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Lineare Funktionen – Funktionsgleichung mit einer Wertetabelle aufstellen

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Team Digital
Lineare Funktionen – Funktionsgleichung mit einer Wertetabelle aufstellen
lernst du in der Unterstufe 3. Klasse - 4. Klasse

Grundlagen zum Thema Lineare Funktionen – Funktionsgleichung mit einer Wertetabelle aufstellen

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, lineare Funktionen mit Hilfe einer Wertetabelle aufzustellen.

Zunächst lernst du, wie die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion aussieht. Anschließend lernst du wie du die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b bestimmst.

Lerne etwas über Ali tanko und seine Turbinium-Maschine!

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Wertetabelle, lineare Funktion, Funktionsgleichung, Steigung und y-Achsenabschnitt.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was eine lineare Funktion ist und wie eine Wertetabelle aufgebaut ist.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, zu lernen, wie man eine lineare Funktionsgleichung mit Hilfe von zwei gegebenen Punkten im Koordinatensystem aufstellt.

Transkript Lineare Funktionen – Funktionsgleichung mit einer Wertetabelle aufstellen

Das ist Ali Tanko. Ali betreibt eine intergalaktische Tankstelle. Mit seiner neuen Wundermaschine läuft die Treibstoffproduktion auf Hochtouren. Je mehr Turbinium er in seine Maschine gibt, umso mehr Treibstoff produziert sie. Doch kann er auch präzise berechnen, wie viel Treibstoff sie bei einer gegebenen Menge von Turbinium produzieren wird? Dafür muss er ihre „Funktionsgleichung anhand einer Wertetabelle aufstellen“ Eine lineare Funktion hat die allgemeine Funktionsgleichung „y gleich m mal x plus b“. Das m steht in dieser Gleichung für die Steigung und das b für den y-Achsenabschnitt. Um die Funktionsgleichung einer linearen Funktion zu bestimmen, müssen wir diese beiden Werte ermitteln. Dafür hat Ali Tanko eine Wertetabelle angelegt, in der notiert ist, wie viele Turbinium-Kristalle er in seine Maschine gegeben hat und wie viele Kanister Treibstoff daraufhin produziert wurden. Die Menge an Turbinium ist also unser x-Wert und die Menge an produziertem Treibstoff der zugeordnete y-Wert. Ohne Zugabe von Turbinium produziert seine Maschine drei Kanister Treibstoff. Gar nicht mal so übel. Gibt man einen Turbinium-Kristall hinzu, sind es fünf Kanister, bei zwei Kristallen sieben und so weiter. Wie können wir diese Wertetabelle jetzt nutzen, um herauszufinden, mit welcher Funktionsgleichung die Treibstoffmaschine betrieben wird? Zuerst können wir den y-Achsenabschnitt bestimmen. Das ist immer der Funktionswert an der Stelle x gleich null. Also müssen wir einfach den entsprechenden Funktionswert aus unserer Tabelle ablesen und für das b in die Funktionsgleichung einsetzen. In einem zweiten Schritt müssen wir jetzt nur noch die Steigung m bestimmen. Dafür können wir die Steigungsformel nutzen: m gleich „y zwei“ minus „y eins“ geteilt durch „x zwei“ minus „x eins“. Dabei sind „x eins“ und „y eins“ sowie „x zwei“ und „y zwei“ jeweils zusammenhängende Wertepaare. In unsere Steigungsformel können wir also zwei beliebige Wertepaare aus der Wertetabelle einsetzen. Wir müssen aber unbedingt darauf achten, die entsprechenden Werte jeweils an der korrekten Stelle einzusetzen. Wir können zum Beispiel eins für „x eins“ und fünf für „y eins“ sowie zwei für „x zwei“ und sieben für „y zwei“ einsetzen. Die y-Werte stehen also immer im Zähler und die x-Werte im Nenner. Jetzt können wir die beiden Differenzen berechnen und kommen so auf eine Steigung von zwei. Welche Wertepaare wir in unsere Steigungsformel einsetzen ist egal, wir erhalten immer das gleiche Ergebnis. Wenn du magst, pausiere das Video doch kurz und rechne selbst nach! Ali Tanko hat die Funktionsgleichung seiner Maschine entschlüsselt! Jetzt kann er problemlos berechnen, wie viel Treibstoff sie bei einer bestimmten Menge von Turbinium produzieren wird. Er kann beispielsweise zehn Turbinium-Kristalle für x einsetzen und so ganz einfach berechnen, dass seine Maschine in diesem Fall dreiundzwanzig Kanister Treibstoff produzieren wird. Alles klar, schauen wir uns eine weitere Wertetabelle als Beispiel an: Den y-Achsenabschnitt der zugehörigen Funktionsgleichung können wir diesmal nicht ganz so leicht bestimmen, da der Funktionswert für „x gleich null“ nicht angegeben ist. Daher nutzen wir erst unsere Steigungsformel, wählen zwei Wertepaare, die wir nacheinander einsetzen und berechnen so die Steigung m. Die ist in diesem Fall gleich minus vier, also negativ. Jetzt können wir die berechnete Steigung m zusammen mit einem beliebigen Wertepaar in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen und müssen dann nur noch nach b auflösen. Wir erhalten für b den Wert fünf. Und schon haben wir unsere Funktionsgleichung: „y gleich minus vier x plus fünf.“ Fassen wir nochmal kurz zusammen. Um mit Hilfe einer Wertetabelle die Funktionsgleichung einer linearen Funktion aufzustellen, müssen wir die Steigung und den y-Achsenabschnitt der Funktion bestimmen. Die Steigung können wir mit Hilfe der Steigungsformel und zwei beliebigen Wertepaaren berechnen. Der y-Achsenabschnitt gibt immer den Funktionswert an der Stelle „x gleich null“ an. Ist dieser in der Wertetabelle enthalten, können wir ihn einfach ablesen. Ansonsten setzen wir die berechnete Steigung zusammen mit einem Wertepaar in die allgemeine Funktionsgleichung und lösen nach b auf. Zum Schluss setzen wir die beiden berechneten Werte ein und haben somit die Funktionsgleichung bestimmt. Und wie läuft die Treibstoffproduktion? Mist, das war wohl etwas zu viel Turbinium. Da setzt er in Zukunft wohl lieber mal auf erneuerbare Energien.

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. 👍

    Von p9, vor 8 Monaten

Lineare Funktionen – Funktionsgleichung mit einer Wertetabelle aufstellen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Funktionen – Funktionsgleichung mit einer Wertetabelle aufstellen kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe das Vorgehen zur Bestimmung der Funktionsgleichung einer linearen Funktion.

    Tipps

    Die Steigungsformel lautet: $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

    $\begin{array}{l|ccccc} x & -1 & 0 & 1 & 2 &3 \\ \hline y & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 \\ \end{array}$

    Hier ist $b=4$.

    Lösung

    Die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet:

    $y = m \cdot x + b$

    Um die Funktionsgleichung zu bestimmen, benötigen wir die Steigung $m$ und den $y$-Achsenabschnitt $b$.

    Die Steigung $m$ können wir mit Hilfe der Steigungsformel berechnen. Diese lautet:

    $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

    Wie setzen zwei beliebige Wertepaaren ein und berechnen den Wert des Bruchs.

    Der $y$-Achsenabschnitt gibt immer den Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der $y$-Achse an. Er entspricht dem Funktionswert an der Stelle $x=0$ an. Ist dieser in der Wertetabelle enthalten, so kann er einfach abgelesen werden. Das ist der Fall, wenn in der Wertetabelle der $x$-Wert $0$ auftaucht.

    Ansonsten wird die berechnete Steigung zusammen mit einem Wertepaar in die Funktionsgleichung eingesetzt und diese dann nach dem $y$-Achsenabschnitt $b$ aufgelöst.

    Zum Schluss werden die beiden berechneten Werte für $m$ und $b$ in die allgemeine Funktionsgleichung eingesetzt.

    Beispiel:

    Betrachten wir die folgende Wertetabelle: $\begin{array}{l|rrrrr} x & -2 & -1 & 0 & 1 &2 \\ \hline y & -4 & -1 & 2 & 5 & 8 \\ \end{array}$

    • Wir können aus der Wertetabelle direkt den $y$-Achsenabschnitt $b=2$ ablesen.
    • Die Steigung berechnen wir mit Hilfe der Steigungsformel. Wir wählen die beiden Wertepaare $(0\vert2)$ und $(1\vert5)$ aus und setzen ein: $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{5-2}{1-0}=3$.
    • Wir setzen die beiden Werte $b = 2$ und $m = 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung ein und erhalten: $y=3x+2$
  • Bestimme die Funktionsgleichung der linearen Funktion.

    Tipps

    Du berechnest erst die Steigung und danach den $y$-Achsenabschnitt.

    Wenn du die Steigung berechnet hast, kannst du sie direkt in die allgemeine Funktionsgleichung für $m$ einsetzen.

    Lösung

    Wir gehen wie folgt vor:

    • Wir notieren zuerst die allgemeine Funktionsgleichung: $y=m \cdot x+b$
    • Wir berechnen nun die Steigung mit Hilfe der Steigungsformel. Wir wählen die beiden Wertepaare $(3\vert-7)$ und $(1\vert1)$ aus der Tabelle und setzen sie in die Formel ein: $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{-7-1}{3-1}=-4$
    • Wir können nun die berechnete Steigung bereits in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen. Es ergibt sich: $y=-4x+b$
    • Wir setzen nun ein weiteres Wertepaar $(1\vert1)$ ein: $1=-4\cdot 1 +b$
    • Wir lösen diese Gleichung nach $b$ auf, indem wir $4$ auf beiden Seiten addieren und erhalten: $b=5$
    • Wir setzen die berechneten Werte für die Steigung $m$ und den $y$-Achsenabschnitt $b$ in die allgemeine Funktionsgleichung ein:
    $y=-4x+5$

  • Bestimme die Funktionsgleichung zu der gegebenen Wertetabelle.

    Tipps

    Die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion lautet:

    $y=m \cdot x+b$.

    Dabei steht $m$ für die Steigung und $b$ für den y-Achsenabschnitt.

    Wenn der Wert $x = 0$ in der Wertetabelle vorkommt, dann kannst du den $y$-Achsenabschnitt direkt an der Wertetabelle ablesen.

    Lösung

    Die allgemeine Funktionsgleichung lautet:

    $y= m \cdot x + b$

    Dabei ist $m$ die Steigung und $b$ der $y$-Achsenabschnitt.

    Wir können hier den $y$-Achsenabschnitt $b$ direkt aus der Wertetabelle ablesen. Dies ist der Funktionswert zu $x=0$. Es gilt:

    $b=2$

    Die Steigung berechnen wir mit Hilfe der Steigungsformel. Wir wählen die beiden Wertepaare $(0\vert2)$ und $(1\vert5)$ aus und setzen ein:

    $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{5-2}{1-0}=3$

    Die Steigung beträgt also $m=3$.

    Wir setzen die beiden Werte ein und erhalten:

    $y=3x+2$

  • Bestimme zu jeder Wertetabelle die zugehörige Funktionsgleichung.

    Tipps

    Du kannst durch einsetzen der x-Werte aus der Wertetabelle überprüfen, ob die zugehörigen y-Werte zur Funktionsgleichung passen.

    Beispiel: $y=4x-3$

    $x=2$

    Wir setzen ein:

    $y=4 \cdot 2 -3 = 8-3 = 5$

    Also ist: $y=5$

    Lösung

    Um die Wertetabellen den Funktionsgleichungen zuzuordnen, haben wir zwei Möglichkeiten:

    • Wir können aus der Wertetabelle die Steigung $m$ und den y-Achsenabschnitt $b$ bestimmen und somit die passende Funktionsgleichung ermitteln.
    • Wir können in eine gegebene Funktionsgleichung einen $x$-Wert aus einer Wertetabelle einsetzen und durch Berechnung des zugehörigen $y$-Wertes überprüfen, ob die Wertetabelle zu der Funktionsgleichung passt.

    $\begin{array}{l|rrrrr} x & -2 & -1 & 0 & 1 &2 \\ \hline y & -9 & -5 & -1 & 3 & 7 \\ \end{array}$

    Bei dieser Wertetabelle können wir sofort den $y$-Achsenabschnitt $b$ ablesen, da das Wertepaar $(0\vert-1)$ in der Wertetabelle vorkommt. Es gilt also:

    $b=-1$

    Also muss die zugehörige Funktionsgleichung $y=4x-1$ lauten.

    $\begin{array}{l|rrrrr} x & 0 & 1 & 2 & 3 &4 \\ \hline y & 3 & 5 & 7 & 9 & 11 \\ \end{array}$

    Auch bei dieser Wertetabelle können wir sofort den $y$-Achsenabschnitt $b$ ablesen, da das Wertepaar $(0\vert3)$ in der Wertetabelle vorkommt. Es gilt also:

    $b=3$

    Also muss die zugehörige Funktionsgleichung $y=2x+3$ lauten.

    $\begin{array}{l|rrrrr} x & -3 & -1 & 1 & 3 &5 \\ \hline y & -7 &-5 & -3 & -1 & 1 \\ \end{array}$

    Für diese Wertetabelle kommen noch die beiden Funktionsgleichungen $y=x-4$ und $y=5x$ in Frage. Wir wählen den $x$-Wert $1$ aus, und setzen ihn in die Funktionsgleichung $y=5x$ ein:

    $y=5x=5 \cdot 1=5 \neq -3$

    Der $y$-Wert stimmt nicht mit dem $y$-Wert aus der Wertetabelle überein.

    Wir setzen den $x$-Wert also in die andere Funktionsgleichung ein:

    $y=x-4=1-4=-3$

    Hier stimmt der berechnete $y$-Wert mit dem Wert aus der Wertetabelle überein. Die Funktionsgleichung $y=x-4$ gehört also zu dieser Wertetabelle.

    Zu der Wertetabelle

    $\begin{array}{l|rrrrr} x & -1 & 1 & 3 & 5 &7 \\ \hline y & -5 & 5 & 15 & 25 & 35 \\ \end{array}$

    gehört also die Funktionsgleichung $y=5x$.

  • Gib jeweils die Steigung und den $y$-Achsenabschnitt an.

    Tipps

    Der $y$-Achsenabschnitt ist der Funktionswert an der Stelle $x=0$.

    Bei der Funktion

    $y=-3x+4$

    ist $-3$ die Steigung und $4$ der $y$-Achsenabschnitt.

    Lösung

    Die allgemeine lineare Funktionsgleichung lautet:

    $y= m \cdot x + b$

    • Die Steigung ist der Faktor vor dem $x$, also $m$.
    • Der $\textbf{y}$-Achsenabschnitt ist der Funktionswert an der Stelle $x=0$.
    Da damit gilt $y = m \cdot 0 + b = b$, entspricht er dem Wert des Summanden $b$.

    In der Gleichung
    $y=2x+3$
    ist $m = 2$ die Steigung und $b = 3$ der $y$-Achsenabschnitt.

    In der Gleichung
    $y=-4x+5$
    ist die Steigung $m = -4$ und der $y$-Achsenabschnitt $b = 5$.

  • Bestimme die Steigung und den $y$-Achsenabschnitt der linearen Funktion.

    Tipps

    Bestimme zuerst die Steigung mit Hilfe der Steigungsformel.

    Setze dann die berechnete Steigung und ein beliebiges Wertepaar in die allgemeine Funktionsgleichung ein und löse nach $b$ auf.

    Lösung

    Beispiel 1:
    Wir berechnen zunächst die Steigung mit Hilfe der Steigungsformel. Dazu wählen wir die beiden Wertepaare $(1\vert2)$ und $(2\vert-4)$ aus der Tabelle und setzen ein:
    $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{-4-2}{2-1}=-6$
    Die Steigung beträgt $m=-6$.

    Wir setzen nun die Steigung und das Wertepaar $(1\vert2)$ in die allgemeine Funktionsgleichung ein und lösen nach $b$ auf:
    $\begin{array}{rrrrr} y & = & m \cdot x+b & & \\ y & = & -6 \cdot x+b& & \\ 2 & = & -6 \cdot 1+b& & \\ 2 & = & -6 +b& | +6 & \\ 8 & = & b & & \\ \end{array}$
    Es ergibt sich $b=8$.

    Zuletzt setzten wir die beiden berechneten Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein und erhalten:
    $y=-6x+8$

    Beispiel 2:
    Wir können den $y$-Achsenabschnitt direkt aus der Wertetabelle ablesen: $b=3$.
    Wir berechnet nun die Steigung mit Hilfe der Steigungsformel. Dazu wählen wir die beiden Wertepaare $(0\vert3)$ und $(1\vert1)$ aus der Tabelle und setzen ein:
    $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{1-3}{1-0}=-2$
    Die Steigung beträgt $m=-2$.

    Zuletzt setzten wir die beiden berechneten Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein und erhalten:
    $y=-2x+3$

    Beispiel 3:
    Wir berechnen zunächst die Steigung mit Hilfe der Steigungsformel. Dazu wählen wir die beiden Wertepaare $(1\vert6)$ und $(2\vert7)$ aus der Tabelle und setzen ein:
    $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{7-6}{2-1}=1$
    Die Steigung beträgt $m=1$.

    Wir setzen nun die Steigung und das Wertepaar $(1\vert6)$ in die allgemeine Funktionsgleichung ein und lösen nach $b$ auf:
    $\begin{array}{rrrrr} y & = & m \cdot x+b & & \\ y & = & 1 \cdot x+b& & \\ 6 & = & 1 \cdot 1+b& & \\ 6 & = & 1 +b& | -1 & \\ 5 & = & b & & \\ \end{array}$
    Es ergibt sich $b=5$.

    Zuletzt setzen wir die beiden berechneten Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein und erhalten:
    $y=1x+5 = x + 5$

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