Über 1,6 Millionen Schüler*innen nutzen sofatutor!
  • 93%

    haben mit sofatutor ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert

  • 94%

    verstehen den Schulstoff mit sofatutor besser

  • 92%

    können sich mit sofatutor besser auf Schularbeiten vorbereiten

Antiproportionale Zuordnungen (Übungsvideo)

Video abspielen
Du willst ganz einfach ein neues Thema lernen
in nur 12 Minuten?
Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
  • Das Mädchen lernt 5 Minuten mit dem Computer 5 Minuten verstehen

    Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.

    92%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen.
  • Das Mädchen übt 5 Minuten auf dem Tablet 5 Minuten üben

    Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.

    93%
    der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert.
  • Das Mädchen stellt fragen und nutzt dafür ein Tablet 2 Minuten Fragen stellen

    Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.

    94%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Bereit für eine echte Prüfung?

Das Antiproportionalität Quiz besiegt 60% der Teilnehmer! Kannst du es schaffen?

Quiz starten
Bewertung

Ø 3.4 / 45 Bewertungen
Die Autor*innen
Avatar
Wolfgang Tews
Antiproportionale Zuordnungen (Übungsvideo)
lernst du in der Unterstufe 3. Klasse - 4. Klasse

Einleitung zum Thema Proportionale und antiproportionale Zuordnungen

In der Mathematik helfen dir proportionale und antiproportionale Zuordnungen dabei, Beziehungen zwischen zwei Größen zu verstehen. Bei proportionalen Zuordnungen steigen oder fallen beide Größen im gleichen Verhältnis („je mehr, desto mehr“), während bei antiproportionalen Zuordnungen eine Größe steigt, wenn die andere fällt („je mehr, desto weniger“). Diese Konzepte sind im täglichen Leben und in der Wissenschaft allgegenwärtig. In diesem Text übst du, wie du solche Zuordnungen erkennst, darstellst und berechnest.

In unserer Einführung zu proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen findest du die wichtigsten Erklärungen und Beispiele.

Unter den Aufgaben stehen jeweils Lösungen und Erklärungen.

Teste dein Wissen zum Thema Proportionale und antiproportionale Zuordnungen

Grundwissen zu proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen – Quiz

Welche Aussage trifft auf proportionale Zuordnungen zu?

1/5


Proportionale und antiproportionale Zuordnungen – Wertepaare prüfen

Prüfe die gegebenen Wertepaare. Ist die zugrundeliegende Zuordnung proportional, antiproportional oder weder noch?


Proportionale und antiproportionale Zuordnungen – Wertetabellen vervollständigen

Vervollständige die Tabellen. Bestimme dabei jeweils zuerst, ob es sich um eine proportionale oder antiproportionale Zuordnung handelt.


Proportionale und antiproportionale Zuordnungen – Sachaufgaben

Sind die Zuordnungen proportional oder antiproportional? Begründe.

  1. Anzahl der Teilnehmenden bei einem Ausflug → Preis pro Teilnehmer (fixer Gesamtpreis)
  2. Geschwindigkeit eines Autos → Fahrzeit in Stunden
  3. Anzahl an Mehlpackungen → Gesamtpreis in Euro
  4. Schrittlänge in Zentimetern → Anzahl der Schritte für eine Strecke

Du kaufst Rasendünger für den Garten. Zur Auswahl stehen drei verschiedene Sorten:

  • Option 1: $7{,}5\,\text{kg}$ reicht für $225\,\text{m}^2$
  • Option 2: $10\,\text{kg}$ reicht für $300\,\text{m}^2$
  • Option 3: $1{,}5\,\text{kg}$ reicht für $50\,\text{m}^2$

Bestimme für alle drei Varianten die Menge, die pro Quadratmeter vorgesehen ist. Welcher Dünger braucht die geringste Masse pro Quadratmeter?


Für das Parkett einer Eingangshalle benötigt man $27\,500$ Parketthölzer mit der Länge $30\,\text{cm}$ und der Breite $7\,\text{cm}$. Doch diese Hölzer sind leider ausverkauft. Stattdessen sind Hölzer mit der Länge $28\,\text{cm}$ und der Breite $5\,\text{cm}$ verfügbar. Wie viele dieser Hölzer müssen für die Eingangshalle bestellt werden?


Ein Schiff geht mit $348$ Personen an Bord auf Reise. Der Lebensmittelvorrat reicht für $18$ Tage. Nach $6$ Tagen kommen $78$ Personen außerplanmäßig hinzu. Wie lange reicht der Vorrat jetzt noch?


Ausblick – so kannst du weiterlernen

Im nächsten Schritt kannst du dein Wissen über Zuordnungen erweitern, indem du dich mit linearen Funktionen beschäftigst. Außerdem kannst du das Thema Prozentrechnung erkunden, das eng mit proportionalen Zuordnungen verbunden ist.

Teste dein Wissen zum Thema Antiproportionalität!

1.215.161 Schülerinnen und Schüler haben bereits unsere Übungen absolviert. Direktes Feedback, klare Fortschritte: Finde jetzt heraus, wo du stehst!

Vorschaubild einer Übung
  1. Hat mich echt weitergebracht ❤️

    Von Toni, vor 5 Monaten
  2. Danke das hat mir sehr geholfen ich hoffe das das morgen gut läuft aufjedenfall vielen vielen dank dafür :)

    Von M S Bruemmer, vor mehr als 2 Jahren
  3. ich werde dich wascheinlich noch mal öfter hören

    Von Jkrambeck84, vor fast 6 Jahren
  4. also sehr gut

    Von Jkrambeck84, vor fast 6 Jahren
  5. aber wargut

    Von Jkrambeck84, vor fast 6 Jahren
Mehr Kommentare

Antiproportionale Zuordnungen (Übungsvideo) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Antiproportionale Zuordnungen (Übungsvideo) kannst du es wiederholen und üben.
  • Tipps

    Das ist ein Beispiel für eine antiproportionale Zuordnung.

    Bei einer antiproportionalen Zuordnung gilt der Zusammenhang $y = \frac{k}{x}$.

    Bei einer Antiproportionalität wird dem doppelten der Größe x die Hälfte der Größe y zugeordnet.

    Lösung

    Die Wertepaare einer antiproportionalen Zuordnung sind produktgleich. Das Produkt ist für alle Wertepaare gleich und heißt Produktgröße. Die Produktgröße wird mit k bezeichnet. Zwischen den Größen x und y einer antiproportionalen Zuordnung $x \rightarrow y$ gilt also der Zusammenhang $y \cdot x = k$ oder $y = \frac{k}{x}$.

    Der Graph einer Antiproportionalität ist eine Hyperbel. Dies folgt aus dem Zusammenhang $y = \frac{k}{x}$. Der Graph zu dieser Gleichung hat die Form einer Hyperbel.

    Dem k-fachen Wert der Größe x wird der k-te Teil des Wertes der Größe y zugeordnet. Dem Dreifachen der Größe x wird also zum Beispiel ein Drittel der Größe y zugeordnet. Wird x halbiert, wird y der doppelte Wert zugeordnet.

  • Tipps

    Zuerst solltest du die gegebenen Werte und die gesuchte Größe in eine übersichtliche Form bringen.

    Wann benutzt du eine Produktgleichung und wie löst du damit die Aufgabe?

    Was wird bei jeder Sachaufgabe am Schluss geschrieben?

    Lösung

    Mit dem Schema, mit der diese Aufgabe gelöst wurde, können auch andere Aufgaben zu antiproportionalen Zuordnungen gelöst werden:

    Zuerst werden alle gegebenen Werte und die gesuchte Größe in Tabellenform gebracht. Ist das geschehen, kann eine geeignete Produktgleichung ausgewählt werden. Dann muss man die Gleichung umstellen, und zwar nach der gesuchten Größe. Sie liefert dann die Lösung. Bei Sachaufgaben muss zum Schluss immer ein Antwortsatz formuliert werden

    Es ist sinnvoll, zuerst eine Tabelle zu erstellen, weil daraus die Produktgleichung besser abgelesen werden kann. Die Gleichung hat die folgende Struktur: Auf beiden Seiten des Gleichheitszeichen steht ein Produkt aus den Werten einer Spalte der Tabelle. Dabei sollte ganz links die gesuchte Größe stehen. Die Auswahl der Produktgleichung am Beispiel der Zuordnung A $\rightarrow$ B (Werte siehe Tabelle):

    In der mittleren Spalte stehen die Werte 20 und x. Diese stehen links vom Gleichheitszeichen und das x steht an erster Stelle: $x \cdot 20$. Rechts vom Gleichheitszeichen steht das Produkt der Werte 30 und 4 aus der zweiten Spalte, also $30 \cdot 4$. Hier spielt die Reihenfolge keine Rolle, da Faktoren vertauscht werden können. Insgesamt lautet die Produktgleichung also: $x \cdot 20 = 30 \cdot 4$.

  • Tipps

    Bei Antiproportionalitäten gilt Produktgleichheit: Das Produkt eines Wertepaares liefert immer den gleichen Wert k.

    Die Produktgröße k ist charakteristisch für eine antiproportionale Zuordnung. Sie bleibt für alle Produkte der Wertepaare der Zuordnung unverändert.

    Die Gleichung einer Antiproportionalität lautet: $y=\frac{k}{x}$.

    Bei proportionalen Zuordnungen gilt: „je mehr - desto mehr“.

    Lösung

    Die beiden Regeln zur Antiproportionalität:

    • Jede antiproportionale Zuordnung ist eine „je mehr - desto weniger“-Zuordnung und
    • nicht jede „je mehr - desto weniger“-Zuordnung ist antiproportional,
    können bei der Frage, ob eine Antiproportionalität vorliegt oder nicht, helfen.

    Liegt keine „je mehr - desto weniger“-Zuordnung, sondern zum Beispiel eine „je mehr - desto mehr“-Zuordnung vor, kann man sicher sein, dass auch keine Antiproportionalität vorliegt.

    Umgekehrt liegt im Falle einer „je mehr - desto weniger“-Zuordnung nicht automatisch eine antiproportionale Zuordnung vor. Hat man herausgefunden, dass bei einer gegebenen Zuordnung „je mehr - desto weniger“ gilt, muss man die Wertepaare trotzdem noch auf Produktgleichheit überprüfen. Alternativ können die Wertepaare in ein Koordinatensystem eingetragen werden. Liegen die Paare auf einer Hyperbel, liegt eine Antiproportionalität vor.

    Ob bei einer Zuordnung „je mehr - desto weniger“ gilt, gibt also keine Antwort auf die Frage nach Antiproportionalität. Man kann jedoch abschätzen, ob es sich lohnt, die Zuordnung auf Antiproportionalität zu prüfen oder ob man die Frage von vornherein verneinen kann.

  • Tipps

    Du kannst die Produktgleichung ablesen, wenn du jede Aufgabe in Tabellenform bringst.

    Zur dieser antiproportionalen Zuordnung $x \rightarrow y$ kannst du zum Beispiel eine dieser vier Produktgleichungen wählen: $A \cdot B = D \cdot C$,

    $B \cdot A = D \cdot C$,

    $C \cdot D = B \cdot A$ oder

    $D \cdot C = B \cdot A$.

    Lösung

    Um eine passende Produktgleichung zu einer Sachaufgabe zu bestimmen ist es hilfreich, die Werte jeder Aufgabe zunächst in Tabellenform zu bringen.

    Frau Kohl:

    $\begin{array}{l|c|c} \textbf{Geschwindigkeit in km/h} & 20 & 40\\ \hline \textbf{Zeit in Minuten} & 8 & x\\ \end{array}$

    Eine passende Produktgleichung ist also $x \cdot 40 = 8 \cdot 20$. Die Lösung der Aufgabe lautet dann: $x = \frac{8 \cdot 20}{40} = 4$. Frau Kohl braucht mit dem Auto also $4$ Minuten zur Arbeit.

    Herr Gründaum:

    $\begin{array}{l|c|c} \textbf{Fassungsvermögen in Liter} & 8 & x\\ \hline \textbf{Anzahl Füllungen}& 40 & 20\\ \end{array}$

    Eine passende Produktgleichung ist also $x \cdot 20 = 40 \cdot 8$. Die Lösung der Aufgabe lautet dann: $x = \frac{40 \cdot 8}{20} = 16$. Die neue Gießkanne von Herrn Gründaum fasst also $16$ Liter.

    Herr Müller:

    $\begin{array}{l|c|c} \textbf{Anzahl Gäste} & 24 & 16\\ \hline \textbf{Häppchen pro Gast}& 4 & x\\ \end{array}$

    Eine passende Produktgleichung ist also $x \cdot 16 = 4 \cdot 24$. Die Lösung der Aufgabe lautet dann: $x = \frac{4 \cdot 24}{16} = 6$. Jeder Gast bekommt also $6$ Häppchen.

    Frau Sonnig:

    $\begin{array}{l|c|c} \textbf{Durchfluss in Liter/s} & 4 & x\\ \hline \textbf{Füllzeit in Stunden} & 16 & 24\\ \end{array}$

    Eine passende Produktgleichung ist also $x \cdot 24 = 16 \cdot 4$. Die Lösung der Aufgabe lautet dann: $x = \frac{16 \cdot 4}{24} = 2 \frac{2}{3}$. Es fließen also $2 \frac{2}{3} \text{Liter/s}$ Wasser durch den Schlauch.

  • Tipps

    Bevor du eine Produktgleichung auswählst, solltest du alle auftretenden Größen in eine übersichtliche Form bringen.

    Was wird bei jeder Sachaufgabe am Schluss geschrieben?

    Lösung

    Die Lösung erfolgt in 4 Schritten:

    • Erstellen einer Tabelle mit den gegebenen Größen und der gesuchten Größe.
    • Auswählen einer geeigneten Produktgleichung.
    • Umstellen der Produktgleichung nach der gesuchten Größe und Lösen der Aufgabe.
    • Formulieren eines Antwortsatzes.
    Das Vorgehen wird anhand folgender Aufgabe gezeigt:

    „Zwei Bagger brauchen zum Ausheben einer Baugrube 6 Tage. Wie viele Tage würden 3 Bagger für die gleiche Arbeit brauchen?“

    Die Tabelle zu dieser Aufgabe ist auf der rechten Seite zu sehen. Mit deren Hilfe kann man erkennen, welche Produktgleichung gewählt werden sollte:

    $x \cdot 3 = 6 \cdot 2$.

    Wird die Gleichung so gewählt, dass die gesuchte Größe ganz links steht, kann die Gleichung leicht nach dieser Größe umgestellt und so die Aufgabe gelöst werden:

    $x = \frac{6 \cdot 2}{3} = \frac{12}{3} = 4$.

    Zu jeder Sachaufgabe ist stets ein Antwortsatz zu formulieren:

    Um die gleiche Arbeit zu verrichten, benötigen 3 Bagger 4 Tage.

  • Tipps

    Überlege zunächst: Als sich einer der Packer verletzt, wie lange hätten die $6$ Möbelpacker zu diesem Zeitpunkt noch arbeiten müssen, wenn er sich nicht verletzt hätte?

    Erstelle mit diesen Informationen eine Wertetabelle und wähle dann eine geeignete Produktgleichung aus.

    Zur dieser antiproportionalen Zuordnung $x \rightarrow y$ kannst du zum Beispiel eine dieser vier Produktgleichungen wählen: $A \cdot B = D \cdot C$,

    $B \cdot A = D \cdot C$,

    $C \cdot D = B \cdot A$ oder

    $D \cdot C = B \cdot A$

    Lösung

    Es wird die antiproportionalen Zuordnung Anzahl Möbelpacker $\rightarrow$ Arbeitszeit in Stunden betrachtet.

    Die Schwierigkeit bei dieser Aufgabe liegt darin, dass die Möbelpacker zunächst $5$ Stunden arbeiten, bevor sich einer von ihnen verletzt. Zunächst ist also zu überlegen, wie lange die $6$ Möbelpacker noch arbeiten müssten, als sich einer von ihnen verletzt.

    Insgesamt ist bei $6$ Packern eine Arbeitszeit von $15$ Stunden angesetzt. Nach $5$ Stunden verletzt sich einer von ihnen. Zu diesem Zeitpunkt hätten die Arbeiter also noch $15 - 5 = 10$ Stunden arbeiten müssen. Mit dieser Information kann nun eine Wertetabelle angelegt werden:

    $\begin{array}{l|c|c} \text{Anzahl Möbelpacker} & 6 & 5\\ \hline \text{Arbeitszeit in Stunden} & 10 & x\\ \end{array}$

    Das führt zu der Produktgleichung $x \cdot 5 = 10 \cdot 6$. Die Gleichung wird nach x umgestellt und liefert dann die Lösung:

    $x = \frac{10 \cdot 6}{5} = \frac{60}{5} = 12$.

    Antwortsatz: Die $5$ Möbelpacker müssen nach der Verletzung noch $12$ Stunden arbeiten.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

9.360

sofaheld-Level

6.600

vorgefertigte
Vokabeln

7.733

Lernvideos

37.178

Übungen

32.408

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrkräften

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Schulstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden

zuri mit Bleistift und Notizbuch
Über 1,6 Millionen Schüler*innen nutzen sofatutor
Erhalten Sie in weniger als 2 Minuten ein persönliches Willkommensangebot für ihr Kind. Erhalten Sie in weniger als 2 Minuten ein persönliches Willkommensangebot für ihr Kind.
Quiz starten
Quiz starten
Quiz starten