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Geradengleichungen – Normalform (y=mx+b)

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Team Digital
Geradengleichungen – Normalform (y=mx+b)
lernst du in der Unterstufe 3. Klasse - 4. Klasse

Grundlagen zum Thema Geradengleichungen – Normalform (y=mx+b)

Inhalt

Normalform der Geradengleichung

Die NASA plant für den Valentinstag eine große Spezialmission. Dafür benötigt sie unsere Hilfe. Für die Liveübertragung vom Sonnenaufgang auf dem Mars soll ein Marsrover auf eine Bergspitze gesendet werden. Es muss geprüft werden, ob der Rover dafür genügend Energie hat und welche Route die beste ist. Behilflich können wir mit der Normalform der Geradengleichung sein.

Was ist die Normalform einer Geradengleichung?

Es gibt drei übliche Formen einer Geradengleichung. Hier schauen wir uns die Normalform genauer an. Sie ist gegeben durch:

$y = m\,x + b$

Dabei ist $m$ die Steigung der Gerade und $b$ der $y$-Achsenabschnitt, also der Punkt, an dem die Gerade die $y$-Achse schneidet.

Geradengleichungen_Normalform

Die Steigung $m$ kann mithilfe zweier Punkte der Geraden im Koordinatensystem berechnet werden.

$m = \frac{\Delta\,y}{\Delta\,x}$

$\Delta$ steht dabei für die Differenz der Koordinaten:

$m = \frac{\Delta\,y}{\Delta\,x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Der $y$-Achsenabschnitt $b$ kann direkt aus dem Koordinatensystem abgelesen werden.


Einfluss von $m$ und $b$ auf den Graphen der Funktion

Schauen wir uns die Gerade zu der Gleichung $y=2\,x+1$ im Koordinatensystem an. Sie ist gekennzeichnet durch die rote Linie. Die Gerade schneidet die $y$-Achse an der Stelle $y=1$.

Geradengleichungen_Einfluss_y_Achsenabschnitt

Ändern wir den $y$-Achsenabschnitt $b$ zu $2$, so verschiebt sich die Gerade um eine Einheit nach oben, der Anstieg bleibt jedoch gleich. Dargestellt als blaue Gerade in der Grafik.
Ändern wir $b$ nun zu $-1$, so bleibt die Steigung ebenfalls gleich. Die Gerade wird um zwei Einheiten nach unten verschoben, zu sehen an der grünen Geraden in der Grafik.
Nun weißt du, was der y-Achsenabschnitt ist. Schauen wir uns die Steigung $m$ genauer an.

Greifen wir das Beispiel wieder auf. Bei der Geraden $y=2x-1$ ist der Anstieg $2$, sie ist in der Grafik weiter unten grün dargestellt. Die Gerade steigt von links nach rechts. Für jede Einheit nach rechts gehen wir zwei Einheiten nach oben.

Geradengleichungen_Steigung_m

Ändern wir nun die Steigung $m$ zu $1$, erhalten wir die Geradengleichung $y=1x-1$, in lila im Koordinatensystem dargestellt. Der $y$-Achsenabschnitt bleibt gleich und die Gerade steigt weiterhin von links nach rechts. Für jede Einheit nach rechts wird nur noch eine Einheit nach oben gegangen.
Ist $m=0$ (orange Gerade in der Grafik), so bleibt der $y$-Achsenabschnitt gleich, aber die Gerade verläuft parallel zur $x$-Achse, ohne zu steigen oder zu fallen.
Ändern wir $m$ nun zu $-1$. Wir erhalten die Geradengleichung $y=-x-1$ (hellblau dargestellt in der Grafik). Auch hier bleibt der $y$-Achsenabschnitt der gleiche, aber die Gerade fällt von links nach rechts, da die Steigung negativ ist. Für jede Einheit nach rechts müssen wir eine Einheit nach unten gehen.


Ablesen der Normalform der Geradengleichung aus dem Koordinatensystem

Wie oben schon erwähnt, kannst du sowohl $m$ als auch $b$ aus dem Koordinatensystem ablesen. Vielleicht kannst du dir nach dem vorherigen Kapitel schon denken, wie das geht. Versuchen wir gemeinsam, die Gleichung der beiden folgenden Graphen herauszufinden.

Geradengleichungen_ablesen

Schauen wir uns zuerst die rote Gerade an. Diese schneidet die $y$-Achse im Punkt $y=3$. Da wir wissen, dass $b$ den Schnittpunkt mit der $y$-Achse angibt, können wir sagen: $b=3$. Für die Steigung gehen wir eine Einheit nach rechts und müssen dann $2$ Einheiten nach oben. Daraus schließen wir: $m=2$. Unsere erste Gleichung lautet also:

$y=2\,x+3$

Versuchen wir als Nächstes die Geradengleichung für die blaue Gerade herauszufinden. Die Gerade schneidet die $y$-Achse im Punkt $y=7$. Also ist $b=7$. Für die Steigung schauen wir uns an, was passiert, wenn wir eine Einheit nach rechts gehen. Diesmal müssen wir nach unten gehen. Wir wissen also, dass $m$ negativ ist. Gehen wir eine Einheit nach rechts, müssen wir $4$ Einheiten nach unten gehen. $m$ ist also $-4$. Unsere Geradengleichung lautet:

$y=-4\,x+7$

Rechnen mit der Normalform der Geradengleichung

Zurück zum Marsrover. Er hat aktuell $20$ Energieeinheiten übrig. Wenn er pro $\pu{km}$ $2$ Einheiten verbraucht, wie viele $\pu{km}$ kann er dann noch fahren, bevor sein Akku leer ist? Erreicht er einen $8\,\pu{km}$ entfernten Punkt?
Setzen wir zuerst die bekannten Werte in die Gleichung ein. Die Variable $x$ gibt die gefahrenen $\pu{km}$ an und $y$ steht für die verbleibenden Energieeinheiten. Wir müssen die Werte für $m$ und $b$ herausfinden. Da die Energieeinheiten um $2$ pro $\pu{km}$ sinken, setzen wir $-2$ für $m$ ein. Da der Rover $20$ Energieeinheiten bei $0$ gefahrenen $\pu{km}$ übrig hat, liegt der $y$-Achsenabschnitt bei $y=20$. Unsere Gleichung sieht folgendermaßen aus:

$y=-2x+20$

Uns interessiert, wie viele $\pu{km}$ der Rover fahren kann, bis seine Akkus leer sind. Daher setzen wir $y=0$ und stellen die Gleichung um, damit wir $x$ berechnen können.

$0=-2x+20$ $|+2x$

$2x=20$ $|:2$

$x=10$

Der Rover kann also noch $10\,\pu{km}$ fahren und damit schafft er die $8\,\pu{km}$ lange Strecke. Zeichnest du die Gerade, dann kannst du die Lösung auch direkt ablesen. Bei $x=10$ schneidet die Gerade die $x$-Achse.


Normalform der Geradengleichung aufstellen

Der Rover soll zu den Koordinaten $F(7|6)$ fahren. Dafür hat er zwei Startmöglichkeiten, den Punkt $S_1(1|0)$ oder den Punkt $S_2(5|0)$. Er kann jedoch nur eine maximale Steigung von $m\leq{2,5}$ bewältigen. Welche Route ist besser für ihn?
Da es eine maximale Steigung für den Rover gibt, müssen wir den Anstieg der beiden Routen berechnen. Untersuchen wir die Route von $S_2$ zu $F$. Die Steigung berechnen wir mit:

$m_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{6-0}{7-5} = \frac{6}{2} = 3$

Der Anstieg beträgt $3$, das ist zu steil für den Rover.
Probieren wir es mit dem Startpunkt $S_1$.

$m_2=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{6-0}{7-1} = \frac{6}{6} = 1$

Der Anstieg beträgt bei diesem Startpunkt $1$. Das sieht machbar für den Rover aus. Doch er benötigt die gesamte Geradengleichung, um sich in Bewegung setzen zu können. Um den $y$-Achsenabschnitt zu bestimmen, setzen wir alle bekannten Werte ein. Die Steigung ist $m=1$. Nun wählen wir einen Punkt der Route und setzen die Werte für $x$ und $y$ ein, um den $y$-Achsenabschnitt $b$ zu bestimmen. Wir wählen den Punkt $F(7|6)$.

$y=m\,x+b$

$\Leftrightarrow 6=1 \cdot 7 + b$ $|-7$

$-1 = b$

Wir erhalten also $b=-1$. Also lautet die Gleichung in Normalform:

$y=x-1$

Jetzt steht der NASA-Mission nichts mehr im Weg.


In diesem Video über die Normalform der Geradengleichung

In diesem Video lernst du, was die Normalform der Geradengleichung ist. Du lernst, wie du die Normalform aufstellen kannst. Zudem wird gezeigt, welchen Einfluss die Steigung und der $y$-Achsenabschnitt haben und wie du mithilfe von zwei Punkten die Geradengleichung aufstellen kannst.
Willst du dein Wissen über die Normalform der Geradengleichung vertiefen, findest du Übungen zum Thema auf dieser Seite.

Transkript Geradengleichungen – Normalform (y=mx+b)

Die NASA plant für den Valentinstag eine große Spezial-Mission: Die Fernseh-Live-Übertragung vom Sonnenaufgang auf dem Mars!

Für den besten Blick auf dieses Naturschauspiel wollen sie den Mars Rover auf eine Bergspitze senden. Dafür muss die Nasa prüfen, ob der Rover dafür genügend Energie hat und welche Route die Beste ist. Helfen wir der Nasa, indem wir hierfür die Normalform einer Geradengleichung nutzen.

Die Normalform

Es gibt 3 übliche Formen für eine Geradengleichung: Die Normalform, die Punktanstiegsform und die allgemeine Form. Hier schauen wir uns die Normalform genauer an. Die Steigung kannst du bei dieser Form direkt ablesen. Sie gibt an, wie stark eine Gerade fällt oder steigt. Du berechnest sie durch den Quotienten aus Delta y und Delta x. Sind zwei Punkten der Geraden bekannt, nutzt man diese Formel für die Steigung: m berechnet sich aus der Differenz der y-Koordinaten geteilt durch die Differenz der x-Koordinaten. Kurz, Delta y durch Delta x. "Delta" steht für die Differenz der Koordinaten.

Und woher wissen wir, wo die Gerade genau verläuft? Bei einer Geradengleichung in Normalform ist m ist die Steigung und b der y-Achsenabschnitt. Schauen wir uns den Graphen der Funktion y = 2x + 1 im Koordinatensystem an.

Der y-Achsenabschnitt

Der y-Achsenabschnitt ist die Stelle, an der die Gerade die y-Achse schneidet. Hier also bei y=1. Und wenn wir den y-Achsenabschnitt zu 2 ändern? Die Steigung bleibt gleich, aber der Graph wird um eine Einheit nach oben verschoben. Ändern wir den y-Achsenabschnitt zu minus 1, dann bleibt die Steigung ebenfalls gleich und der Graph wird um 2 Einheiten nach unten verschoben. Nun weißt du, was der y-Achsenabschnitt ist.

Die Steigung

Schauen wir uns die Steigung m genauer an: Die Steigung hier ist 2. Der Graph steigt von links nach rechts. Für jede Einheit nach rechts gehst du 2 Einheiten nach oben.
Sei nun m gleich 1. Der y-Achsenabschnitt bleibt gleich und der Graph steigt weiterhin von links nach rechts. Aber für jede Einheit nach rechts muss du nun eine Einheit nach oben gehen. Ist m gleich 0, so bleibt der y-Achsenabschnitt gleich, aber der Graph verläuft parallel zur x-Achse ohne zu steigen oder zu fallen. Verändern wir die Steigung zu minus 1. Wieder bleibt der y-Achsenabschnitt gleich, aber jetzt fällt der Graph von links nach rechts, da die Steigung negativ ist. Für jede Einheit nach rechts muss du nun eine Einheit nach unten gehen.

Ein Anwendungsbeispiel

Der Rover hat momentan 20 Energieeinheiten übrig. Wenn er pro Kilometer 2 Einheiten verbraucht, wie viele Kilometer kann er noch fahren, bevor seine Akkus leer sind? Erreicht er einen 8 Kilometer entfernten Punkt?

Lass uns die bekannten Werte in die Normalform einsetzen. x steht für die gefahrenen Kilometer und y für die übrigen Energieeinheiten. Wir müssen wir die Werte für m und b herausfinden. Die Energie des Rovers sinkt um 2 Einheiten pro Kilometer, also setzen wir minus 2 für die Steigung ein. Da der Rover 20 Energieeinheiten bei 0 gefahrenen Kilometern übrig hat, ist der y-Achsenabschnitt bei y= 20. Da uns interessiert, wie viele Kilometer der Rover fahren kann, bis die Akkus leer sind, setzen wir für y 0 ein und stellen nach x um. Dafür addieren wir 2x auf beiden Seiten. Nun dividieren wir beide Seiten durch 2. x ist gleich 10. Der Rover kann also 10 Kilometer fahren und damit den 8 Kilometer entfernten Punkt locker erreichen. Zeichnest du den Graphen der Funktion, kannst du die Lösung auch direkt ablesen: Bei x= 10 schneidet der Graph die x-Achse.

Außerdem soll der Mars Rover den Punkt F mit den Koordinaten (7|6) <sprich: "sieben="" sechs"=""> erreichen. Er kann im Punkt S1 bei (1|0) oder im Punkt S2 bei (5|0) starten. Er kann aber nur eine maximale Steigung von 2,5 überwinden. Welche Route ist besser?

Da der Rover keine Steigung von größer als 2,5 überwinden kann, müssen wir die Steigungen beider Routen berechnen. Untersuchen wir die Route von S2 zu F. Die Steigung berehnen wir mit y2 minus y1 geteilt durch x2 minus x1. Wir erhalten 6 minus 0 geteilt durch 7 minus 5. Das ergibt 6 Halbe, also 3. Definitiv zu steil für den Rover. Also zum Punkt S1. Den Anstieg der zweiten Route berechnen wir genauso: 6 minus 0 geteilt durch 7 minus 1 ergibt 6 Sechstel, also 1. Das sieht besser aus. Das wäre gelöst. Jedoch benötigt der Rover die gesamte Geradengleichung, um sich in Bewegung zu setzen. Um den y-Achsenabschnitt zu bestimmen, setzen wir alle bekannten Werte ein. Die Steigung m ist 1. Nun können wir einen Punkt der Route wählen in die Werte für x und y einsetzen. Wir nehmen den Punkt F 7, 6. Wir ersetzen y durch 6 und x durch 7. Nun können wir nach b umstellen. Wir subtrahieren 7 auf beiden Seiten. b ist gleich minus 1. Also lautet die Gleichung in Normalform y=x-1

Die NASA hat es geschafft und den Rover für den Sonnenaufgang perfekt plaziert.

Ähhmm, was ist das? Romantik pur auf dem Mars...</sprich:>

7 Kommentare

7 Kommentare
  1. Supertoll

    Von Philipp Glaß, vor mehr als einem Jahr
  2. toll :D

    Von Iris Gerstner, vor fast 2 Jahren
  3. mega hilfreich

    Von Elke Meitinger, vor fast 3 Jahren
  4. Hallo Zenebou D.,
    bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas D., vor etwa 3 Jahren
  5. ich verstehe das nicht

    Von Zenebou D., vor etwa 3 Jahren
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Geradengleichungen – Normalform (y=mx+b) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Geradengleichungen – Normalform (y=mx+b) kannst du es wiederholen und üben.
  • Stelle die gesuchte lineare Funktion auf.

    Tipps

    Die Normalform einer linearen Funktion lautet:

    $y=mx+b$.

    Dabei ist $m$ die Steigung und $b$ der $y$-Achsenabschnitt.

    Der Mars-Rover verbraucht $\mathbf{2}$ Energieeinheiten pro Kilometer. Es handelt sich um eine Energieabnahme, also eine fallende Gerade.

    Bevor der Mars-Rover losfährt, hat er genau $\mathbf{20}$ Energieeinheiten. Der Punkt $\mathbf{(0\ \vert\ 20)}$ liegt also auf der Geraden.

    Lösung

    Gesucht ist die Normalform einer linearen Funktion. Diese lautet allgemein:

    $y=mx+b$.

    Dabei ist $\mathbf{m}$ die Steigung und $\mathbf{b}$ der $\mathbf{y}$-Achsenabschnitt.

    Steigung

    Die Steigung $m$ ist für eine steigende Gerade positiv und für eine fallende Gerade negativ.

    Da der Mars-Rover pro Kilometer $\mathbf{2}$ Energieeinheiten verbraucht, handelt es sich um eine Energieabnahme, also eine fallende Gerade. Die gesuchte lineare Funktion hat also eine negative Steigung, nämlich $m=-2$.

    $\mathbf{y}$-Achsenabschnitt

    Außerdem ist bekannt, dass der Mars-Rover vor dem Losfahren $\mathbf{20}$ Energieeinheiten hat. Somit ist der Punkt $(0\ \vert\ 20)$ gegeben. Die $y$-Koordinate dieses Punktes ist der gesuchte $y$-Achsenabschnitt $b$.

    Somit können wir die lineare Funktion in Normalform aufstellen. Diese lautet:

    $y=-2x+20$.

    Um zu bestimmen, wie weit der Rover mit seiner übrigen Energie noch kommt, setzen wir für $y$ den Wert 0$ ein. Genau dann hat der Mars-Rover nämlich keine übrige Energie mehr. Wir erhalten:

    $ \begin{array}{llll} 0 & = & -2x+20 & \vert +2x\\ 2x & = & 20 & \vert :(2) \\ x &=& 10 & \end{array} $

    Der Mars-Rover kann mit seinen $20$ Energieeinheiten noch $10\ \text{km}$ zurücklegen und besitzt somit für die geplante Mission genügend Energie.

  • Bestimme die gesuchte Geradengleichung.

    Tipps

    Wenn zwei Punkte $P_1(x_1\ \vert\ y_1)$ und $P_2(x_2\ \vert\ y_2)$ einer Geraden bekannt sind, kannst du die Steigung wie folgt berechnen:

    $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

    Wenn ein Punkt $P(x\ \vert\ y)$ und die Steigung $m$ einer Geraden bekannt sind, kannst du den $y$-Achsenabschnitt berechnen. Schau dir das folgende Beispiel an.

    Mit $m=2$ und $P(1\ \vert\ 0)$ erhalten wir folgende Berechnung für den $y$-Achsenabschnitt:

    $ \begin{array}{llll} 0 & = & 2\cdot 1+b & \\ 0 & = & 2+b & \vert -2 \\ -2 & = & b \end{array} $

    Somit lautet die Geradengleichung in Normalform:

    $y=2x-2$.

    Lösung

    Zunächst soll die Steigung zwischen den Punkten $S_1$ und $F$ sowie den Punkten $S_2$ und $F$ berechnet werden.

    Da je zwei Punkte $P_1(x_1\ \vert\ y_1)$ und $P_2(x_2\ \vert\ y_2)$ einer Geraden bekannt sind, kann die Steigung wie folgt bestimmt werden:

    $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

    Angewendet auf die Punkte $S_1(1\ \vert\ 0)$ und $F(7\ \vert\ 6)$ erhalten wir:

    $m_1=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{6-0}{7-1}=\frac{6}{6}=1$.

    Angewendet auf die Punkte $S_2(5\ \vert\ 0)$ und $F(7\ \vert\ 6)$ erhalten wir:

    $m_1=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{6-0}{7-5}=\frac{6}{2}=3$.

    Da der Mars-Rover nur eine maximale Steigung von $2,5$ überwinden kann, eliminieren wir die Route von dem Punkt $S_2$ zum Punkt $F$, da $3>2,5$.

    Somit kennen wir die Steigung von $m=1$ für die gesuchte Geradengleichung in Normalform:

    $y=1\cdot x+b$.

    Nun muss nur noch der $y$-Achsenabschnitt $b$ berechnet werden. Dafür setzen wir einen der bekannten Punkte in unsere Gleichung ein. Mit dem Punkt $S_1(1\ \vert\ 0)$ erhalten wir:

    $ \begin{array}{llll} 0 & = & 1\cdot 1+b & \\ 0 & = & 1+b & \vert -1 \\ -1 & = & b \end{array} $

    Die vollständige Geradengleichung in Normalform lautet:

    $\mathbf{y=1\cdot x-1}$.

  • Ermittle die Geradengleichung in Normalform für die abgebildeten Funktionsgraphen.

    Tipps

    Die Steigung $m$ ist wie folgt definiert:

    $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$.

    Die Steigung des abgebildeten Funktionsgraphen lautet somit:

    $m=\frac{1}{2}=0,5$.

    Der $y$-Achsenabschnitt entspricht der $y$-Koordinate des Schnittpunktes mit der $y$-Achse.

    Lösung

    Das Vorgehen soll mit dem ersten Beispiel verdeutlicht werden. In diesem Beispiel verläuft die Gerade durch den Ursprung $P(0\ \vert\ 0)$. Somit ist der $y$-Achsenabschnitt $b=0$. Für die Steigung erhalten wir Folgendes:

    $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1}{2}=0,5$.

    Somit erhalten wir $y=0,5x$.

  • Leite die gesuchte lineare Funktion her.

    Tipps

    Die Steigung $m$ beschreibt den Kerosinverbrauch in Litern pro Kilometer.

    Der $y$-Achsenabschnitt $b$ ist das verbrauchte Kerosin in Litern bei $0$ Kilometern zurückgelegter Strecke.

    Lösung

    Folgende Angabe ist uns bekannt:

    • Das Flugzeug verbraucht $700$ Liter Kerosin pro $100$ Kilometer.
    Außerdem wissen wir, dass das Flugzeug vor dem Abflug, also bei $0\ \text{km}$ zurückgelegter Strecke, noch keinen Kraftstoff verbraucht hat. Wir kennen also den Punkt $P(0\ \vert\ 0)$ und somit den $y$-Achsenabschnitt $b=0$.

    Die Steigung ergibt sich durch:

    $m=\frac{700}{100}=7$.

    Daraus resultiert folgende Geradengleichung in Normalform:

    $y=7x+0$ bzw. $y=7x$.

  • Beschreibe die Normalform einer linearen Funktion.

    Tipps

    Die Normalform einer linearen Funktion lautet in Worten:

    $\mathbf{y}$-Koordinate = Steigung $\cdot$ $\mathbf{x}$-Koordinate + $\mathbf{y}$-Achsenabschnitt.

    Wenn zwei Punkte einer Geraden bekannt sind, kann ihre Steigung wie folgt berechnet werden:

    $\mathbf{m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$.

    Lösung

    Die Normalform einer linearen Funktion lautet:

    $y=mx+b$.

    Dabei ist $m$ die Steigung der Geraden und $b$ der $y$-Achsenabschnitt.

    Wenn zwei Punkte $P_1(x_1\ \vert\ y_1)$ und $P_2(x_2\ \vert\ y_2)$ einer Geraden bekannt sind, kannst du die Steigung wie folgt berechnen:

    $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

    In dem abgebildeten Beispiel mit $P(3\ \vert\ 2)$ und $Q(4\ \vert\ 5)$ resultiert folgende Steigung:

    $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{5-2}{4-3}=\frac{3}{1}=3$.

  • Bestimme die jeweilige Geradengleichung.

    Tipps

    Schau dir das folgende Beispiel an.

    Gegeben: $m=2$ und $P(1\ \vert\ 2)$

    Gesucht: $b$

    Die Angaben eingesetzt in die Normalform der Geradengleichung liefern folgende Berechnung:

    $ \begin{array}{llll} 2 & = & 2\cdot 1+b & \\ 2 & = & 2+b & \vert -2 \\ 0 & = & b \end{array} $

    Wenn zwei Punkte gegeben sind, kannst du die Steigung wie folgt bestimmen:

    Gegeben: $P(1\ \vert\ 2)$ und $Q(5\ \vert\ 10)$

    Gesucht: $m$

    Für die Steigung resultiert folgende Berechnung:

    $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{10-2}{5-1}=\frac{8}{4}=2$.

    Lösung

    Das Vorgehen soll anhand der ersten drei Beispiele verdeutlicht werden.

    Beispiel 1

    Gegeben: $m=2,5$ und $P(2\ \vert\ 7)$

    Gesucht: $b$

    Das Einsetzen der Angaben in die Normalform der Geradengleichung liefert:

    $ \begin{array}{llll} 7 & = & 2,5\cdot 2+b & \\ 7 & = & 5+b & \vert -5 \\ 2 & = & b & \end{array} $

    Somit erhalten wir die Geradengleichung $y=2,5x+2$.

    Beispiel 2

    Gegeben: $b=7$ und $P(2\ \vert\ 19)$

    Gesucht: $m$

    Das Einsetzen der Angaben in die Normalform der Geradengleichung liefert:

    $ \begin{array}{llll} 19 & = & m\cdot 2+7 & \vert -7 \\ 12 & = & m\cdot 2 & \vert :2 \\ 6 & = & m & \end{array} $

    Somit erhalten wir die Geradengleichung $y=6x+7$.

    Beispiel 3

    Gegeben: $P(-2\ \vert\ 8)$ und $Q(0\ \vert\ 12)$

    Gesucht: $m$ und $b$

    Für die Steigung resultiert folgende Berechnung:

    $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{12-8}{0-(-2)}=\frac{4}{2}=2$.

    Die berechnete Steigung und einer der Punkte werden nun in die Geradengleichung eingesetzt und der $y$-Achsenabschnitt $b$ berechnet.

    $ \begin{array}{llll} 8 & = & 2\cdot (-2)+b & \\ 8 & = & -4+b & \vert +4 \\ 12 & = & b & \end{array} $

    Somit erhalten wir die Geradengleichung $y=2x+12$.

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