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Koordinatensystem – Einführung

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Team Digital
Koordinatensystem – Einführung
lernst du in der Unterstufe 1. Klasse - 2. Klasse

Grundlagen zum Thema Koordinatensystem – Einführung

Inhalt

Das Koordinatensystem in der Mathematik

Koordinatensysteme gibt es nicht nur in der Mathematik, sondern in vielen anderen Bereichen der Wissenschaft und des täglichen Lebens. Wusstest du zum Beispiel, dass ein Schachbrett ein Koordinatensystem ist? Auch wenn du mit deinem Handy nach dem kürzesten Weg zu einer Freundin suchst, benutzt du ein Koordinatensystem, nämlich das geografische Koordinatensystem. Und auch das Versteck eines Piratenschatzes kann mithilfe eines Koordinatensystems gefunden werden.

Was man genau unter einem KOS (KOS wird manchmal als Abkürzung für Koordinatensystem benutzt) versteht, wollen wir uns im Folgenden anschauen.


Was ist ein Koordinatensystem?

Ein Koordinatensystem hilft uns dabei, die Position von Punkten eindeutig zu beschreiben. Die Punkte können zum Beispiel einen Ort beschreiben – wie das Versteck auf einer Schatzkarte. Die Position besteht aus den einzelnen Koordinaten, bei denen es sich meistens um Zahlen handelt. Ein Punkt kann aber auch mithilfe von Buchstaben beschrieben werden. Wenn du dir zum Beispiel ein Schachbrett anschaust, ist eine Richtung mit den Zahlen $1$ bis $8$ bezeichnet und die andere mit den Buchstaben $\text{a}$ bis $\text{h}$. Eine Kombination aus Zahl und Buchstabe, zum Beispiel $(\text{e}|4)$, gibt eine eindeutige Position auf dem Schachbrett an. Wenn man sich auf einer Landkarte orientieren will, benutzt man dafür meistens Breitengrade und Längengrade – und manchmal auch die Höhe, wenn man zum Beispiel auf einen Berg wandert. Es gibt also viele verschiedene Arten von Koordinatensystemen.

In der Mathematik benutzen wir in der Regel allerdings ein spezielles Koordinatensystem, das kartesisches Koordinatensystem heißt. Benannt wurde es nach dem Mathematiker René Descartes. Schauen wir uns an, wie es aufgebaut ist.


Wie ist ein Koordinatensystem aufgebaut?

Das kartesische Koordinatensystem besteht aus zwei senkrecht aufeinander stehenden Achsen. An jeder Achse ist ein Pfeil, der in die positive Richtung zeigt. Bei der horizontalen Achse zeigt der Pfeil nach rechts, bei der vertikalen Achse nach oben.

Koordinatensystem Einführung

Der Punkt, an dem sich beide Achsen treffen, heißt Koordinatenursprung. Er hat die Koordinaten null und null. Das können wir auch so schreiben: $(0|0)$. Der Koordinatenursprung wird manchmal auch mit $\text{O}$ bezeichnet. Das kommt vom lateinischen Wort origio, das Ursprung bedeutet.

Die horizontale Achse wird meistens als $x$-Achse bezeichnet. Manchmal wird dir vielleicht auch der Name Abszissenachse begegnen. Auch das kommt aus dem Lateinischen. Linea abszissa bedeutet in etwa abgeschnittene Linie.

Die vertikale Achse wird meistens als $y$-Achse bezeichnet. Auch diese Achse trägt noch einen aus dem Lateinischen stammenden Namen: Ordinatenachse. Das kommt von linea ordinata, was geordnete Linie bedeutet.

Koordinatensystem Aufbau

An den Achsen befinden sich normalerweise Markierungen mit Zahlen. Das könnten zum Beispiel Entfernungen in Metern sein oder geografische Angaben auf einer Landkarte. Wenn du dann einen Ort suchst, kann er in Koordinaten angegeben werden. Das könnte zum Beispiel wie folgt aussehen:

$P(2|4)$

Der erste Zahl in den Klammern, also die $2$, ist der $x$-Wert. Er gibt an, wie viele Schritte du auf der $x$-Achse nach rechts gehen musst. Sind die Achsen beispielsweise in Metern angegeben, müsstest du $2$ Meter nach rechts gehen. Die zweite Zahl ist der $y$-Wert. Er gibt an, wie weit du in $y$-Richtung gehen musst. In diesem Fall sind es $4$ Schritte.

Du würdest den Punkt $P$ also erreichen, wenn du $2$ Schritte nach rechts und $4$ Schritte nach oben gehst.

Das Einführungsvideo zum Koordinatensystem

In diesem Video wird dir das Koordinatensystem einfach erklärt. Du erfährst anhand von Beispielen, welche Funktion Koordinatensysteme erfüllen und wie sie aufgebaut sind. Text und Video werden von interaktiven Übungsaufgaben ergänzt.

Transkript Koordinatensystem – Einführung

Raffa und seine Crew besegeln die sieben Weltmeere. Vor kurzem haben sie einen Hinweis auf den Ort bekommen, an dem der Schatz des großen Piratenkönigs „Greybeard“ versteckt sein soll. Aber wie sie aus diesem Tipp schlau werden sollen, ist Raffa noch nicht so ganz klar. Um den Hinweis richtig deuten zu können, braucht er ein „Koordinatensystem“. Raffa schaut sich seine Seekarte nochmal genau an! Er hat das Zahlenpaar „eins, zwei“ erhalten. Dabei soll es sich um Koordinaten handeln. Das wird anscheinend durch die Klammern und den Trennstrich verdeutlicht. Also braucht er ein Koordinatensystem, um die dahinter liegende Position zu entschlüsseln. Ein Koordinatensystem besteht aus zwei Achsen: Wir haben eine Achse die nach rechts verläuft. Das ist die x-Achse. Die andere Achse verläuft senkrecht nach oben. Diese Achse ist die y-Achse. Beide Achsen werden in gleichgroße Abschnitte unterteilt. Ein üblicher Abstand ist zum Beispiel ein Zentimeter. Diese Abschnitte können dann durchnummeriert werden. Nun können wir Punkte in dem Koordinatensystem ablesen und eintragen. Ein Punkt besteht immer aus einer x- und einer y-Koordinate. Ein ganz besonderer Punkt ist übrigens der Koordinatenursprung. Dieser liegt genau dort, wo sich x- und y-Achse schneiden und hat somit die Koordinaten „Null, Null“. Jetzt aber zum ersten Hinweis: Raffas Crew soll die Insel bei Punkt A mit den Koordinaten „eins, zwei“ ansteuern. Die erste Koordinate gibt immer den x-Wert an, also die entsprechende Zahl auf unserer x-Achse. Wir bewegen uns daher einen Schritt auf der x-Achse nach rechts. Die zweite Koordinate ist unser y-Wert. Dieser gibt an, wie weit wir an der y-Achse entlang nach oben müssen. In unserem Fall zwei Schritte. Dann sind wir bei unserem Punkt A angekommen. Wir merken uns also: Die erste Zahl eines Punktes ist immer die x-Koordinate. Sie gibt an, wie weit wir auf der x-Achse nach rechts gehen müssen, bis wir an der richtigen Stelle sind. Die zweite Zahl eines Punktes ist dann die y-Koordinate. Sie zeigt uns an, wie weit wir dann nach oben gehen müssen, bis wir bei dem Punkt angekommen sind. Auf der Insel findet Raffa einen weiteren Hinweis: Sie sollen die Insel ansteuern, auf der der Punkt B mit den Koordinaten „vier, null“ liegt. Welche Insel das wohl sein wird? Wie muss er vorgehen, um die richtige Insel ausfindig zu machen? Genau! Wir gehen vier Schritte nach rechts und schon sind wir angekommen! Da die y-Koordinate null ist, müssen wir gar nicht mehr nach oben gehen. Auf dieser Insel liegt also der beschriebene Punkt. Ob sie dieses mal fündig werden? Wieder nur ein Hinweis! Sie müssen zum Punkt C auf der Totenkopfinsel reisen. Siehst du, durch welche Koordinaten die Lage des Punktes beschrieben werden kann? Nicht vergessen: immer zuerst den x-Wert und dann erst den y-Wert nennen. Um den x-Wert zu ermitteln, gehen wir nach unten, bis wir bei der x-Achse angekommen sind und landen bei drei. Anschließend gehen wir nach links und sehen so, dass die y-Koordinate unseres Punktes vier ist. Der gesuchte Punkt C hat also die Koordinaten „drei, vier“ Alles klar! Die Segel sind gesetzt! Während Raffa und seine Crew dem großen Schatz immer näherkommen, fassen wir nochmal kurz zusammen. Mit einem Koordinatensystem können wir die Lage eines Punktes anhand seiner Koordinaten eindeutig beschreiben. Zum Beispiel diesen hier. Dazu betrachten wir zuerst immer die x-Achse, an der wir die x-Koordinate des Punktes ablesen können. Und dann die y-Achse. Hier können wir die y-Koordinate ablesen. Auch wenn wir einen Punkt in das Koordinatensystem eintragen möchten, betrachten wir zuerst die x-Koordinate. Wir gehen die entsprechenden Schritte entlang der x-Achse nach rechts, und dann soweit nach oben, wie es von der y-Koordinate angezeigt wird. An dieser Stelle kann der Punkt dann eingezeichnet werden. Der Punkt „Null, Null“ hat außerdem einen besonderen Namen. Wir nennen ihn den Koordinatenursprung. Und? Haben Raffa und Co endlich den großen Schatz von Piratenkönig Greybeard gefunden? Tatsächlich! Es ist ein Pflegeset für einen geschmeidigen Piratenbart! Arrr! Der Wert dieses Schatzes liegt eindeutig im Auge des Betrachters.

14 Kommentare

14 Kommentare
  1. mega gut danke

    Von Thora, vor 23 Tagen
  2. War 😎

    Von lea, vor etwa einem Monat
  3. mir hat das video sehr geholfen danke🙂

    Von Adin, vor etwa 2 Monaten
  4. Sehr gut

    Von Mia, vor etwa 2 Monaten
  5. Hat mir sehr geholfen 🤩☺️

    Von Elia, vor 2 Monaten
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