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Proportionale Zuordnungen mit negativer Steigung

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Team Digital
Proportionale Zuordnungen mit negativer Steigung
lernst du in der Unterstufe 3. Klasse - 4. Klasse

Grundlagen zum Thema Proportionale Zuordnungen mit negativer Steigung

Inhalt

Einführung: Was sind proportionale Zuordnungen mit negativer Steigung?

In diesem Text werden proportionale Zuordnungen mit negativer Steigung einfach erklärt. Dabei beleuchten wir zunächst, was die Eigenschaften proportionaler Zuordnungen mit negativer Steigung sind. Anhand dieser Eigenschaften betrachten wir im Anschluss Beispiele und überprüfen, ob es sich bei diesen um proportionale Zuordnungen mit negativer Steigung handelt.

Was ist eine negative Steigung?

Schauen wir uns zunächst an, was wir unter einer negativen Steigung verstehen. Eine negative Steigung bedeutet, dass der Graph fällt: Wird der $x$-Wert größer, so wird der $y$-Wert kleiner. Woran erkennt man nun also eine negative Steigung bei einem Graphen? Betrachtet man diesen im Koordinatensystem, so fällt er von links oben nach rechts unten. Das muss auch beim Einzeichnen von Graphen mit negativer Steigung beachtet werden.

Eine genauere Erklärung über die Funktionsgleichung und die Berechnung der negativen Steigung findest du im Video über den Anstieg.

Auch zum Begriff proportionale Zuordnung findest du hier auf der Seite ein extra Video.

Graphen proportionaler Zuordnung mit negativer Steigung – Eigenschaften

Schauen wir uns nun an, was wir unter Graphen verstehen, die eine proportionale Zuordnung mit negativer Steigung darstellen. Diese Graphen erfüllen die folgenden drei Eigenschaften:

  • Sie haben eine negative Steigung.
  • Sie sind linear, also sind sie Geraden.
  • Sie gehen durch den Ursprungspunkt $(0 \vert 0)$.

Dass ein Graph linear ist, bedeutet, dass die Steigungs- oder Änderungsrate immer gleich bleibt. Die Graphen sind dann gerade Linien im Koordinatensystem. Man sagt auch, dass das Verhältnis zwischen $x$ und $y$ immer gleich ist. Daher spiegeln alle Punkte auf dem Graphen gleiche Verhältnisse der Koordinaten wieder. Die Formel zum Graphen lautet demnach:

$y=k \cdot x$

Der Buchstabe $k$ bezeichnet die Proportionalitätskonstante. Diese wird auch Steigungsrate genannt. Ist $x$ gleich $0$, so muss $y$ ebenfalls gleich $0$ sein, weshalb jede proportionale Zuordnung durch den Ursprungspunkt gehen muss.

Erfüllt ein Graph diese drei Eigenschaften, so handelt es sich dabei um den Graphen einer proportionalen Zuordnung mit negativer Steigung.

Graphen proportionaler Zuordnung mit negativer Steigung erkennen

Überprüfen wir bei den folgenden Graphen anhand der drei Bedingungen, ob es sich um eine proportionale Zuordnung mit negativer Steigung handelt.

Proportionale-Zuordnung-mit-negativer-Steigung

Betrachten wir zuerst den grünen Graphen. Der Graph erfüllt die ersten beiden Bedingungen: Er besitzt eine negative Steigung und verläuft linear. Die Gerade geht jedoch nicht durch den Ursprungspunkt, deshalb handelt es sich hierbei nicht um eine proportionale Zuordnung.

Schauen wir uns nun den blauen Graphen an. Der Graph erfüllt alle drei Bedingungen: Er besitzt eine negative Steigung, verläuft linear und durch den Ursprungspunkt. Es handelt sich hier demnach um den Graphen einer proportionalen Zuordnung mit negativer Steigung.

Wie sieht es mit dem roten Graphen aus? Auch dieser Graph geht durch den Ursprungspunkt und erfüllt damit die dritte Bedingung. Der Graph ist jedoch weder eine Gerade noch ist seine Steigung negativ. Bei diesem Graphen handelt es sich also nicht um den Graphen einer proportionalen Zuordnung mit negativer Steigung.

Zusammenfassung: proportionale Zuordnungen mit negativer Steigung in Mathe

Die folgenden Stichpunkte fassen noch einmal das Wichtigste zu proportionalen Zuordnungen mit negativer Steigung zusammen.

  • Es sind spezielle Formen der linearen Zuordnung.
  • Ihre Graphen besitzen eine negative Steigung.
  • Das Verhältnis zwischen den Werten $x$ und $y$ ist bei jedem Punkt des Graphen gleich. Die Graphen sind Geraden.
  • Der Graph einer proportionalen Zuordnung verläuft immer durch den Ursprungspunkt.

Zusätzlich zum Text und dem Video findest du hier auf der Seite noch Arbeitsblätter und Übungen zum Thema Proportionale Zuordnungen mit negativer Steigung.

Transkript Proportionale Zuordnungen mit negativer Steigung

Irgendwo in den verschneiten Weiten der Antarktis melden sich die drei Brüder Wheezy, Makkaroni und Pipsqueak in Professor Pinguins Tauchschule an. Ihr Ziel: Ihre Angst überwinden und tauchen wie die Profis. Um ihre Fähigkeiten zu beurteilen, wird Professor Pinguin ihre Technik vergleichen mithilfe von proportionalen Zuordnungen mit negativer Steigung in Graphen. In ihrer Gruppenstunde werden Wheezy, Makkaroni und Pipsqueak der Reihe nach in die eisigen Tiefen tauchen. Professor Pinguin wird dann ihre Technik analysieren, indem er die Graphen der proportionalen Zuordnungen vergleicht. Da diese Art von Graph, laut des Professors Meinung, die perfekte Pinguintauchform repräsentiert. Lass uns kurz wiederholen, was wir über diese Graphen wissen. Als allererstes ist die Steigung einer proportionalen Zuordnung mit negativer Steigung, nun ja, negativ. Das bedeuten, wenn der Wert für x zunimmt und nach rechts wandert, nimmt der Wert für y ab und wandert nach unten. Als nächstes sind alle proportionalen Zuordnungen linear. Linear heißt, dass die Steigung oder die Änderungsrate immer gleich bleibt. Deshalb sehen die Graphen wie gerade Striche aus. Als letztes spiegeln in einer proportionalen Zuordnung alle Punkte auf dem Graphen gleiche Verhältnisse wieder. Wenn man daher irgendeinen y-Wert auf dem Graphen finden möchte, kannst du die Proportionalitätskonstante k, auch bekannt als Steigerungsrate, nehmen und sie mit dem zugehörigen x-Wert multiplizieren. Da es sich um eine proportionale Zuordnung handelt, muss, wenn x gleich null ist, y auch gleich null sein. Da null mal null null ergibt. Deshalb muss eine proportionale Zuordnung durch den Ursprung, oder auch den Punkt null null, gehen. Schauen wir mal nach, wie es den Pinguinbrüdern bei ihrer Tauschstunde ergeht. Wheezy ist der älteste Bruder, also ist er zuerst dran. Er startet heimlich bereits zwei Meter unter der Wasseroberfläche. Das entspricht einer Tiefe von minus zwei Metern, wenn sein horizontaler Abstand gleich null ist. Professor Pinguin pfeift und Wheezy taucht los. Alles sieht gut aus, als er den Punkt ein, minus drei passiert. Einen Moment später ist er am Punkt zwei, minus vier. Diese Rate behält er bei. Taucht also jeweils einen Meter tiefer, wenn er einen Meter weit schwimmt. War Wheezys Tauchversuch eine proportionale Zuordnung mit negativer Steigung? Naja, Wheezys Gerade hat zwar eine negative Steigung, da je größer x, desto kleiner y wird. Und sein vorankommen ist definitiv linear, da er in einer geraden Linie taucht. Aber ist es auch proportional? Seine Gerade geht nicht durch den Ursprung, weil er beim Start gemogelt hat. Deshalb ist sein Tauchversuch nicht proportional, obwohl er sowohl linear als auch mit gleichbleibender Steigung ist. Er sollte lieber keine allzu guten Noten von Professor Pinguin erwarten. Schauen wir auf Makkaroni, den mittleren Bruder. Makkaroni wartet konzentriert am Beckenrand, bis Professor Pinguin pfeift. Im selben Moment taucht er los. Das ist ein super Start von Makkaroni, er passiert schon den Punkt eins, minus zwei. Auch nach Punkt zwei, minus vier sieht alles solide aus. Und er taucht genau so weiter. Jeweils zwei Meter tiefer nach jedem Meter, den er horizontal zurücklegt. Nachdem was du über proportionale Zuordnungen weißt: Wie wird Professor Pinguin Makkaronis Tauchversuch beurteilen? Die Steigung ist negativ, da Makkaroni beim Tauchen tiefer und tiefer sinkt. Und seine Steigerungsrate liegt bei konstanten minus zwei Metern bei jedem zurückgelegten Meter. Also ist sein Graph, genau wie bei Wheezy, eine Gerade. Aber da er bei null null losgetaucht ist, geht seine auch durch den Ursprung. Eine Gerade, die kontinuierlich nach unten und auch noch durch den Ursprung geht. Das macht seinen Versuch zu einer Bilderbuch proportionalen Beziehung mit negativer Steigung. Jetzt kommt der Jüngste, Pipsqueak, mit ein paar stylischen, aufblasbaren Schwimmflügeln. Pipsqueak versucht seine Nerven zu beruhigen, wartet auf den Pfiff des Professors und springt ins Wasser. Nach der ein Meter Marke ist er bei einer Tiefe von null Metern. Nachdem er zwei Meter geschwommen ist, taucht er in eine Tiefe von null Metern. Es scheint, als ob er dieser Rate bleibt. Aber halt. Nach der drei Meter Marke fängt er an zu sinken. Es scheint so, als hätten seine Schwimmflügel ein Loch und er sinkt wie ein Stein. Lass uns bei der Gelegenheit rausfinden, ob der Graph seines ungewöhnlichen Tauchversuchs einer proportionalen Zuordnung mit negativer Steigung entspricht. Nun ja, am Ende geht der Graph nach unten. Aber hat er eine negative Steigung am Anfang? Und sein Tauchversuch startet als eine Gerade, aber was passiert an der drei Meter Marke? Eines können wir sicher sagen: Der Graph geht durch den Ursprung. Aber reicht das, damit Pipsqueaks Versuch als eine proportionale Zuordnung gilt? Nein, denn sein Graph ist weder eine Gerade, noch besitzt er eine negative Steigung. Mehr Glück beim nächsten Mal Pipsqueak. Lass uns noch einmal zusammenfassen, was wir über die Graphen von proportionalen Zuordnungen mit negativer Steigung gelernt haben. Proportionale Zuordnungen sind spezielle Formen der linearen Zuordnungen. Da ihre Steigungen negativ sind, steigt der x-Wert und wandert nach rechts, während der y-Wert sinkt und nach unten wandert. Und da diese Verhältnisse linear sind, sind ihre Graphen Geraden. Und zuletzt, da es Graphen von proportionalen Zuordnungen sind, müssen sie durch den Ursprung gehen. Oh, Entschuldige mal. Ich vermute, die Tauchstunde ist noch nicht ganz vorbei. Wo schwimmst du hin, Pipsqueak? Ich vermute, er hat sich verschwommen. Will jemand gerne dazustoßen?

7 Kommentare

7 Kommentare
  1. Der arme

    Von Felix, vor 12 Monaten
  2. Makaroni sieht aus wie pommes

    Von Hubert, vor etwa einem Jahr
  3. Pinguine sind so cool 🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🙈🙈🐧🐧🐧🙈🙈🙈🙈🙈🙈🙈🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐦🐦🐦🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐦🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧🐧

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    Von Yiren Penguin, vor mehr als einem Jahr
  4. das Video war super, hilft wirklich gut. Ich habe es endlich verstanden :)

    Von Leilachantal2018, vor mehr als einem Jahr
  5. Das Video hat mir sehr gut gefallen und geholfen

    Von Severinas, vor fast 2 Jahren
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Proportionale Zuordnungen mit negativer Steigung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Proportionale Zuordnungen mit negativer Steigung kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme alle Punkte, die zu der proportionalen Zuordnung mit negativer Steigung gehören.

    Tipps

    Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist eine Ursprungsgerade.

    Bei einer proportionalen Zuordnung ist die Änderungsrate konstant.

    Dieser Graph gehört nicht zu einer proportionalen Zuordnung, da der $y$-Wert zu $x=0$ von $0$ verschieden ist.

    Lösung

    In dieser Aufgabe geht es um proportionale Zuordnungen mit negativer Steigung. Die Graphen solcher Zuordnungen zeichnen sich durch drei wesentliche Merkmale aus:

    • Ihre Steigung ist überall negativ, d. h., der Graph fällt von links nach rechts ab.
    • Die Steigung ist konstant, d. h., die Graphen sind Geraden.
    • Der Graph verläuft durch den Ursprung, also durch den Punkt $(0|0)$.
    Ist eines dieser Merkmale nicht erfüllt, so handelt es sich nicht um eine proportionale Zuordnung mit negativer Steigung.

    Demnach gehören die folgenden Punkte zu der proportionalen Zuordnung mit negativer Steigung:

    $(0|0)$ $(1|-2)$ $(2|-4)$ $(3|-6)$ $(4|-8)$ $(5|-10)$

  • Vervollständige die Sätze.

    Tipps

    Bei einer proportionalen Zuordnung ist die Zuwachsrate der $y$-Werte konstant.

    Zu $y=0$ gehört bei einer proportionalen Zuordnung stets $x=0$.

    Nicht jede Gerade ist der Graph einer proportionalen Zuordnung.

    Lösung

    Folgende Sätze sind korrekt:

    • „Die Steigung einer proportionalen Zuordnung ... ist konstant.“ Denn die Proportionalitätskonstante entspricht der Steigung des Graphen.
    • „Der Graph einer proportionalen Zuordnung ... verläuft durch den Punkt $(0|0)$.“ Denn bei einer proportionalen Zuordnung gehört zu dem Wert $x=0$ stets der Wert $y=0$. Der Graph muss also durch den Ursprung verlaufen.
    • „Bei einer proportionalen Zuordnung mit negativer Steigung ... nimmt der $y$-Wert mit zunehmendem $x$-Wert ab.“ Die negative Steigung bedeutet, dass der Graph von links nach rechts abfällt. Dies entspricht genau der Abnahme der $y$-Werte.
    • „Eine Zuordnung, bei der für einen Punkt $x=0$ $y=-2$ gilt, ... ist keine proportionale Zuordnung.“ Denn bei einer proportionalen Zuordnung gehört zu dem Wert $x=0$ stets der Wert $y=0$.
    • „Kein gekrümmter Graph ... ist der Graph einer proportionalen Zuordnung.“ Die Proportionalitätskonstante einer proportionalen Zuordnung ist die Steigung des Graphen. Ein Graph mit konstanter Steigung ist nicht gekrümmt, sondern eine Gerade.
  • Erschließe die nicht erfüllten Eigenschaften.

    Tipps

    Der Graph einer proportionalen Zuordnung hat keine Knicke, sondern ist eine Gerade.

    Bei einer negativen Steigung fällt der Graph von links nach rechts ab.

    Bei einer proportionalen Zuordnung gehört zu dem $x$-Wert $0$ auch der $y$-Wert $0$.

    Lösung

    Proportionale Zuordnungen mit negativer Steigung zeichnen sich dadurch aus, dass die $y$-Werte zu steigenden $x$-Werten abfallen. Das bedeutet: Der Graph einer solchen Zuordnung hat eine überall negative Steigung. Bei einer proportionalen Zuordnung gehört zu dem $x$-Wert $0$ stets der $y$-Wert $0$. Ein solcher Graph verläuft durch den Ursprung des Koordinatensystems. Ferner ist die Proportionalitätskonstante dasselbe wie die Steigung des Graphen bzw. wie die Änderungsrate der Zuordnung. Eine konstante Änderungsrate bedeutet, dass der Graph der Zuordnung eine Gerade ist.

    In den Bildern oben siehst du Graphen, die nicht zu antiproportionalen Zuordnungen mit negativer Steigung gehören. Es sind also jeweils eines oder zwei der genannten Merkmale nicht erfüllt.

    • Hat der Funktionsgraph Knicke, so ist er keine Gerade. Das gilt auch dann, wenn einzelne Abschnitte des Funktionsgraphen Geraden sind.
    • Verläuft der Graph bei $x=0$ durch einen von $0$ verschiedenen $y$-Wert, so verläuft er nicht durch den Ursprung.
    • Steigt der Funktionsgraph auf einem gewissen Abschnitt von links nach rechts an oder bleibt konstant, so ist die Steigung nicht überall negativ.
    Im Bild hier siehst du einen Funktionsgraphen, bei dem zwei Merkmale nicht erfüllt sind: Der Funktionsgraph hat bei $x=3$ einen Knick, ist also keine Gerade. Ferner ist die Steigung ab $x=3$ nicht mehr negativ, sondern $0$. Die Steigung des gesamten Graphen ist also nicht überall negativ.

  • Bestimme die Eigenschaften der Funktionsgraphen.

    Tipps

    Der Graph jeder proportionalen Zuordnung verläuft durch den Ursprung.

    Die Steigung $m$ ist genau dann konstant, wenn der Funktionsgraph eine Gerade ist.

    Lösung

    An den Graphen von Zuordnungen kannst du die Eigenschaften der Zuordnung ablesen. Zuordnungen mit konstanter Änderungsrate sind Geraden im Koordinatensystem. Die Änderungsrate entspricht in diesem Fall der Steigung $m$ der Geraden, die du z. B. mit einem Steigungsdreieck ablesen kannst. Ist $m>0$, so steigt der Graph von links nach rechts an, ist $m<0$, so fällt er ab.

    Verläuft eine Gerade nicht durch den Ursprung, so hat die Zuordnung zwar eine konstante Änderungsrate, ist aber trotzdem nicht proportional.

    Ist die Steigung des Funktionsgraphen nicht konstant, so ist der Graph keine Gerade, sondern hat Knicke oder Krümmungen.

  • Gib an, ob der Graph derjenige einer proportionalen Zuordnung mit negativer Steigung sein kann.

    Tipps

    Ein Graph mit negativer Steigung fällt von links nach rechts ab.

    Eine proportionale Zuordnung hat eine konstante Änderungsrate.

    Der Graph im Bild gehört nicht zu einer proportionalen Zuordnung, obwohl er eine Gerade ist. Er verläuft nicht durch den Koordinatenursprung.

    Lösung

    Merkmale des Graphen einer proportionalen Zuordnung sind:

    • Der Graph ist eine Gerade, hat also keine Krümmungen und auch keine Knicke.
    • Der Graph verläuft durch den Koordinatenursprung.
    Bei einer proportionalen Zuordnung mit negativer Steigung kommt als zusätzliches Merkmal hinzu:

    • Die Steigung des Graphen ist überall negativ, d. h., der Graph fällt von links nach rechts stets ab.
    Im Bild siehst du einen Graphen, bei dem zwei dieser drei Merkmale nicht erfüllt sind:

    • Der Graph ist keine Gerade, denn er hat Knicke. Das bedeutet: Die Steigung ist nicht konstant.
    • Die Steigung ist nicht überall negativ, denn auf dem Intervall zwischen $x=0$ und $x=3$ ist die Steigung $0$.
    Folgendes Merkmal ist aber erfüllt:

    • Der Graph verläuft durch den Koordinatenursprung, also durch den Punkt $(0|0)$.
  • Prüfe die Aussagen.

    Tipps

    Bei einer Zuordnung wird jedem $x$-Wert höchstens ein $y$-Wert zugeordnet.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Bei einer proportionalen Zuordnung mit negativer Steigung ist der Proportionalitätsfaktor negativ.“ Der Proportionalitätsfaktor stellt die Steigung der Geraden dar und diese ist negativ.
    • „Es gibt eine Ursprungsgerade im Koordinatensystem, die nicht der Graph einer proportionalen Zuordnung ist.“ Diese Gerade ist die $y$-Achse.
    • „Verläuft der Graph nicht durch den Ursprung, so ist die zugehörige Zuordnung nicht proportional.“ Der Graph einer proportionalen Zuordnung verläuft immer durch den Koordinatenursprung.
    • „Wird jeder Funktionswert einer proportionalen Zuordnung mit $2$ multipliziert, so erhält man wieder eine proportionale Zuordnung.“ Wenn man jeden $y$-Wert mit $2$ multipliziert, so erhält man wieder Punkte, die eine nun steiler fallende Ursprungsgerade bilden. Die zugehörige Zuordnung ist also wieder proportional.
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Jede Zuordnung mit konstanter negativer Steigung ist eine proportionale Zuordnung mit negativer Steigung.“ Nicht jede Zuordnung mit konstanter negativer Steigung ist proportional. Es handelt sich erst dann um eine proportionale Zuordnung mit negativer Steigung, wenn die zugehörige Gerade eine Ursprungsgerade ist.
    • „Nimmt bei zunehmendem $x$-Wert der $y$-Wert ab, so ist die Zuordnung proportional mit negativer Steigung.“ Nicht jeder dieser Zuordnungen ist proportional. Sie muss eine konstante Änderungsrate besitzen und den Punkt $(0|0)$ enthalten.
    • „Wird zu jedem Funktionswert einer proportionalen Zuordnung $2$ addiert, so erhält man wieder eine proportionale Zuordnung.“ Erhöhst du den $y$-Wert des Punkts $(0|0)$ einer proportionalen Zuordnung um $2$, so erhältst du den Punkt $(0|2)$ und der Graph verläuft somit nicht mehr durch den Koordinatenursprung. Also erhältst du keine proportionale Zuordnung. Die Ursprungsgerade wird um zwei Einheiten entlang der $y$-Achse nach oben verschoben und ist damit keine Ursprungsgerade mehr.
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