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Punktsymmetrisch oder achsensymmetrisch? 06:58 min

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Transkript Punktsymmetrisch oder achsensymmetrisch?

Die Bestandteile der Windmühle haben besondere Eigenschaften. Sie weisen mehrere Arten der Symmetrie auf. Dieser Teil der Windmühle ist achsensymmetrisch. Dieser hingegen ist punktsymmetrisch. Doch woher wissen wir, welche Formen punktsymmetrisch oder achsensymmetrisch sind? Um das zu entscheiden, wiederholen wir noch einmal, was punkt- und achsensymmetrisch überhaupt bedeutet. Punktsymmetrisch bedeutet, dass eine Figur durch Drehung um 180 Grad auf sich selbst abgebildet werden kann. Die Drehung erfolgt dabei um das sogenannte Symmetriezentrum. Das bedeutet: Drehen wir die Figur um 180 Grad um das Symmetriezentrum herum, ist die Figur deckungsgleich mit der ursprünglichen Form. Achsensymmetrisch hingegen bedeutet, dass eine Figur durch Zusammenklappen auf sich selbst abgebildet wird. Das Zusammenklappen erfolgt dabei an der Symmetrieachse. Das bedeutet: Klappen wir die Figur entlang der Symmetrieachse zusammen, sind beide Seiten deckungsgleich. Um ein Gefühl dafür zu bekommen, ob eine Figur punkt- oder achsensymmetrisch ist, schauen wir uns zunächst einige geometrische Grundformen an. Das ist ein Parallelogramm. Ist das Parallelogramm punktsymmetrisch? Das Symmetriezentrum liegt HIER, genau in der Mitte der Figur. Wir drehen es nun um 180 Grad um das Symmetriezentrum und sehen: Das gedrehte Parallelogramm ist deckungsgleich mit dem ursprünglichen Parallelogramm. Somit ist das Parallelogramm punktsymmetrisch. Doch ist es auch achsensymmetrisch? Versuchen wir es an dieser Achse zusammenzuklappen. Wie wir sehen, sind beide Seiten allerdings nicht deckungsgleich. Und egal an welcher anderen Achse wir das versuchen: Die Seiten sind niemals deckungsgleich. Wie sieht es bei diesem Trapez aus? Eine Drehung um 180 Grad führt nicht zu einer Deckungsgleichheit mit dem ursprünglichen Trapez. Somit ist dieses Trapez nicht punktsymmetrisch. Doch gibt es vielleicht eine Symmetrieachse, sodass es achsensymmetrisch ist? Ja, denn hier verläuft eine Symmetrieachse. Klappen wir das Trapez entlang dieser Achse zusammen, sind beide Seiten deckungsgleich. Dieses Trapez ist also achsensymmetrisch. Deshalb nennt man diese Form des Trapezes auch symmetrisches Trapez. Es gibt jedoch mehrere Trapezarten. Dieses Trapez sieht etwas anders aus. Auch hier gibt es kein Symmetriezentrum, um das wir die Figur so drehen können, dass es zu einer Deckungsgleichheit kommt. Somit ist dieses Trapez nicht punktsymmetrisch. Wir können dieses Trapez auch nicht so zusammenklappen, dass beide Seiten deckungsgleich sind. Es ist also nicht achsensymmetrisch. Gilt das auch für die Raute? Schauen wir uns an, ob die Raute – auch Rhombus genannt – punktsymmetrisch ist. Hier liegt das Symmetriezentrum. Wir können die Raute um das Symmetriezentrum drehen und sehen: Die gedrehte Raute ist deckungsgleich mit der ursprünglichen Raute. Sie ist also punktsymmetrisch. Ist sie denn auch achsensymmetrisch? Ja, denn wir können hier eine Symmetrieachse finden... und die Raute daran zusammenklappen. Somit ist die Raute achsensymmetrisch. Das gilt auch für diese Symmetrieachse. Die Raute ist also sowohl punkt- als auch achsensymmetrisch. Auch im Alltag gibt es Formen, die eine Punkt- oder Achsensymmetrie aufweisen. Schauen wir uns dieses Haltestellen-Schild einmal genauer an. Wir sehen darin den Buchstaben H. Durch ihn verläuft hier eine Symmetrieachse und hier! Somit ist das Schild auf achsensymmetrisch. Ist es auch punktsymmetrisch? Wir drehen das Schild um 180 Grad um das Symmetriezentrum und sehen: Das gedrehte und das ursprüngliche Schild sind deckungsgleich. Das Haltestellenschild ist also sowohl punkt- als auch achsensymmetrisch. Diese Spielkarte wirkt so, als sei sie achsensymmetrisch. Klappen wir sie jedoch zusammen, sehen wir: Beide Seiten sind nicht deckungsgleich. Somit ist die Spielkarte nicht achsensymmetrisch. Wir können die Karte allerdings um das hier liegende Symmetriezentrum um 180 Grad drehen. Dann sind die gedrehte und die ursprüngliche Karte deckungsgleich. Die Spielkarte ist also punktsymmetrisch. Auch in einigen Fahrzeugen lässt sich eine Symmetrie feststellen. Die Symmetrieachse verläuft hier einmal exakt durch die Mitte des Flugzeuges und teilt es somit in zwei deckungsgleiche Hälften. Das Flugzeug ist von oben betrachtet also achsensymmetrisch. Eine Drehung führt hier aber nicht zur Deckungsgleichheit und somit auch nicht zur Punktsymmetrie. Bei einigen Figuren muss man allerdings genauer hinsehen. Diese Pizza könnte zum Beispiel so wirken, als sei sie symmetrisch, da sie kreisförmig ist. Eine Drehung um 180 Grad führt allerdings nicht zu einer Deckungsgleichheit zwischen gedrehter und ursprünglichen Pizza. Ein Zusammenklappen führt hier auch nicht zu einer Deckungsgleichheit, sondern zu einer Calzone. Die Pizza ist also weder punkt- noch achsensymmetrisch. Fassen wir das noch einmal zusammen. Punktsymmetrische Figuren können durch eine Drehung um 180 Grad auf sich selbst abgebildet werden, sodass sie deckungsgleich sind. Die Drehung erfolgt dabei um das Symmetriezentrum. Achsensymmetrische Figuren können hingegen durch Zusammenklappen auf sich selbst abgebildet werden. Das Zusammenklappen erfolgt dabei an der Symmetrieachse. Aber Achtung: Manche Figuren weisen beide Symmetriearten auf. Oh, das war ja ein symmetriebegeisterter Blitz.

7 Kommentare
  1. sehr gut erklärt

    Von Sandra J., vor etwa einem Monat
  2. super Video, toll erklärt!

    Von Helena Hullmann, vor etwa 2 Monaten
  3. Danke ich hab es endlich verstanden :-)

    Von Markus Gruetzmacher, vor 2 Monaten
  4. Ups ich glaube ich habe eine Rechtschreibfehler entdeckt..Bei Sekunde 24 steht Punktsymterisch und nicht Punktsymetrisch 😂😂😂

    Von Benjamin55743, vor 2 Monaten
  5. toll erklärt,macht spass das anzuschaue(auch für dumme)

    Von Artheiss, vor 3 Monaten
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Punktsymmetrisch oder achsensymmetrisch? Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Punktsymmetrisch oder achsensymmetrisch? kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die korrekten Aussagen zu Punkt- und Achsensymmetrie.

    Tipps

    Eine Pizza ist normalerweise nicht symmetrisch.

    Jedes Parallelogramm ist punktsymmetrisch.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Jede Figur ist entweder achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch. Es gibt keine Figur, die keine Symmetrie besitzt.“

    • Figuren sind nicht zwangsläufig symmetrisch. Eine Pizza ist normalerweise nicht symmetrisch.
    „Dreht man ein Parallelogramm um $180^\circ$ um den Mittelpunkt, ist die gedrehte Figur nicht deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur.“

    • Jedes Parallelogramm ist nach einer solchen Drehung deckungsgleich mit der Ursprungsfigur. Das bedeutet, dass es punktsymmetrisch ist.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Eine punktsymmetrische Figur kann durch $180^\circ$-Drehung um das Symmetriezentrum auf sich selbst abgebildet werden.“

    „Klappt man eine achsensymmetrische Figur an der Symmetrieachse zusammen, sind beide Seiten deckungsgleich.“

    • So kannst du Punkt- bzw. Achsensymmetrie beschreiben.
    „Ein Rhombus ist gleichzeitig achsensymmetrisch und punktsymmetrisch.“

    • Ein Rhombus oder auch Raute ist ein besonderes Parallelogramm. Es weist zusätzlich zur Punktsymmetrie Achsensymmetrie auf. Im Bild siehst du die Symmetrieachsen und das Spiegelzentrum.
  • Beschreibe die Symmetrie verschiedener Figuren.

    Tipps

    Punktsymmetrie heißt so, weil hier Symmetrie bezüglich eines Punktes (des Symmetriezentrums) besteht.

    Faltest du das in der Aufgabe abgebildete Trapez entlang einer Achse, die senkrecht durch die Mitte der Figur verläuft, sind die beiden Teile deckungsgleich.

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie nach einer Drehung um $180^{\circ}$ deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur ist. Die Drehung erfolgt um das Symmetriezentrum.“

    • Punktsymmetrie heißt so, weil hier Symmetrie bezüglich eines Punktes (des Symmetriezentrums) besteht.
    „Eine achsensymmetrische Figur kannst du so zusammenklappen, dass die beiden Hälften anschließend deckungsgleich sind. Die Gerade, entlang der gefaltet wird, heißt Symmetrieachse.“

    • Achsensymmetrie heißt so, weil hier die Symmetrie bezüglich einer Achse besteht.
    „Dieses Parallelogramm ist punktsymmetrisch, aber nicht achsensymmetrisch.“

    • Drehst du dieses Parallelogramm um $180^{\circ}$ um den Mittelpunkt, ist die Figur deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur. Es gibt allerdings keine Symmetrieachse, an der die Figur gefaltet werden könnte, sodass die beiden Teile deckungsgleich sind.
    „Dieses Trapez weist Achsensymmetrie, aber keine Punktsymmetrie auf.“

    • Faltest du das in der Aufgabe abgebildete Trapez entlang einer Achse, die senkrecht durch die Mitte der Figur verläuft, sind die beiden Teile deckungsgleich. Es gibt allerdings keinen Punkt, um den die Figur um $180^{\circ}$ gedreht werden könnte, sodass die Figur deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur wäre.
    „Dieses Haltestellenschild ist achsensymmetrisch und punktsymmetrisch.

  • Ermittle die Arten der Symmetrie.

    Tipps

    Überlege dir zuerst, ob die Form des Schildes eine bestimmte Art der Symmetrie zulässt. Das Vorfahrt-gewähren-Schild (weißes Dreieck mit rotem Rand) ist ein Dreieck.

    Lösung

    Überlege dir zuerst, ob die Form des Schildes eine bestimmte Art der Symmetrie zulässt. Anschließend kannst du überlegen, ob der Inhalt der Schilder Symmetrieeigenschaften aufweist. Dann erhältst du:

    Diese Schilder sind nicht achsen- und punktsymmetrisch:

    • Die Form des Stoppschilds weist zwar beide Arten der Symmetrie auf, die Beschriftung jedoch nicht.
    • Das Vorgeschriebene-Vorbeifahrt-Schild (weißer Pfeil auf blauem Grund) ist zwar achsensymmetrisch, aber nicht punktsymmetrisch.
    • Das Vorfahrt-gewähren-Schild (weißes Dreieck mit rotem Rand) ist aufgrund seiner Form nicht punktsymmetrisch.
    Diese Schilder weisen beide Symmetriearten auf:

    • das Absolutes-Halteverbot-Schild (rotes Kreuz mit Rand auf blauem Grund),
    • das Vorfahrtstraße-Schild (gelbe Raute mit weißem Rand) und
    • das Verbot-der-Einfahrt-Schild (weißes Rechteck auf rotem Grund).
  • Ermittle die Arten der Symmetrie.

    Tipps

    Du kannst die Anzahl der Symmetrieachsen bestimmen, indem du die Figuren zeichnest und sie anschließend auf ihre Symmetrieeigenschaften überprüfst

    Dieses Schild ist punktsymmetrisch und hat zwei Symmetrieachsen.

    Das Symbol $\infty$ steht für unendlich.

    Lösung

    Du kannst die Anzahl der Symmetrieachsen bestimmen, indem du die Figuren zeichnest und sie anschließend auf ihre Symmetrieeigenschaften überprüfst. So erhältst du:

    • Die Schneeflocke ist punktsymmetrisch (bei Drehung um $180^{\circ}$ erhältst du dieselbe Figur) und hat sechs Symmetrieachsen (wenn du sie an diesen Achsen faltest, sind die beiden Hälften deckungsgleich).
    • Der Stern ist nicht punktsymmetrisch (bei Drehung um $180^{\circ}$ erhältst du nicht dieselbe Figur) und hat sieben Symmetrieachsen (diese verlaufen jeweils durch eine Spitze und die gegenüberliegende Einkerbung).
    • Das Fünfeck ist nicht punktsymmetrisch (bei Drehung um $180^{\circ}$ erhältst du nicht dieselbe Figur) und hat fünf Symmetrieachsen (diese verlaufen jeweils durch eine Ecke und die gegenüberliegende Strecke).
    • Der Kreis ist punktsymmetrisch (bei Drehung um $180^{\circ}$ erhältst du dieselbe Figur) und hat unendlich ($\infty$) viele Symmetrieachsen (diese verlaufen alle durch den Mittelpunkt des Kreises).
  • Gib die Art der Symmetrie an.

    Tipps

    Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie nach einer Drehung um $180^{\circ}$ deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur ist. Die Drehung erfolgt um das Symmetriezentrum.

    Eine achsensymmetrische Figur kannst du so zusammenklappen, dass die beiden Hälften anschließend deckungsgleich sind.

    Lösung

    Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie nach einer Drehung um $180^{\circ}$ deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur ist. Die Drehung erfolgt um das Symmetriezentrum.

    Eine achsensymmetrische Figur kannst du so zusammenklappen, dass die beiden Hälften anschließend deckungsgleich sind.

    Damit kannst du die Objekte richtig zuordnen:

    Diese Objekte sind nur punktsymmetrisch:

    • der Windmühlenrotor und
    • das Parallelogramm.
    Diese Objekte sind nur achsensymmetrisch:

    • der Windmühlenturm,
    • das gleichmäßige Trapez,
    • das Flugzeug.
    Das ist sowohl punkt- als auch achsensymmetrisch:

    • das Verkehrsschild.
    Diese Objekte weisen keine Symmetrie auf:

    • die Pizza und
    • das ungleichmäßige Trapez.
  • Prüfe, ob diese Funktionen punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung sind.

    Tipps

    Du kannst überprüfen, welche Funktionen punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung sind, indem du die Funktionen zeichnest und anschließend überprüfst, ob sie nach einer Drehung um $180^{\circ}$ um den Koordinatenursprung deckungsgleich mit der ursprünglichen Funktion sind.

    Lösung

    Du kannst überprüfen, welche Funktionen punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung sind, indem du die Funktionen zeichnest und anschließend überprüfst, ob sie nach einer Drehung um $180^{\circ}$ um den Koordinatenursprung deckungsgleich mit der ursprünglichen Funktion sind. Dann erhältst du:

    • Diese drei Funktionen sind punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
    • Die anderen beiden Funktionen sind nach einer Drehung um $180^{\circ}$ nicht deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur. Damit sind sie nicht punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Sie sind aber achsensymmetrisch in Bezug auf die $y$-Achse.