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Funktionen grafisch darstellen 04:36 min

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Transkript Funktionen grafisch darstellen

Stephanie Gawking liebt nicht nur die Mathematik, sie ist auch Hobbyastronomin. Von ihrem Garten aus schaut sie durch ihr Teleskop und träumt davon, selbst einen neuen Himmelskörper zu entdecken. Sie sieht eine Sternschnuppe, einen kleinen, schnellen Meteoriten, der sich mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 50,000 Kilometern pro Stunde bewegt. Sie fragt sich, auf welcher Flugbahn sich diese Sternschnuppe bewegt.

Was ist eine Funktion?

Vielleicht lässt sich die Flugbahn durch einen Funktionsgraphen beschreiben. Aber wie kann Stephanie das herausfinden? Eine Funktion ist eine Beziehung zwischen zwei Variablen. In diesem Fall geben die Variablen die Lage des Meteoriten am Sternenhimmel an. Wenn die Laufbahn der Sternschnuppe einem Funktionsgraphen entspricht, dann wird jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet. Lass uns einen Blick auf die entsprechende Funktion werfen f(x) = 2x + 8. Beachte, dass man statt y auch f von x schreiben kann.

Zeichnen einer Funktion

Ok, lass uns den Funktionsgraphen zu dieser Funktion zeichnen. Die Funktionsgleichung ist bereits in der Normalform y = mx + n gegeben. Der y-Achsenabschnitt liegt bei y = 8 und die Steigung des Graphen beträgt 2. Du kannst die Werte für x und y auch in einer Wertetabelle festhalten. Wenn zum Beispiel x = 0 ist, dann ist y = 8. Wenn x = 1 ist, dann ist y = 10, usw. Zeichne dann mehrere Punkte und verbinde sie durch eine Gerade. Es handelt sich um einen Funktionsgraphen, weil jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet wird. Um das noch einmal zu prüfen, können wir mehrere Geraden zeichnen, die parallel zur Y-Achse verlaufen. Wenn für jede dieser Parallelen nur ein Schnittpunkt vorliegt, dann handelt es sich bei dem untersuchten Beispiel um einen Funktionsgraphen. Wenn eine der Geraden mehrere Schnittpunkte aufweist, ist es kein Funktionsgraph. So einfach ist das!

Zeichnen wir eine Parabel

Lass uns den Funktionsgraphen der Funktion y = x2 zeichnen. Erst erstellen wir eine Tabelle mit x und y-Werten. Dann tragen wir die Punkte ein. Wenn x = -2 ist, dann ist y = 4. Wenn x = -1 ist, dann ist y = 1, usw. Beachte die Form des Funktionsgraphen. Diese U-Form nennt man Parabel. Bei quadratischen Funktionen ist der Funktionsgraph immer eine Parabel. Wie können wir überprüfen, ob eine quadratische Gleichung eine Funktion ist? Jedem x-Wert wird genau ein y-Wert zugeordnet und der Graph besteht die Prüfung mit den senkrechten Geraden.

Wie kann ich testen, ob es sich um eine Funktion handelt?

Stephanie schaut durch ihr Teleskop und sieht ein Sternbild. Es ist wirklich KURVIG. Handelt es sich also um eine Funktion? Lass uns das mit den senkrechten Geraden überprüfen. Wie du siehst, besteht der Graph diesen Test. Dieser Graph ist also ein Funktionsgraph, denn zu jedem x-Wert gibt es genau einen y-Wert. Hier ist noch ein tolles Sternbild. Aber lässt es sich durch einen Funktionsgraphen darstellen?Da der Graph die Prüfung besteht, ist es ein Funktionsgraph!

Und dieses Sternbild? Die Form ist wie ein 'U', aber es liegt auf der Seite. Es besteht den Test nicht. Deshalb handelt es sich auch nicht um einen Funktionsgraphen. Für manche x-Werte gibt es mehr als einen y-Wert. Warte mal! Dieses Sternbild sieht aus wie ein Kreis. Ist es eine Funktion? Auf keinen Fall! Das Sternbild fällt durch den Test.

Stephanie stellt ihr Teleskop neu ein. Wow...Was ist das? Stephanie hofft, dass sie endlich einen neuen Himmelskörper entdeckt hat...Ihr Traum wird wahr...warte... ist das nicht ein Glühwürmchen?

5 Kommentare
  1. Gut erklärt 👍🏼

    Von Natascha Tabbert, vor 3 Monaten
  2. super erklärt

    Von Hbothner, vor 9 Monaten
  3. tolles video!!!! Ich habe es sehr gut verstanden, mit humor erklaert,toll. liebe es.

    Von Hyori L., vor 10 Monaten
  4. Danke

    Von Aveerubhotla, vor mehr als 2 Jahren
  5. Super erklärt!!! ^^
    In der Schule habe ich es nicht verstanden, aber nach diesen Video schon!;)

    Von Sonnenschein =), vor fast 3 Jahren

Funktionen grafisch darstellen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Funktionen grafisch darstellen kannst du es wiederholen und üben.

  • Erkläre, wie du den Graphen der Funktion $y=2x+8$ zeichnest.

    Tipps

    Hier siehst du den Punkt $(3|6)$ in einem x-y-Koordinatensystem.

    Hier siehst du beispielhaft, wie der $y$-Wert zu $x=3$ berechnet werden kann.

    Lösung

    Hier ist der Graph der Funktion $y=2x+8$ zu sehen. Dabei geht man wie folgt vor:

    1. Man zeichnet ein Koordinatensystem mit einer horizontalen (waagerechten) Achse, der $x$-Achse, und einer vertikalen (senkrechten) Achse, der $y$-Achse.
    2. Nun kann der Graph gezeichnet werden: Hierfür wird zunächst die Stelle eingetragen, an der die Gerade die $y$-Achse schneidet. Dies ist der $y$-Achsenabschnitt.
    3. Durch Erstellen einer Wertetabelle erhält man weitere Punkte, die auf dem Graphen der Funktion liegen. Hierfür setzt man verschiedene $x$-Werte in der Funktionsgleichung ein und erhält die zugehörigen $y$-Werte.
    4. Die Punkte werden in das Koordinatensystem eingetragen. Dies kann man sich beispielhaft an dem Punkt $(5|18)$ klarmachen: Es wird eine zur $y$-Achse parallele Gerade durch $x=5$ und eine zur $x$-Achse parallele Gerade durch $y=18$ gezeichnet. Dort, wo die Geraden sich schneiden, liegt der Punkt. Zuletzt werden diese Punkte miteinander verbunden. Alle Punkte liegen auf einer Geraden.
    Übrigens: Der 2. Punkt einer linearen Funktion könnte auch durch Einzeichnen eines Steigungsdreiecks ersetzt werden: Hierfür startet man bei dem $y$-Achsenabschnitt und geht von dort eine Einheit nach rechts. Dann geht man $2$, dies ist die Steigung, Einheiten nach oben. Den so erhaltenen Punkt, $(1|10)$, verbindet man mit dem $y$-Achsenabschnitt.

  • Bestimme, ob der Weg des Meteoriten zu einer Funktion gehört.

    Tipps

    Sowohl $f(x)=2x+8$ als auch $f(x)=8x+2$ sind Funktionen.

    Eine lineare Funktion ist gegeben durch die Gleichung

    $y=mx+n$,

    wobei $m$ die Steigung und $n$ der $y$-Achsenabschnitt ist.

    Jede Funktion ist eine Zuordnung. Aber nicht jede Zuordnung ist auch eine Funktion.

    Lösung

    Funktionen sind besondere Beziehungen zwischen Variablen. Man nennt so eine Beziehung auch „Zuordnung“. Doch umgekehrt ist nicht jede Zuordnung eine Funktion. Das ist nur der Fall, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:

    Jedem $\mathbf{x}$-Wert wird genau ein $\mathbf{y}$-Wert zugeordnet.

    Zum Beispiel ist $f(x)=2x+8$ mit der Steigung $m=2$ und dem $y$-Achsenabschnitt $n=8$ eine Funktion. Der zugehörige Graph ist eine Gerade.

    Wie kann man an einem Graphen erkennen, ob er eine Funktion darstellt?

    Du zeichnest einige senkrechte Linien parallel zur $y$-Achse ein. Jede dieser Linien darf den Graphen nur einmal schneiden. Wenn das der Fall ist, gehört der Graph zu einer Funktion.

  • Gib an, welches Sternenbild der Graph einer Funktion ist.

    Tipps

    Funktionen sind spezielle Beziehungen zwischen Variablen:

    Zu jedem $\mathbf{x}$-Wert gehört genau ein $\mathbf{y}$-Wert.

    Du kannst einen Test mit senkrechten Linien parallel zur $y$-Achse durchführen. Jede der Linien darf den Graphen nur einmal schneiden, dann gehört der Graph zu einer Funktion. Bei mehr als einem Schnittpunkt pro Linie stellt der Graph keine Funktion dar.

    Lösung

    Wenn man bei einem gegebenen Graphen prüfen will, ob er zu einer Funktion gehört, kann man dies mit senkrechten Linien tun.

    Jede dieser Linien darf den Graphen nur einmal schneiden.

    Hier siehst du den Graphen zu $x^2+y^2=16$. Dieser hat die Form eines Kreises.

    Wie du siehst, haben einige der senkrechten Linien zwei gemeinsame Punkte mit dem Graphen. Daraus kannst du folgern, dass $x^2+y^2=16$ keine Funktion ist.

    Der Graph der liegenden Parabel (Bild F) ist kein Graph einer Funktion.

    Alle übrigen Graphen gehören zu Funktionen. Sie „bestehen“ den Test mit den senkrechten Linien.

  • Ermittle zu jedem Graphen die passende Funktionsgleichung.

    Tipps

    Eine Gerade ist der Graph einer linearen Funktion.

    Eine Parabel ist der Graph einer quadratischen Funktion.

    Wenn du den Scheitelpunkt $S(x_s|y_s)$ einer quadratischen Funktion kennst, so ist die Scheitelpunktform gegeben durch:

    $f(x)=a(x-x_s)^2+y_s$

    Lösung

    In dieser Aufgabe werden zwei Geraden und zwei Parabeln behandelt.

    • Eine Gerade gehört zu einer linearen Funktion $y=mx+b$
    • Eine Parabel gehört zu einer quadratischen Funktion $y=ax^2+bx+c$
    Wir beginnen mit den Geraden:
    • Bei beiden ist der y-Achsenabschnitt $5$.
    • Der Unterschied zwischen beiden ist, dass die eine fällt und die andere steigt.
    • Die Steigung kann man durch Bestimmen des Höhen- und Breitenunterschiedes bestimmen.
    • Die linke der beiden Geraden hat einen Höhenunterschied von $-5$ und einen Breitenunterschied von $2$. Die zugehörige Gleichung lautet: $y=-\frac52x+5$.
    • Ebenso kann die Gleichung der rechten der beiden Geraden bestimmt werden: $y=\frac52x+5$.
    Nun kommen wir zu den Parabeln.
    • Beide Parabeln haben einen Scheitelpunkt auf der $y$-Achse.
    • Das bedeutet, dass $b=0$ ist.
    • Bei beiden Parabeln ist $a=1$. Dies erkennt man, wenn man von dem Scheitelpunkt eine Einheit nach rechts und eine nach oben geht und wieder auf der Parabel landet.
    • Der jeweilige Wert für $c$ ist der $y$-Achsenabschnitt.
    • Somit lautet die Gleichung der linken der beiden Parabeln $y=x^2-4$.
    • Die Gleichung der rechten Parabel ist $y=x^2+1$.

  • Vervollständige die Wertetabelle der Funktion $y=2x^2+3$.

    Tipps

    Berechne zu jedem $x$-Wert den $y$-Wert durch Einsetzen von $x$ in die Funktionsgleichung.

    Schau dir dies zum Beispiel für $x=4$ an.

    Achte auf das Vorzeichen: Das Quadrat einer negativen Zahl ist positiv.

    $(-2)^2=(-2)\cdot (-2)=4$.

    Lösung

    Hier ist der Graph der Funktion $y=2x^2+3$ zu sehen sowie die drei Punkte $(-1|5)$ $(0|3)$ und $(1|5)$, die auf dem Graphen, einer Parabel, liegen.

    Wie kann man diese Punkte bestimmen?

    Das geht zum Beispiel mit Hilfe einer Wertetabelle. Man setzt dafür die verschiedenen Werte für $x$ aus der linken Spalte in die Funktionsgleichung ein und bestimmt durch Ausrechnen die zugehörigen $y$-Werte. $x$- und $y$-Wert kombiniert, geben uns die Koordinaten des jeweiligen Punktes ($x$|$y$) an, den wir im Koordinatensystem einzeichnen können.

    Für $x=-3$:

    $y=2\cdot(-3)^2+3=2\cdot 9+3=18+3=21$

    Für $x=-2$:

    $y=2\cdot(-2)^2+3=2\cdot 4+3=8+3=11$

    Für $x=-1$:

    $y=2\cdot(-1)^2+3=2\cdot 1+3=2+3=5$

    Für $x=0$:

    $y=2\cdot0^2+3=2\cdot 0+3=0+3=3$

    Für $x=1$:

    $y=2\cdot1^2+3=2\cdot 1+3=2+3=5$

    Für $x=2$:

    $y=2\cdot2^2+3=2\cdot 4+3=8+3=11$

    Für $x=3$:

    $y=2\cdot3^2+3=2\cdot 9+3=18+3=21$

  • Entscheide, welche Sterne zu $f(x)=\frac1{10}\cdot x^2$ gehören.

    Tipps

    Du kannst jeden Stern wie folgt überprüfen:

    • Setze die $x$-Koordinate in der Funktionsgleichung $y=\frac1{10}\cdot x^2$ ein.
    • Ist das Ergebnis die $y$-Koordinate des Sterns, so liegt er auf dem Graphen, ansonsten nicht.

    Schau dir dies am Beispiel $x=0$ an: Einsetzen in die Gleichung führt zu $y=\frac1{10}\cdot (0)^2=0$.

    Das bedeutet, dass der Punkt $(0|0)$ auf dem Graphen liegt.

    Betrachte den Stern $(4|-1)$ (Dieser ist nicht eingezeichnet.)

    Es ist $y=\frac1{10}\cdot (4)^2=1,6\neq-1$.

    Das bedeutet, dass dieser Stern nicht auf dem Graphen liegt.

    Lösung

    Um herauszufinden, ob ein Stern auf dem Graphen liegt, setzen wir die $x$-Koordinate in die Funktionsgleichung $f(x)=\frac1{10}\cdot x^2$ ein.

    Wenn wir als Lösung die $y$-Koordinate des Sterns erhalten, liegt er als Punkt auf dem Funktionsgraphen, also Stephanies Sternbild, ansonsten nicht.

    Hier kannst du die entsprechende Wertetabelle sehen:

    $\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} x&-10&-9&-8&-7&-6&-5&-4&-3&-2&-1&0\\ y&10&8,1&6,4&4,9&3,6&2,5&1,6&0,9&0,4&0,1&0 \end{array}$

    $\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} x&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ y&0&0,1&0,4&0,9&1,6&2,5&3,6&4,9&6,4&8,1&10 \end{array}$

    Wenn man all diese Punkte in ein Koordinatensystem überträgt, erhält man diese rote Parabel.

    Die zu dem Graphen gehörenden Punkte sind $(0|0)$, $(10|10)$, $(−10|10)$ sowie $(−5|2,5)$.