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Achsenspiegelung im Koordinatensystem

Achsen im Koordinatensystem spiegeln leicht gemacht! Erfahre, wie du Punkte an der xx- und yy-Achse spiegeln kannst. Die Koordinaten ändern dabei ihr Vorzeichen. Interessiert? Theorie und Übungen warten darauf, von dir entdeckt zu werden. Los geht's!

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Welche Achsen können zur Spiegelung einer Figur im Koordinatensystem verwendet werden?

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Achsenspiegelung im Koordinatensystem
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Grundlagen zum Thema Achsenspiegelung im Koordinatensystem

Einführung: Figur im Koordinatensystem spiegeln

In diesem Text wird die Achsenspiegelung im Koordinatensystem einfach erklärt. Dabei schauen wir uns an, wie man eine Figur an der xx-Achse und an der yy-Achse spiegeln kann. Es wird auch erklärt, wie sich die Koordinaten der Eckpunkte bei der Spiegelung an diesen beiden Achsen verändern.

Wie spiegelt man eine Figur im Koordinatensystem?

Um zu verstehen, wie das funktioniert, betrachten wir die Achsenspiegelung im Koordinatensystem am folgenden Beispiel. Die vier Eckpunkte des Rechtecks sind A(54)A(5|4), B(81)B(8|1), C(125)C(12|5) und D(98)D(9|8). Dabei handelt es sich um die Ursprungsfigur bestehend aus den Ursprungspunkten AA, BB, CC und DD.

Figur im Koordinatensystem spiegeln

Die xx-Achse soll die Spiegelachse sein. Wir legen ein Geodreieck senkrecht zur xx-Achse an. Es soll auf dem Punkt AA liegen. Nun wird der Abstand zwischen AA und der xx-Achse gemessen. Dieser beträgt 4cm4\,\pu{cm}. Der Abstand wird dann auf der anderen Seite der xx-Achse abgetragen. So erhalten wir den gespiegelten Bildpunkt AA^\prime.

Achsenspiegelung im Koordinatensystem

Das Gleiche wiederholen wir mit dem Punkt BB und erhalten den Bildpunkt BB^\prime. Aus Punkt CC ergibt sich CC^\prime und aus Punkt DD ergibt sich DD^\prime. Verbinden wir diese vier neuen Punkte zu einem Rechteck, so erhalten wir die an der xx-Achse gespiegelte Bildfigur aus den Bildpunkten AA^\prime, BB^\prime, CC^\prime und DD^\prime. Das fertig gespiegelte Rechteck sieht dann folgendermaßen aus:

Achsenspiegelung

Die Koordinaten der gespiegelten Punkte können wir einfach ablesen: A(54)A^\prime(5|-4), B(81)B^\prime(8|-1), C(125)C^\prime(12|-5) und D(98)D^\prime(9|-8). Beim Vergleich mit den ursprünglichen Koordinaten fällt auf, dass die Beträge der Koordinaten gleich sind. Die yy-Koordinaten der Bildpunkte haben jedoch negative Vorzeichen, wohingegen die der Ursprungspunkte positive Vorzeichen haben.

  • Wird eine Figur an der xx-Achse gespiegelt, so ändern sich die xx-Koordinaten der Ursprungspunkte nicht. Die yy-Koordinaten ändern hingegen ihr Vorzeichen.

Das gilt auch, wenn einige Ursprungspunkte unterhalb der xx-Achse liegen. In diesem Fall werden die xx-Koordinaten unverändert übernommen, während die yy-Koordinaten mit umgekehrten Vorzeichen übertragen werden. Diese Regel gilt auch, wenn die gesamte Ursprungsfigur unterhalb der xx-Achse liegt.

Was geschieht mit den Koordinaten eines Punkts bei einer Spiegelung an der y-Achse?

Betrachten wir dies an dem Rechteck aus dem ersten Abschnitt. Wir wollen es nun an der yy-Achse spiegeln. Gehen wir in diesem Fall davon aus, dass die yy-Werte unverändert übernommen werden können und die xx-Werte ihr Vorzeichen ändern. Die an der yy-Achse gespiegelten Bildpunkte müssten also bei A(54)A^{\prime \prime}(-5|4), B(81)B^{\prime \prime}(-8|1), C(125)C^{\prime \prime}(-12|5) und D(98)D^{\prime \prime}(-9|8) liegen. Durch Ausmessen der jeweiligen Abstände zur yy-Achse können wir herausfinden, ob es sich dabei um die gespiegelten Punkte handelt. Diese Abstände müssen genauso groß sein wie die Abstände der Ursprungspunkte. Dafür benutzen wir wieder das Geodreieck.

Was geschieht allgemein mit den Koordinaten eines Punktes bei einer Spiegelung an der y-Achse

Da alle Abstände übereinstimmen, haben wir die gespiegelte Figur erhalten. Es gilt:

  • Wird eine Figur an der yy-Achse gespiegelt, so ändern sich die yy-Koordinaten der Ursprungspunkte nicht. Die xx-Koordinaten ändern hingegen ihr Vorzeichen.

Zusammenfassung: Achsenspiegelung im Koordinatensystem

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Vorschaubild einer Übung

Die folgenden Stichpunkte fassen noch einmal zusammen, wie die Achsenspiegelung im Koordinatensystem funktioniert.

  • Um eine Figur an einer Achse zu spiegeln, können wir ein Geodreieck verwenden.
  • Das Geodreieck wird senkrecht auf der Spiegelachse positioniert und liegt auf dem zu spiegelnden Punkt.
  • Der Abstand zwischen dem Ursprungspunkt und der Spiegelachse wird ausgemessen.
  • Auf der anderen Seite der Spiegelachse wird der gleiche Abstand abgetragen. Dort befindet sich der Bildpunkt.
  • So verfahren wir mit allen Punkten der Ursprungsfigur.
  • Zum Schluss werden die Bildpunkte wie in der Ursprungsfigur miteinander verbunden.
  • Liegt die Ursprungsfigur in einem Koordinatensystem und soll an einer der Koordinatenachsen gespiegelt werden, funktioniert das Verfahren genauso.
  • Die yy-Koordinate eines Punkts gibt den Abstand zur xx-Achse an. Der an der xx-Achse gespiegelte Bildpunkt hat demnach die gleichen Koordinaten wie die Ursprungsfigur, nur dass die yy-Koordinate ein umgekehrtes Vorzeichen hat.
  • Wird der Ursprungspunkt an der yy-Achse gespiegelt, so wechselt das Vorzeichen der xx-Koordinate.

Für weitere Beispiele kannst du dir noch die Übungen und Arbeitsblätter zum Thema Achsenspiegelung im Koordinatensystem hier bei sofatutor anschauen.

Transkript Achsenspiegelung im Koordinatensystem

Bernadette ist Kunstliebhaberin und -fälscherin. Ihre Spezialität ist das Kopieren berühmter Gemälde. Dazu verwendet sie eine neue Apparatur, in der eine Achsenspiegelung im Koordinatensystem durchgeführt wird. Um zu verstehen, wie das funktioniert, legen wir ein Bild SO in ein Koordinatensystem. Die 4 Eckpunkte sind: A bei (5|4), B bei (8|1), C bei (12|5) und D bei (9|8). Die Spiegelachse soll die x-Achse sein. Wir legen also ein Geodreieck SO an der x-Achse an und positionieren es am Punkt A. Der Abstand zwischen A und der x-Achse beträgt 4cm. Indem wir denselben Abstand auf der ANDEREN Seite der x-Achse abtragen, erhalten wir den gespiegelten Punkt 'A Strich'. Mit dem Punkt B verfahren wir genauso und erhalten 'B Strich'. Aus Punkt C ergibt sich 'C Strich'. Und aus Punkt D 'D Strich'. Damit haben wir das Rechteck an der x-Achse gespiegelt und das BILD aus den Punkten 'A Strich', 'B Strich', 'C Strich' und 'D Strich' erhalten. Ihre Koordinaten können wir einfach ablesen. 'A Strich' liegt bei (5| 'minus 4') 'B Strich' bei (8| 'minus 1') 'C Strich' bei (12| 'minus 5') und 'D Strich' bei (9| 'minus 8'). Wenn wir sie mit den ursprünglichen Koordinaten vergleichen, sehen wir, dass die BETRÄGE der Koordinaten GLEICH sind. Die y-Koordinaten der Bildpunkte haben aber NEGATIVE Vorzeichen. Spiegeln wir eine Figur also an der x-Achse, können wir die x-Koordinaten der Ursprungspunkte für die x-Koordinaten der Bildpunkte übernehmen. Für die y-Koordinaten der Bildpunkte übernehmen wir die y-Koordinaten der Ursprungspunkte MIT UMGEKEHRTEM Vorzeichen. Das gilt IMMER! Auch, wenn einige Ursprungspunkte unterhalb der x-Achse liegen, werden die x-Koordinaten unverändert übernommen. Die y-Koordinaten werden mit umgekehrtem Vorzeichen übertragen. Und selbst wenn die ganze Ursprungsfigur unterhalb der x-Achse liegt, gilt das. Beim Spiegeln an der x-Achse müssen wir die y-Koordinaten anpassen. Also können wir davon ausgehen, dass wir beim Spiegeln an der y-Achse die x-Koordinaten genauso anpassen müssen. Versuchen wir das mal. Die an der y-Achse gespiegelten Bildpunkte müssten also bei ('minus 5'|4) bei ('minus 8'|1) bei ('minus 12'|5) bei ('minus 9'|8) liegen. Um zu überprüfen, ob es sich dabei um die gespiegelten Punkte handelt, messen wir die jeweiligen Abstände zur y-Achse aus. Die müssen genauso groß sein, wie die Abstände der Ursprungspunkte. Wir benutzen dafür das Geodreieck. Für die Punkte 'A' und 'A zwei Strich' stimmt das. Ebenso für 'B' und 'B zwei Strich' für 'C' und 'C zwei Strich und für 'D' 'D zwei Strich'. Also haben wir tatsächlich die gespiegelte Figur erhalten. Und während Bernadette die ersten Fälschungen anfertigt, fassen wir zusammen: Um eine Figur an einer Achse zu spiegeln kannst du ein Geodreieck verwenden. Du positionierst es SO am zu spiegelnden Punkt. Der Abstand zwischen dem Ursprungspunkt und der Spiegelachse wird ausgemessen. Dann misst du auf der ANDEREN Seite der Spiegelachse DENSELBEN Abstand ab. Dort befindet sich der Bildpunkt. So verfährst du mit allen anderen Punkten der Ursprungsfigur. Zum Schluss werden die Punkte der Bildfigur dem Original entsprechend verbunden. Liegt deine Ursprungsfigur in einem Koordinatensystem und sollst du sie an einer der Koordinatenachsen spiegeln geht das sehr viel leichter. Die y-Koordinate eines Punktes gibt gerade seinen Abstand von der x-Achse an. Deshalb hat der an der x-Achse gespiegelte Bildpunkt die GLEICHEN Koordinaten wie der Ursprungspunkt, nur dass die y-Koordinate ein umgekehrtes Vorzeichen hat. Wird der Ursprungspunkt dagegen an der y-Achse gespiegelt, wechselt das Vorzeichen der x-Koordinate. Und Bernadette? Ist sie zufrieden mit der Kopie? Mhhh. Irgendwie sehen die Bilder unterschiedlich aus. Dann hoffen wir mal, dass es dem Käufer nicht auffällt.

20 Kommentare
  1. cool erklärt

    Von Niclas, vor 9 Monaten
  2. Das war ein gutes Video das hat mir auch sehr geholfen danke👍🏽

    Von Emmanuel, vor mehr als einem Jahr
  3. war ok

    Von Lukas, vor mehr als einem Jahr
  4. Ich finde es mega denn ich komme dadurch besser in der Realschule besser klar als sonst

    Von Elisabeth, vor etwa 2 Jahren
  5. Das hat mir echt weiter geholfen 🤩

    Von Tihash , vor mehr als 2 Jahren
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