Graphen proportionaler Zuordnungen 06:39 min
Transkript Graphen proportionaler Zuordnungen
Detektiv Egon Spongler ist auf übersinnliche Vorkommnisse spezialisiert. Er ist auf dem Weg zu Großmutter Förster. Die ist davon überzeugt, dass es in ihrem Haus spukt. Ein kalter Windhauch lässt ihn frösteln, als er an ihre Tür klopft. Großmutter Förster begrüßt Egon mit Keksen. Egon isst einen Keks und hinter Frau Förster beginnen Gegenstände zu schweben. Kurz darauf stürzen sie wieder zu Boden. Offenbar gilt: Je mehr Kekse er isst, desto länger schweben die Gegenstände. Mit Hilfe der Graphen proportionaler Zuordnungen kann Egon diese übersinnlichen Vorkommnisse ergründen. Großmutter Förster zeigt Egon einen Graphen, in dem die Anzahl an gegessenen Keksen den Minuten zugeordnet werden, in denen die Gegenstände schweben. Wenn der Graph eine proportionale Zuordnung zeigt, kann Detektiv Spongler das Verhalten des Geists mithilfe der Funktionsgleichung vorhersagen. Aber wie können wir erkennen, ob es eine proportionale Zuordnung ist? Bei proportionalen Zuordnungen ist der Graph eine Gerade, die durch den Ursprung geht. Wir sehen, dass dieser Graph eine Gerade ist, die aber nicht durch den Ursprung geht. Denn bei x gleich 0 ist y gleich 3. Eine Gerade, die nicht durch den Ursprung geht, stellt keine proportionale Zuordnung dar. Egon ist argwöhnisch normalerweise ist das Verhalten von Geistern immer proportional. Er schaut sich seine Aufzeichnungen über Poltergeister an. Wenn Egon sich seine Aufzeichnungen eine Minute lang anschaut, flackert das Licht zwei Minuten lang. Er schaut sich seine Aufzeichnungen zwei Minuten lang an und das Licht flackert vier Minuten lang. Drei Minuten Lesen sechs Minuten Flackern. Hey, besteht hier eine übersinnliche Proportionalität? Egon zeichnet die Zuordnung von den Leseminuten zu den Minuten, die das Licht flackert. Der Graph ist eine Gerade: Die Zeit, die das Licht flackert, erhöht sich gleichmäßig, wenn Egon länger in den Aufzeichnungen liest. Wir sehen auch, dass der Graph durch den Ursprung geht, also durch den Punkt (0|0). Wenn keine Aufzeichnungen gelesen werden, gibt es auch kein Lichtflackern. Dieser Graph stellt also eine proportionale Zuordnung dar. Aus dem Graphen können wir nun eine Gleichung ablesen, mit der Egon das übersinnliche Verhalten vorhersagen kann. Die Steigung m einer solchen Geraden ist auch gleichzeitig der Proportionalitätsfaktor k. Für jeden Punkt (x|y) der Geraden kann man das Verhältnis von y zu x bestimmen. Bei proportionalen Zuordnungen ist dieses Verhältnis immer gleich. Es ist der Proportionalitätsfaktor k, der gleichzeitig die Steigung m des Graphen ist. Zum Beispiel können wir den Punkt (3|6) als 6 durch 3 schreiben. Gekürzt erhalten wir die Steigung, oder auch den Proportionalitätsfaktor, von 2. Allgemein können wir den Punkt bei x ist gleich 1 als das Verhältnis von y durch 1 ausdrücken. Und das ist gleich y. Die y-Koordinate bei x gleich 1 zeigt uns also die Steigung m, oder auch den Proportionalitätsfaktor k an. In diesem Fall hat der Punkt bei x gleich 1 die Koordinaten (1|2). Wir erhalten also die Steigung 2 durch 1, also 2. Wenn wir nun unsere ursprüngliche Gleichung etwas umformen erhalten wir für unsere proportionale Zuordnung y = mx. Jetzt setzen wir unsere Steigung ein und erhalten so die proportionale Zuordnung zwischen den Leseminuten und den Minuten, die das Licht flackert: y = 2x. Wenn Egon also 10 Minuten in seinen Aufzeichnungen liest flackert das Licht für 20 Minuten. Großmutter Förster geht mit Detektiv Spongler in die Bibliothek, um ihm einige ihrer Notizen zu zeigen. Die Bibliothek ist ziemlich staubig. Als Frau Förster ihre Notizen abstaubt, fallen plötzlich Bücher aus dem Regal. Rasch zückt Spongler seine Stoppuhr. Wenn Frau Förster ihre Notizen eine Sekunde lang abstaubt, fallen ein Drittel Sekunden lang Bücher aus dem Regal. Wenn sie ihre Notizen 2 Sekunden lang abstaubt, hüpfen die Bücher zwei Drittel Sekunden lang aus dem Regal. Wenn sie die Notizen 6 Sekunden lang abstaubt, fallen 2 Sekunden lang Bücher aus dem Regal. Was für eine Unordnung! Egon will zügig die Abstaubzeit und die Zeit, in der die Bücher fallen, in einem Graphen darstellen. Zeigt dieser Graph eine proportionale Zuordnung? Es handelt sich um eine Gerade, die durch den Ursprung geht. Der Graph zeigt also wirklich eine proportionale Zuordnung. Um aus dem Graph die Gleichung abzulesen, finden wir also zunächst die Steigung m, oder auch den Proportionalitätsfaktor k, indem wir den Punkt bei x gleich 1 feststellen. In diesem Fall ist der Punkt (eins|ein Drittel). m beträgt also ein Drittel. Damit lautet die Gleichung dieses Graphen y ist gleich ein Drittel x. Mit dieser Gleichung kann Egon Folgendes vorhersagen: Wenn Großmutter Förster ihre Notizen 15 Sekunden lang abstaubt, fallen für ähm 5 Sekunden Bücher aus dem Regal. Spongler ist noch immer argwöhnisch, aber wenn für das Chaos in Frau Försters Haus keine Geister verantwortlich sind, was dann? Fassen wir noch mal zusammen. Ein Graph zeigt eine proportionale Zuordnung, wenn er eine Gerade ist, die durch den Ursprung geht. Die y-Koordinate für x gleich 1 ist die Steigung m, die auch gleichzeitig der Proportionalitätsfaktor k ist. Und die Gleichung des Graphen hat die Form y = mx. Egon untersucht das Bücherregal und entdeckt eines seiner Lieblingsbücher. Was ist das!? Großmutter Förster schelmische Zwillingsschwester kontrolliert mit Hebeln und Flaschenzügen Gegenstände im Haus. Was für ein ausgefuchster Schabernack. Moment mal! Da sind gar keine Lichtschalter auf dem Steuerpult. Aber wer hat dann das Licht flackern lassen?
Videobeschreibung
Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Graphen proportionaler Funktionen zu erkennen und deren Gleichungen aufzustellen.
Zunächst lernst du, wie du erkennen kannst, ob ein Graph zu einer proportionalen Zuordnung gehört. Anschließend lernst du, wie du mithilfe des Funktionsgraphens die zugehörige Gleichung aufstellen kannst. Abschließend lernst du, wie du weitere Werte durch Einsetzen weitere Werte berechnen kannst.
Lerne etwas über Graphen proportionaler Zuordnungen, während du Großmutter Förster und Egon Spongler bei ihrer Geisterjagd begleitest.
Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Zuordnungen, proportionale Zuordnungen, Proportionalitätsfaktor, Steigung, Graph und Gleichung.
Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie eine Funktionsgleichung aufgebaut ist.
Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, Eigenschaften antiproportionaler Funktionsgleichungen zu lernen. ...
Die Tutoren:
Graphen proportionaler Zuordnungen
Graphen proportionaler Zuordnungen Übung
Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Graphen proportionaler Zuordnungen kannst du es wiederholen und üben.
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Bestimme die korrekten Aussagen zu Graphen proportionaler Zuordnungen.
Tipps
Der Graph einer proportionalen Zuordnung verläuft immer durch den Punkt $(0\vert0)$.
In einer proportionalen Zuordnung ist das Verhältnis jedes Wertepaares dieser Zuordnung gleich. Dieses Verhältnis ist der Proportionalitätsfaktor.
Lösung
Diese Aussagen sind falsch:
„Die Steigung $m$ der Geraden einer proportionalen Zuordnung kannst du am $y$-Wert von $x=0$ ablesen.“
- Der Graph einer proportionalen Zuordnung verläuft immer durch den Punkt $(0\vert0)$, also ist der $y$-Wert bei $x=0$ immer null. Die Steigung kannst du am $y$-Wert bei $x=1$ ablesen.
- Der Graph einer proportionalen Zuordnung verläuft immer durch den Ursprung.
„Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist eine Gerade.“
„Die Steigung $m$ des Graphen einer proportionalen Zuordnung ist gleichzeitig der Proportionalitätsfaktor $k$.“
„Den Proportionalitätsfaktor $k$ kannst du, bis auf die Ausnahme des Ursprungs $(0|0)$, aus jedem beliebigen Punkt der Geraden einer proportionalen Zuordnung bestimmen.“
- In einer proportionalen Zuordnung ist das Verhältnis jedes Wertepaares dieser Zuordnung gleich. Dieses Verhältnis ist der Proportionalitätsfaktor.
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Berechne den Proportionalitätsfaktor der proportionalen Zuordnung.
Tipps
Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist immer eine Ursprungsgerade.
Die Gleichung einer proportionalen Zuordnung lautet allgemein: $y=m \cdot x$.
Lösung
Den Lückentext kannst du so vervollständigen:
„Zunächst prüft er, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt. Dazu betrachtet er den Graphen der Zuordnung. Es handelt sich um eine Gerade, die durch den Ursprung verläuft. Damit sind die Voraussetzungen für eine proportionale Zuordnung erfüllt.“
- Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist immer eine Ursprungsgerade.
Dabei kann er sich zwischen allen Punkten auf der Geraden außer dem Punkt $(0 \vert 0)$ entscheiden. Das liegt daran, dass man in der Mathematik nicht durch null teilen darf.“
- Grundsätzlich darfst du nie durch null teilen.
$k=\frac{y}{x}= \frac{6}{3}=2$.“
- Den Proportionalitätsfaktor kannst du aus jedem beliebigen Wertepaar (außer dem Punkt $(0 \vert 0)$) bestimmen. Er ist nämlich für jedes Wertepaar gleich.
$k= \frac{y}{x}= \frac{2}{1}=2$.
Damit kann er die Gleichung dieser proportionalen Zuordnung angeben als:
$y=2x$.“
- Die Gleichung einer proportionalen Zuordnung lautet allgemein: $y=m \cdot x$. Hier ist die Steigung $m$ gleich dem Proportionalitätsfaktor $k$.
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Ermittle den Proportionalitätsfaktor.
Tipps
Du kannst den Proportionalitätsfaktor am $y$-Wert bei $x=1$ ablesen.
Ist der $y$-Wert bei $x=1$ nicht besonders einfach ablesbar, so kannst du dir ein anderes, beliebiges Wertepaar $(x\vert y)$ außer $(0\vert 0)$ aussuchen und den Proportionalitätsfaktor $k$ wie folgt berechnen:
- $k=\frac yx$.
Lösung
Du kannst den Proportionalitätsfaktor am $y$-Wert bei $x=1$ ablesen und entsprechend zuordnen. Hier entspricht dieser Faktor der Steigung der Geraden. Ist der $y$-Wert bei $x=1$ nicht besonders einfach ablesbar, so kannst du dir ein anderes, beliebiges Wertepaar $(x\vert y)$ außer $(0\vert 0)$ aussuchen und den Proportionalitätsfaktor $k$ wie folgt berechnen:
- $k=\frac yx$.
- Die Gerade verläuft durch den Punkt $(1 \vert 3)$. Der $y$-Wert bei $x=1$ ist also $y=3$. Damit hat diese Gerade den Proportionalitätsfaktor $k=3$.
- Für die zweite Gerade von links kannst du das Wertepaar $(4\vert 2)$ betrachten und erhältst so: $k=\frac 24=\frac{1}{2}$.
- Die zweite Gerade von rechts verläuft durch den Punkt $(1\vert -2)$, sodass der Proportionalitätsfaktor $k=-2$ folgt.
- Und die letzte Gerade hat einen Proportionalitätsfaktor von $k=2$.
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Leite die Funktionsgleichung der proportionalen Zuordnungen ab.
Tipps
Der Proportionalitätsfaktor $k$ ist gleichzeitig die Steigung $m$ der Geraden.
Den Proportionalitätsfaktor $k$ einer proportionalen Zuordnung kannst du mit einem beliebigen Wertepaar $(x\vert y)$ außer $(0\vert 0)$ wie folgt bestimmen:
- $k=\frac yx$.
Lösung
Wenn wir die Geradengleichung $y=mx$ einer proportionalen Zuordnung aufstellen möchten, so müssen wir den Proportionalitätsfaktor $k$ bestimmen, da $m=k$ gilt. Du kannst den Proportionalitätsfaktor am $y$-Wert bei $x=1$ ablesen. Bei der ersten Geraden gilt:
- Sie verläuft durch den Punkt $(1 \vert 1)$. Der $y$-Wert bei $x=1$ ist also $y=1$. Damit hat diese Gerade den Proportionalitätsfaktor $k=1$. Dieser Faktor ist gleichzeitig die Steigung der Geraden, also lautet die Geradengleichung $y=x$.
- Die zweite Gerade beschreibt keine proportionale Zuordnung, da sie nicht durch den Ursprung verläuft.
- Die dritte Gerade verläuft durch den Ursprung und den Punkt $(1 \vert \frac{3}{2})$. Die Geradengleichung lautet also $y=\frac{3}{2}x$
- Die vierte Gerade beschreibt keine proportionale Zuordnung.
- Die Gleichung der letzten Geraden lautet $y=\frac{1}{2}x$ und beschreibt eine proportionale Zuordnung.
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Gib an, ob es sich um eine proportionale Zuordnung handelt.
Tipps
Alle Graphen von Geraden, die durch den Ursprung verlaufen, beschreiben einen proportionalen Zusammenhang. Eine solche Gerade nennt man auch Ursprungsgerade.
Der Proportionalitätsfaktor eines proportionalen Zusammenhangs kann auch negativ sein.
Lösung
Der Graph einer proportionalen Zuordnung
- ist eine Gerade und
- verläuft durch den Ursprung.
Wenn du bei allen Graphen diese Bedingungen überprüfst, kannst du entscheiden, ob es sich um eine proportionale Zuordnung handelt. Die Steigung der Geraden kann dabei auch negativ sein.
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Ermittle die Werte der proportionalen Zuordnung.
Tipps
Wenn das Flugzeug mit einer konstanten Geschwindigkeit fliegt, kannst du einen proportionalen Zusammenhang annehmen.
Du kannst die Wertetabelle vervollständigen, indem du die Gleichung dieses Zusammenhangs bestimmst.
Lösung
Wenn das Flugzeug mit einer konstanten Geschwindigkeit fliegt, können wir einen proportionalen Zusammenhang annehmen. Indem wir die Gleichung dieses Zusammenhangs bestimmen, können wir die Wertetabelle vervollständigen. Dazu bestimmen wir zunächst den Proportionalitätsfaktor $k$. Zur Übersichtlichkeit lassen wir alle Einheiten weg:
$k=\frac{y}{x}= \frac{6000}{9}=666,\overline{6}$.
Damit lautet die Geradengleichung:
$y=666,\overline{6} \cdot x$.
Hier bezeichnet $x$ die zurückgelegte Zeit in Stunden. Durch Einsetzen können wir also die Werte der Tabelle bestimmen. Für $x=1$ erhalten wir:
$y=666,\overline{6} \cdot 1 \approx 667$.
Für $y=2000$ erhalten wir nach Umstellen der Gleichung:
$x=\frac{2000}{666,\overline{6}}= 3$.
Die vollständige Tabelle lautet also:
$\begin{array}{cc} \text{Zeit in Stunden} &\text{Strecke in Kilometer}\\ 1 & 667\\ 3 & 2000\\ 4 & 2667\\ 5 & 3333\\ 9 & 6000\\ \end{array}$
16 Kommentare
Hallo Nelly M., wenn du mit der Maus über die Bilder fährst, sollten sie eigentlich größer werden. Liebe Grüße aus der Redaktion.
Ich weiss nicht ob das an meinem Computer liegt aber bei der Aufgabe 3 waren die oberen Schilder unleserlich. :(
gut gestaltet und erklärt
die Zwillingsschwester sah lustig aus :)
Man versteht es einfach direkt, super macht ihr das.
Ich mag das lern Program
Hallo Sanuri, vielen Dank für Dein positives Feedback! Team Digital freut sich sehr! Liebe Grüße aus der Matheredaktion.