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Lineare Funktion – Wertetabelle 04:31 min

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Transkript Lineare Funktion – Wertetabelle

Damit Sam das Seepferdchen ein Charakterupgrade erhält, muss er 1000 XP erreichen. Um XP zu erhalten, muss man Muscheln sammeln und für jede Muschel bekommt man die gleiche Anzahl an Xps. Linearen Funktionen können dabei helfen, die Gesamtzahl der XP in Abhängigkeit zu den gesammelten Muscheln herauszufinden. Dazu müssen wir wissen, was eine lineare Funktion überhaupt ist. Eine Funktion mit der Gleichung f von x gleich m mal x plus b heißt lineare Funktion. m ist dabei die Steigung und b der y-Achsenabschnitt. Der y-Achsenabschnitt ist dabei der Funktionswert an der Stelle x=0. Verschiedene Werte der linearen Funktion kann man in einer Wertetabelle darstellen. Dabei benötigen wir zwei Zeilen oder Spalten, eine für die x-Werte und eine für die zugehörigen y-Werte. Hier haben wir also x für die Anzahl der Muscheln und y für die Anzahl der gesammelten XP. Im ersten Level startet man mit 50 XP und erhält pro gesammelte Muschel 10 - wir können dies also durch die Gleichung f von x ist gleich 10x+50 darstellen. Da der y-Achsenabschnitt hier 50 ist, wissen wir, dass wir bei einem x-Wert von 0 den y-Wert von 50 haben. Gehen wir in Einer-Schritten weiter, können wir die XP einfach immer mit 10 addieren. Wir können auch die Funktionsgleichung verwenden, um die Werte zu berechnen. Setzen wir für x 5 ein so erhalten wir ebenfalls 100. Das Verwenden der Funktionsgleichung hilft uns vor allem, wenn wir größere Werte berechnen wollen. Wollen wir herausfinden, wie viele XP man bei 15 gesammelten Muscheln erhält, so setzen wir für x 15 ein, rechnen dies aus und erhalten als y-Wert 200. Bei 22 gesammelten Muscheln... hätte man 270 XP. Im nächsten Level muss man zusätzlich zum Sammeln der Muscheln noch Quallen ausweichen. Daher gibt es hier für jede Muschel zusätzliche 15 XP. Vom letzten Level sind noch 270 übrig. Auch hier können wir wieder eine Wertetabelle anlegen, um zu sehen wie viel XP man für jede zusätzliche Muschel insgesamt erspielt hat. Zu Beginn des Levels, also bei einer Muschelanzahl von 0, hat man 270. Pro gesammelte Muschel bekommt man zusätzlich 15. Wir können also wieder schrittweise 15 addieren für jede weitere gesammelte Muschel. Wollen wir größere Werte herausfinden, können wir uns die Funktionsgleichung zur Hilfe nehmen. Nun setzen wir für x wieder den gewollten Wert ein - nehmen wir doch einmal 20 rechnen dies aus und wissen, dass man bei 20 Muscheln 570 XP besitzt. Während Sam weiter um ein Charakter-Upgrade kämpft, fassen wir zusammen. Mithilfe einer Wertetabelle kann man einen guten Überblick über die einer Funktion zugehörigen x- und y- Werte bekommen. Man kann Werte schrittweise berechnen oder die Funktionsgleichung verwenden, um fehlende Werte zu bestimmen. So wie es aussieht ist Sam kurz vor dem Upgrade. Oh wow.

3 Kommentare
  1. Just EASY🤣🤣🤣🤣

    Von Joshua B., vor etwa 2 Monaten
  2. cccoooolllllll

    Von Itslearning Nutzer 2535 404312, vor etwa 2 Monaten
  3. Das Video hat mir sehr geholfen, da ich morgen eine Mathe arbeit darüber schreibe :D

    Von Hp011, vor 3 Monaten

Lineare Funktion – Wertetabelle Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Funktion – Wertetabelle kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die korrekten Aussagen zu den Wertetabellen von linearen Funktionen.

    Tipps

    Bei einer linearen Funktion beträgt die Potenz der Variablen immer $1$.

    Setzt du einen bestimmten $x$-Wert in eine Funktion ein, dann erhältst du den dazugehörigen $y$-Wert.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Eine Funktion der Form $f(x)= mx^2+b$ heißt lineare Funktion.“

    • Dies ist eine quadratische Funktion. Das erkennst du an der Potenz der Variablen der Funktion (hier ist diese $2$). Bei einer linearen Funktion ist die Potenz der Variablen immer $1$ ($x^1=x$).
    „In einer Wertetabelle stellt man normalerweise die Steigung und den $y$-Achsenabschnitt einer linearen Funktion dar.“

    • In einer Wertetabelle werden normalerweise Wertepaare $x$ und $y$ angegeben.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Der $y$-Achsenabschnitt einer linearen Funktion ist der Wert der Funktion an der Stelle $x=0$.“

    • Dieser Wert heißt so, weil hier die $y$-Achse geschnitten wird.
    „In einer Wertetabelle werden die $x$- und die zugehörigen $y$-Werte der Funktion notiert.“

    „Die $y$-Werte der Funktion kannst du bestimmen, indem du die $x$-Werte in die Funktion einsetzt.“

    • So erhältst du für jeden $x$-Wert einen zugehörigen $y$-Wert.
  • Bestimme eine Wertetabelle für die gegebene Funktion.

    Tipps

    Den $y$-Achsenabschnitt $b$ erhältst du, wenn du $0$ in die Funktionsgleichung einsetzt.

    In der Funktionsgleichung wird $x$ mit $10$ multipliziert. Also wird der $y$-Wert der Funktion immer um $10$ größer, wenn du den $x$-Wert um $1$ erhöhst.

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Zuerst muss er eine Tabelle zeichnen. Hier werden die Werte für $x$ und $y$ in unterschiedliche Zeilen eingetragen.“

    • Du könntest die Tabelle auch hochkant zeichnen, sodass $x$- und $y$-Werte in unterschiedliche Spalten eingetragen werden. Das bleibt dir überlassen.
    „Anschließend kann er den Wert des $y$-Achsenabschnitts in die $y$-Zeile einzeichnen. Der zugehörige $x$-Wert ist immer Null.“

    • Den $y$-Achsenabschnitt $b$ erhältst du, wenn du $0$ in die Funktionsgleichung einsetzt. Also ist der Punkt $(0 \vert b)$ immer Teil der Funktion.
    „Danach kann er die Werte schrittweise erhöhen. Erhöht sich der $x$-Wert um eins, dann muss sich der $y$-Wert um zehn erhöhen.“

    • Diesen Zusammenhang kannst du direkt aus der Funktionsgleichung ablesen. $x$ wird hier mit $10$ multipliziert. Also wird der $y$-Wert der Funktion immer um $10$ größer, wenn du den $x$-Wert um $1$ erhöhst.
    „Für große $x$-Werte kannst du die zugehörigen $y$-Werte auch direkt mit der Funktionsgleichung bestimmen. Dazu setzt du die Werte ein. Für $x=15$ erhalten wir $y=200$ und für $x=22$ ergibt sich $y=270$.“

    • Dieses Verfahren bietet sich besonders bei großen Funktionswerten an, da du so nicht alle kleineren Werte bestimmen musst. Du kannst es allerdings für jeden der Werte anwenden.
  • Ermittle, welche Wertetabelle zu welcher Funktion gehört.

    Tipps

    Um die Wertetabellen zu bestimmen, kannst du bei dem $y$-Achsenabschnitt $b$ beginnen. Der erste Eintrag der Tabelle ist also immer $(0 \vert b)$.

    Im Anschluss kannst du den $x$-Wert um $1$ erhöhen und den $y$-Wert um den Faktor vor dem $x$.

    Lösung

    Um die Wertetabellen zu bestimmen, kannst du bei dem $y$-Achsenabschnitt $b$ beginnen. Der erste Eintrag der Tabelle ist also immer $(0 \vert b)$. Im Anschluss kannst du den $x$-Wert um $1$ erhöhen und den $y$-Wert um den Faktor vor dem $x$. So erhältst du für die Funktionen:

    • $f(x)=3x+5$ beinhaltet die Punkte $(0 \vert 5)$ und $(1 \vert 8)$.
    • $g(x)=5x+5$ beinhaltet die Punkte $(0 \vert 5)$ und $(1 \vert 10)$.
    • $h(x)=5x+3$ beinhaltet die Punkte $(0 \vert 3)$ und $(1 \vert 8)$.
    • $i(x)=7x+3$ beinhaltet die Punkte $(0 \vert 3)$ und $(1 \vert 10)$.
    Mit diesen Punkten kannst du die Wertetabellen zuordnen.

  • Ermittle die Wertetabelle der Funktion $f(x)=7x + 19$.

    Tipps

    Die Werte der Tabelle kannst du bestimmen, indem du die $x$-Werte direkt in die Funktionsgleichung einsetzt.

    Zum Beispiel erhältst du für $x=2$:

    $f(2)=7 \cdot 2 + 19=14+19=33$.

    Lösung

    Um die Wertetabelle zu vervollständigen, setze zuerst den $y$-Achsenabschnitt ein. So erhältst du den Wert für die erste Zeile. Anschließend kannst du die anderen Werte der Tabelle bestimmen, indem du die $x$-Werte direkt in die Funktionsgleichung einsetzt. So erhältst du:

    $f(5)=7 \cdot 5 + 19=35+19=54$

    $f(15)=7 \cdot 15 + 19=105+19=124$

    $f(18)=7 \cdot 18 + 19=126+19=145$

    $f(22)=7 \cdot 25 + 19=154+19=173$

    Damit kannst du die Wertetabelle so vervollständigen.

    $\begin{array}{ll} x& y\\ \hline 0& 19\\ 1& 26\\ 5& 54\\ 15& 124\\ 18&145\\ 22&173 \\ \end{array}$

  • Bestimme die Werte der Funktion $f(x)=15x+270$.

    Tipps

    Auch bei dieser Tabelle kannst du als ersten Eintrag den $y$-Achsenabschnitt einsetzen.

    Beim letzten Wert bietet es sich an, den $x$-Wert direkt in die Funktionsgleichung einzusetzen.

    Lösung

    Auch bei dieser Tabelle kannst du als ersten Eintrag den $y$-Achsenabschnitt einsetzen.

    Für $x=0$ erhältst du also $y=270$.

    Anschließend kannst du den $x$-Wert schrittweise um eins erhöhen, während du den $y$-Wert um $15$ erhöhst.

    So ergibt sich für $x=1$ also $y=270+15=285$.

    Die folgenden Werte kannst du genauso bestimmen.

    Bei dem letzten Wert bietet es sich an, den $x$-Wert direkt in die Funktionsgleichung einzusetzen. Hier erhältst du:

    $f(20)=15 \cdot 20 + 270=570$.

  • Erschließe die Wertetabelle.

    Tipps

    Um die Wertetabelle zu vervollständigen, lohnt es sich eine Funktionsgleichung aufzustellen.

    Der $y$-Achsenabschnitt beschreibt den Anfangszustand der Funktion.

    Der Faktor, mit dem $x$ in der Funktionsgleichung multipliziert wird, entspricht dem Wert, um den sich die Größe verändert, wenn du den $x$-Wert um eins erhöhst. Fertigen wir also jeden Tag $7$ Seiten an, können wir das durch $7x$ ausdrücken.

    Lösung

    Um die Wertetabelle zu vervollständigen, lohnt es sich eine Funktionsgleichung aufzustellen. Zu Beginn hat Renée bereits $14$ Seiten fertig. Also beträgt der $y$-Achsenabschnitt $b=14$. Jeden Tag kommen zwei weitere Seiten hinzu. Also können wir die Anzahl der Seiten mit folgender Funktion ausdrücken:

    $f(x)=2x+14$

    Hier können wir die gegebenen $x$-Werte einsetzen, um die zugehörigen $y$-Werte zu bestimmen. So erhalten wir:

    • $f(1)=2 \cdot 1+14 = 16$
    • $f(5)=2 \cdot 5+14 = 24$
    • $f(10)=2 \cdot 10+14 = 34$
    • $f(13)=2 \cdot 13+14 = 40$
    • $f(24)=2 \cdot 10+14 = 62$