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Proportionale Zuordnungen 04:34 min

Textversion des Videos

Transkript Proportionale Zuordnungen

Die Zombie-Apokalypse ist im Gange. Zombies auf den Straßen haben alle das gleiche Ziel. Fressen finden! Und am liebsten fressen sie natürlich Gehirne. Und damit die Zombies nicht vollkommen durchdrehen, benötigen sie 6 Gehirne als Nahrung für 3 Tage. Wie viele Gehirne brauchen sie denn dann für 5 Tage? Um dies zu berechnen, können wir uns den Dreisatz zur Hilfe nehmen. Wir wissen, dass sie für 3 Tage 6 Gehirne benötigen. Teilen wir beide Seiten durch 3, so sehen wir, dass es pro Tag zwei Gehirne sind. Nun multiplizieren wir beide Seiten mit 5. Für 5 Tage würde ein Zombie also 10 Gehirne benötigen. Und so eine Art von Zuordnung nennt man eine proportionale Zuordnung. In 2 Tagen fressen die Zombies also 4 Gehirne und in 4 Tagen 8 Gehirne. Bei einer Verdopplung des einen Werts verdoppelt sich auch der andere Wert. Das Vierfache eines x-Wertes wird dem vierfachen des zugehörigen y-Wertes zugeordnet. So wird auch der Hälfte eines x-Wertes, die Hälfte des y-Wertes zugeordnet. Eine Zuordnung heißt proportional, wenn dem n-fachen Wert von x der n-fache Wert von y zugeordnet wird. Betrachten wir die Werte in der Tabelle nun genauer, so können wir erkennen, dass es bei proportionalen Zuordnungen eine weitere Besonderheit gibt. Der Quotient y geteilt durch x ist für alle Wertepaare gleich groß und heißt Proportionalitätsfaktor k. Die Wertepaare heißen dann quotientengleich. Teilen wir hier die y-Werte durch die x-Werte, so erhalten wir jedes mal zwei. k ist also zwei. Stellen wir diese Gleichung um, so erhalten wir y ist gleich k mal x und können so alle Werte der Zuordnung berechnen. In unserem Fall haben wir also y ist gleich zwei mal x. Setzen wir für x 6 ein, so können wir also die benötigte Gehirnanzahl für 6 Tage herausfinden. Das sind 12. Wir können uns die Wertepaare nun zur Hilfe nehmen, um den Graphen der Zuordnung in ein Koordinatensystem einzuzeichnen. Auf der x-Achse sind die Tage und auf der y-Achse die Anzahl der benötigten Gehirne. Tragen wir die verschiedenen Wertepaare nun ein so sehen wir was für eine Form der Graph der Zuordnung hat. Bei proportionalen Zuordnungen liegen alle Punkte des zugehörigen Graphen auf einer Geraden und diese Geraden verlaufen immer durch den Ursprung. Während die Zombies noch weiter auf der Suche nach Gehirnen sind, fassen wir zusammen. Eine Zuordnung heißt proportional, wenn dem n-fachen Wert von x der n-fache Wert von y zugeordnet wird. Wenn sich der x-Wert verdoppelt, so verdoppelt sich auch der y-Wert und umgekehrt. Fehlende Werte kann man mit dem Dreisatz berechnen. Der Quotient y geteilt durch x ist für alle Wertepaare gleich groß. Diesen Quotienten nennen wir den Proportionalitätsfaktor k. Stellen wir diese Gleichung nach y um, so können wir alle weiteren Werte berechnen. Tragen wir die Punkte der Zuordnung in ein Koordinatensystem ein, so sehen wir, dass sich der Graph in der Form einer Geraden durch den Ursprung ergibt. Und das Essen ist anscheinend zubereitet. Huh, ein Kopf-salat?! Der war als Mensch wohl Vegetarier.

4 Kommentare
  1. Liebes Team Digital,
    eure Videos mag ich am meisten!
    WEITER SO !!! :) ^^

    Von Rainergerlach, vor 4 Tagen
  2. Sehr schön gestaltetes Video

    Von Slein0104, vor 9 Tagen
  3. Hallo Amsdwyer, danke für Dein positives Feedback! Das freut uns sehr. Liebe Grüße aus der Redaktion!

    Von Albrecht Kröner, vor etwa einem Monat
  4. Sehr gutes Video hat mir sehr geholfen
    Danke

    Von Amsdwyer, vor etwa einem Monat

Proportionale Zuordnungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Proportionale Zuordnungen kannst du es wiederholen und üben.

  • Vervollständige die Tabelle der proportionalen Zuordnung.

    Tipps

    Eine Zuordnung heißt proportional, wenn dem $n$-fachen Wert von $x$ der $n$-fache Wert von $y$ zugeordnet wird. Das heißt:

    • Bei einer Verdopplung des einen Werts verdoppelt sich auch der andere Wert.
    • Bei einer Halbierung des einen Werts halbiert sich auch der andere Wert.

    Hier siehst du eine Tabelle zu einer proportionalen Zuordnung.

    Lösung

    Eine Zuordnung heißt proportional, wenn dem $n$-fachen Wert einer Größe der $n$-fache Wert der anderen Größe zugeordnet wird. Das heißt:

    • Bei einer Verdopplung des einen Werts verdoppelt sich auch der andere Wert.
    • Bei einer Halbierung des einen Werts halbiert sich auch der andere Wert.
    Wir berechnen in unserem Beispiel zunächst die Anzahl der Gehirne für einen Tag und rechnen dann ausgehend von diesem Wertepaar die übrigen Paare:

    • $3$ Tage $\quad\Longleftrightarrow\quad$ $6$ Gehirne
    Wir teilen beide Seiten durch $3$:

    • $3$ Tage $:\color{#669900}{3}=1$ Tag $\quad\Longleftrightarrow\quad$ $6$ Gehirne $:\color{#669900}{3}=2$ Gehirne
    Nun können wir mit der Zuordnung $1$ Tag $\hat{=}$ $2$ Gehirne die übrigen Werte berechnen:

    $\begin{array}{l|l} \text{Tage} & \text{Gehirne} \\ \hline 1 & 2 \\ 1\cdot \color{#669900}{2}=2 & 2\cdot \color{#669900}{2}=4 \\ 1\cdot \color{#669900}{4}=4 & 2\cdot \color{#669900}{4}=8 \\ 1\cdot \color{#669900}{5}=5 & 2\cdot \color{#669900}{5}=10 \end{array}$

  • Erstelle den Graphen der proportionalen Zuordnung.

    Tipps

    Der Graph einer proportionalen Zuordnung verläuft immer durch den Koordinatenursprung.

    Du kannst mit dem Proportionalitätsfaktor $k=\frac yx$ eine Gleichung der Form $y=kx$ aufstellen und für verschiedene $x$-Werte die zugehörigen $y$-Werte bestimmen.

    Lösung

    Wir können mit dem Proportionalitätsfaktor $k=\frac yx$ eine Gleichung der Form $y=kx$ aufstellen und für verschiedene $x$-Werte die zugehörigen $y$-Werte bestimmen. Dann können wir unsere Wertepaare mit den Punkten der gegebenen Geraden vergleichen.

    Allerdings genügt es für das Zeichnen einer Geraden schon, nur zwei Punkte zu kennen. Ein Punkt ist mit $x=3$ und $y=6$ bereits gegeben. Aber wir kennen noch einen weiteren Punkt, nämlich den Koordinatenursprung, denn der Graph jeder proportionalen Funktion verläuft durch den Punkt $(0\vert 0)$.

    Damit sind die Geraden 1, 4 und 5 korrekt. Sie unterscheiden sich nur in der Skalierung ihrer Achsen.

  • Bestimme den Proportionalitätsfaktor $k$.

    Tipps

    Die Gleichung einer proportionalen Zuordnung ist allgemein wie folgt definiert:

    • $y=kx$

    Bei einer proportionalen Zuordnung gilt:

    Wenn sich die eine Größe verkleinert, verkleinert sich auch die andere Größe. Die Veränderung läuft gleichmäßig ab. Es gilt also:

    • Halbieren wir die eine Größe, halbiert sich auch die andere Größe.
    Lösung

    Eine Zuordnung heißt proportional, wenn dem $n$-fachen Wert von $x$ der $n$-fache Wert von $y$ zugeordnet wird. Daher gilt bei einer proportionalen Zuordnung:

    • Je mehr, desto mehr.
    • Je weniger, desto weniger.
    Das heißt also:

    • Bei einer Verdopplung des $x$-Werts verdoppelt sich der $y$-Wert.
    • Bei einer Halbierung des $x$-Werts halbiert sich der $y$-Wert.
    Eine daraus folgende besondere Eigenschaft ist die Quotientengleichheit von $\frac yx$. Das heißt, dass der Quotient $y$ geteilt durch $x$ für alle Wertepaare gleich groß ist. Man bezeichnet diesen Quotienten als Proportionalitätsfaktor $k$. Die Wertepaare heißen dann quotientengleich.

    Nun betrachten wir das Beispiel:

    Da die Zombies als Nahrung $6$ Gehirne ($y$) für $3$ Tage ($x$) benötigen und es sich hierbei um eine proportionale Zuordnung handelt, beträgt der Proportionalitätsfaktor:

    • $k=\frac yx=\frac 63=2$
    Die Gleichung einer proportionalen Zuordnung ist allgemein wie folgt definiert: $~y=kx$

    Damit kann man folgende Gleichung für die Berechnung der Anzahl der Gehirne ($y$) in Abhängigkeit von den Tagen ($x$) aufstellen:

    • $y=2x$
  • Ermittle den gesuchten $x$-Wert.

    Tipps

    Folgende Wertetabelle gibt einige Wertepaare zu Maries Taschen-Geschäft an.

    $ \begin{array}{c|c} \text{Anzahl verkaufter} & \text{Einkommen} \\ \text{Taschen} & \\ \hline 0 & 0,00\ € \\ 1 & 15,50\ € \\ 2 & 31\ € \end{array} $

    Der Proportionalitätsfaktor einer proportionalen Zuordnung ist wie folgt definiert:

    • $k=yx$
    Die Gleichung einer proportionalen Zuordnung lautet: $~y=kx$

    Lösung

    Aus der Aufgabenstellung kennen wir das Wertepaar $(1\vert 15,5)$. Mit diesem können wir den Proportionalitätsfaktor $k$ der proportionalen Zuordnung wie folgt berechnen:

    • $k=\frac{y}{x}=\frac{15,5}{1}=15,5$
    Das Einkommen $y$ in Abhängigkeit von der Anzahl verkaufter Taschen $x$ kann mit folgender Gleichung berechnet werden:

    • $y=15,5\cdot x$
    Diese Gleichung kann mittels Äquivalenzumformung nach der Anzahl verkaufter Taschen $x$ umgestellt werden. Es folgt:

    • $x=\frac{y}{15,5}$
    Für ein Einkommen von $124\ €$ liefert die Gleichung dann folgenden $x$-Wert:

    • $x=\frac{124}{15,5}=8$
    Demnach muss Marie mindestens $8$ Taschen verkaufen, um sich die Jacke leisten zu können.

  • Bestimme die Strecken ausgehend von einer proportionalen Zuordnung.

    Tipps

    Du kannst die Wertepaare in einer Tabelle berechnen:

    $\begin{array}{c|c} \text{Stunden} & \text{Strecke in km} \\ \hline 4 & 160 \end{array}$

    Du musst nun links und rechts jeweils mit demselben Faktor multiplizieren, um die gewünschten Stunden und die zugehörigen Strecken zu erhalten.

    Du kannst auch eine Gleichung der Form $y=kx$ aufstellen. Dabei steht $x$ für die Stunden, $y$ für die Strecke und $k$ ist der Proportionalitätsfaktor $\frac yx$.

    Lösung

    Im Folgenden betrachten wir eine proportionale Zuordnung. Dabei gehen wir von folgendem Wertepaar aus:

    • $4$ Stunden $\rightarrow$ $160$ Kilometer
    Für die Berechnung der weiteren Strecken ist es sinnvoll, zunächst die Strecke für eine Stunde zu bestimmen. Dazu teilen wir beide Zahlen durch $4$. Es folgt dann:

    • $1$ Stunde $\rightarrow$ $40$ Kilometer
    Nun kannst du dieses Wertepaar mit $2$ multiplizieren und erhältst so die Strecke für zwei Stunden. Genauso gehst du auch bei den anderen Zeiten vor. So erhältst du folgende Strecken:

    $\begin{array}{cc|c} & \text{Zeit in Stunden} & \text{Strecke in Kilometern} \\ \hline & 2 & 80 \\ & 3 & 120 \\ & 6 & 240 \\ & 8 & 320 \end{array}$

    Du kannst aber auch die Gleichung $y=kx$ aufstellen, dabei ist $k=\frac yx$ der Proportionalitätsfaktor. Es folgt:

    • $y=\frac {160}{4}x=40x$
    Nun kannst du die $x$-Werte $2$, $3$, $6$ und $8$ einsetzen und die zugehörigen $y$-Werte berechnen.

  • Prüfe, ob es sich um eine proportionale Zuordnung handelt.

    Tipps

    Ist eine Zuordnung proportional, so liegt Quotientengleichheit vor.

    Du kannst Zuordnungen auf Quotientengleichheit prüfen, indem du wie folgt die Quotienten der Wertepaare bildest:

    $ \begin{array}{ccc|c} x && y & \frac yx \\ \hline 0,1 & \rightarrow & 4 & \frac 4{0,1}=40 \\ 0,3 & \rightarrow & 12 & \frac {12}{0,3}=40\\ 0,2 & \rightarrow & 8 & \frac 8{0,2}=40 \end{array} $

    Hierbei handelt es sich um eine proportionale Zuordnung, da Quotientengleichheit vorliegt.

    Lösung

    Ist eine Zuordnung proportional, so liegt Quotientengleichheit vor. Wir können Zuordnungen auf Quotientengleichheit prüfen, indem wir die Quotienten der Wertepaare bilden. So erhalten wir folgende Lösungen:

    Beispiel 1

    $ \begin{array}{lll|l} x && y & \frac yx \\ \hline 4 & \rightarrow & 9 & \frac 9{4}=2,25 \\ 3 & \rightarrow & 8 & \frac 8{3}=2,\overline{6} \\ 2 & \rightarrow & 7 & \frac 7{2}=3,5 \end{array} $

    Da hier keine Quotientengleichheit vorliegt, handelt es sich hierbei um keine proportionale Zuordnung.

    Beispiel 2

    $ \begin{array}{lll|l} x && y & \frac yx \\ \hline 3 & \rightarrow & 3 & \frac 3{3}=1 \\ 2 & \rightarrow & 2 & \frac {2}{2}=1\\ 1 & \rightarrow & 1 & \frac 3{3}=1 \end{array} $

    Da hier Quotientengleichheit vorliegt, handelt es sich um eine proportionale Zuordnung.

    Beispiel 3

    $ \begin{array}{lll|l} x && y & \frac yx \\ \hline 6 & \rightarrow & 3 & \frac 3{6}=\frac 12 \\ 4 & \rightarrow & 2 & \frac 24=\frac 12 \\ 2 & \rightarrow & 1 & \frac 12 \end{array} $

    Da wieder Quotientengleichheit vorliegt, ist auch dies eine proportionale Zuordnung.

    Beispiel 4

    $ \begin{array}{lll|l} x && y & \frac yx \\ \hline 1 & \rightarrow & 3 & \frac 31=3 \\ 2 & \rightarrow & 2 & \frac 22=1 \\ 3 & \rightarrow & 1 & \frac 13=\frac 13 \end{array} $

    Da hier keine Quotientengleichheit vorliegt, handelt es sich hierbei um keine proportionale Zuordnung.

    Beispiel 5

    $ \begin{array}{lll|l} x && y & \frac yx \\ \hline 9 & \rightarrow & 3 & \frac 3{9}=\frac 13 \\ 6 & \rightarrow & 2 & \frac 26=\frac 13 \\ 3 & \rightarrow & 1 & \frac 13 \end{array} $

    Hier liegt noch einmal Quotientengleichheit vor, und damit auch eine proportionale Zuordnung.