andere Richtung gilt das nicht – es kann sein, dass ein Element aus der Wertemenge mehreren Elementen aus der Definitionsmenge zugeordnet wird. Zum Beispiel haben sowohl Dorit als auch Agnes am 18. März Geburtstag.

Die Funktion als Abbildung zwischen Mengen

Funktionen – Beispiel Quadrat einer Zahl

In der Mathematik werden meistens Funktionen betrachtet, die einer Zahl eine andere Zahl zuordnen. Eine Funktion kann zum Beispiel einer Zahl ihre Quadratzahl zuordnen:

Zahl Quadrat der Zahl
$1$ $1$
$2$ $4$
$3$ $9$
$4$ $16$
... ...

Man kann die Quadratzahl jeder reellen Zahl bilden. Wenn wir den Definitionsbereich nicht selbst einschränken, entspricht er also der Menge aller reellen Zahlen. Auch die Wertemenge entspricht dann der Menge aller reeller Zahlen. Man schreibt dafür auch: $\mathbb{D} = \mathbb{R}$ und $\mathbb{W} = \mathbb{R}$. Die Funktion selbst wird häufig mit $f$ bezeichnet. Weil die Funktion in diesem Beispiel von den reellen Zahlen auf die reellen Zahlen abbildet, schreibt man auch:

$f{:}~ \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$

Das ist aber natürlich noch nicht die vollständige Schreibweise, denn sie beinhaltet nicht die Abbildungsvorschrift. Wir bilden für jede Zahl $x$ aus dem Wertebereich das Quadrat $x^{2}$. Das können wir folgendermaßen aufschreiben:

$f{}:~ x \mapsto x^{2}$

Auf diese Weise kannst du jede mathematische Funktion aufschreiben.

Eine weitere Möglichkeit, eine Funktion aufzuschreiben, ist die Funktionsgleichung. Sie besteht aus dem Funktionswert und dem Funktionsterm:

$f(x) = x^{2}$

$f(x)$ bezeichnen wir als Funktionswert und $x^{2}$ als Funktionsterm. Wenn du die Funktion graphisch darstellen willst und ein Koordinatensystem mit $x$- und $y$-Achse nutzt, kannst du auch schreiben:

$y = x^{2}$

Funktionen – Nutzen

Funktionen sind eines der wichtigsten mathematischen Werkzeuge. Sie finden nicht nur in der Mathematik Anwendung, sondern in nahezu allen Wissenschaften. Man kann mit ihnen beispielsweise physikalische Vorgänge, wirtschaftliche Zusammenhänge oder biologische Wachstumsprozesse beschreiben. Wichtig ist dabei stets die passende Funktionsgleichung zu kennen.

Funktionen – Graphen im Koordinatensystem

Für die Variable $x$ können die verschiedensten Werte in die Funktionsgleichung $f(x)=y$ eingesetzt werden. Die berechneten $y$-Werte zu den $x$-Werten können in einer Tabelle festgehalten werden. Diese wird Wertetabelle genannt. Du erhältst durch sie einen ersten kleinen Überblick über deine Funktion.

Oft ist es gewünscht, eine Funktion im Koordinatensystem grafisch darzustellen. Die graphische Darstellung der Funktion wird Funktionsgraph genannt.

Es gibt verschiedene Arten von Funktionen, die sich im Aufbau des Funktionsterms und dem Verlauf des Funktionsgraphen unterscheiden. Die wichtigsten Funktionstypen, die dir im Laufe deiner Schullaufbahn begegnen werden, wollen wir uns nun einmal anschauen.

Funktionstypen

Lineare Funktionen

Lineare Funktionen haben eine Funktionsgleichung der Form:

$\quad f(x) = m \cdot x + b$

Dabei gibt der Faktor $m$ vor der unabhängigen Variable die Steigung der linearen Funktion an. Der Parameter $b$ entspricht der y-Koordinate des Schnittpunkts mit der $y$-Achse. Er wird $y$-Achsenabschnitt genannt.
Der Funktionsgraph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Ist die Steigung $m$ positiv, so steigt die Gerade. Ist die $m$ negativ, dann fällt die Gerade.

Beispiel Funktionsgraph lineare Funktion

Quadratische Funktionen und Parabeln

Quadratische Funktionen haben eine Funktionsgleichung der Form:

$\quad f(x) = ax^2 + bx + c$ mit $a \neq 0$

Der Funktionsterm enthält hier die Potenz $x^2$, jedoch keine höheren Potenzen von $x$. Die Graphen von quadratischen Funktionen heißen Parabeln. Die einfachste quadratische Funktion ist $f(x) = x^2$, die sogenannte Normalparabel.

Beispiel Funktionsgraph quadratische Funktion

Jede Parabel hat einen höchsten oder tiefsten Punkt, der Scheitelpunkt genannt wird. Die Funktionsgleichung kann auch in der Scheitelpunktform angegeben werden, die die Koordinaten des Scheitels $S(d \vert e)$ enthält:
$f(x) = a(x - d)^2 + e$

Potenzfunktionen

Potenzfunktionen haben eine Funktionsgleichung der Form:

$\quad f(x) = a \cdot x^n$

Der Funktionsterm einer Potenzfunktion ist eine ganzzahlige Potenz der Variable $x$. Der Verlauf des Funktionsgraphen hängt dabei davon ab, ob der Exponent $n$ gerade oder ungerade bzw. positiv oder negativ ist:

  • Für positive gerade Exponenten ähnelt der Verlauf beispielsweise dem einer Parabel.
  • Ist der Exponent negativ, so sprechen wir von einer Hyperbel.
  • Beispiele für den graphischen Verlauf von Potenzfunktionen mit ungeraden positiven Exponenten siehst du in der Abbildung.

Beispiel Funktionsgraph Potenzfunktionen

Wurzelfunktionen

Wurzelfunktionen haben eine Funktionsgleichung der Form:

$\quad f(x) = \sqrt[n]{x}$

Durch Anwendung der Potenzgesetze könne wir eine Wurzelfunktion auch als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben:

$\quad f(x) = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$

Der Graph einer Wurzelfunktion verläuft im ersten Quadranten des Koordinatensystems, da unter der Wurzel keine negativen Zahlen stehe dürfen ($\mathbb{D} = \mathbb{R}_0^+$) und auch das Ergebnis nicht negativ wird ($\mathbb{W} = \mathbb{R}_0^+$).

Beispiel Funktionsgraph Wurzelfunktion

Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)

Ganzrationale Funktionen haben eine Funktionsgleichung der Form:

$\quad f(x) = a_{n} x^n + a_{n-1} x^{n-1} + … + a_{1} x + a_{0}~$ mit $~n \in \mathbb{N}~$ und $~a_{n} \neq 0$

Ganzrationale Funktionen werden auch Polynomfunktionen genannt, da der Funktionsterm aus einem Polynom besteht. Dabei sind die einzelnen Summanden Potenzen von $x$, die mit einem Koeffizienten $a$ multipliziert werden. Der höchste Exponent $n$, der im Funktionsterm vorkommt heißt Grad der Funktion, er ist zusammen mit dem Koeffizienten $a_n$ entscheidend für den Verlauf des Funktionsgraphen.

Beispiel Funktionsgraph ganzrationale Funktion

Hier siehst du den Graphen einer ganzrationalen Funktion dritten Grades (blau) und ein Polynom vom Grad $4$ (rot).

Hinweis: Auch quadratische Funktionen (Grad $2$) und lineare Funktionen (Grad $1$) gehören zu den ganzrationalen Funktionen.

Gebrochenrationale Funktionen

Gebrochenrationale Funktionen haben eine Funktionsgleichung der Form:

$\quad f(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)}$ mit ganzrationalen Funktionen $p$ und $q$

Bei einer gebrochenrationalen Funktion steht die Variable $x$ im Nenner des Funktionsterms. Da nicht durch $0$ geteilt werden darf, sind die Nullstellen des Nenners bei gebrochenrationalen Funktionen nicht Teil der Definitionsmenge, wir nennen sie Definitionslücken. Im Funktionsgraphen kann eine Definitionslücke zu einer senkrechten Asymptote führen. Neben dem Definitionsbereich sind der Grad des Zählers und Nenners bestimmend für den Verlauf des Funktionsgraphen.

Beispiel Funktionsgraph gebrochenrationale Funktion

Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen haben eine Funktionsgleichung der Form:

$\quad f(x) = b \cdot a^x~$ mit $~a \gt 0~$ und $~a \neq 1$

Der Parameter $b$ entspricht dem Anfangswert. Der Graph jeder Exponentialfunktion geht durch den Punkt $(0 \vert b)$. Die Basis $a$ wird auch Wachstumsfaktor genannt. Dabei gilt:

  • Für $a \gt 1$ beschreibt die Funktion exponentielles Wachstum (Zunahmen).
  • Für $a \lt 1$ beschreibt die Funktion exponentiellen Zerfall (Abnahme).

Hier siehst du, wie sich die Basis $a$ auf den grafischen Verlauf auswirkt.

Beispiel Funktionsgraph Exponentialfunktion

Eine besondere Exponentialfunktion ist die sogenannte natürliche Exponentialfunktion $f(x) = e^x$ mit der eulerschen Zahl $e \approx 2{,}718$ als Basis.

Logarithmusfunktionen

Logarithmusfunktionen haben eine Funktionsgleichung der Form:

$\quad f(x) = \log_{b}{x}$

Die Logarithmusfunktion hat eine Basis $b$, die Variable $x$ ist das Argument des Logarithmus. Da Logarithmen nur für positive Argumente definiert sind, ist der Definitionsbereich einer Logarithmusfunktion $\mathbb{D} = \mathbb{R}^+$. Dadurch ergibt sich die $y$-Achse als senkrechte Asymptote. Der Verlauf des Graphen wird durch den Wert der Basis $b$ bestimmt.

Beispiel Funktionsgraph Logarithmusfunktionen

Eine besondere Rolle spielt der sogenannte natürliche Logarithmus $\ln = \log_{e}$ mit der eulerschen Zahl $e \approx 2{,}718$ als Basis. Die entsprechende Funktion $f(x) = \ln(x)$ ist die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion.

Trigonometrische Funktionen

Trigonometrische Funktionen haben z. B. eine Funktionsgleichung der Form:

  • $f(x) = \sin(x)$,
  • $f(x) = \cos(x)$ oder
  • $f(x) = \tan(x)$

Durch die trigonometrischen Funktionen werden Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken beschrieben. Die Funktionsgraphen verlaufen periodisch und sind bei Sinus und Cosinus nach oben und unten begrenzt. Aufgrund ihrer Periodizität, eignen sie sich beispielsweise zur Modellierung von Schwingungen in der Physik.

Beispiel Funktionsgraph Trigonometrische Funktionen

Manipulation von Funktionsgraphen

Die Graphen von Grundfunktionen wie $x^2$, $e^x$ oder $\sin(x)$ können durch verschiedene Parameter manipuliert werden. Ein Funktionsgraph kann dadurch im Koordinatensystem verschoben, gestreckt oder gestaucht und an einer der Koordinatenachsen gespiegelt werden.

Wir wollen im Folgenden betrachten, wie sich Änderungen im Funktionsterm auf den Funktionsgraphen auswirken.

Verschieben in $x$- und $y$-Richtung

Die Addition einer Konstante im Funktionsterm bewirkt eine Verschiebung des Funktionsgraphen in Richtung einer Koordinatenachse. Dabei gilt:

$f(x + c) + d$

  • Der Funktionsgraph von $f(x)$ ist um $d$ Einheiten in Richtung der $y$-Achse verschoben.
  • Der Funktionsgraph von $f(x)$ ist um $-c$ Einheiten in Richtung der $x$-Achse verschoben.

Achtung: Bei der Verschiebung in $x$-Richtung dreht sich das Vorzeichen um!

Hier siehst du, wie sich die Addition verschiedener Werte im Funktionsterm auf den Graphen der Normalparabel $x^2$ auswirkt.

Verschiebung Parabel in x- und y-Richtung

Stauchung, Streckung und Spiegelung

Die Multiplikation der Variable mit einer Konstanten bewirkt eine Stauchung oder Streckung des Funktionsgraphen. Ist der Wert negativ, wird der Graph zudem an der $x$-Achse gespiegelt. Dabei gilt:

$f(a \cdot x)$

  • Für $\vert a \vert < 1$ wird der Funktionsgraph von $f(x)$ gestaucht.
  • Für $\vert a \vert > 1$ wird der Funktionsgraph von $f(x)$ gestreckt.
  • Für $a < 0$ wird der Graph zusätzlich an der $x$-Achse gespiegelt.

Hinweis: Eine Multiplikation des gesamten Funktionsterms mit $-1$ (also $-f(x)$) führt zu einer Spiegelung der Graphen an der $y$-Achse.

Hier siehst du die Auswirkung des Parameters $a$ in $a \cdot x^2$ auf den Graphen der Normalparabel $x^2$ in grün.

Streckung, Stauchung und Spiegelung Parabel

Der gelbe Graph ist gestaucht. Er gehört zu $0{,}5x^2$ mit $a = 0{,}5 < 1$.
Der rötliche Graph ist gestreckt. Er gehört zu $2x^2$ mit $a = 2 > 1$.
Der blaue Graph ist an der $x$-Ache gespiegelt. Er gehört zu $-x^2$ mit $a = -1$.

Umkehrfunktionen

Die Umkehrfunktion $f^{-1}$ einer Funktion $f(x)$ vertauscht die abhängige Variable $y$ und die unabhängige Variable $x$ der Funktion. Sie kann nur dann gebildet werden, wenn sich das Monotonieverhalten der Funktion im Definitionsbereich nicht ändert (Kriterium für die Umkehrbarkeit). Das bedeutet die Funktion ist im gesamten Definitionsbereich entweder monoton steigend oder monoton fallend.
Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion entspricht stets dem Wertebereich der Ausgangsfunktion. Die Wertemenge der Umkehrfunktion ist gleich der Definitionsmenge der Ausgangsfunktion:

  • $\mathbb{D}_{f^{-1}} = \mathbb{W}_{f}$
  • $\mathbb{W}_{f^{-1}} = \mathbb{D}_{f}$

Ein typisches Beispiel ist die natürliche Exponentialfunktion $f(x) = e^x$ mit der Umkehrfunktion $f^{-1} = \ln(x)$, der natürlichen Logarithmusfunktion.

Umkehrfunktion Beispiel e und ln

Graphisch kann die Umkehrfunktion durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden im ersten Quadranten $y = x$ gebildet werden.

Funktionen Zusammenfassung

  • Funktionen sind eine mathematische Beschreibung einer eindeutigen Zuordnung.
  • Eine Funktion ordnet jedem $x$ aus dem Definitionsbereich $\mathbb{D}$ einen eindeutigen Funktionswert $f(x)$ (oder auch $y$) aus dem Wertebereich $\mathbb{W}$ zu.
  • Umgekehrt kann ein Funktionswert auch für verschiedene $x$-Werte angenommen werden.
  • Funktionen können durch eine Funktionsgleichung, einen Funktionsgraphen oder durch eine Wertetabelle beschrieben werden.
  • Wir unterscheiden verschiedene Funktionstypen anhand des Funktionsterms und ihres grafischen Verlaufs.
  • Wichtige Funktionstypen sind z. B. lineare Funktionen, ganz- und gebrochenrationale Funktionen, Exponentialfunktionen und die trigonometrischen Funktionen.

Häufig gestellte Frage zum Thema Funktionen

Was ist eine Funktion einfach erklärt?
Welche Funktionen gibt es?
Was ist ein Beispiel für eine Funktion?
Für was braucht man eine Funktion?
Wie kann man Funktionen berechnen?
Wann ist eine Funktion differenzierbar?
Was sind Eigenschaften von Funktionen?
Wie kann man Funktionen angeben?
Was ist keine Funktion?
Warum sind Funktionen wichtig?
Was versteht man unter einer Funktionsgleichung?
Was ist der Unterschied zwischen Funktion und Relation?
Wie können Funktionen aussehen?
Wie erkenne ich eine Funktion?
Wann sind Funktionen umkehrbar?

Transkript Was sind Funktionen? – Überblick

Mit Funktionen bekommst du die Naturwissenschaften spielend leicht in den Griff oder du kannst wirtschaftliche Zusammenhänge beschreiben und auch in der Mathematik selbst spannende Dinge entdecken. Aber — was sind Funktionen überhaupt? Du kannst dir Funktionen auf zwei verschiedene Arten vorstellen. Als Abbildungen oder als eindeutige Relationen. Stell dir vor, du machst ein Photo. Dann wird jeder Punkt deines Motivs auf einen Punkt auf dem Photo abgebildet. Abstrakt kannst du dir vorstellen, dass ein Element aus einer Ausgangsmenge auf ein Element aus einer Zielmenge abgebildet wird. Oder stell dir vor, du kaufst Schuhe ein. Dann gehört zu jedem Paar Schuhe ein Preis. Das ist eine Relation! Abstrakt nennt man es eine Relation, wenn man aus einer Ausgangsmenge und einer Zielmenge Paare zusammenstellt. Die Ausgangsmenge nennt man bei Funktionen üblicherweise Definitionsmenge, kurz D. Und die Zielmenge WERTEMENGE, oder auch Bildmenge, W. Du kannst es dir so merken: eine Funktion ist wie eine Maschine. Die Definitionsmenge bestimmt die möglichen Inputs, die Wertemenge die möglichen Outputs. In den allermeisten Fällen der Schulmathematik sind diese Mengen beide Teilmengen der reellen Zahlen. Um zu beschreiben, was eine Funktion denn genau tut, benutzen wir folgende Schreibweisen: Für die Variable, also für die Zahl aus der Definitionsmenge, benutzt man oft ein x. Man nennt sie auch oft Veränderliche. Und die Funktion selbst bezeichnet man meistens mit f. Für jedes x gibt es das passende Element aus der Wertemenge — und das nennt man f von x. Eine Art, die Funktion zu beschreiben ist es, wenn man einfach die Funktionsgleichung angibt — zum Beispiel so: Man liest das als "f von x ist gleich 2 mal x hoch 3 plus 5". Diese Schreibweise hat den Vorteil, dass man direkt damit rechnen kann. Manchmal gibt man Funktionen aber auch als Abbildungsvorschrift an. Die schreibt man bei unserer Funktion als "f: x wird abgebildet auf 2 x hoch 3 plus 5". Sie bedeutet genau das gleiche, macht aber etwas deutlicher, was die Variable ist. In beiden Fällen sollte man die Definitions- und Wertemenge noch zusätzlich angeben, zum Beispiel so: Wenn die unmissverständlich klar sind, lässt man sie manchmal weg — schreib sie aber lieber immer dazu! Es gibt auch die einfache Schreibweise mit y gleich 2 mal x hoch 3 plus 5. Die wirst du aber immer weniger benutzen, je komplizierter die Funktionen werden. Um zu verstehen, was eine Funktion genau tut, gibt man oft eine Wertetabelle an. In die trägt man ausgesuchte Werte für die Variable und die zugehörigen Funktionswerte ein. Oft interessiert man sich für den Wert der Funktion bei x gleich 0. Welche übrigen Werte der Variablen man betrachtet, hängt stark von der Funktion ab, wir setzen einfach ein paar ein. Um sich vorzustellen zu können, wie die Funktion aussieht, kann man ihren Graphen zeichnen. Dazu brauchen wir ein Koordinatensystem - eine Achse für die Definitionsmenge und senkrecht dazu eine Achse für die Wertemenge. Man nennt die Achsen meistens x-Achse und y-Achse, aber die y-Achse sollte eigentlich "f von x - Achse" heißen. Der Schnittpunkt der beiden Achsen ist der Ursprung des Koordinatensystems. Um den Graphen der Funktion zu zeichnen, machst du für jeden x-Wert einen Punkt beim passenden Funktionswert. Anschließend verbindest du die Punkte. Aber wie genau? Wenn du nicht vorher schon weißt, wie der Graph der Funktion ungefähr aussehen muss, bleibt dir nur eine Wahl: Du musst mehr Punkte eintragen. Wenn du den Graphen aber gezeichnet hast, kannst du einige Eigenschaften der Funktion aus ihm ablesen: Zum Beispiel könnte der Graph punktysemmtrisch zum Ursprung sein. Die Graphen mancher anderer Funktionen sind achsensymmetrisch zur y-Achse oder nichts von beidem. Du findest Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen Hoch- oder Tiefpunkte oder auch die Fläche, die der Graph mit der x-Achse einschließt. Also merk dir: Funktionen kannst du dir immer als Abbildungen oder Relationen vorstellen. Die grundlegenden Eigenschaften einer Funktion sind ihre Definitionsmenge und ihre Wertemenge. Um anzugeben, was die Funktion tut, kannst du folgende Schreibweisen benutzen: Die Funktionsgleichung oder die Abbildungsvorschrift. Du kannst ihre Wertetabelle angeben und ihren Graphen zeichnen. Funktioniert doch, oder?

9 Kommentare
9 Kommentare
  1. sehr hilfreich danke für das schöne video

    Von Isabelle, vor mehr als 2 Jahren
  2. 2*x +2 ah jaaaaa

    Von Claudia Neher, vor etwa 3 Jahren
  3. Hallo Tamara B,

    Schau dir doch mal dieses Video an: https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/funktionen-und-relationen?launchpad=video
    Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Adina Schulz, vor mehr als 3 Jahren
  4. Ich weiß immer noch nicht was eine Definitionsmenge ist😳🤷🏼

    Von Tamara B., vor mehr als 3 Jahren
  5. lul

    Von Hoodie Xd, vor mehr als 3 Jahren
Mehr Kommentare

Was sind Funktionen? – Überblick Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Was sind Funktionen? – Überblick kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib Eigenschaften von Funktionen und ihren Graphen wieder.

    Tipps

    Eine Funktionsgleichung beschreibt, welcher $f(x)$-Wert zum dazugehörigen $x$-Wert gehört.

    Die Ausgangsmenge definiert, welchen Werten ein dazugehöriger Wert zugeordnet werden soll.

    Lösung

    Funktionen kannst du dir als Abbildungen und als eindeutige Relationen vorstellen.

    Die Ausgangsmenge einer Funktion nennt man Definitionsmenge $\mathbb{D}$.
    Die Zielmenge wird Wertemenge $\mathbb{W}$ genannt.

    Funktionen kann man sowohl mit einer Funktionsgleichung $f(x)=2x^3+5$ als auch mit einer Abbildungsvorschrift $f:x\rightarrow2x^3+5$ beschreiben.

    Um besser zu verstehen, was eine Funktion tut, nutzt man eine Wertetabelle und einen Graphen.

  • Benenne die Teile des Graphen und des Koordinatensystems.

    Tipps

    Die $x$-Achse verläuft horizontal und die $f(x)$-Achse vertikal.

    Im Ursprung kreuzen sich die beiden Achsen.

    Lösung

    Hier kannst du sehen, wie die Teile des Graphen und des Koordinatensystems heißen.

    Dabei ist der $y$-Achsenschnittpunkt nicht eigens bezeichnet.

  • Ermittle die Wertepaare der angegebenen Punkte im Koordinatensystem.

    Tipps

    So sieht die allgemeine Schreibweise eines Wertepaares aus:

    $(x\vert f(x))$

    Nehmen wir den Punkt $(1|2)$:

    Hier ist $x=1$ und $f(x)=2$.
    Wir gehen also $1$ Schritt entlang der $x$-Achse nach rechts und von dort aus $2$ Schritte entlang der $f(x)$-Achse nach oben. Dort befindet sich der Punkt $(1|2)$.

    Lösung

    Die Koordinaten $x$ und $f(x)$ eines Graphen gibst du in Form eines Wertepaares $(x\vert f(x))$ an.

    Nehmen wir zum Beispiel den $x$-Wert $-4$: Man wandert auf der $x$-Achse bis zu $x=-4$. Dann wandert man nach oben bis zu dem Punkt, an dem der Graph $x=-4$ schneidet. In diesem Fall ist das $f(x)=2$. Hier liegt also der Punkt $(-4\vert2)$.

    Demnach muss Thore die gegebenen Wertepaare wie abgebildet an dem Graphen anbringen.

  • Ermittle die fehlenden Werte.

    Tipps

    Starte im Ursprung. Gehe entlang der $x$-Achse für positive $x$-Werte nach rechts und für negative $x$-Werte nach links. Von da aus gehst du für positive $f(x)$-Werte nach oben und für negative $f(x)$-Werte nach unten.

    Sieh dir als Beispiel den Punkt $(2;\, 4)$ auf diesem Funktionsgraphen an.

    Lösung

    In einer Wertetabelle können exemplarisch einige Punkte $(x; \, f(x))$ eines Funktionsgraphen eingetragen werden. Dafür wählen wir einen Wert $x$ auf der $x$-Achse und gehen von dort aus gerade nach oben oder nach unten, bis wir auf den Funktionsgraphen treffen. Der Wert, den wir auf dieser Höhe auf der $f(x)$-Achse ablesen, ist der zugehörige $f(x)$-Wert.

    Nach diesem Muster lassen sich für den Funktionsgraphen in der Aufgabenstellung folgende $f(x)$-Werte in die Wertetabelle eintragen:

    $\begin{array}{c|c} x &f(x) \\ \hline -3 &-3 \\ -2 &8 \\ -1 &7 \\ 0 &0 \\ 1 &-7 \\ 2 &-8 \\ 3 &3 \end{array}$

    Dies sind außerdem die auf ganze Zahlen gerundeten $x$-Achsenschnittpunkte:

    $(-3;\, 0) \quad (0;\, 0) \quad (3;\, 0)$

    Noch ein Beispiel:

    Anhand des abgebildeten Funktionsgraphen zeigen wir noch einmal exemplarisch, wie du einen Punkt eines Graphen bestimmen kannst:

    Wenn du zu einem Funktionsgraphen einen Punkt $(x; \,f(x))$ angeben möchtest, brauchst du zum $x$-Wert den passenden $f(x)$-Wert. Sagen wir, du hast den Wert $x=2$ und du kennst den zugehörigen Wert $f(x)=4$. Dann kannst du sagen, dass der Punkt $(2;\,4)$ auf deinem Graphen liegt.

    Aber wie bestimmst du den $f(x)$-Wert zu $x=2$? Ausgehend vom Koordinatenursprung gehst du entlang der $x$-Achse $+2$ Schritte, also $2$ Schritte nach rechts. Von dort musst du schauen, ob du hoch- oder heruntergehen musst, um auf den Funktionsgraphen zu treffen. In diesem Beispiel musst du $4$ Schritte nach oben gehen. Du gehst also $+4$ Schritte entlang der $f(x)$-Achse. Auf dieser Höhe kannst du auch $+4$ auf der $f(x)$-Achse ablesen. Mit $x=2$ und $f(x)=4$ bestimmst du so den Punkt $(2;\,4)$.

    In einem $x$-Achsenschnittpunkt trifft der Funktionsgraph auf die $x$-Achse. Wir sagen dazu: Die $x$-Achse und der Funktionsgraph schneiden sich. Du gehst von der $x$-Achse aus keinen Schritt, also $0$ Schritte, nach oben oder unten, um auf den Funktionsgraphen zu treffen. Aus diesem Grund gilt für die $x$-Achsenschnittpunkte immer $f(x)=0$. Den $x$-Wert kannst du auf der $x$-Achse ablesen. In unserem dargestellten Beispiel ist der einzige $x$-Achsenschnittpunkt der Punkt $(0; \,0)$.

  • Bestimme, welche Merkmale die gegebenen Graphen besitzen.

    Tipps

    Erinnere dich: Ursprung nennen wir den Punkt, an dem die beiden Achsen sich schneiden.

    Negative $f(x)$-Werte findet man unterhalb der $x$-Achse.

    So sieht ein Graph aus, der punktsymmetrisch ist.

    Es gibt eine Eigenschaft in der Liste, die weder auf Graph $1$ noch auf Graph $2$ zutrifft.

    Lösung

    Diese Eigenschaften gehören zu Graph $1$:

    • achsensymmetrisch zur $f(x)$-Achse
    • berührt den Ursprung
    • $f(x) \geq 0$
    • schneidet die $x$-Achse $1$ Mal
    • ein Tiefpunkt liegt bei $(0\vert0)$
    Und diese Eigenschaften gehören zu Graph $2$:
    • schneidet die $x$-Achse $3$ Male
    • besitzt auch negative $f(x)$-Werte
    • ein Hochpunkt liegt im Bereich $x < 0$
    • ist punktsymmetrisch zum Punkt $P$
    Zudem ist keiner der beiden Graphen punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

  • Untersuche, welche Wertetabelle zu welchem Graphen gehört.

    Tipps

    Manche Wertetabellen haben einige gleiche Wertepaare. Nutze hier die übrigen Wertepaare der Tabellen, um herauszufinden, welcher Graph zu dieser Tabelle passt.

    Zwei Graphen verlaufen durch den Ursprung $(0\vert 0)$. Einer dieser Graphen besitzt keine negativen Funktionswerte.

    Lösung

    Hier siehst du noch einmal, wie du ein Wertepaar im Koordinatensystem findest:

    $(2|-6)$ bedeutet $x=2$ und $f(x)=-6$.
    Ausgehend vom Koordinatenursprung gehen wir entlang der $x$-Achse $2$ Schritte nach rechts. Von dort aus müssen wir $-6$ Schritte entlang der $f(x)$-Achse gehen. Wir gehen also $6$ Schritte entlang der $f(x)$-Achse nach unten. Dort befindet sich der Punkt $(2|-6)$.

    Demnach können wir den Graphen jeweils folgende Wertetabellen zuordnen:

    Graph $1$:

    $\begin{array}{c|c} x &y \\ \hline -1 &1 \\ 0 &0 \\ 1 &1 \\ 2 &4 \end{array}$

    Graph $2$:

    $\begin{array}{c|c} x &y \\ \hline -1 &4 \\ 0 &0 \\ 1 &-4 \\ 2 &-2 \end{array}$

    Graph $3$:

    $\begin{array}{c|c} x &y \\ \hline -1 &-4 \\ 0 &-2 \\ 1 &0 \\ 2 &2 \end{array}$

    Graph $4$:

    $\begin{array}{c|c} x &y \\ \hline -1 &3 \\ 0 &2 \\ 1 &1 \\ 2 &-6 \end{array}$