Proportionale Zuordnungen mit negativer Steigung

Proportionale Zuordnungen mit negativer Steigung Übung

• Bestimme alle Punkte, die zu der proportionalen Zuordnung mit negativer Steigung gehören.

  Tipps

  Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist eine Ursprungsgerade.

  Bei einer proportionalen Zuordnung ist die Änderungsrate konstant.

  Dieser Graph gehört nicht zu einer proportionalen Zuordnung, da der $y$-Wert zu $x=0$ von $0$ verschieden ist.

  Lösung

  In dieser Aufgabe geht es um proportionale Zuordnungen mit negativer Steigung. Die Graphen solcher Zuordnungen zeichnen sich durch drei wesentliche Merkmale aus:

  • Ihre Steigung ist überall negativ, d. h., der Graph fällt von links nach rechts ab.
  • Die Steigung ist konstant, d. h., die Graphen sind Geraden.
  • Der Graph verläuft durch den Ursprung, also durch den Punkt $(0|0)$.

  Ist eines dieser Merkmale nicht erfüllt, so handelt es sich nicht um eine proportionale Zuordnung mit negativer Steigung.

  Demnach gehören die folgenden Punkte zu der proportionalen Zuordnung mit negativer Steigung:

  $(0|0)$ $(1|-2)$ $(2|-4)$ $(3|-6)$ $(4|-8)$ $(5|-10)$

• Vervollständige die Sätze.

  Tipps

  Bei einer proportionalen Zuordnung ist die Zuwachsrate der $y$-Werte konstant.

  Zu $y=0$ gehört bei einer proportionalen Zuordnung stets $x=0$.

  Nicht jede Gerade ist der Graph einer proportionalen Zuordnung.

  Lösung

  Folgende Sätze sind korrekt:

  • „Die Steigung einer proportionalen Zuordnung ... ist konstant.“ Denn die Proportionalitätskonstante entspricht der Steigung des Graphen.

  • „Der Graph einer proportionalen Zuordnung ... verläuft durch den Punkt $(0|0)$.“ Denn bei einer proportionalen Zuordnung gehört zu dem Wert $x=0$ stets der Wert $y=0$. Der Graph muss also durch den Ursprung verlaufen.

  • „Bei einer proportionalen Zuordnung mit negativer Steigung ... nimmt der $y$-Wert mit zunehmendem $x$-Wert ab.“ Die negative Steigung bedeutet, dass der Graph von links nach rechts abfällt. Dies entspricht genau der Abnahme der $y$-Werte.

  • „Eine Zuordnung, bei der für einen Punkt $x=0$ $y=-2$ gilt, ... ist keine proportionale Zuordnung.“ Denn bei einer proportionalen Zuordnung gehört zu dem Wert $x=0$ stets der Wert $y=0$.

  • „Kein gekrümmter Graph ... ist der Graph einer proportionalen Zuordnung.“ Die Proportionalitätskonstante einer proportionalen Zuordnung ist die Steigung des Graphen. Ein Graph mit konstanter Steigung ist nicht gekrümmt, sondern eine Gerade.

• Erschließe die nicht erfüllten Eigenschaften.

  Tipps

  Der Graph einer proportionalen Zuordnung hat keine Knicke, sondern ist eine Gerade.

  Bei einer negativen Steigung fällt der Graph von links nach rechts ab.

  Bei einer proportionalen Zuordnung gehört zu dem $x$-Wert $0$ auch der $y$-Wert $0$.

  Lösung

  Proportionale Zuordnungen mit negativer Steigung zeichnen sich dadurch aus, dass die $y$-Werte zu steigenden $x$-Werten abfallen. Das bedeutet: Der Graph einer solchen Zuordnung hat eine überall negative Steigung. Bei einer proportionalen Zuordnung gehört zu dem $x$-Wert $0$ stets der $y$-Wert $0$. Ein solcher Graph verläuft durch den Ursprung des Koordinatensystems. Ferner ist die Proportionalitätskonstante dasselbe wie die Steigung des Graphen bzw. wie die Änderungsrate der Zuordnung. Eine konstante Änderungsrate bedeutet, dass der Graph der Zuordnung eine Gerade ist.

  In den Bildern oben siehst du Graphen, die nicht zu antiproportionalen Zuordnungen mit negativer Steigung gehören. Es sind also jeweils eines oder zwei der genannten Merkmale nicht erfüllt.

  • Hat der Funktionsgraph Knicke, so ist er keine Gerade. Das gilt auch dann, wenn einzelne Abschnitte des Funktionsgraphen Geraden sind.
  • Verläuft der Graph bei $x=0$ durch einen von $0$ verschiedenen $y$-Wert, so verläuft er nicht durch den Ursprung.
  • Steigt der Funktionsgraph auf einem gewissen Abschnitt von links nach rechts an oder bleibt konstant, so ist die Steigung nicht überall negativ.

  Im Bild hier siehst du einen Funktionsgraphen, bei dem zwei Merkmale nicht erfüllt sind: Der Funktionsgraph hat bei $x=3$ einen Knick, ist also keine Gerade. Ferner ist die Steigung ab $x=3$ nicht mehr negativ, sondern $0$. Die Steigung des gesamten Graphen ist also nicht überall negativ.

• Bestimme die Eigenschaften der Funktionsgraphen.

  Tipps

  Der Graph jeder proportionalen Zuordnung verläuft durch den Ursprung.

  Die Steigung $m$ ist genau dann konstant, wenn der Funktionsgraph eine Gerade ist.

  Lösung

  An den Graphen von Zuordnungen kannst du die Eigenschaften der Zuordnung ablesen. Zuordnungen mit konstanter Änderungsrate sind Geraden im Koordinatensystem. Die Änderungsrate entspricht in diesem Fall der Steigung $m$ der Geraden, die du z. B. mit einem Steigungsdreieck ablesen kannst. Ist $m>0$, so steigt der Graph von links nach rechts an, ist $m<0$, so fällt er ab.

  Verläuft eine Gerade nicht durch den Ursprung, so hat die Zuordnung zwar eine konstante Änderungsrate, ist aber trotzdem nicht proportional.

  Ist die Steigung des Funktionsgraphen nicht konstant, so ist der Graph keine Gerade, sondern hat Knicke oder Krümmungen.

• Gib an, ob der Graph derjenige einer proportionalen Zuordnung mit negativer Steigung sein kann.

  Tipps

  Ein Graph mit negativer Steigung fällt von links nach rechts ab.

  Eine proportionale Zuordnung hat eine konstante Änderungsrate.

  Der Graph im Bild gehört nicht zu einer proportionalen Zuordnung, obwohl er eine Gerade ist. Er verläuft nicht durch den Koordinatenursprung.

  Lösung

  Merkmale des Graphen einer proportionalen Zuordnung sind:

  • Der Graph ist eine Gerade, hat also keine Krümmungen und auch keine Knicke.
  • Der Graph verläuft durch den Koordinatenursprung.

  Bei einer proportionalen Zuordnung mit negativer Steigung kommt als zusätzliches Merkmal hinzu:

  • Die Steigung des Graphen ist überall negativ, d. h., der Graph fällt von links nach rechts stets ab.

  Im Bild siehst du einen Graphen, bei dem zwei dieser drei Merkmale nicht erfüllt sind:

  • Der Graph ist keine Gerade, denn er hat Knicke. Das bedeutet: Die Steigung ist nicht konstant.
  • Die Steigung ist nicht überall negativ, denn auf dem Intervall zwischen $x=0$ und $x=3$ ist die Steigung $0$.

  Folgendes Merkmal ist aber erfüllt:

  • Der Graph verläuft durch den Koordinatenursprung, also durch den Punkt $(0|0)$.

• Prüfe die Aussagen.

  Tipps

  Bei einer Zuordnung wird jedem $x$-Wert höchstens ein $y$-Wert zugeordnet.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Bei einer proportionalen Zuordnung mit negativer Steigung ist der Proportionalitätsfaktor negativ.“ Der Proportionalitätsfaktor stellt die Steigung der Geraden dar und diese ist negativ.

  • „Es gibt eine Ursprungsgerade im Koordinatensystem, die nicht der Graph einer proportionalen Zuordnung ist.“ Diese Gerade ist die $y$-Achse.

  • „Verläuft der Graph nicht durch den Ursprung, so ist die zugehörige Zuordnung nicht proportional.“ Der Graph einer proportionalen Zuordnung verläuft immer durch den Koordinatenursprung.

  • „Wird jeder Funktionswert einer proportionalen Zuordnung mit $2$ multipliziert, so erhält man wieder eine proportionale Zuordnung.“ Wenn man jeden $y$-Wert mit $2$ multipliziert, so erhält man wieder Punkte, die eine nun steiler fallende Ursprungsgerade bilden. Die zugehörige Zuordnung ist also wieder proportional.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Jede Zuordnung mit konstanter negativer Steigung ist eine proportionale Zuordnung mit negativer Steigung.“ Nicht jede Zuordnung mit konstanter negativer Steigung ist proportional. Es handelt sich erst dann um eine proportionale Zuordnung mit negativer Steigung, wenn die zugehörige Gerade eine Ursprungsgerade ist.

  • „Nimmt bei zunehmendem $x$-Wert der $y$-Wert ab, so ist die Zuordnung proportional mit negativer Steigung.“ Nicht jeder dieser Zuordnungen ist proportional. Sie muss eine konstante Änderungsrate besitzen und den Punkt $(0|0)$ enthalten.

  • „Wird zu jedem Funktionswert einer proportionalen Zuordnung $2$ addiert, so erhält man wieder eine proportionale Zuordnung.“ Erhöhst du den $y$-Wert des Punkts $(0|0)$ einer proportionalen Zuordnung um $2$, so erhältst du den Punkt $(0|2)$ und der Graph verläuft somit nicht mehr durch den Koordinatenursprung. Also erhältst du keine proportionale Zuordnung. Die Ursprungsgerade wird um zwei Einheiten entlang der $y$-Achse nach oben verschoben und ist damit keine Ursprungsgerade mehr.