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Funktionen und Relationen

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Team Digital
Funktionen und Relationen
lernst du in der Unterstufe 3. Klasse - 4. Klasse

Grundlagen zum Thema Funktionen und Relationen

Inhalt

Einführung: Relationen und Funktionen einfach erklärt

In der Mathematik beschäftigen wir uns auch mit Größen, die einander zugeordnet werden. Relationen und Funktionen sind Möglichkeiten, solche Zuordnungen zu beschreiben. Aber wie unterscheiden sich Relationen und Funktionen? In diesem Video und Text lernst du, auf welchen Mengen die Elemente einer Funktion und einer Relation abgebildet werden. Außerdem wird dir anhand der Eigenschaften ihrer Definitionsmenge und Wertemenge einfach erklärt, was der Unterschied zwischen einer Relation und einer Funktion ist.

Relationen – Definition

Bei einer Relation wird jedem Element der Definitionsmenge eins oder mehrere Elemente der Wertemenge zugeordnet. Wie Relationen aus der Mathematik in die alltägliche Welt übertragen werden können, wird dir nun an einem Beispiel einfach erklärt.

Beispiel:

Wir stellen uns einen Automaten mit Süßigkeiten vor, der uns einen Snack ausgibt, wenn wir Geld einwerfen und dann einen bestimmten Code eingeben. In dem Automaten stehen beispielsweise acht verschiedene Süßigkeiten zur Auswahl. Das Eingabefeld besteht aus vier verschiedenen Codes. Unter jeder Süßigkeit steht einer der vier Codes. Der Aufbau der Relation besteht nun also aus der Definitionsmenge, zu der die vier Codes gehören, und der Wertemenge, zu der die acht verschiedenen Süßigkeiten gehören. Durch die Relation wird jedem Code eine oder mehrere Süßigkeiten zugeordnet.

Relation bestimmen

Dabei kann es sein, dass sowohl der Schokoriegel als auch das Fruchtgummi dem gleichen Code zugeordnet werden. Es kann also passieren, dass ich einen Schokoriegel haben möchte und den entsprechenden Code wähle, aber nur Fruchtgummi bekomme. Die Zuordnung ist nicht eindeutig. Hier müssen wir den Süßigkeitenautomaten noch ein wenig weiterentwickeln … und schauen uns dafür besondere Relationen, die Funktionen, an.

Funktionen als besondere Relationen

Eine Funktion ist eine spezielle Relation. Aber wann ist eine Relation eine Funktion? Um diese Frage zu beantworten, wiederholen wir kurz, was eine Funktion ausmacht:

  • Die Zuordnungsvorschrift $y=x$ kann man auch als Funktion $y=f(x)=x$ schreiben. Diese Funktion ist mit $f$ benannt. Eine Funktion kann aber auch einen beliebigen anderen Namen erhalten, beispielsweise $g$, die Funktionsvorschrift schreibt man dann als $g(x)=x$.

  • Die Definitionsmenge einer Funktion umfasst alle Werte, die man für $x$ einsetzen kann. Die Funktion $f$ ordnet jedem Wert der Definitionsmenge genau einen eindeutigen Wert zu. Alle diese Werte bilden zusammen die Wertemenge.

Aus diesen Eigenschaften können wir schon erkennen, welche Relationen Funktionen sind: Es sind diejenigen Relationen auch Funktionen, bei denen den Werten aus der Definitionsmenge ein eindeutiger Wert aus der Wertemenge zugeordnet wird.

Kommen wir zurück zu unserem Beispiel. Wir möchten bei dem Automaten genau einen bestimmten Snack herausbekommen, wenn wir Geld hineinwerfen und dann einen Code eingeben. Der Automat sollte also die Zuordnung der Codes zu den Süßigkeiten möglichst mit einer Funktion definieren.

Funktion Definition

Zusammenfassung: Relationen und Funktionen

Die folgenden Stichpunkte fassen noch einmal das Wichtigste zu Relationen und Funktionen zusammen.

  • Bei einer Relation wird jedem Element der Definitionsmenge eins oder mehrere Elemente der Wertemenge zugeordnet.
  • Relationen entsprechen auch Funktionen, wenn den Werten aus der Definitionsmenge ein eindeutiger Wert aus der Wertemenge zugeordnet werden kann.

Du findest hier bei sofatutor auch Aufgaben und interaktive Übungen zum Thema Relationen und Funktionen.

Transkript Funktionen und Relationen

Hermanns Urlaub in Japan ist fast vorbei, aber er hat noch gar keine Andenken gekauft. Darum beschließt er sich ein Souvenir aus einem Verkaufsautomaten zu ziehen. Er schaut sich zwei Automaten an, die ähnlich, aber nicht gleich aussehen. Sie verkaufen die gleichen Gegenstände und die Tastenfelder sind auch identisch. Hermann weiß, dass Funktionswerte f von x zu Funktionen gehören und Relationen etwas ganz ähnliches sind. Aber was haben Funktionen und Relationen denn mit Verkaufsautomaten zu tun? Hermann beschließt zum Relationen-Automaten zu gehen. Heute ist bestimmt sein Glückstag. Er wirft 100 Yen ein, entscheidet sich für ein Schoßkissen und gibt E3 auf dem Tastenfeld ein. Was soll das? Warum gibt der Automat ihm ein Nudelspritzschutz? Ach was, der hat auch den Code E3? Hermann entdeckt, dass dieser Verkaufsautomat offenbar eine ganz besondere Eigenschaft hat. Mehrere Gegenstände haben den Code E3. Und ein paar andere den Code I3. Ach, sieh an, S7 gibt es nur ein einziges Mal. Hermann beschließt sich einen Raketenkrokotoaster zu kaufen. Er wirft Geld ein, drück S7, wunderbar! Er will den anderen Souvenirs noch eine Chance geben. Irgendwann muss er ja mal Glück haben. Wieder wirft Hermann 100 Yen ein und drückt einen Code auf dem Tastenfeld. Dieses Mal nimmt er B3, da es diesen Code nur zweimal gibt. Hermann bekommt die Würfelwassermelone. Nicht schlecht, aber lieber wäre ihm ein Mamagotchi. Das hat geklappt. Mm, er hat doch zweimal das Gleiche gemacht, aber unterschiedliche Souvenirs bekommen. Hermann erinnert sich an seinen Mathe Unterricht. Da hieß es, dass bei Relationen jedem Element der Definitionsmenge ein oder mehrere Elemente der Wertemenge zugeordnet sind. Wenn er einen Code eingibt, kann jedes Souvenir, dem dieser Code zugeordnet ist, dabei herauskommen. Bei Relationen können einem Element der Definitionsmenge eines oder mehrere Elemente der Wertemenge zugeordnet sein. Schluss damit. Hermann hat keine Zeit auf ein cooles Souvenir zu hoffen. Er beschließt den anderen Automaten zu nutzen und hofft auf mehr Glück. Der funktioniert bestimmt wie gewünscht. Hermann weiß, dass man y gleich x auch als die Funktion f von x gleich x schreiben kann. Diese Funktion ist zwar mit f benannt, in Funktionen werden aber auch oft die Buchstaben g oder h benutzt. Das würde man dann g von x oder h von x lesen. Unabhängig von der Schreibweise besteht eine Funktion aus drei Teilen. Die Definitionsmenge umfasst alle Werte, die man für x einsetzen darf. Die Funktion f von x ordnet jedem Wert aus der Definitionsmenge genau einen eindeutigen Wert zu. Alle diese zugeordneten Wert bilden die Wertemenge. Jetzt bekommt Hermann bestimmt was er will. Er hätte gerne AR2, den Selfie Stick. Das wäre das ideale Geschenk für seine Freundin. Das darf doch nicht wahr sein! Das Ding kommt nicht raus!

8 Kommentare

8 Kommentare
  1. Hat mir geholfen danke

    Von Rahma Monassar, vor 10 Monaten
  2. Schalom, vielen Dank für das Video. Aber es hat sehr kompliziert gestartet, vielleicht könntet ihr das ein wenig ändern...

    Von tikva_julie, vor mehr als einem Jahr
  3. 100¥ = 12,50€

    Von Yiren Y., vor mehr als einem Jahr
  4. wo is da der 2te automat so beschriftet wie der erste?

    Von Mirjam P., vor fast 2 Jahren
  5. Warum hört das so komisch auf?

    Von Dreyeradr, vor fast 2 Jahren
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Funktionen und Relationen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Funktionen und Relationen kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die Eigenschaften von Relationen und Funktionen.

    Tipps

    Im Gegensatz zu Funktionen sind Relationen nicht eindeutig. Das bedeutet, dass jedem Wert aus der Definitionsmenge unterschiedliche Werte aus der Wertemenge zugeordnet werden können.

    Bei Funktionen hingegen ist die Eindeutigkeit gegeben: Jeder Wert aus der Definitionsmenge hat nur einen eindeutigen Wert aus der Wertemenge.

    Lösung

    Im Folgenden findest du die Lösungen mit entsprechender Erklärung:

    • Derselbe Code auf dem Relationen-Automaten kann verschiedene Gegenstände ergeben. Daher kann sich Hermann nicht sicher sein, welches Geschenk er bekommt. Trotz gleicher Vorgehensweise können demnach unterschiedliche Geschenke herauskommen.
    Da eine Relation nicht zwangsläufig eine eindeutige Zuordnung ist, können einem Wert aus der Definitionsmenge unterschiedliche Werte aus der Wertemenge zugeordnet werden. Daher kann ein Code des Automaten auch unterschiedliche Geschenke ergeben.

    • Bei dem Funktions-Automaten hingegen ergeben gleiche Codes gleiche Geschenke. Hermann kann sich also sicher sein, das gewünschte Geschenk zu bekommen. Bei gleicher Vorgehensweise müssen demzufolge nur gleiche Geschenke herauskommen.
    Um auf Nummer sicher zu gehen, das richtige Geschenk zu erhalten, entscheidet er sich also für den Funktions-Automaten.

    Funktionen sind eindeutige Zuordnungen: Jedem Wert aus der Definitionsmenge wird genau ein Wert aus der Wertemenge zugeordnet. Daher ergibt derselbe Code des Automaten auch immer dasselbe Geschenk. Bei dem Funktions-Automaten kann sich Herrmann also sicher sein, sein gewünschtes Geschenk zu erhalten.

  • Gib an, ob der Satz für eine Funktion, eine Relation oder für beides gilt.

    Tipps

    Die Voraussetzung einer Funktion ist, dass einem Wert der Definitionsmenge genau nur ein Wert aus der Wertemenge zugeordnet wird.

    Wenn einem Wert aus der Definitionsmenge unterschiedliche Werte aus der Wertemenge zugeordnet werden können, so handelt es sich hierbei um eine nicht eindeutige Zuordnung.

    Relationen und Funktionen beschreiben Zuordnungen zwischen zwei Mengen (Definitionsmenge und Wertemenge).

    Lösung

    Nur Funktionen:

    • Wir dürfen immer die Benennung $f(x)$ benutzen.
    In der Mathematik werden Funktionen üblicherweise mit $f(x)$ benannt. Der Buchstabe $f$ darf dabei verändert werden. Beispielsweise sind auch $g(x)$, $h(x)$ oder $m(x)$ möglich.
    • Bei gleicher Eingabe gibt es immer dieselbe Ausgabe.
    Funktionen haben die Eigenschaft, dass die Zuordnungen eindeutig sind. Das heißt, gleiche Eingaben müssen auch immer gleiche Ausgaben erzeugen.

    Nur Relationen:

    • Bei gleicher Eingabe können unterschiedliche Ausgaben erfolgen.
    Dieser Satz gilt nur für Relationen. Denn Funktionen haben die zusätzliche Eigenschaft, dass sie eindeutig sind. Das heißt, gleiche Eingaben müssen auch immer gleiche Ausgaben erzeugen.
    • Jedem Element der Definitionsmenge sind ein oder mehrere Elemente der Wertemenge zugeordnet.
    Das gilt nur für Relationen, da Funktionen eine eindeutige Zuordnung haben müssen. Bei Funktionen wird jedem Element der Definitionsmenge genau ein Element der Wertemenge zugeordnet. Jedoch können auch bei Funktionen Elemente der Wertemenge öfter als einmal getroffen werden. Übertragen auf die Automaten bedeutet dies, dass im Funktions-Automaten jede Taste genau einen Gegenstand ausgibt. Jedoch kann es mehrere Tasten geben, die ein und denselben Gegenstand ausgeben.

    Sowohl Funktion und als auch Relation:

    • Zwischen den Elementen der Definitionsmenge und denen der Wertemenge besteht eine Zuordnung.
    Jede Funktion ist zugleich immer eine Relation. Daher gelten diese Eigenschaften sowohl für Funktionen als auch für Relationen.

    Keine Funktion oder Relation:

    • Die Elemente aus der Definitionsmenge und der Wertemenge haben keine Zuordnung zueinander.
    Relationen und somit auch Funktionen beschreiben die Zuordnungen zwischen den Mengen.
    • Wir nutzen üblicherweise $\text{funk}(p)$ als Benennung.
    Üblicherweise ist die Benennung von Funktionen mit $f(x)$ bestimmt worden. Daher ist $\text{funk}(p)$ keine übliche Benennung.

  • Prüfe die Art der Zuordnung.

    Tipps

    Alle Elemente der Definitionsmenge (links) müssen eindeutig zugeordnet sein, damit es sich um eine Funktion handelt. Die Elemente der Wertemenge können auch bei Funktionen mehrfach getroffen werden.

    Es handelt sich hierbei um keine Funktion, da die Elemente „E3“, „I3“ und „B3“ nicht eindeutig zugeordnet sind. Lediglich „S7“ hat eine eindeutige Zuordnung.

    Lösung

    Eine Relation ist nicht zwangsläufig eindeutig. Das heißt, ein Wert aus der Definitionsmenge kann auch mehreren Werten der Wertemenge zugeordnet werden.

    Die Funktion ist hingegen eindeutig: Jeder $x$-Wert hat nur maximal einen $y$-Wert. Da die Funktion zugleich eine Relation ist, gibt es auch eindeutige Relationen.

    • Die linke obere Zuordnung ist eine Funktion: Jedem Wert der Definitionsmenge wird genau ein Wert der Wertemenge zugewiesen.
    • In der rechten oberen Zuordnung hingegen hat Johanna zwei Zuordnungen. Sie kann sich hier nicht zwischen „lila“ und „orange“ entscheiden, weshalb diese Relation keine Funktion darstellt.
    • Die Zuordnung links unten ist eine Funktion und damit auch eine Relation, da jeder Wert der Definitionsmenge genau einen Wert der Wertemenge trifft.
    • Die Zuordnung rechts unten stellt ebenso eine Funktion dar, weil Elemente aus der Definitionsmenge nur einem Element aus der Wertemenge zugeordnet sind. Die Zuordnung ist eindeutig, daher ist dies eine Funktion.
  • Entscheide, ob hier eine Relation oder Funktion beschrieben wird.

    Tipps

    Funktionen sind auch immer Relationen. Funkionen haben die weitere Eigenschaft, dass es keine mehrfachen Zuordnungen von Elementen aus der Definitionsmenge zu Elementen aus der Wertemenge geben darf.

    Es kann hilfreich sein, sich die Definitions- und die Wertemenge aufzumalen und die Zuordnungen durch Striche zu verdeutlichen. Gehen von einem Element der Definitionsmenge zwei oder mehr Striche aus, handelt es sich nicht mehr um eine Funktion.

    Lösung

    • In der Schule bekommt jede*r Erstklässler*in einen Paten oder eine Patin aus der sechsten Klasse zugelost, der sich das ganze Schuljahr nur um ihn oder sie kümmert. Diese Zuordnung ist eine Funktion.
    Unser Definitionsbereich sind hier die Erstklässler*innen. Von diesen Elementen wird jedem genau ein Element der Wertemenge (Sechstklässler*innen) zugeordnet. Damit handelt es sich um eine eindeutige Relation, also Funktion.

    • Lisa und Robin überlegen, was sie sich von ihrem Taschengeld beim neuen Verkaufsstand um die Ecke kaufen können. Für $5 \text{ €}$ bekommt man zum Beispiel ein Buch oder eine Federtasche. Für $15 \text{ €}$ erhält man einen Rucksack und für $1 \text{ €}$ einen Stift, einen Block oder ein Stück Kuchen. Sind die Preise die Definitionsmenge und die Gegenstände die Wertemenge, handelt es sich hierbei um eine Relation.
    Jedem Element aus unserem Definitionsbereich (Preise: $1 \text{ €}$, $5 \text{ €}$ und $10 \text{ €}$) werden ein oder mehrere Elemente aus dem Wertebereich (Verkaufsgegenstände) zugeordnet. Daher handelt es sich um eine Relation. Weil man für $1 \text{ €}$ jedoch einen Stift, einen Block oder ein Stück Kuchen bekommt, ist diese nicht eindeutig und daher keine Funktion.

    • Samuel besucht mit seinen Geschwistern seine Oma. In der Bonbondose befinden sich viele verschiedene Süßigkeiten: Samuel greift zu Erdbeer- und Schokobonbons, seine Schwester nimmt nur Erdbeerbonbons und sein Bruder Lakritzschnecken. Das Zugreifen beschreibt hier eine Relation.
    Allen drei Kindern aus der Definitionsmenge werden Süßigkeiten zugeordnet. Es handelt sich also ebenfalls auch um eine Relation. Da Samuel aber zu Erdbeer- oder Schokobonbons greift, ist die Relation nicht eindeutig und somit keine Funktion.

    • Marie telefoniert gern. Sie weiß, dass sie jedes Mal, wenn sie dieselbe Nummer wählt, dieselbe Person erreicht, da keine Nummer in Deutschland doppelt vergeben wurde. Die Aufteilung der Nummern zu ihren Freunden und Freundinnen kann als eine Funktion beschrieben werden.
    Es handelt sich hierbei um eine Funktion, denn jeder Nummer wird genau eine eindeutige Person zugeordnet.

  • Gib die Eigenschaften von Funktionen an.

    Tipps

    Eine Relation ist nicht eindeutig. Deswegen kann hier auch eine Taste des Automaten mehreren Gegenständen zugeordnet sein.

    Nur Funktionen dürfen mit $f(x)$ benannt werden.

    Beispiele:

    • $f(x)=x$
    • $f(x)=2x+3$
    Der Buchstabe $f$ kann dabei durchaus getauscht werden. Also ist auch möglich:

    • $g(x)=x$
    • $h(x)=x$
    Lösung

    Folgende Aussagen sind korrekt:

    • Der Funktions-Automat gibt bei gleicher Eingabe immer den gleichen Gegenstand aus.
    Funktionen sind eindeutig. In Hermanns Beispiel: Jede Taste des Automaten wird genau einem Gegenstand zugeordnet.

    • Der Automat darf mit $f(x)$ benannt werden.
    Es sind auch Benennungen mit $h(x)$, $g(x)$ oder mit weiteren Buchstaben zulässig.

    • Der Funktions-Automat ist eindeutig. Alle Tasten (Werte aus der Definitionsmenge) sind genau einem Gegenstand (Wert in der Wertemenge) zugeordnet.
    Funktionen sind im Gegensatz zu Relationen immer eindeutig: Jedem Wert der Definitionsmenge ist genau ein Wert aus der Wertemenge zugeordnet. Andersherum können bei Funktionen einzelne Werte der Wertemenge auch öfter getroffen werden. In Hermanns Beispiel würde dies bedeuten, dass im Funktions-Automaten auch mehrere Tasten den Selfiestick ausgeben könnten. Wichtig ist nur, dass jede Taste nur einen Gegenstand ausgibt. Sonst handelt es sich nicht mehr um eine Funktion, sondern um eine Relation.
    Graphisch bedeutet das, dass jede vertikale Linie im Koordinatensystem den Funktionsgraphen nur ein einziges Mal schneidet.

    Folgende Aussagen sind falsch:

    • Der Funktions-Automat kann bei gleicher Eingabe unterschiedliche Gegenstände auswerfen.
    Da der Funktions-Automat eindeutig ist, kann dieser bei gleicher Eingabe nur gleiche Gegenstände auswerfen.
    • Genau wie der Relationen-Automat, darf der Funktions-Automat mit $f(x)$ benannt werden.
    Nur der Funktions-Automat darf mit $f(x)$ benannt werden, nicht aber der Relationen-Automat.
    • Manche Tasten (Werte der Definitionsmenge) sind beim Funktions-Automaten gleich mehreren Gegenständen (Werte aus der Wertemenge) zugeordnet.
    Dies ist nur beim Relationen-Automaten der Fall. Der Funktions-Automat ist hingegen eindeutig.
  • Bestimme, welcher Graph eine Funktion darstellt.

    Tipps

    Gehe den Graphen von links nach rechts durch und überprüfe, ob es zu einem $x$-Wert mehrere $y$-Werte gibt. Falls es eine weitere Stelle gibt, stellt der Graph keine Funktion dar.

    Benutze eine vertikale Linie (du kannst hier z. B. dein Lineal oder Geodreieck als Linie benutzen) und überprüfe, ob die Linie den Funktionsgraphen mehrfach schneidet, wenn du von links nach rechts gehst.

    Lösung

    Diese Aufgaben sind richtig:

    • Der zweite Graph, also die Gerade zu $f(x)=x+2$, ist eine Funktion.
    • Der dritte Graph, also die Parabel zu $f(x)=x^2$, ist auch eine Funktion. Denn zu jedem $x$-Wert gibt es nur einen $y$-Wert. Hier werden $y$-Werte zwar doppelt getroffen, dies ist aber nicht entscheidend dafür, ob die Zuordnung eine Funktion ist.

    Diese Aufgaben sind falsch:

    • Der erste Graph, also der Kreis, ist keine Funktion, da es zu einzelnen $x$-Werten zwei $y$-Werte gibt (oben und unten).
    • Der letzte Graph ist ebenfalls keine Funktion, da es ebenso wie beim Kreis für einzelne $x$-Werte mehrere $y$-Werte gibt.
    Diese Zuordnungen sind also nicht eindeutig und somit keine Funktionen.

    Hinweis: Alle Funktionen sind auch Relationen, sie haben nur die zusätzliche Einschränkung, dass es zu jedem $x$-Wert nur einen $y$-Wert geben darf.

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