Achsenspiegelung im Koordinatensystem
Achsen im Koordinatensystem spiegeln leicht gemacht! Erfahre, wie du Punkte an der - und -Achse spiegeln kannst. Die Koordinaten ändern dabei ihr Vorzeichen. Interessiert? Theorie und Übungen warten darauf, von dir entdeckt zu werden. Los geht's!

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Grundlagen zum Thema Achsenspiegelung im Koordinatensystem
Einführung: Figur im Koordinatensystem spiegeln
In diesem Text wird die Achsenspiegelung im Koordinatensystem einfach erklärt. Dabei schauen wir uns an, wie man eine Figur an der -Achse und an der -Achse spiegeln kann. Es wird auch erklärt, wie sich die Koordinaten der Eckpunkte bei der Spiegelung an diesen beiden Achsen verändern.
Wie spiegelt man eine Figur im Koordinatensystem?
Um zu verstehen, wie das funktioniert, betrachten wir die Achsenspiegelung im Koordinatensystem am folgenden Beispiel. Die vier Eckpunkte des Rechtecks sind , , und . Dabei handelt es sich um die Ursprungsfigur bestehend aus den Ursprungspunkten , , und .
Die -Achse soll die Spiegelachse sein. Wir legen ein Geodreieck senkrecht zur -Achse an. Es soll auf dem Punkt liegen. Nun wird der Abstand zwischen und der -Achse gemessen. Dieser beträgt . Der Abstand wird dann auf der anderen Seite der -Achse abgetragen. So erhalten wir den gespiegelten Bildpunkt .
Das Gleiche wiederholen wir mit dem Punkt und erhalten den Bildpunkt . Aus Punkt ergibt sich und aus Punkt ergibt sich . Verbinden wir diese vier neuen Punkte zu einem Rechteck, so erhalten wir die an der -Achse gespiegelte Bildfigur aus den Bildpunkten , , und . Das fertig gespiegelte Rechteck sieht dann folgendermaßen aus:
Die Koordinaten der gespiegelten Punkte können wir einfach ablesen: , , und . Beim Vergleich mit den ursprünglichen Koordinaten fällt auf, dass die Beträge der Koordinaten gleich sind. Die -Koordinaten der Bildpunkte haben jedoch negative Vorzeichen, wohingegen die der Ursprungspunkte positive Vorzeichen haben.
- Wird eine Figur an der -Achse gespiegelt, so ändern sich die -Koordinaten der Ursprungspunkte nicht. Die -Koordinaten ändern hingegen ihr Vorzeichen.
Das gilt auch, wenn einige Ursprungspunkte unterhalb der -Achse liegen. In diesem Fall werden die -Koordinaten unverändert übernommen, während die -Koordinaten mit umgekehrten Vorzeichen übertragen werden. Diese Regel gilt auch, wenn die gesamte Ursprungsfigur unterhalb der -Achse liegt.
Was geschieht mit den Koordinaten eines Punkts bei einer Spiegelung an der y-Achse?
Betrachten wir dies an dem Rechteck aus dem ersten Abschnitt. Wir wollen es nun an der -Achse spiegeln. Gehen wir in diesem Fall davon aus, dass die -Werte unverändert übernommen werden können und die -Werte ihr Vorzeichen ändern. Die an der -Achse gespiegelten Bildpunkte müssten also bei , , und liegen. Durch Ausmessen der jeweiligen Abstände zur -Achse können wir herausfinden, ob es sich dabei um die gespiegelten Punkte handelt. Diese Abstände müssen genauso groß sein wie die Abstände der Ursprungspunkte. Dafür benutzen wir wieder das Geodreieck.
Da alle Abstände übereinstimmen, haben wir die gespiegelte Figur erhalten. Es gilt:
- Wird eine Figur an der -Achse gespiegelt, so ändern sich die -Koordinaten der Ursprungspunkte nicht. Die -Koordinaten ändern hingegen ihr Vorzeichen.
Zusammenfassung: Achsenspiegelung im Koordinatensystem
Die folgenden Stichpunkte fassen noch einmal zusammen, wie die Achsenspiegelung im Koordinatensystem funktioniert.
- Um eine Figur an einer Achse zu spiegeln, können wir ein Geodreieck verwenden.
- Das Geodreieck wird senkrecht auf der Spiegelachse positioniert und liegt auf dem zu spiegelnden Punkt.
- Der Abstand zwischen dem Ursprungspunkt und der Spiegelachse wird ausgemessen.
- Auf der anderen Seite der Spiegelachse wird der gleiche Abstand abgetragen. Dort befindet sich der Bildpunkt.
- So verfahren wir mit allen Punkten der Ursprungsfigur.
- Zum Schluss werden die Bildpunkte wie in der Ursprungsfigur miteinander verbunden.
- Liegt die Ursprungsfigur in einem Koordinatensystem und soll an einer der Koordinatenachsen gespiegelt werden, funktioniert das Verfahren genauso.
- Die -Koordinate eines Punkts gibt den Abstand zur -Achse an. Der an der -Achse gespiegelte Bildpunkt hat demnach die gleichen Koordinaten wie die Ursprungsfigur, nur dass die -Koordinate ein umgekehrtes Vorzeichen hat.
- Wird der Ursprungspunkt an der -Achse gespiegelt, so wechselt das Vorzeichen der -Koordinate.
Für weitere Beispiele kannst du dir noch die Übungen und Arbeitsblätter zum Thema Achsenspiegelung im Koordinatensystem hier bei sofatutor anschauen.
Transkript Achsenspiegelung im Koordinatensystem
Bernadette ist Kunstliebhaberin und -fälscherin. Ihre Spezialität ist das Kopieren berühmter Gemälde. Dazu verwendet sie eine neue Apparatur, in der eine Achsenspiegelung im Koordinatensystem durchgeführt wird. Um zu verstehen, wie das funktioniert, legen wir ein Bild SO in ein Koordinatensystem. Die 4 Eckpunkte sind: A bei (5|4), B bei (8|1), C bei (12|5) und D bei (9|8). Die Spiegelachse soll die x-Achse sein. Wir legen also ein Geodreieck SO an der x-Achse an und positionieren es am Punkt A. Der Abstand zwischen A und der x-Achse beträgt 4cm. Indem wir denselben Abstand auf der ANDEREN Seite der x-Achse abtragen, erhalten wir den gespiegelten Punkt 'A Strich'. Mit dem Punkt B verfahren wir genauso und erhalten 'B Strich'. Aus Punkt C ergibt sich 'C Strich'. Und aus Punkt D 'D Strich'. Damit haben wir das Rechteck an der x-Achse gespiegelt und das BILD aus den Punkten 'A Strich', 'B Strich', 'C Strich' und 'D Strich' erhalten. Ihre Koordinaten können wir einfach ablesen. 'A Strich' liegt bei (5| 'minus 4') 'B Strich' bei (8| 'minus 1') 'C Strich' bei (12| 'minus 5') und 'D Strich' bei (9| 'minus 8'). Wenn wir sie mit den ursprünglichen Koordinaten vergleichen, sehen wir, dass die BETRÄGE der Koordinaten GLEICH sind. Die y-Koordinaten der Bildpunkte haben aber NEGATIVE Vorzeichen. Spiegeln wir eine Figur also an der x-Achse, können wir die x-Koordinaten der Ursprungspunkte für die x-Koordinaten der Bildpunkte übernehmen. Für die y-Koordinaten der Bildpunkte übernehmen wir die y-Koordinaten der Ursprungspunkte MIT UMGEKEHRTEM Vorzeichen. Das gilt IMMER! Auch, wenn einige Ursprungspunkte unterhalb der x-Achse liegen, werden die x-Koordinaten unverändert übernommen. Die y-Koordinaten werden mit umgekehrtem Vorzeichen übertragen. Und selbst wenn die ganze Ursprungsfigur unterhalb der x-Achse liegt, gilt das. Beim Spiegeln an der x-Achse müssen wir die y-Koordinaten anpassen. Also können wir davon ausgehen, dass wir beim Spiegeln an der y-Achse die x-Koordinaten genauso anpassen müssen. Versuchen wir das mal. Die an der y-Achse gespiegelten Bildpunkte müssten also bei ('minus 5'|4) bei ('minus 8'|1) bei ('minus 12'|5) bei ('minus 9'|8) liegen. Um zu überprüfen, ob es sich dabei um die gespiegelten Punkte handelt, messen wir die jeweiligen Abstände zur y-Achse aus. Die müssen genauso groß sein, wie die Abstände der Ursprungspunkte. Wir benutzen dafür das Geodreieck. Für die Punkte 'A' und 'A zwei Strich' stimmt das. Ebenso für 'B' und 'B zwei Strich' für 'C' und 'C zwei Strich und für 'D' 'D zwei Strich'. Also haben wir tatsächlich die gespiegelte Figur erhalten. Und während Bernadette die ersten Fälschungen anfertigt, fassen wir zusammen: Um eine Figur an einer Achse zu spiegeln kannst du ein Geodreieck verwenden. Du positionierst es SO am zu spiegelnden Punkt. Der Abstand zwischen dem Ursprungspunkt und der Spiegelachse wird ausgemessen. Dann misst du auf der ANDEREN Seite der Spiegelachse DENSELBEN Abstand ab. Dort befindet sich der Bildpunkt. So verfährst du mit allen anderen Punkten der Ursprungsfigur. Zum Schluss werden die Punkte der Bildfigur dem Original entsprechend verbunden. Liegt deine Ursprungsfigur in einem Koordinatensystem und sollst du sie an einer der Koordinatenachsen spiegeln geht das sehr viel leichter. Die y-Koordinate eines Punktes gibt gerade seinen Abstand von der x-Achse an. Deshalb hat der an der x-Achse gespiegelte Bildpunkt die GLEICHEN Koordinaten wie der Ursprungspunkt, nur dass die y-Koordinate ein umgekehrtes Vorzeichen hat. Wird der Ursprungspunkt dagegen an der y-Achse gespiegelt, wechselt das Vorzeichen der x-Koordinate. Und Bernadette? Ist sie zufrieden mit der Kopie? Mhhh. Irgendwie sehen die Bilder unterschiedlich aus. Dann hoffen wir mal, dass es dem Käufer nicht auffällt.
Achsenspiegelung im Koordinatensystem Übung
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Nenne Merkmale der Achsenspiegelung.
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Beschreibe die Vorgehensweise bei einer Achsenspiegelung.
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Bestimme die Bildpunkte der zu spiegelnden Figuren.
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Ermittle die Koordinaten der Ursprungspunkte und deren Bildpunkte zu den jeweiligen Spiegelungen.
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Bestimme die Koordinaten der Eckpunkte des Vierecks.
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Untersuche, welche Koordinaten die Spiegelfigur des Vierecks besitzt.
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cool erklärt
Das war ein gutes Video das hat mir auch sehr geholfen danke👍🏽
war ok
Ich finde es mega denn ich komme dadurch besser in der Realschule besser klar als sonst
Das hat mir echt weiter geholfen 🤩