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Koordinatensystem – Einführung

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Team Digital
Koordinatensystem – Einführung
lernst du in der Unterstufe 1. Klasse - 2. Klasse

Grundlagen zum Thema Koordinatensystem – Einführung

Inhalt

Das Koordinatensystem in der Mathematik

Koordinatensysteme gibt es nicht nur in der Mathematik, sondern in vielen anderen Bereichen der Wissenschaft und des täglichen Lebens. Wusstest du zum Beispiel, dass ein Schachbrett ein Koordinatensystem ist? Auch wenn du mit deinem Handy nach dem kürzesten Weg zu einer Freundin suchst, benutzt du ein Koordinatensystem, nämlich das geografische Koordinatensystem. Und auch das Versteck eines Piratenschatzes kann mithilfe eines Koordinatensystems gefunden werden.

Was man genau unter einem KOS (KOS wird manchmal als Abkürzung für Koordinatensystem benutzt) versteht, wollen wir uns im Folgenden anschauen.


Was ist ein Koordinatensystem?

Ein Koordinatensystem hilft uns dabei, die Position von Punkten eindeutig zu beschreiben. Die Punkte können zum Beispiel einen Ort beschreiben – wie das Versteck auf einer Schatzkarte. Die Position besteht aus den einzelnen Koordinaten, bei denen es sich meistens um Zahlen handelt. Ein Punkt kann aber auch mithilfe von Buchstaben beschrieben werden. Wenn du dir zum Beispiel ein Schachbrett anschaust, ist eine Richtung mit den Zahlen $1$ bis $8$ bezeichnet und die andere mit den Buchstaben $\text{a}$ bis $\text{h}$. Eine Kombination aus Zahl und Buchstabe, zum Beispiel $(\text{e}|4)$, gibt eine eindeutige Position auf dem Schachbrett an. Wenn man sich auf einer Landkarte orientieren will, benutzt man dafür meistens Breitengrade und Längengrade – und manchmal auch die Höhe, wenn man zum Beispiel auf einen Berg wandert. Es gibt also viele verschiedene Arten von Koordinatensystemen.

In der Mathematik benutzen wir in der Regel allerdings ein spezielles Koordinatensystem, das kartesisches Koordinatensystem heißt. Benannt wurde es nach dem Mathematiker René Descartes. Schauen wir uns an, wie es aufgebaut ist.


Wie ist ein Koordinatensystem aufgebaut?

Das kartesische Koordinatensystem besteht aus zwei senkrecht aufeinander stehenden Achsen. An jeder Achse ist ein Pfeil, der in die positive Richtung zeigt. Bei der horizontalen Achse zeigt der Pfeil nach rechts, bei der vertikalen Achse nach oben.

Koordinatensystem Einführung

Der Punkt, an dem sich beide Achsen treffen, heißt Koordinatenursprung. Er hat die Koordinaten null und null. Das können wir auch so schreiben: $(0|0)$. Der Koordinatenursprung wird manchmal auch mit $\text{O}$ bezeichnet. Das kommt vom lateinischen Wort origio, das Ursprung bedeutet.

Die horizontale Achse wird meistens als $x$-Achse bezeichnet. Manchmal wird dir vielleicht auch der Name Abszissenachse begegnen. Auch das kommt aus dem Lateinischen. Linea abszissa bedeutet in etwa abgeschnittene Linie.

Die vertikale Achse wird meistens als $y$-Achse bezeichnet. Auch diese Achse trägt noch einen aus dem Lateinischen stammenden Namen: Ordinatenachse. Das kommt von linea ordinata, was geordnete Linie bedeutet.

Koordinatensystem Aufbau

An den Achsen befinden sich normalerweise Markierungen mit Zahlen. Das könnten zum Beispiel Entfernungen in Metern sein oder geografische Angaben auf einer Landkarte. Wenn du dann einen Ort suchst, kann er in Koordinaten angegeben werden. Das könnte zum Beispiel wie folgt aussehen:

$P(2|4)$

Der erste Zahl in den Klammern, also die $2$, ist der $x$-Wert. Er gibt an, wie viele Schritte du auf der $x$-Achse nach rechts gehen musst. Sind die Achsen beispielsweise in Metern angegeben, müsstest du $2$ Meter nach rechts gehen. Die zweite Zahl ist der $y$-Wert. Er gibt an, wie weit du in $y$-Richtung gehen musst. In diesem Fall sind es $4$ Schritte.

Du würdest den Punkt $P$ also erreichen, wenn du $2$ Schritte nach rechts und $4$ Schritte nach oben gehst.

Das Einführungsvideo zum Koordinatensystem

In diesem Video wird dir das Koordinatensystem einfach erklärt. Du erfährst anhand von Beispielen, welche Funktion Koordinatensysteme erfüllen und wie sie aufgebaut sind. Text und Video werden von interaktiven Übungsaufgaben ergänzt.

Transkript Koordinatensystem – Einführung

Raffa und seine Crew besegeln die sieben Weltmeere. Vor kurzem haben sie einen Hinweis auf den Ort bekommen, an dem der Schatz des großen Piratenkönigs „Greybeard“ versteckt sein soll. Aber wie sie aus diesem Tipp schlau werden sollen, ist Raffa noch nicht so ganz klar. Um den Hinweis richtig deuten zu können, braucht er ein „Koordinatensystem“. Raffa schaut sich seine Seekarte nochmal genau an! Er hat das Zahlenpaar „eins, zwei“ erhalten. Dabei soll es sich um Koordinaten handeln. Das wird anscheinend durch die Klammern und den Trennstrich verdeutlicht. Also braucht er ein Koordinatensystem, um die dahinter liegende Position zu entschlüsseln. Ein Koordinatensystem besteht aus zwei Achsen: Wir haben eine Achse die nach rechts verläuft. Das ist die x-Achse. Die andere Achse verläuft senkrecht nach oben. Diese Achse ist die y-Achse. Beide Achsen werden in gleichgroße Abschnitte unterteilt. Ein üblicher Abstand ist zum Beispiel ein Zentimeter. Diese Abschnitte können dann durchnummeriert werden. Nun können wir Punkte in dem Koordinatensystem ablesen und eintragen. Ein Punkt besteht immer aus einer x- und einer y-Koordinate. Ein ganz besonderer Punkt ist übrigens der Koordinatenursprung. Dieser liegt genau dort, wo sich x- und y-Achse schneiden und hat somit die Koordinaten „Null, Null“. Jetzt aber zum ersten Hinweis: Raffas Crew soll die Insel bei Punkt A mit den Koordinaten „eins, zwei“ ansteuern. Die erste Koordinate gibt immer den x-Wert an, also die entsprechende Zahl auf unserer x-Achse. Wir bewegen uns daher einen Schritt auf der x-Achse nach rechts. Die zweite Koordinate ist unser y-Wert. Dieser gibt an, wie weit wir an der y-Achse entlang nach oben müssen. In unserem Fall zwei Schritte. Dann sind wir bei unserem Punkt A angekommen. Wir merken uns also: Die erste Zahl eines Punktes ist immer die x-Koordinate. Sie gibt an, wie weit wir auf der x-Achse nach rechts gehen müssen, bis wir an der richtigen Stelle sind. Die zweite Zahl eines Punktes ist dann die y-Koordinate. Sie zeigt uns an, wie weit wir dann nach oben gehen müssen, bis wir bei dem Punkt angekommen sind. Auf der Insel findet Raffa einen weiteren Hinweis: Sie sollen die Insel ansteuern, auf der der Punkt B mit den Koordinaten „vier, null“ liegt. Welche Insel das wohl sein wird? Wie muss er vorgehen, um die richtige Insel ausfindig zu machen? Genau! Wir gehen vier Schritte nach rechts und schon sind wir angekommen! Da die y-Koordinate null ist, müssen wir gar nicht mehr nach oben gehen. Auf dieser Insel liegt also der beschriebene Punkt. Ob sie dieses mal fündig werden? Wieder nur ein Hinweis! Sie müssen zum Punkt C auf der Totenkopfinsel reisen. Siehst du, durch welche Koordinaten die Lage des Punktes beschrieben werden kann? Nicht vergessen: immer zuerst den x-Wert und dann erst den y-Wert nennen. Um den x-Wert zu ermitteln, gehen wir nach unten, bis wir bei der x-Achse angekommen sind und landen bei drei. Anschließend gehen wir nach links und sehen so, dass die y-Koordinate unseres Punktes vier ist. Der gesuchte Punkt C hat also die Koordinaten „drei, vier“ Alles klar! Die Segel sind gesetzt! Während Raffa und seine Crew dem großen Schatz immer näherkommen, fassen wir nochmal kurz zusammen. Mit einem Koordinatensystem können wir die Lage eines Punktes anhand seiner Koordinaten eindeutig beschreiben. Zum Beispiel diesen hier. Dazu betrachten wir zuerst immer die x-Achse, an der wir die x-Koordinate des Punktes ablesen können. Und dann die y-Achse. Hier können wir die y-Koordinate ablesen. Auch wenn wir einen Punkt in das Koordinatensystem eintragen möchten, betrachten wir zuerst die x-Koordinate. Wir gehen die entsprechenden Schritte entlang der x-Achse nach rechts, und dann soweit nach oben, wie es von der y-Koordinate angezeigt wird. An dieser Stelle kann der Punkt dann eingezeichnet werden. Der Punkt „Null, Null“ hat außerdem einen besonderen Namen. Wir nennen ihn den Koordinatenursprung. Und? Haben Raffa und Co endlich den großen Schatz von Piratenkönig Greybeard gefunden? Tatsächlich! Es ist ein Pflegeset für einen geschmeidigen Piratenbart! Arrr! Der Wert dieses Schatzes liegt eindeutig im Auge des Betrachters.

18 Kommentare

18 Kommentare
  1. Cool

    Von Titian, vor etwa 2 Stunden
  2. Stabil

    Von Kerem, vor 7 Tagen
  3. cooles Viedeo auch wenn ich Koordinatensystem schon kann

    Von Theo, vor 2 Monaten
  4. Einpaar mehr Animationen hätten mich gefreut

    Von Mischa, vor 3 Monaten
  5. mega gut danke

    Von Thora , vor 5 Monaten
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Koordinatensystem – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Koordinatensystem – Einführung kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe das Koordinatensystem.

    Tipps

    Beispiel:

    Punkte $A$ und $B$ im Koordinatensystem.

    Der Punkt $A(0 \vert 2)$ hat die $x$-Koordinate $0$ und die $y$-Koordinate $2$.

    Lösung

    Du siehst hier ein Koordinatensystem mit dem Punkt $C$.

    Das Koordinatensystem besteht aus zwei Achsen: Der waagrecht nach rechts verlaufenden $\mathbf{x}$-Achse und der senkrecht nach oben verlaufenden $\mathbf{y}$-Achse.
    Beide Achsen sind in gleichmäßige Abschnitte unterteilt und durchnummeriert.

    Die Koordinaten eines Punktes schreiben wir in runden Klammen durch einen Strich getrennt: $P(x \vert y)$.
    Vor dem Trennstrich steht die $x$-Koordinate, hinter dem Trennstrich die $y$-Koordinate des Punkte.

    Zum Beispiel gilt bei $C(1 \vert 2)$:

    • Die $\mathbf{y}$-Koordinate ist $2$.
    • Die $\mathbf{x}$-Koordinate ist $1$.
  • Bestimme die Koordinaten der Punkte.

    Tipps

    Du kannst die $y$-Koordinate eines Punktes ablesen, indem du waagrecht nach links gehst und den Wert an der $y$-Achse abliest.

    Beispiel zum Ablesen der $x$-Koordinate:

    Lösung

    Die Position eines Punktes können wir im Koordinatensystem über seine Koordinaten beschreiben.

    • Die erste Koordinate ist die $\mathbf{x}$-Koordinate. Wir können sie bestimmen, indem wir vom Punkt aus senkrecht nach unten gehen und den Wert auf der $x$-Achse ablesen.
    • Die zweite Koordinate ist die $\mathbf{y}$-Koordinate. Wir können sie bestimmen, indem wir vom Punkt aus waagrecht nach links gehen und den Wert auf der $y$-Achse ablesen.
    Für die eingezeichneten Punkte ergibt sich:

    $A(2 \vert 3)$

    $B(4 \vert 2)$

    $C(0 \vert 0)$, der sogenannte Koordinatenursprung.

  • Ermittle die Koordinaten des Punktes.

    Tipps

    Die waagrechte Achse im Koordinatensystem ist die $x$-Achse.

    Die erste Koordinate eines Punktes ist seine $x$-Koordinate.

    Du kannst die $x$-Koordinate eines Punktes ermitteln, indem du vom Punkt aus senkrecht nach unten zur $x$-Achse gehst und den Wert abliest.

    Lösung

    Die Position eines Punktes können wir im Koordinatensystem über seine Koordinaten beschreiben.

    • Die erste Koordinate ist die $x$-Koordinate. Wir können sie bestimmen, indem wir vom Punkt aus senkrecht nach unten gehen und den Wert auf der $x$-Achse ablesen.
    • Die zweite Koordinate ist die $y$-Koordinate. Wir können sie bestimmen, indem wir vom Punkt aus waagrecht nach links gehen und den Wert auf der $y$-Achse ablesen.
    Hier sind die folgenden Punkte im Koordinatensystem dargestellt:

    $P_1(0 \vert 1)$
    $P_2(3 \vert 3)$
    $P_3(2 \vert 4)$
    $P_4(4 \vert 3)$

  • Erkläre, wie du die Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnest.

    Tipps

    Bei einem Punkt ist die $y$-Koordinate immer der zweite Wert.
    Sie gibt an, wie weit du nach oben gehen musst.

    Du kannst beim Einzeichnen eines Punktes mit der $x$- oder der $y$-Koordinate beginnen.

    Beispiel:

    $P(3 \vert 4)$ hat die $x$-Koordinate $3$ und die $y$-Koordinate 4.

    Wir können z.B. folgendermaßen vorgehen:

    • Gehe von Ursprung aus $3$ nach rechts und dann $4$ nach oben.
    • Gehe von der $3$ auf der $x$-Achse $4$ nach oben.
    • Gehe von der $4$ auf der $y$-Achse $3$ nach rechts.
    Lösung

    Bei einem Punkt $P(x \vert y)$ ist die vordere Koordinate die $x$-Koordinate, die hintere Koordinate ist die $y$-Koordinate. Die Werte geben dabei jeweils an, wie weit der Punkt in Richtung der entsprechenden Achse vom Koordinatenursprung $(0 \vert 0)$ entfernt ist.

    Zum Beispiel hat der Punkt $P(3 \vert 4)$ die $x$-Koordinate $3$ und die $y$-Koordinate 4.
    Wir können ihn beispielsweise folgendermaßen einzeichnen:

    • Gehe von Ursprung aus $3$ nach rechts und dann $4$ nach oben.
    • Gehe von der $3$ auf der $x$-Achse $4$ nach oben.
    • Gehe von der $4$ auf der $y$-Achse $3$ nach rechts.
    Für die Punkte der Aufgabe gilt:

    $P_1(5 \vert 1)$
    Gehe von der $5$ auf der $x$-Achse eins nach oben.

    $P_2(2 \vert 7)$
    Gehe von der $7$ auf der $y$-Achse zwei nach rechts.

    $P_3(7 \vert 2)$
    Gehe von der $7$ auf der $x$-Achse zwei nach oben.

    $P_4(5 \vert 5)$
    Gehe vom Ursprung $5$ nach rechts und dann $5$ nach oben.

    $P_5(7 \vert 5)$
    Gehe von der $7$ auf der $x$-Achse fünf nach oben.

    $P_6(1 \vert 5)$
    Gehe von der $5$ auf der $y$-Achse eins nach rechts.

  • Benenne die Punkte im Koordinatensystem.

    Tipps

    Die erste Koordinate ist die $x$-Koordinate eines Punktes. Sie gibt an, wie weit du vom Koordinatenursprung aus nach rechts gehen musst.

    Wenn du einen Punkt waagrecht mit der $y$-Achse verbindest, dann kannst du seine $y$-Koordinate ablesen.

    Beispiel:

    Ein Punkt, der vom Koordinatenursprung aus $2$ nach rechts auf der $x$-Achse liegt, hat die Koordinaten $(2 \vert 0)$.

    Lösung

    Bei einem Punkt $P(x \vert y)$ gibt der erste Wert die $x$-Koordinate und der zweite Wert die $y$-Koordinate an.
    Um die Koordinaten eines Punktes im Koordinatensystem ablesen zu können, gehen wir folgendermaßen vor:

    • $x$-Koordinate: Gehe vom Punkt aus senkrecht nach unten und lies den Wert an der $x$-Achse ab.
    • $y$-Koordinate: Gehe vom Punkt aus waagrecht nach links und lies den Wert an der $y$-Achse ab.
    Für die eingezeichneten Punkte erhalten wir die Koordinaten:

    $A(1 \vert 2)$; $B(4 \vert 0)$ und $C(3 \vert 4)$.

    Die übrigen Punkte wären wie folgt platziert:

    • Der Punkt $A(2 \vert 1)$ liegt vom Koordinatenursprung aus zwei nach rechts und eins nach oben.
    • Der Punkt $B(3 \vert 0)$ liegt von Koordinatenursprung aus drei nach rechts auf der $x$-Achse.
    • Der Punkt $C(3 \vert 3)$ liegt von Koordinatenursprung aus drei nach rechts und drei nach oben.
  • Untersuche, wie weit die Punkte vom Koordinatenursprung $(0 \vert 0)$ entfernt sind.

    Tipps

    Zeichne zunächst alle Punkt in ein Koordinatensystem ein.

    Den Abstand jedes Punktes zum Koordinatenursprung $(0 \vert 0)$ kannst du dann zum Beispiel mit einem Lineal grob abschätzen.

    Lösung

    Wir zeichnen zunächst alle gegebenen Punkte in ein Koordinatensystem ein. Dabei gibt die erste Koordinate stets an, wie weit wir auf der $x$-Achse nach rechts gehen, die zweite Koordinate beschreibt, wie weit wir in Richtung der $y$-Achse nach oben laufen.

    Es ergibt sich das obige Bild. Wir können nun zum Beispiel mit einem Lineal die Abstände der Punkte von Ursprung vergleichen.

    Der Punkt, der dem Ursprung am nächsten liegt, ist $C(1 \vert 1)$. Es folgen $E(3 \vert 0)$ auf der $x$-Achse und $D(0 \vert 4)$ auf der $y$-Achse. Am weitesten vom Ursprung entfernt ist der Punkt $B(7 \vert 1)$, dazwischen liegt noch $A(2 \vert 5)$.

    Punkte sortiert nach Abstand zum Ursprung, beginnend mit dem nächsten Punkt:

    • $C$
    • $E$
    • $D$
    • $A$
    • $B$
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