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Zuordnungen – Erklärung und Darstellung

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Team Digital
Zuordnungen – Erklärung und Darstellung
lernst du in der Unterstufe 1. Klasse - 2. Klasse

Grundlagen zum Thema Zuordnungen – Erklärung und Darstellung

Inhalt

Was ist eine Zuordnung?

In der Mathematik kannst du zwei verschiedene Größen zueinander in Beziehung setzen. Sind die beiden Größen Zahlen, so kannst du die Beziehung der Größen zueinander durch ein Diagramm darstellen. Das ist ein Schema in der Ebene mit zwei Achsen, auf denen du jeweils eine der beiden Größen abträgst. Eine Zuordnung kann ebenso in einem Säulendiagramm aufgetragen werden. Statt in einem Diagramm kannst du die einander zugeordneten Werte auch in einer Tabelle auflisten – das funktioniert auch, wenn eine der Größen keine Zahl ist. Du könntest zum Beispiel deine Büchersammlung nach Kategorien einteilen. Dann würdest du zum Beispiel eine solche Tabelle erhalten:

Kategorie Anzahl der Bücher
Abenteuer 7
Fantasy 6
Comic 12
Grusel 4
Märchen 4
Sachbücher 7
Lexika 2

Diese Tabelle kannst du auch dazu benutzen, ein Säulendiagramm zu zeichnen. Im Video zeigen wir dir, wie das aussieht.

Jede solche Beziehung zweier mathematischer Größen zueinander nennt man in der Mathematik eine Zuordnung.

Zuordnung in der Mathematik – Definition

Der Begriff der Zuordnung in der Mathematik bedeutet, dass zwei verschiedene Größen zueinander in Beziehung gesetzt oder, anders gesagt, einander zugeordnet werden. Zuordnung ist also der Name für die Beziehung der Größen. Du kannst z. B. während verschiedener Zeiten am Tag deine persönliche Lust auf Mathe auf einer Skala von $1$ bis $6$ bestimmen. Die Werte kannst du in eine Liste oder in ein Diagramm eintragen. Auf einer der Achsen stehen die verschiedenen Uhrzeiten, auf der anderen die Werte deiner Mathelust. Nach einer guten Mathestunde oder einem coolen Video von sofatutor steigt deine Mathelust bestimmt an. Zu anderen Zeiten fällt sie ab, z. B. wenn du Hausaufgaben machen musst, anstatt mit deinen Freunden spielen zu können. Verbindest du die verschiedenen Punkte im Diagramm nacheinander von links nach rechts, so erhältst du eine Darstellung der Zuordnung als Diagramm.

Zuordnung Beispiel

Zuordnungen können verschiedene Eigenschaften haben. Eine spezielle Art von Zuordnungen sind Funktionen. Bei einer solchen Zuordnung gibt es zu jedem Wert einer Größe $x$ einen eindeutig bestimmten zugeordneten Wert $f(x)$. Die Zuordnung der Mathelust wäre dann eine Funktion, wenn du zu jedem Zeitpunkt eindeutig sagen könntest, welchen Wert zwischen $1$ und $6$ deine Mathelust gerade annimmt.

In der Mathematik werden dir fast nur solche eindeutigen Zuordnungen oder Funktionen begegnen. Die häufigsten Zuordnungen in der Mathematik sind proportionale und antiproportionale Zuordnungen.

Das Einführungsvideo zu Zuordnungen

In diesem Video wird dir einfach erklärt, was eine Zuordnung ist. Du lernst ein Beispiel kennen und erfährst, wie man Zuordnungen darstellen kann.

Transkript Zuordnungen – Erklärung und Darstellung

Der Frühjahrsputz steht an. Da kommt auch das Bücherregal von Margaretha nicht drum herum. Sie hatte schon lange vor, hier mal Ordnung zu schaffen. Zum Sortieren ihrer Bücher wird sie sich dabei mit „Zuordnungen“ beschäftigen. Margaretha hat sich zunächst einen Überblick verschafft und ihre Bücher in Kategorien eingeordnet. Nun kann sie die Anzahl der Bücher pro Kategorie in einer Tabelle notieren. Sie hat sieben Abenteuerromane, sechs Fantasyromane, zwölf Comics, vier Gruselgeschichten, vier Märchenbücher, sieben Sachbücher und zwei Lexika. Diese Tabelle ist schon die erste Darstellungsmöglichkeit für eine Zuordnung. Wir können die wichtigsten Informationen der Zuordnung aber auch in einem Text festhalten. Zum Beispiel so: Margarethas Büchersammlung besteht aus zwölf Comics, sieben Abenteuerromanen und sieben Sachbüchern, sechs Fantasy-Romanen, zwei Lexika und je vier Grusel- und Märchenbüchern. Eine wesentlich anschaulichere Darstellung bietet das Säulendiagramm. Hier bekommt jede Kategorie eine eigene Säule. Je höher die Säule reicht, desto größer ist die Anzahl der Bücher in dieser Kategorie. Dadurch kann die Zuordnung schön übersichtlich dargestellt werden. Eine weitere Möglichkeit ist das Pfeildiagramm. Hier gibt es zwei Mengen. Jeder Kategorie aus der linken Menge wird eine Zahl aus der rechten Menge zugeordnet. Bei dieser Darstellung kann man sehr schön erkennen, dass bei einer Zuordnung jeder Ausgangswert einem anderen Wert zugeordnet wird. Diesen nennen wir zugeordneter Wert. Eine Zuordnung ordnet also jedem Ausgangswert einen oder mehrere Werte zu. In unserem Fall wird jeder Kategorie aber nur eine Zahl zugeordnet. Wenn wir den Bücherkategorien allerdings die Bildarten zuordnen wollen, die darin enthalten sind, würden wir solch eine mehrdeutige Zuordnung erhalten. Denn hier werden zum Beispiel dem Ausgangswert „Sachbücher“ mehrere Bildarten zugeordnet. Wenn von mindestens einem Ausgangswert mehr als ein Pfeil ausgeht, dann sprechen wir von einer mehrdeutigen Zuordnung. Wenn von jedem Ausgangswert nur ein Pfeil ausgeht, handelt es sich um eine eindeutige Zuordnung. Dabei kann es durchaus sein, dass ein zugeordneter Wert von mehreren Pfeilen getroffen wird. Wir sprechen dann trotzdem von einer eindeutigen Zuordnung. Wenn jedoch alle Ausgangswerte auch immer verschiedene zugeordnete Werte haben, sprechen wir von einer Ein-eindeutigen Zuordnung. Zum Beispiel hat jedes Buch in Margarethas Bücherregal eine ISBN-Nummer. Das ist die Nummer, die hinten unter dem Strichcode steht. Jedes Buch hat nur genau eine ISBN-Nummer, und jede ISBN-Nummer wird nur für ein Buch verwendet. Bei einer eineindeutigen Zuordnung geht also von jedem Ausgangswert nur genau ein Pfeil aus und jeder zugeordnete Wert wird höchstens einmal getroffen. Margaretha geht nun sogar noch einen Schritt weiter. Sie hat eine Tabelle angelegt, auf der sie zurückverfolgt, in welchem Alter sie wie viele Bücher hatte. Als sie sechs Jahre alt war, hatte sie acht Bücher, dann wurde ihre Büchersammlung im Laufe der Jahre immer größer und nun hat sie zweiundvierzig Bücher. Ihr Alter ist dabei der Ausgangswert und die Anzahl der Bücher der zugeordnete Wert. Da in dieser Tabelle nur noch Zahlenwerte stehen, spricht man auch von einer Wertetabelle. Die beiden Werte pro Zeile bilden ein Wertepaar. Zum Beispiel in der ersten Zeile der Ausgangswert sechs und der zugeordnete Wert acht. Wir können für jede Zeile ein Wertepaar bilden und diese in ein Koordinatensystem eintragen. Der Graph, den wir erhalten, ist eine weitere Darstellung für Zuordnungen. Aber das ist ein anderes Kapitel. Während Margaretha also ihre Bücher neu sortiert, fassen wir zusammen. Eine Zuordnung ordnet jedem Ausgangswert einen oder mehrere Werte zu. Zuordnungen können als Tabelle, in Textform, als Säulen- oder Pfeildiagramm, oder als Graph dargestellt werden. Dabei können Zuordnungen mehrdeutig, eindeutig oder eineindeutig sein. Das kann man besonders gut anhand eines Pfeildiagramms erkennen. Gehen von mindestens einem Ausgangswert mehrere Pfeile aus, ist die Zuordnung mehrdeutig. Wenn von jedem Ausgangswert nur jeweils ein Pfeil ausgeht, ist die Zuordnung schon mindestens eindeutig. Wenn dann auch noch kein zugeordneter Wert doppelt getroffen wird, ist die Zuordnung eineindeutig. Na das sollte jetzt eindeutig einleuchtend sein. Mittlerweile hat Margaretha ihre Büchersammlung neu sortiert ins Bücherregal geräumt. Jetzt ist alles schön übersicht. Da steht wohl jemand nicht auf Frühjahrsputz.

4 Kommentare

4 Kommentare
  1. Das ist ein mega schönes Video wer das gemacht hat kann stolz auf sich sein und es war sehr hilfreich.

    Von Thielefamilie31, vor 7 Monaten
  2. Das ist ein sehr cooles Video :)

    Von Zoey, vor 8 Monaten
  3. Cool vielen dank

    Von Mila, vor 9 Monaten
  4. Cooles Video!

    Von Nadia H., vor 10 Monaten

Zuordnungen – Erklärung und Darstellung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zuordnungen – Erklärung und Darstellung kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Definition der verschiedenen Arten von Zuordnungen an.

    Tipps

    Wenn die Anzahl der Bücher den Bücherkategorien zugeordnet werden, spricht man von einer eindeutige Zuordnung.

    Wenn die ISBN-Nummer von Büchern dem einzelnen Buch zugeordnet werden, dann ist das eine eineindeutige Zuordnung.

    Lösung

    Bei einer Zuordnung werden jedem Ausgangswert Werte zugeordnet. Diese nennen wir zugeordnete Werte. Eine Zuordnung ordnet also jedem Ausgangswert einen oder mehrere Werte zu.

    Wenn dabei von mindestens einem Ausgangswert mehr als ein Pfeil ausgeht, dann sprechen wir von einer mehrdeutigen Zuordnung.
    Wollen wir zum Beispiel den Bücherkategorien die Bildarten zuordnen, die darin enthalten sind, dann erhalten wir solch eine mehrdeutige Zuordnung. Denn hier werden zum Beispiel dem Ausgangswert "Sachbücher" mehrere Bildarten zugeordnet.

    Wenn von jedem Ausgangswert nur ein Pfeil ausgeht, handelt es sich um eine eindeutige Zuordnung. Dabei kann es durchaus sein, dass ein zugeordneter Wert von mehreren Pfeilen getroffen wird. Das ist hier der Fall, wenn Margaretha jeder Kategorien die Anzahl der Bücher zuordnet.

    Wenn jedoch alle Ausgangswerte auch immer verschiedene zugeordnete Werte haben, sprechen wir von einer eineindeutigen Zuordnung. Zum Beispiel hat jedes Buch in Margarethas Bücherregal eine eindeutige ISBN-Nummer.

  • Nenne Eigenschaften der Zuordnungen.

    Tipps

    Stelle den Sachverhalt als Pfeildiagramm dar. Zum Beispiel können von Abenteuerbücher und Comics jeweils 7 Bücher vorhanden sein.

    Wenn von jedem Ausgangswert nur ein Pfeil ausgeht, handelt es sich um eine eindeutige Zuordnung. Das schließt nicht aus, dass bei einem Element rechts mehrere Pfeile ankommen.

    Lösung

    Zuordnungen können mehrdeutig, eindeutig oder eineindeutig sein.

    Das kann man besonders gut anhand eines Pfeildiagramms erkennen.

    Wenn von jedem Ausgangswert nur jeweils ein Pfeil ausgeht, ist die Zuordnung schon mindestens eindeutig.

    Das Schaubild, das die Anzahl der Bücher den Kategorien zuordnet, stellt eine eindeutige Zuordnung dar. Von links geht immer nur ein Pfeil aus, rechts können jedoch mehrere Pfeile ankommen. Zum Beispiel sind von Abenteuerbücher und Sachbüchern jeweils $7$ Bücher vorhanden.

    Die Aussage 'Es handelt sich um eine mehrdeutige Zuordnung, weil zum Beispiel den Kategorien Abenteuer und Sachbücher jeweils die Anzahl $7$ zugeordnet wird.' ist falsch. Bei einer mehrdeutigen Zuordnung gehen von einer Kategorie mehrere Pfeile aus, das ist hier nicht der Fall.

    Die Aussage 'Die Zuordnung ist eineindeutig, da nur der Kategorie Lexika genau einmal die Anzahl $2$ zugeordnet wird.' ist ebenfalls falsch. Die Zahl $2$ wird zwar nur einmal getroffen, es gibt in der Zuordnung aber Werte, die mehrfach getroffen werden. Daher ist die Zuordnung als Ganzes nicht eineindeutig.

  • Untersuche, um welche Art von Zuordnung es sich handelt.

    Tipps

    Überprüfe, wieviel Pfeile vom Ausgangswert zu dem zugeordneten Wert ausgehen und überlege, welche Art von Zuordnung es sein könnte.

    Gehen von mindestens einem Ausgangswert mehrere Pfeile aus, ist die Zuordnung mehrdeutig. Wenn von jedem Ausgangswert nur jeweils ein Pfeil ausgeht, ist die Zuordnung schon mindestens eindeutig. Wenn dann auch noch kein zugeordneter Wert doppelt getroffen wird, ist die Zuordnung eineindeutig.

    Ein Beispiel für mehrdeutige Zuordnung ist Buchkategorien zu Bildarten. Ein Beispiel für eindeutige Zuordnung ist Buchkategorie zu Anzahl der Bücher. Ein Beispiel für eineindeutige Zuordnung ist ISBN-Nummer zu Buch.

    Lösung

    Zuordnungen können mehrdeutig, eindeutig oder eineindeutig sein.

    • Gehen von mindestens einem Ausgangswert mehrere Pfeile aus, ist die Zuordnung mehrdeutig.
    Mehrdeutige Zuordnungen sind:

    ${1)}$ Autor zu Buch (ein Autor kann mehrere Bücher schreiben)
    ${2)}$ Name und Person (ein Name kann von verschiedenen Personen getragen werden)
    ${3)}$ Klasse und Lehrer (eine Klasse hat mehrere Lehrer)

    • Wenn von jedem Ausgangswert nur jeweils ein Pfeil ausgeht, ist die Zuordnung schon mindestens eindeutig.
    Eindeutige Zuordnungen sind:

    ${1)}$ Person zu Geburtsort (eine Person hat genau an einem Tag Geburtstag und hat auch nur einen Geburtsort, mehrere Personen können am gleichen Tag und Ort geboren sein)
    ${2)}$ Buch zu Anzahl der Seiten (ein Buch hat genau eine Anzahl von Seiten, mehrere Bücher können gleich viele Seiten haben)
    ${3)}$ Buchseite zu Anzahl der Buchstaben (jede Seite im Buch hat genau eine Anzahl von Buchstaben, mehrere Seiten können gleich viele Buchstaben haben)

    • Wenn dann auch noch kein zugeordneter Wert doppelt getroffen wird, ist die Zuordnung eineindeutig.
    Eineindeutige Zuordnungen sind:

    ${1)}$ Schüler zu Zeugnis (jeder Schüler hat genau ein Zeugnis, das nur zu diesem Schüler gehört)
    ${2)}$ Person zu Personalausweis (jede Person hat genau ein Personalausweis, der nur zu dieser Person gehört)
    ${3)}$ Buch zu ISBN-Nummer (jedes Buch hat genau eine ISBN-Nummer, die nur zu diesem Buch gehört)

  • Überprüfe die Aussagen über Zuordnungen.

    Tipps

    Ein Beispiel für eine mehrdeutige Zuordnung ist ein Lehrer mit seinen Klassen. Jeder Lehrer hat mehrere Klassen und auch die Klasse hat mehrere Lehrer.

    Ein Beispiel für eine eindeutige Zuordnung sind Brötchen und ihre zugehörigen Preise. Jedes Brötchen hat seinen Preis (Pfeil von links), aber ein Preis kann zu mehreren Brötchen zugeordnet werden.

    Ein Beispiel für eine eineindeutige Zuordnung ist der Personalausweis und die jeweilige Person. Jede Person hat nur ein Personalausweis und er gilt für keine weitere Person.

    Lösung

    Diese Aussagen sind korrekt:

    Bei einer Zuordnung wird jedem Ausgangswert mindestens ein Wert zugeordnet.
    Zum Beispiel Person zu Lieblingsfarbe: jede Person hat mindestens eine Lieblingsfarbe.

    Bei einer eindeutigen Zuordnung kann mehreren Ausgangswerten derselbe Wert zugeordnet werden.
    Zum Beispiel Person zu Geburtstag: jede Person hat einen eindeutigen Geburtstag und an einem Tag können mehrere Personen Geburtstag haben.

    Bei einer eineindeutigen Zuordnung können Wertepaare gebildet und in einem Koordinatensystem dargestellt werden.
    Zum Beispiel Zeit zu Wegstrecke: die Zeit wird auf einer, die Wegstrecke auf der anderen Achse abgetragen.

    Diese Aussagen sind nicht korrekt:

    Bei einer eineindeutigen Zuordnung geht von jedem Ausgangswert zwei Pfeile aus und jeder zugeordnete Wert wird einmal oder zweimal getroffen.
    Richtig ist: Bei einer eineindeutigen Zuordnung geht von jedem Ausgangswert nur genau ein Pfeil aus und jeder zugeordnete Wert wird höchstens einmal getroffen.

    Bei einer mehrdeutigen Zuordnung wird jedem Wert mindestens zwei Werte zugeordnet.
    Richtig ist: Gehen von mindestens einem Ausgangswert mehrere Pfeile aus, ist die Zuordnung mehrdeutig. Es reicht also aus, dass einem Wert mindestens zwei Werte zugeordnet werden, damit wir von einer mehrdeutigen Zuordnung sprechen.

  • Nenne Darstellungsformen von Zuordnungen.

    Tipps

    Bei einer Zuordnung wird jedem Ausgangswert mindestens ein Wert zugeordnet.

    Durch eine graphische Darstellung kann eine Zuordnung übersichtlich veranschaulicht werden.

    Lösung

    Zuordnungen können verschiedene Darstellungsformen haben. Dazu gehören:

    • Tabellen: Die zugeordneten Werte werden in einer Spalte neben oder in einer Zeile unter den Ausgangswerten notiert.
    • Text: Wichtige Informationen werden in einem Text notiert.
    • Säulendiagramm: Jede Kategorie bekommt eine eigene Säule und kann so anschaulich dargestellt werden.
    • Pfeildiagramm: Hier gibt es zwei Mengen: die Elemente der Menge mit den Ausgangswerten werden durch Pfeile mit den zugeordneten Werten in der anderen Menge verknüpft.
    • Graph: Wertepaare aus Ausgangswert und zugeordnetem Wert werden in ein Koordinatensystem eingetragen.
    Zuordnungen können nicht dargestellt werden in...

    • Bruch
    • Zahlenstrahl
    • Quader
  • Bestimme die Zuordnungen und ihre Darstellungsform.

    Tipps

    Überprüfe zunächst, wie viele und welche Werte in den Zuordnungen angegeben sind und vergleiche die Darstellungen.

    Lese ein Wertepaar heraus und schaue, wo es in den unteren Darstellungen vorkommt.

    Lösung

    Eine Zuordnung kann eindeutig, mehrdeutig oder eineindeutig sein. Dargestellt werden können sie als Tabelle, in Textform, als Säulen- oder Pfeildiagramm oder als Graph.

    Welche Eigenschaft eine Zuordnung hat, kann man besonders gut anhand eines Pfeildiagramms erkennen.

    • Gehen von mindestens einem Ausgangswert mehrere Pfeile aus, ist die Zuordnung mehrdeutig.
    • Wenn von jedem Ausgangswert nur jeweils ein Pfeil ausgeht, ist die Zuordnung schon mindestens eindeutig.
    • Wenn dann auch noch kein zugeordneter Wert doppelt getroffen wird, ist die Zuordnung eineindeutig.
    In der Aufgabe "Gefahrener Kilometer $\rightarrow$ Benzinverbrauch" wird eine eineindeutige Zuordnung dargestellt und sie wird mit einem Graph veranschaulicht. Die Punkte entsprechen dabei den Wertepaaren aus der Tabelle, zum Beispiel: $(80 \vert 5)$, $(160 \vert 10)$, ...

    In der Aufgabe "Name $\rightarrow$ Lieblingsfarbe" wird eine eindeutige Zuordnung dargestellt und sie wird mit einem Mengendiagramm mit Pfeilen veranschaulicht. In der linken Menge sind $5$ (Namen) und in der rechten Menge sind $4$ (Lieblingsfarben) Punkte enthalten und bei einem Punkt (blau) kommen zwei Pfeile an.

    In der Aufgabe mit den markierten Punkten im Koordinatensystem wird eine mehrdeutige Zuordnung dargestellt. Das Pfeildiagramm mit den jeweils $3$ Punkten veranschaulicht diese Zuordnung. Vom ersten und zweiten Punkt gehen jeweils drei Pfeile aus, beim dritten Punkt ist es nur ein Pfeil. Dadurch wird jeder Punkt in der rechten Menge von mehreren Pfeile getroffen.

    In der Aufgabe "Anzahl Kinder $\rightarrow$ Schuhgröße" wird eine eindeutige Zuordnung dargestellt und in einem Säulendiagramm veranschaulicht. Man kann hier gut die Anzahl der Kinder mit der jeweiligen Schuhgröße anhand des Koordinatensystems ablesen.

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