30 Tage kostenlos testen:
Mehr Spaß am Lernen.

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Achsenspiegelung – Einführung 07:36 min

Textversion des Videos

Transkript Achsenspiegelung – Einführung

Endlich ein freier Tag für das Geheimagentenpärchen Heiko und Heike. Heiko bekam gerade eine Nachricht von seiner Frau Heike – standesgemäß natürlich verschlüsselt! Hm... was könnte Heike ihm wohl mitteilen wollen? Hast du schon eine Idee? Wir benutzen die Achsenspiegelung, um die Nachricht zu entschlüsseln! Du kennst Spiegelungen bestimmt schon von deinem Spiegel! Kannst du dir vorstellen wie es aussieht, wenn du diese Figur an dieser Geraden hier spiegelst? Auf diese Art werden wir die Nachricht sicher auch entschlüsseln können– wir müssen nur die Konstruktion richtig hinbekommen. Fangen wir einfach mal beim ersten Buchstaben an. Das ist ein Rechteck, und wir nennen die Punkte an den Ecken A, B, C und D. C und D liegen genau auf der Geraden, an der wir spiegeln wollen. Diese Gerade nennt man Spiegelachse. Und wir merken uns gleich, dass das hier die Ursprungsfigur unserer Spiegelung ist. Um so eine geometrische Figur zu spiegeln, gehen wir punktweise vor. Legen wir mal mit dem Ursprungspunkt A los. Bei einer Spiegelung soll das Spiegelbild immer genau so weit von der Achse entfernt sein wie die Ursprungsfigur – und genau auf der anderen Seite. Wir lernen jetzt, wie du das Spiegelbild ganz ohne zu messen konstruieren kannst. Dazu brauchst du nur einen Zirkel und ein Lineal. nd das Lineal benutzen wir nur, um damit gerade Linien zu zeichnen – diese Konstruktion ist nämlich viel genauer, als man mit dem Lineal messen könnte. Wir beginnen damit, ein Lot auf die Spiegelachse durch den Punkt A zu fällen. Dafür zeichnen wir als erstes einen Kreisbogen um den Punkt A, der die Spiegelachse zweimal schneiden soll. Wir stechen also mit dem Zirkel in A ein und stellen einen ausreichend großen Radius ein – dann wird der Kreisbogen gezeichnet, etwa so. Siehst du die beiden Schnittpunkte hier? Um die müssen wir jetzt zwei gleich große Kreisbogen zeichnen. Also stellen wir den Zirkel auf einen Radius ein, der etwas größer ist als die Hälfte des Abstands dieser beiden Punkte – nicht zu klein, aber auch nicht zu groß. Den Radius verändern wir jetzt nicht mehr! Dann stechen wir in jeden der beiden neuen Schnittpunkte ein und zeichnen jeweils wieder einen großen Kreisbogen. Die beiden Kreisbogen sollen sich zweimal schneiden – so wie hier. Jetzt kommt endlich das Lineal ins Spiel! Mit ihm zeichnen wir eine Gerade durch diese beiden neuen Schnittpunkte, das ist das Lot. Schau mal, die Lotgerade verläuft auch durch den ursprünglichen Punkt A! Auf dieser Geraden wird dann sein Spiegelbild liegen, und zwar gleich weit von der Achse entfernt. Deshalb tragen wir jetzt nur noch mit dem Zirkel den Abstand zwischen der Spiegelachse und A auf der anderen Seite der Achse ab. Dazu stechen wir den Zirkel in diesem Schnittpunkt ein und zeichnen zwei kleine Kreisbogen: einen durch den Punkt A, den anderen mit dem gleichen Radius auf der anderen Seite durch die Lotgerade. Diesen Punkt hier, wo die Lotgerade die Spiegelachse schneidet, nennt man auch Fußpunkt. Und dieser Kreisbogen schneidet hier unsere Lotgerade. An dem Schnittpunkt liegt der gespiegelte Punkt A Strich. Den nennt man auch Bildpunkt oder kurz Bild. Okay - dann das gleiche nochmal für den Punkt B! Zuerst den Kreisbogen um B. Dann stellen wir einen festen Radius ein und zeichnen um diese beiden Schnittpunkte zwei Kreisbogen. Deren zwei Schnittpunkte verbinden wir zu der Lotgeraden, die auch durch B verläuft. Jetzt noch den Abstand von B zur Spiegelachse mit dem Zirkel abtragen. An diesem Schnittpunkt liegt der Bildpunkt B Strich. Die Bildpunkte von C und D sind C und D selbst – sie liegen ja auf der Spiegelachse. Du musst sie also nicht auch noch spiegeln. Nun verbindest du noch alle Bildpunkte so miteinander, wie sie in der Ursprungsfigur verbunden waren. Die Figur, die dabei entsteht, ist die Bildfigur. Fertig! Aber natürlich muss die Figur, die wir spiegeln wollen, die Spiegelachse nicht immer berühren. So wie hier! Aber die Konstruktion funktioniert ganz genauso. Noch einmal ganz schnell für den Punkt A. Kreisbogen um A. Kreisbogen um die Schnittpunkte. Lotgerade durch die neuen beiden Schnittpunkte. Mit dem Zirkel den Abstand von A zur Achse auf der Lotgeraden abtragen. An diesem Schnittpunkt liegt A Strich. Bei den übrigen Punkten geht das genauso. Dann verbinden wir sie noch entsprechend der Ursprungsfigur und erhalten die Bildfigur. Die Seiten der Bildfigur sind immer vertauscht, wenn man sie mit der Ursprungsfigur vergleicht. Wenn du vor einem Spiegel stehst, ist auch vorne und hinten vertauscht – deine Nase zeigt in Richtung Spiegelbild, die deines Spiegelbilds zeigt auf dich. Heiko hat inzwischen schon ein paar Buchstaben entziffert – gerade ist das 'H' fertig geworden. Eine solche Figur nennt man Achsensymmetrisch. Du kannst nämlich eine Spiegelachse an die Figur anlegen, sodass das Spiegelbild wieder genau gleich aussieht, wie die ursprüngliche Figur. So eine Spiegelachse nennt man dann auch Symmetrieachse. Findest du noch eine andere Symmetrieachse für das H? Sie könnte auch hier verlaufen. Manche Figuren haben mehrere Symmetrieachsen, manche nur eine – und es gibt natürlich auch Figuren, die gar nicht achsensymmetrisch sind. Lass uns noch schnell zusammenfassen. Um eine Figur an einer Spiegelachse zu spiegeln, musst du alle ihre Punkte spiegeln. Dabei gehst du so vor: Zuerst zeichnest du einen Kreisbogen um den Ursprungspunkt, der die Spiegelachse zweimal schneidet. Um diese Schnittpunkte zeichnest du gleich große Kreisbogen, die sich wiederum zweimal schneiden. Diese beiden Schnittpunkte verbindest du zu der Lotgeraden. Die verläuft durch den zu spiegelnden Punkt und den Fußpunkt auf der Spiegelachse. Zuletzt trägst du noch mit dem Zirkel den Abstand zwischen der Spiegelachse und dem Ursprungspunkt entlang der Lotgeraden ab. Der so entstehende Schnittpunkt ist der gesuchte Bildpunkt. Anschließend verbindest du noch alle gespiegelten Punkte und erhältst so die Bildfigur. Mit Zirkel und Lineal dauert das Spiegeln ganz schön lang. Ah, endlich fertig! "Ich bekoche dich" – da freut sich Heiko aber. Nur...wann hat Heike diese Nachricht geschrieben? Das ist ja ewig her! Tja, Heiko – zu langsam konstruiert!

10 Kommentare
  1. Aber es ginge auch wesentlich einfacher

    Von Nechy4u, vor 11 Tagen
  2. Ja da stimme ich dir zu Kaya Kuttner,
    das Video ist wirklich super

    Von Nechy4u, vor 11 Tagen
  3. Super Video

    Von Kaya Kuttner, vor 23 Tagen
  4. Hallo Abboodasj, du hast recht, mit speziellen Hilfsmitteln wie Geodreiecken geht das auch leichter. Wenn als Hilfsmittel aber nur Zirkel und Lineal erlaubt sind, geht es leider nicht schneller.
    Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Albrecht Kröner, vor etwa 2 Monaten
  5. das kann mann viel leichter machen

    Von Abboodasj, vor etwa 2 Monaten
  1. gut

    Von Fynn Mueller06 11, vor 4 Monaten
  2. Jo voll cool hab das vorher nicht gechekt

    Von Deleted User 760151, vor 5 Monaten
  3. Hat mir sehr geholfen, Danke

    5 Sterne

    Von Oskar Wallinger, vor 5 Monaten
  4. schönes Video ckcnjjdjdjdcdjkjve

    Von V Scheer, vor 7 Monaten
  5. sogutesvideoschongemachihrseidsehrgut

    Von PATRIK D., vor 7 Monaten
Mehr Kommentare

Achsenspiegelung – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Achsenspiegelung – Einführung kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Eigenschaften der Achselspiegelung an.

    Tipps

    Bei der Konstruktion von Spiegelbildern wird jeder Eckpunkt einzeln gespiegelt. Die Bildpunkte werden dann entsprechend der Ursprungsfigur miteinander verbunden.

    Liegt ein Punkt auf der Spiegelachse, sind Ursprungs- und Bildpunkt identisch.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    • Bei der Konstruktion einer Punktspiegelung spiegelt man die komplette Figur auf einmal.
    Denn bei der Konstruktion von Spiegelbildern wird jeder Eckpunkt einzeln gespiegelt. Die Bildpunkte werden dann entsprechend der Ursprungsfigur miteinander verbunden.
    • Mindestens ein Punkt der Ursprungsfigur muss auf der Spiegelachse liegen.
    Punkte der Ursprungsfigur können, aber müssen nicht auf der Spiegelachse liegen. Liegen Punkte jedoch auf der Spiegelachse, sind Ursprungs- und Bildpunkt identisch.

    $~$

    Diese Aussagen sind wahr:

    • Ein durch Spiegelung gefundener Punkt heißt Bildpunkt.
    • Einen Bildpunkt bezeichnet man üblicherweise mit dem gleichen Buchstaben wie der Ursprungspunkt. Man fügt allerdings einen Strich an. Aus $A$ wird demnach $A'$.
    • Der Bildpunkt muss den gleichen Abstand von der Spiegelachse haben wie der Ursprungspunkt.
    Alle diese Aussagen beschreiben übliche Eigenschaften von Achsenspiegelungen.

  • Benenne die Bestandteile Figur und ihrer Spiegelung.

    Tipps

    Bildpunkte werden mit einem Strich gekennzeichnet. Aus $A$ wird demnach $A'$.

    Verbindest du alle Bildpunkte miteinander, erhältst du die Bildfigur.

    Lösung

    Die Zuordnung kann folgendermaßen erfolgen:

    • Einzelne Punkte der ursprünglichen Figur heißen Ursprungspunkt. Also ist auch $A$ ein Ursprungspunkt.
    • Die Figur, die sich aus den Ursprungspunkten zusammensetzt, heißt Ursprungsfigur. Hier ist das rote Rechteck also die Ursprungsfigur.
    • Die Spiegelungen der Ursprungspunkte heißen Bildpunkte. Also ist auch $A'$ ein Bildpunkt.
    • Die Spiegelung der Ursprungsfigur heißt Bildfigur. Demnach ist das blaue Rechteck die Bildfigur.
    • Die Gerade, an der gespiegelt wird, heißt Spiegelachse.
    • Der Ursprungspunkt $D$ liegt genau auf der Spiegelachse. Er hat also den Abstand $0$ von dieser Achse. Deshalb ist er gleichzeitig sein Spiegelpunkt, also auch der Bildpunkt $D'$.
  • Gib wieder, wie man Figuren an einer Achse spiegelt.

    Tipps

    Um eine Figur zu spiegeln, müssen zunächst alle Eckpunkte der Figur einzeln gespiegelt werden.

    Der Bildpunkt muss genau im gleichen Abstand auf der gegenüberliegenden Seite der Spiegelachse liegen.

    Nachdem du alle Eckpunkte gespiegelt hast, kannst du diese Punkte zur Bildfigur verbinden.

    Lösung

    Eine Spiegelung an einer Achse funktioniert folgendermaßen:

    • Bei der Bestimmung der Bildfigur gehst du punktweise vor. Zu Beginn wählst du also einen Eckpunkt $A$ der Figur aus.
    Um eine Figur zu spiegeln, müssen zunächst alle Eckpunkte der Figur einzeln gespiegelt werden.

    • Dann fällst du das Lot durch $A$ auf die Spiegelachse.
    • Im Anschluss zeichnest du einen Kreis um den Fußpunkt, der das Lot in $A$ und in einem weiteren Punkt schneidet. Der Radius dieses Kreises entspricht dem Abstand von $A$ zum Fußpunkt.
    • Der zweite Schnittpunkt von dem Kreis und der Lotgeraden ist der Bildpunkt $A'$.
    Der Bildpunkt muss genau im gleichen Abstand auf der gegenüberliegenden Seite der Spiegelachse liegen. Dabei müssen Bildpunkt und Ursprungspunkt auf einer Geraden senkrecht zur Spiegelachsen liegen. Das Lot, das durch den Ursprungspunkt geht, stellt sicher, dass Bildpunkt und Ursprungspunkt auf einer solchen Geraden liegen. Die Kreissegmente sorgen dafür, dass der Bildpunkt den gleichen Abstand zur Spiegelachse hat.

    • Für alle weiteren Punkte gehst du analog vor.
    • Zum Schluss verbindest du die Bildpunkte entsprechend der Ursprungsfigur zur Bildfigur.
  • Erkläre, wie die Konstruktion funktioniert.

    Tipps

    Ein Lot steht immer senkrecht auf der Geraden, zu der es konstruiert wurde.

    Möchte man Punkte finden, die den gleichen Abstand zu einem bestimmten Punkt haben, verwendet man oft einen Kreis.

    Der Bildpunkt kann mit dem bekannten Konstruktionsverfahren gefunden werden.

    Lösung

    Das Vorgehen bei einer Achsenspiegelung erklärt sich folgendermaßen:

    Bei einer Achsenspiegelung müssen Bildpunkt und Ursprungspunkt auf einer Geraden senkrecht zur Spiegelachsen liegen. Eine Lotgerade steht senkrecht auf der Spiegelachse. Deshalb muss man eine Lotgerade konstruieren, um einen Punkt an einer Achse zu spiegeln.

    Bildpunkt und Ursprungspunkt müssen außerdem den gleichen Abstand zur Spiegelachse haben. Alle Punkte auf einem Kreis haben den gleichen Abstand vom Kreismittelpunkt. Deshalb zeichnet man einen Kreis um den Fußpunkt um den Abstand abzutragen.

    Will man also den Punkt $A(2\vert3)$ an der $y$-Achse spiegeln, muss man sicherstellen, dass der Bildpunkt $A'$ und $A$ auf einer Geraden senkrecht zur $y$-Achse liegen. Außerdem müssen die beiden Punkte den gleichen Abstand zu dieser Achse haben. Zeichnet man den Punkt in ein Koordinatensystem und führt die gelernte Konstruktion durch, erhält man den Bildpunkt $A'(-2\vert3)$.

    Derselbe Punkt $A(2\vert3)$ kann auch an der $x$-Achse gespiegelt werden. Hier müssen Ursprungspunkt $A$ und Bildpunkt $A''$ auf einer Geraden senkrecht zur $y$-Achse liegen. Der Punkt, der den gleichen Abstand zu dieser Achse hat, wie $A$ liegt bei $A''(2\vert-3)$.

    In der Mathematik spiegelt man häufig Punkte oder Funktionen an Koordinatenachsen. Dabei gibt es einen einfachen Trick, wie du Punkte an diesen spiegelst. Willst du zum Beispiel den Punkt $A(2\vert3)$ an der $x$-Achse spiegeln, weißt du schon, welchen Abstand zur Spiegelachse dieser Punkt hat. Um den Punkt im Koordinatensystem einzuzeichnen, bist du $2$ Schritte nach rechts entlang der $x$-Achse gegangen und im Anschluss $3$ senkrecht nach oben, entlang der $y$-Achse. Der Abstand zur Koordinaten- und Spiegelachse beträgt also $3$ Längeneinheiten. Willst du den Punkt spiegeln, musst du also nur von der Koordinatenachse aus $3$ Längeneinheiten in die andere, also negative Richtung, gehen. Der Bildpunkt liegt also bei $A''(2\vert-3)$.

  • Bilde mittels Spiegelung die Bildfigur des gegebenen Dreiecks.

    Tipps

    Um auf die Spiegelachse ein Lot durch den Ursprungspunkt zu fällen, benötigt man zunächst zwei Punkte auf der Spiegelachse, die den gleichen Abstand zum Ursprungspunkt haben.

    Der Bildpunkt muss genau im gleichen Abstand auf der gegenüberliegenden Seite der Spiegelachse liegen.

    Lösung

    Bei der Spiegelung des gegebenen Dreiecks an der Spiegelachse gehst du wie folgt vor:

    • Du beginnst mit einem Eckpunkt der Figur und zeichnest um diesen einen Kreisbogen, der die Spiegelachse zweimal schneidet. Wir beginnen hier mit dem Eckpunkt $A$.
    Dieser Kreisbogen schneidet die Spiegelachse in zwei Punkten, welche man für die Konstruktion des Lots benötigt.

    • Um die beiden Schnittpunkte des Kreisbogens mit der Spiegelachse zeichnest du jeweils einen Kreisbogen mit gleichem Radius. Dieser muss groß genug sein, so dass sich die Kreisbögen zweimal schneiden.
    • Durch die Schnittpunkte zeichnest du eine Gerade, die durch den Punkt $A$ verläuft. Somit hast du das Lot auf die Spiegelachse durch den Punkt $A$ gefällt.
    Auf diese Weise konstruierst du also eine Lotgerade. Diese sorgt dafür, dass der Bildpunkt und der Ursprungspunkt auf einer Geraden senkrecht zur Spiegelachse liegen, was eine Bedingung der Achsenspiegelung ist.

    • Mit zwei Kreissegmenten um den Fußpunkt trägst du den Abstand zwischen Fußpunkt und $A$ ab. Der Schnittpunkt der Lotgeraden mit dem zweiten Kreissegment ist der Bildpunkt $A'$.
    Diese Kreissegmente sorgen dafür, dass der Bildpunkt den gleichen Abstand zur Spiegelachse hat wie der Ursprungspunkt, womit die zweite Bedingung der Achsenspiegelung erfüllt ist.

    • Die restlichen Punkte der Figur werden genauso gespiegelt und im Anschluss zur Bildfigur verbunden.
  • Erkläre, wie man die Konstruktionsschritte durchführt.

    Tipps

    Ob eine Figur achsensymmetrisch ist, kannnst du bestimmen, indem du die Figur auf Symmetrieachsen untersuchst.

    Lösung

    Ob eine Figur achsensymmetrisch ist, kannst du bestimmen, indem du die Figur auf Symmetrieachsen untersuchst. Eine Symmetrieachse ist eine Spiegelachse, die die Figur in zwei Teile teilt, sodass ein Teil das Spiegelbild des anderen ist. Figuren können mehrere dieser Symmetrieachsen besitzen.

    Folgende Figuren besitzen keine Achsensymmetrie:

    • Figur $3$
    • Figur $4$
    Folgende Figuren sind achsensymmetrisch:

    • Figur $1$
    • Figur $2$
    • Figur $5$