Gebrochenrationale Funktionen – Definitionslücken und Asymptoten

Ob du es glaubst oder nicht, auch Funktionen sind von Zeit zu Zeit einsam. So wie dieser kleine Fratz hier! Sie sehnen sich dann nach einer wärmenden Asymptote, an die sie sich anschmiegen können. Wie das Ganze bei "gebrochenrationalen Funktionen" aussehen kann und was wir dabei zu beachten haben, klären wir in diesem Video. Wir gehen also der Frage auf den Grund, was es mit "Definitionslücken" und "Asymptoten" von gebrochenrationalen Funktionen auf sich hat. Tatsächlich kann man auch bei diesen beiden Begriffen nochmal unterscheiden. Definitionslücken können sogenannte "hebbare" Definitionslücken, oder aber auch "Polstellen" sein. Und auch bei Asymptoten unterscheiden wir noch zwischen verschiedenen Typen. Da gibt es nämlich einmal waagerechte und senkrechte, aber zum Beispiel auch schräge Asymptoten. Keine Sorge! Nach diesem Video wird das Ganze deutlich klarer sein. Wir beginnen mit den Definitionslücken. Das sind ja Stellen beziehungsweise x-Werte, für die eine bestimmte Funktion gar nicht definiert ist. In anderen Worten: Es sind Lücken in der Definitionsmenge all der x-Werte, für die die Funktion einen Funktionswert annimmt. Diese Lücken ergeben sich bei gebrochenrationalen Funktionen immer dann, wenn der NENNER des Funktionsterms gleich Null wäre. Denn in diesem Fall würden wir durch Null teilen, was wiederum eben mathematisch nicht definiert ist. Doch warum unterscheiden wir jetzt noch zwischen VERSCHIEDENEN Definitionslücken: "hebbaren Definitionslücken" und "Polstellen"? Die Funktionen sind an diesen Stellen doch eh nicht definiert. Das liegt daran, dass das VERHALTEN der Funktion um die Nullstellen herum sehr unterschiedlich sein kann. Deutlich wird das an DIESER gebrochenrationalen Funktion. Da der Nenner hier in "faktorisierter Form" vorliegt, können wir dessen Nullstellen einfach ablesen. An DIESEN Nullstellen des Nenners hat die Funktion also Definitionslücken, das ist schonmal klar. Aber EINE dieser Definitionslücken unterscheidet sich von den anderen beiden. Das erkennen wir, wenn wir uns den Funktionsgraphen der Funktion anschauen. Wir schauen zunächst auf die Stelle "x gleich minus drei". Erstmal fällt an dieser Stelle keine Besonderheit auf. Der Funktionsgraph sieht hier ganz normal aus. Das liegt aber nur daran, dass die Definitionslücke an dieser Stelle UNENDLICH klein ist. Normalerweise wird eine solche Definitionslücke mit einem kleinen Kringel symbolisiert. Da sie aber eigentlich so klein ist, dass man sie gar nicht erkennen kann und die Funktion in der Nähe dieser Lücke keine großen Sprünge macht (man sagt auch "sie ist an dieser Stelle "stetig fortsetzbar""), sprechen wir in diesem Fall von einer "hebbaren Definitionslücke", also einer Definitionslücke, die gewissermaßen "überbrückbar" ist. "Hebbare Definitionslücken" kommen bei gebrochenrationalen Funktionen immer dann zustande, wenn eine Nullstelle des Nenners gleichzeitig auch eine Nullstelle des Zählers ist und sich die Nullstelle kürzen lassen würde. "x gleich minus drei" ist in unserem Fall auch eine Nullstelle des Zählers, wie durch eine Faktorisierung schnell ersichtlich wird. Damit liegt an dieser Stelle also eine "hebbare Definitionslücke" vor, denn jetzt sehen wir, dass wir DIESE Nullstelle kürzen könnten. Wenn wir das tun, ändern wir die Funktion aber(!) – beziehungsweise erschaffen streng genommen eine neue Funktion. Der entsprechende Funktionsgraph der GEKÜRZTEN Funktion "g von x" verläuft dann praktisch genauso, nur dass er eben an der Stelle "x gleich minus drei" KEINE Definitionslücke hat. Anders sieht es bei den Definitionslücken "x-eins gleich drei" und "x-zwei gleich eins" aus. Hier erkennen wir relativ deutlich, dass die Funktion an diesen Stellen keinen Funktionswert annimmt. Noch deutlicher wird das, wenn wir jeweils eine senkrechte Gerade bei "x-zwei gleich eins" und "x-eins gleich drei" einzeichnen. Der Funktionsgraph nähert sich diesen Geraden an mehreren Stellen immer weiter an, ohne sie jemals zu erreichen, da die Funktion für diese Stellen ja nicht definiert ist. Wir nennen diese Geraden daher auch "Asymptoten" der Funktion "f von x". Eine "Asymptote" ist also eine Kurve (meistens in Form einer Geraden), der sich eine Funktion immer weiter annähert. Definitionslücken einer Funktion, die sich durch solche senkrechten Asymptoten auszeichnen, nennen wir "Polstellen". Die Funktionswerte der Funktion gehen für x-Werte, die sich der "Polstelle" immer weiter annähern, gegen "plus unendlich" beziehungsweise "minus unendlich". Bei unserem Funktionsgraphen haben wir dabei jeweils einen Vorzeichenwechsel. Einmal von "minus unendlich" zu "plus unendlich" und einmal von "plus unendlich zu "minus unendlich". Denkbar sind aber natürlich auch Polstellen ohne Vorzeichenwechsel, die dann zum Beispiel SO beziehungsweise SO aussehen könnten. Alles klar, dann haben wir "Definitionslücken" schonmal abgehakt. Und was eine "Asymptote" ist, wissen wir jetzt auch schon. SENKRECHTE Asymptoten treten bei einer gebrochenrationalen Funktion immer dann auf, wenn sie Polstellen hat, also "nicht hebbare Definitionslücken". Es gibt allerdings noch weitere Asymptoten, die untersucht werden können. Hier sind zunächst die WAAGERECHTEN Asymptoten zu nennen. Häufig ist die X-ACHSE eine waagerechte Asymptote – wie auch bei unserer Funktion. Das ist immer dann der Fall, wenn der Grad der ZÄHLERfunktion (in unserem Fall gleich zwei) kleiner als der Grad der NENNERfunktion ist (in unserem Fall gleich drei). Wenn wir x gegen "minus unendlich" laufen lassen, nähert sich der Funktionsgraph der x-Achse von unten. Für x gegen "plus unendlich" nähert er sich von oben. Wir können am Beispiel dieser Funktion dann auch mit einem Vorurteil gegenüber Asymptoten aufräumen: Es stimmt nicht, dass der Graph die Asymptote definitiv nie berührt beziehungsweise schneidet. Wie wir hier sehen, schneidet der Funktionsgraph die x-Achse bei "x gleich fünf". In den äußeren Bereichen des Funktionsgraphen können wir aber das typische asymptotische Verhalten beobachten. Hier gilt tatsächlich, dass der Graph die x-Achse nicht mehr schneidet, sondern sich immer weiter an sie anschmiegt, ohne sie zu berühren. Eine waagerechte Asymptote, die NICHT genau auf der x-Achse liegt, haben wir gegeben, wenn der Zählergrad einer gebrochenrationalen Funktion GLEICH ihrem Nennergrad ist. Für diesen Fall schauen wir uns eine Funktion an, die das Kriterium erfüllt. Hier können wir die Gleichung der entsprechenden Gerade bestimmen, indem wir die Vorfaktoren der beiden Terme mit der höchsten x-Potenz dividieren. Für diese Funktion haben wir also eine Asymptote bei "y gleich zwei". Was sich bestätigt, wenn wir den Graphen der Asymptote dazu einzeichnen. Diese Asymptote verläuft dann also parallel zur x-Achse Ein letzter Fall noch, dann haben wir es geschafft! Der Grad der Zählerfunktion kann natürlich auch größer sein, als der der Nennerfunktion. In diesem Fall haben wir entweder eine schräge Asymptote (das ist immer DANN so, wenn der Zählergrad genau um eins höher ist als der Nennergrad, wie bei DIESER Funktion hier) oder sogar eine gekrümmte Asymptote (sprich eine Kurve), wenn die Differenz zwischen Zähler- und Nennergrad noch größer ist. Auch diese Asymptoten lassen sich bestimmen, hierzu braucht es dann aber schon die Polynomdivision. Wir machen an dieser Stelle aber einen Cut und schauen uns die wichtigsten Infos nochmal auf einen Blick an. Wir haben uns in diesem Video mit Definitionslücken und Asymptoten von gebrochenrationalen Funktionen beschäftigt. Definitionslücken können entweder "hebbare Definitionslücken" sein (das ist der Fall, wenn wir die entsprechende Nullstelle des Nenners aus dem Funktionsterm kürzen könnten) oder es handelt sich um "Polstellen". "Polstellen" kommen also durch Nullstellen der Nennerfunktion zustande, die NICHT gekürzt werden können und zeichnen sich durch eine senkrechte Asymptote aus. Waagerechte Asymptoten sind immer dann vorhanden, wenn der Zählergrad kleiner als oder gleich dem Nennergrad ist. Und eine schräge oder kurvenförmige Asymptote liegt vor, wenn der Zählergrad größer als der Nennergrad ist. Es gibt also verschiedenste Asymptoten, an die sich so eine gebrochenrationale Funktion schmiegen kann, wobei diese Asymptoten in vielen Fällen nie erreicht werden. Ganz so eng nehmen es die Pinguine aber zum Glück nicht. Da darf auch mit Körpereinsatz fleißig gekuschelt werden.