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Punktsymmetrische Figuren

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Lerntext zum Thema Punktsymmetrische Figuren

Punktsymmetrische Figuren

Punktsymmetrische Figuren sind nach einer Drehung um $180°$ identisch mit der Ausgangsfigur. Dafür müssen sie um einen bestimmten Punkt, dem Symmetriezentrum, gedreht werden.

Die Punktsymmetrie ist eine besondere Form der Drehsymmetrie und unterscheidet sich von der Achsensymmetrie. Ob eine Figur punktsymmetrisch oder achsensymmetrisch ist, kannst du zum Beispiel daran erkennen, dass punktsymmetrische Figuren ein Symmetriezentrum statt einer Symmetrieachse haben.

Das Parallelogramm ist ein Beispiel für eine punktsymmetrische Figur.

Punktsymmetrie Animation.gif

Aufgaben zum Thema Punktsymmetrische Figuren

Um punktsymmetrische Figuren zu verstehen und Aufgaben dazu zu bearbeiten, ist es wichtig,

  • punktsymmetrische Figuren erkennen,
  • das Symmetriezentrum einzeichnen
  • und Figuren zu einer punktsymmetrischen Figur ergänzen zu können.

Punktsymmetrische Figuren erkennen

Wenn du dir unsicher bist, ob eine Figur punktsymmetrisch ist, kannst du sie auf einem Blatt abzeichnen, die Figur ausschneiden und ausprobieren, ob sie nach einer Drehung um $180°$ genauso wie die Ausgangsfigur aussieht.

Aufgabe – Punktsymmetrische Figuren erkennen

Welche der abgebildeten Figuren ist punktsymmetrisch?

Dreieck, Kreis, Stern und Quadrat

Lösung – Punktsymmetrische Figuren erkennen

Der Kreis und das Quadrat sind punktsymmetrisch.

Das gleichseitige Dreieck und der Stern sind drehsymmetrisch, jedoch nicht punktsymmetrisch.

Die Punktsymmetrie ist eine Sonderform der Drehsymmetrie.

Drehsymmetrische Figuren sind bei einer Drehung von weniger als $360°$ deckungsgleich mit der Ausgangsfigur, aber eben nicht zwingend bei einer Drehung von $180°$. Nicht jede drehsymmetrische Figur ist daher punktsymmetrisch. Punktsymmetrische Figuren sind jedoch immer drehsymmetrisch.

Symmetriezentrum einzeichnen

Du kannst das Symmetriezentrum einer punktsymmetrischen Figur ermitteln, indem du zwei sich gegenüberliegende Punkte (z. B. „links-oben“ mit „rechts unten“) mit einer Geraden verbindest und diesen Vorgang mit zwei weiteren Punkten, die sich ebenfalls genau gegenüberliegen, wiederholst. Der Punkt, an dem sich die beiden Geraden schneiden, ist das Symmetriezentrum.

Symmetriezentrum einzeichnen

Bei dieser Raute ist das Symmetriezentrum gut zu bestimmen, indem du die Punkte $\text{A}$ ganz oben und $\text{C}$ ganz unten sowie die Punkte $\text{B}$ ganz links und $\text{D}$ rechts miteinander verbindest. Der Schnittpunkt der beiden so entstehenden Geraden ist das Symmetriezentrum. Der Abstand von den verbundenen Punkten zum Symmetriezentrum ist dann jeweils genau gleich groß.

Aufgabe – Symmetriezentrum einzeichnen

Welches der beiden Symmetriezentren ist korrekt eingezeichnet?

Symmetriezentrum einzeichnen Übung

Lösung – Symmetriezentrum einzeichnen

Das Symmetriezentrum in Abbildung A ist korrekt eingezeichnet. Bei Abbildung B wurden Punkte verbunden, die sich nicht genau gegenüberliegen. Daher sind auch die Abstände der verbundenen Punkte zum Schnittpunkt jeweils nicht gleich groß und es handelt sich bei diesem Punkt nicht um das Symmetriezentrum.

Zur punktsymmetrischen Figur ergänzen

Du kannst eine Figur zu einer punktsymmetrischen Figur ergänzen, indem du der Figur etwas hinzufügst.

Aufgabe – Zur punktsymmetrischen Figur ergänzen

Ergänze diese Figur zu einer punktsymmetrischen Figur.

Zur punktsymmetrischen Figur ergänzen

Lösung – Zur punktsymmetrischen Figur ergänzen

Um eine Figur zu einer punktsymmetrischen Figur zu ergänzen, kannst du folgende Schritte befolgen:

  1. Geodreieck an einem Punkt, der gespiegelt werden soll, so anlegen, dass der Nullpunkt des Geodreiecks am Symmetriezentrum Z anliegt.
  2. Abstand zwischen Punkt und Symmetriezentrum auf die andere Seite übertragen und dort den Bildpunkt einzeichnen.
  3. Dieses Vorgehen für jeden Punkt, der gespiegelt werden soll, wiederholen und anschließend die Bildpunkte verbinden, um die vollständige punktsymmetrische Figur zu erhalten.

Tipp: Wenn du auf Kästchenpapier arbeitest, kannst du den Abstand zwischen Punkten und dem Symmetriezentrum auch durch Kästchen zählen bestimmen.

Zur punktsymmetrischen Figur ergänzen Lösung

Punktsymmetrische Figuren – Zusammenfassung

Punktsymmetrische Figuren können durch eine Drehung um $180$ Grad auf sich selbst abgebildet werden. Die gedrehte Figur ist dann identisch (deckungsgleich) mit der Ausgangsfigur. Wichtig für die Punktsymmetrie ist das Symmetriezentrum, also der Punkt, um den die Figur gedreht wird.

Punktsymmetrie Quadrat Rechteck Parallelogramm Kreis

Häufig gestellte Fragen zum Thema Punktsymmetrische Figuren

Was ist eine punktsymmetrische Figur?
Was ist das Symmetriezentrum?
Sind Punktsymmetrie und Achsensymmetrie das gleiche?

Punktsymmetrische Figuren Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Lerntext Punktsymmetrische Figuren kannst du es wiederholen und üben.
  • Vervollständige den Text zum Kreuz König.

    Tipps

    Der Buchstabe „N“ hat auch so eine andere Symmetrie.

    Du findest keine Symmetrieachse. Und trotzdem sieht der Buchstabe symmetrisch aus.

    Fallen dir noch weitere Bilder ein mit so einer Symmetrie?

    Verbinde doch da mal Punkte, die gleich aussehen.

    Schau mal: Die Verbindungsgeraden treffen sich genau in der Mitte.

    Lösung

    Eine neue Form der Symmetrie.

    Der Kreuz König sieht doch symmetrisch aus. Nur leider können wir keine Symmetrieachse finden.

    Das symmetrische Aussehen kommt daher, dass Punkte des Kreuz Königs zugehörige Bildpunkte besitzen.

    Verbinde doch mal die entsprechende Punkte mit den Bildpunkten. Was fällt dir dabei auf?

    Richtig: Die Verbindungsgeraden schneiden sich alle in einem gemeinsamen Punkt. Und diesen Punkt bezeichnet man als das Symmetriezentrum.

    Fällt dir noch etwas auf? Die Geraden schneiden sich genau in ihrer Mitte. Das bedeutet, dass der Abstand von Punkt und Bildpunkt zum Symmetriezentrum jeweils gleich ist. Dies ist eine sehr wichtige Eigenschaft.

  • Beschreibe die Punktspiegelung eines Dreiecks an einem Symmetriezentrum.

    Tipps

    Eine Punktspiegelung kann auch durch Achsenspiegelungen durchgeführt werden.

    Wie viele Achsen brauchst du dafür?

    Welche besondere Lage müssen die Achsen zueinander haben?

    Beachte, dass Bildpunkte mit Strichen oben rechts markiert sind.

    Lösung

    Eine Punktspiegelung kann auch durch zweimalige Achsenspiegelung durchgeführt werden. Die Symmetrieachsen, an denen du spiegelst, müssen senkrecht stehen und durch das vorgegebene Symmetriezentrum verlaufen.

    • Wenn du eine Figur spiegeln möchtest, so spiegelst du sie zuerst an der einen Achse. Du erhältst eine erste Bildfigur. Die jeweiligen Bildpunkte werden mit einem Strich bezeichnet.
    • Und dann spiegelst du noch einmal an der anderen Achse. Du erhältst die endgültige Bildfigur. Die jeweiligen Bildpunkte werden mit 2 Strichen bezeichnet.

  • Bestimme weitere Beispiele für punktsymmetrische Figuren.

    Tipps

    Es gibt zwei Figuren, die sind gleichzeitig punksymmetrisch und achsensymmetrisch.

    Es gibt Figuren, die sehen irgendwie symmetrisch aus. Du kannst aber keine Symmetrieachse finden.

    Dann probiere doch mal zueinander gehörende Punkte zu verbinden wie bei dem Buchstaben „N“.

    Ein „Z“ sieht wie ein hingelegtes „N“ aus.

    Beim Quadrat und Rechteck kommen für jeden Punkt verschiedene Bildpunkte in Frage. Gibt es Bildpunkte, sodass eine Punktspiegelung vorliegt?

    Lösung

    Merke dir: Bei der Achsensymmetrie gibt es eine Symmetrieachse und der Abstand von Punkt und Bildpunkt zur Symmetrieachse ist jeweils gleich. Bei der Punktsymmetrie gibt es ein Symmetriezentrum und der Abstand von Punkt und Bildpunkt zum Symmetriezentrum ist jeweils gleich.

    Ganz wichtig: Es gibt Figuren, die sind achsensymmetrisch und punktsymmetrisch.

    • Dies ist z.B. beim Quadrat und beim Rechteck der Fall. Auch ein Kreis ist beides. Das Symmetriezentrum liegt dabei direkt in der Mitte.
    Andere Figuren sind nur achsensymmetrisch:
    • Ein gleichschenkliges Dreieck und der Buchstabe „M“ sind achsensymmetrisch. Sie haben jeweils nur eine Symmetrieachse. Beachte dabei: Ist ein gleichschenklige Dreieck sogar rechtwinklig, so weist es sogar drei Symmetrieachsen auf.
    Viele Figuren sind auch nur punktsymmetrisch:
    • Ein Parallelogramm und der Buchstabe „Z“ sind punktsymmetrisch. Es gibt aber hierbei keine Symmetrieachse.

  • Ordne der oberen Figur die zugehörige Punktspiegelung der Figur zu.

    Tipps

    Eine Punktspiegelung kannst du auch durch eine zweimalige Achsenspiegelung erreichen. Dabei stehen die Spiegelungsachsen senkrecht aufeinander.

    Eine Punktspiegelung kann auch durch eine Drehung um 180° mit dem Symmetriezentrum als Drehpunkt durchgeführt werden.

    Stelle dir bei den Figuren die Drehung vor.

    Lösung

    Schauen wir uns zunächst einmal Achsen- und Punktsymmetrie im Vergleich an: Zu einem „A“ gehört als Punktspiegelung das auf dem Kopf stehende „A“. Da „A“ achsensymmetrisch ist, ist der Buchstabe an einer Achse gespiegelt wieder der Buchstabe selbst.

    Eine Punktspiegelung kann auf zwei verschiedenen Wegen durchgeführt werden:

    1. zweimalige Achsenspiegelung an zueinander senkrechten Achsen
    2. Drehung um 180° um das Symmetriezentrum
    Am ehesten siehst du die richtige Lösung, wenn dir bei den Figuren die Drehung vorstellst. Das Symmetriezentrum liegt dabei jeweils genau in der Mitte:
    • Bei dem Ellipsenausschnitt kannst du das dazugehörige Spiegelbild an dem nicht gefärbten Teil durch Drehung erkennen.
    • Bei dem Puzzleteil betrachtest du zum Beispiel eine Ausstülpung und kannst dann das Bild durch Drehung wiedererkennen.

  • Ergänze die Aussagen zur Punkt- und Achsensymmetrie.

    Tipps

    Der Buchstabe „N“ ist punktsymmetrisch. Welche Rolle spielt das Symmetriezentrum?

    Der Buchstabe „M“ ist achsensymmetrisch. Welche Rolle spielt die Symmetrieachse?

    Lösung

    Wahrscheinlich kennst du bereits die Achsensymmetrie: Dort ist der Abstand entsprechender Punkte zur Symmetrieachse gleich.

    Hier lernst du eine neue Form der Symmetrie. Der Buchstabe „N“ ist nicht achsensymmetrisch, dafür aber punktsymmetrisch:

    • Die Verbindungsgeraden eines Punktes P und seines Bildpunktes P' schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt. Dies ist das Symmetriezentrum.
    • Diese Verbindungsgeraden schneiden sich genau in der Mitte. Damit ist der Abstand entsprechender Punkte bei Punktsymmetrie zum Symmetriezentrum gleich.
  • Untersuche die folgenden Aussagen zu Symmetrien.

    Tipps

    Zur Punktsymmetrie gehört ein Symmetriezentrum. Welche zwei anderen Möglichkeiten gibt es, Punktspiegelungen durchzuführen? Welche Rolle spielt dabei das Symmetriezentrum?

    Drehe mal den Buchstaben „H“ um 180°.

    Bei der Achsensymmetrie gibt es eine Symmetrieachse, an der du die Figur spiegeln kannst.

    Lösung

    Nur die Antworten 2, 3 und 5 sind richtig:

    1. Bei Achsensymmetrie ist der Abstand von Punkt und Bildpunkt zur Symmetrieachse gleich.

    2. Ein Kreis ist tatsächlich punktsymmetrisch. Jeder Punkt auf dem Kreisrand hat den gleichen Abstand zum Mittelpunkt. Dann haben auch Punkt und Bildpunkt den gleichen Abstand zum Mittelpunkt. Der Mittelpunkt ist das Symmetriezentrum.

    3. Anstatt eine Punktspiegelung durchzuführen, kannst du auch

    • eine Drehung um 180° mit dem Symmetriezentrum als Drehzentrum durchführen.
    • zweimal eine Achsenspiegelung durchführen. Achte dabei, dass die Achsen senkrecht stehen müssen.
    4. Gleichschenklige Dreiecke sind achsensymmetrisch. Sie sind nicht punktsymmetrisch.

    5. Der Buchstabe „H“ ist punktsymmetrisch. Drehst du das „H“ im Zentrum um 180° erhältst du wieder den gleichen Buchstaben.

    6. Gleichseitige Dreiecke sind achsensymmetrisch, aber nicht punktsymmetrisch. Als Symmetrieachsen kannst du eine der drei Mittelsenkrechten nehmen.

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Punktsymmetrische Figuren
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