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Logarithmus – Definition

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Die Autor*innen
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Team Digital
Logarithmus – Definition
lernst du in der Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Beschreibung zum Video Logarithmus – Definition

Weißt du schon, was der Logarithmus in Mathe ist? In diesem Video kannst du es herausfinden. Du lernst du Definition des Logarithmus kennen und erfährst anhand von Beispielen, wie man ihn für Berechnungen nutzt. Ob du alles verstanden hast, kannst du im Anschluss mit unseren interaktiven Übungen überprüfen.

Grundlagen zum Thema Logarithmus – Definition

Inhalt

Was ist der Logarithmus?

In der Mathematik kommt der Logarithmus in der Potenzrechnung vor. Die Mehrzahl von Logarithmus ist Logarithmen. In diesem Video erfährst du zuerst, auf welche Frage Logarithmen die Antwort sind.

Logarithmus – Definition

Ausgehend von der Rechnung $2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ kannst du dir die Frage stellen:

Mit welcher Zahl muss ich die Zahl $2$ potenzieren, damit das Ergebnis $8$ ist?

In der Mathematik schreibt man diese Frage nicht in Worten, sondern in Symbolen:

Was ist $\log_2(8)$?

Das Symbol $\log_2$ liest man: Logarithmus zur Basis $2$. Gesucht ist in der Frage also der Logarithmus von $8$ zur Basis $2$. Die Antwort auf diese Frage ist $3$, denn wenn du die Basis $2$ mit dem Exponenten $3$ potenzierst, erhältst du die Zahl $8$:

$\log_2(8) = 3$, denn $2^3=8$

Logarithmus zur Basis 2

Die Logarithmusrechnung ist also die Umkehrung der Potenzrechnung: Vorgegeben sind das Ergebnis des Potenzierens und die Basis, gesucht ist der Exponent.

Logarithmus – Beispiel

Fragst du dich, mit welchem Exponenten du die Zahl $7$ potenzieren musst, damit das Ergebnis $49$ ist, so kannst du die Frage in Symbolen so aufschreiben:

$\log_7(49) =?$

In diesem Beispiel steht die $7$ als tiefgestellter Index an dem Logarithmussymbol, denn die Basis der Potenzrechnung ist hier $7$. Gesucht ist der Exponent. Das Ergebnis des Potenzierens ist vorgegeben: $49$.

Wenn du dich erinnerst, dass $7^{2} = 49$ ist, kannst du die Antwort auf die Frage so aufschreiben:

$\log_7(49) = 2$, denn $7^2 = 49$

Der Logarithmus ist also die Antwort auf die Frage nach dem passenden Exponenten (im Beispiel: $2$). Die Basis (im Beispiel: $7$) und das Ergebnis des Potenzierens (im Beispiel: $49$) sind vorgegeben.

Transkript Logarithmus – Definition

Lol, lmao, omg. Um beim Chatten nicht den Überblick zu verlieren, muss man heutzutage echt viele Abkürzungen kennen. Aber „log“ – was hat das denn jetzt zu bedeuten? Dieser Frage gehen wir auf den Grund, indem wir uns die „Definition des Logarithmus“ mal ganz genau anschauen. „log“ ist also die Kurzschreibweise für Logarithmus. Doch was genau ist ein Logarithmus und wie können wir ihn berechnen? Dazu schauen wir uns die Gleichung „zwei hoch x gleich acht“ an. Die Frage ist nun: Welche Zahl müssen wir für den Exponenten x einsetzen, damit die Gleichung erfüllt ist? In anderen Worten: Wie oft müssen wir die zwei mit sich selbst multiplizieren, damit acht herauskommt? Um das zu berechnen, können wir den Logarithmus anwenden. Unser gesuchter Wert, das x, ist dann gleich dem Logarithmus von acht zur Basis zwei. Die tiefgestellte zwei gibt die Basis in unserer Ausgangsgleichung wieder. Den Potenzwert unserer Ausgangsgleichung, also die acht, setzen wir in den Logarithmus ein. Diesen können wir jetzt mit dem Taschenrechner ausrechnen. Wir erhalten das Ergebnis drei. Und das macht Sinn, denn wenn wir für den Exponenten eine drei einsetzen, erhalten wir zwei mal zwei mal zwei und das ist schließlich acht. Das Anwenden des Logarithmus ist somit, wie auch das Wurzelziehen, eine Umkehroperation zum Potenzieren. Es gibt aber einen entscheidenden Unterschied: Ziehen wir die dritte Wurzel aus acht, erhalten wir zwei. Beim Wurzelziehen lautet die Frage also: Welche Basis haben wir mit einem gegebenen Exponenten potenziert, um auf den Potenzwert acht zu kommen? In unserem Fall zwei. Beim Logarithmus fragen wir stattdessen nach dem Exponenten. Wir wollen herausfinden, mit welcher Zahl wir die gegebene Basis potenzieren müssen. Das ist hier die drei. Formal aufgeschrieben sieht das dann so aus. Wir sagen: Der Logarithmus von b zur Basis a ist gleich x, genau dann wenn a hoch x gleich b gilt. A ist dabei unsere Basis, den Potenzwert b schreiben wir als NUMERUS in die Klammer des Logarithmus und der Exponent x ist schließlich der gesuchte Logarithmuswert. Schauen wir uns zur Übung ein weiteres Beispiel an. Wir wollen die Gleichung „drei hoch x gleich einundachtzig“ nach x auflösen. Da hier erneut der Exponent x gesucht ist, müssen wir den Logarithmus von einundachtzig zur Basis drei bestimmen. Das können wir jetzt wieder mit dem Taschenrechner berechnen. Vielleicht schaffst du es aber auch im Kopf! Pausiere doch kurz das Video und rechne selbst nach. Der Logarithmus von einundachtzig zur Basis drei ist gleich vier. Setzen wir eine vier für unseren Exponenten ein, erhalten wir drei mal drei mal drei mal drei, also neun mal neun und das ergibt einundachtzig. Gar nicht so schwierig, oder? Ähnlich wie beim Wurzelziehen müssen wir beim Anwenden des Logarithmus einige Einschränkungen beachten. Erstens muss die betrachtete Basis immer größer als null sein. Denn wenn wir null als Basis wählen, ist es egal mit welcher Zahl wir potenzieren. Der entsprechende Potenzwert wird immer null sein. Daher können wir beispielsweise den Logarithmus von zehn zur Basis null nicht berechnen. Denn das würde bedeuten, dass wir die Null so oft mit sich selbst multiplizieren müssten, bis zehn herauskommt. Viel Spaß! Bei negativen Zahlen in der Basis haben wir das gleiche Problem: So gibt es zum Beispiel für den Logarithmus von acht zur Basis minus zwei keine Lösung. Denn es gibt keine Zahl, mit der wir minus zwei potenzieren können, sodass wir acht erhalten. Hinzukommt: Auch die Basis eins schließen wir als Sonderfall aus. Pausiere doch kurz das Video und überlege selbst, warum diese Einschränkung sinnvoll ist. Genau, egal wie oft wir die eins mit sich selbst multiplizieren, das Ergebnis bleibt immer eins. Daher erhalten wir für einen Ausdruck wie Logarithmus von zwei zur Basis eins keine Lösung. Außerdem muss auch der Numerus b größer als null sein. Das liegt ganz einfach daran, dass das Potenzieren einer positiven Zahl immer eine positive Zahl ergibt. Aus diesem Grund können wir Ausdrücke wie den Logarithmus von minus hundert zur Basis zehn, oder den Logarithmus von null zur Basis zehn nicht berechnen. Ein letzter Hinweis: Der Logarithmus von eins einer beliebigen Basis ist immer gleich Null. Denn egal welche Basis wir wählen, wenn wir diese mit der Zahl null potenzieren, erhalten wir nach den Potenzgesetzen immer eins. Alles klar, dann können wir die wichtigsten Infos zum Logarithmus ja nochmal zusammenfassen. Den Logarithmus wenden wir an, wenn wir den Exponenten einer Potenz berechnen wollen. Dazu nutzen wir den Logarithmus von b zur Basis a. Die Werte von a und b sind dabei angegeben. Gesucht ist dann der Logarithmuswert x. Sowohl die Basis a als auch der Numerus b müssen größer als null sein. Außerdem darf a nicht gleich eins sein. Dann können wir den Logarithmus problemlos berechnen. Na, dann sollte uns diese kleine Abkürzung ja in Zukunft nicht mehr allzu viel Kopfzerbrechen bereiten.

Logarithmus – Definition Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Logarithmus – Definition kannst du es wiederholen und üben.
  • Vervollständige den Text zur Definition des Logarithmus.

    Tipps

    Bei einer Potenz gibt der Exponent an, wie oft der Faktor mit sich selbst multipliziert wird.
    Zum Beispiel bedeutet $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

    Auch das Wurzelziehen ist eine Umkehroperation zum Potenzieren, mit der wir die Basis einer Gleichung bestimmen können:

    $\begin{array}{lcll} x^3 & = & 8 & \vert \sqrt[3]{} \\ x & = & \sqrt[3]{8} & \\ x & = & 2 & \end{array}$

    Lösung

    Der Logarithmus, kurz $\text{log}$, ist eine Umkehroperation zum Potenzieren. Dabei gilt der folgende Zusammenhang:
    $\text{log}_a (b) = x \Leftrightarrow a^x = b$.

    Der Logarithmus hilft uns also, den Exponenten $x$ zu bestimmen. Man sagt: 'Der Logarithmus von $b$ zur Basis $a$'. Dieser gibt an, wie oft wir die Basis $a$ mit sich selbst multiplizieren müssen, um $b$ zu erhalten.

  • Gib die Lösungen der Gleichungen an.

    Tipps

    Du kannst die Gleichungen dieser Art mit dem Logarithmus lösen.

    Der Logarithmus einer Zahl $b$ zur Basis $a$ gibt an, wie oft du $a$ mit sich selbst multiplizieren musst, um $b$ zu erhalten. Also den Exponenten $x$ für den $a^x = b$ gilt.

    Lösung

    Wenn bei einer Gleichung der Exponent gesucht ist, dann können wir den Logarithmus als Gegenoperation zum Potenzieren verwenden.
    Bei $a^x = b$ gibt der Exponent $x$ an, wie oft du die Zahl $a$ mit sich selbst multiplizieren musst, um $b$ zu erhalten.
    Die Lösung einer solchen Gleichung kannst du mit dem Taschenrechner über den Logarithmus bestimmen. Es gilt:
    $x = \text{log}_a (b)$.

    1. Beispiel: $2^x = 8$

    • Lösung mit dem Logarithmus: $x = \text{log}_2 (8) = 3$
    • Probe: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$
    2. Beispiel: $3^x = 81$
    • Lösung mit dem Logarithmus: $x = \text{log}_3 (81) = 4$
    • Probe: $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 = 81$

  • Ermittle die Formel zur Lösung der Gleichung mit dem Logarithmus.

    Tipps

    Es gilt der Zusammenhang:
    $\text{log}_a (b) = x \Leftrightarrow a^x = b$

    Zum Beispiel ist die Lösung zu $4^x = 2$ mit dem Logarithmus:
    $x = \text{log}_4 (2)$

    Lösung

    Der Logarithmus ist eine Umkehroperation zum Potenzieren. Dabei gibt der Logarithmus einer Zahl $b$ zur Basis $a$ an, wie oft wir die Basis $a$ mit sich selbst multiplizieren müssen, um $b$ zu erhalten. Dies ist der gesuchte Exponent.


    • $5^x = 125 \Rightarrow x = \text{log}_5 (125) = 3$; Probe: $5^3 = 125$
    • $2^x = 0,5 \Rightarrow x = \text{log}_2 (0,5) = -1$; Probe: $2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2} = 0,5$
    • $125^x = 5 \Rightarrow x = \text{log}_{125} (5) = \frac{1}{3}$; Probe: $125^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{125} = 5$
    • $1,5^x = 2,25 \Rightarrow x = \text{log}_{1,5} (2,25) = 2$; Probe: $1,5^2 = 2,25$
  • Prüfe die Aussagen zum Logarithmus.

    Tipps

    Versuche Beispiele zu finden, welche die Aussagen widerlegen.

    Der Logarithmus ist folgendermaßen definiert:

    $\text{log}_a (b) = x \Leftrightarrow a^x = b$

    Lösung

    Um die Richtigkeit einer Aussage zu prüfen, gibt es die folgenden Möglichkeiten:

    • Du kannst eine Aussage mit einem Gegenbeispiel widerlegen.
    • Um eine Aussage zu bestätigen, kannst du die Definition des Logarithmus nutzen.

    Falsche Aussagen:

    • Der Logarithmus zur Basis $-2$ ist dasselbe wie der Logarithmus zur Basis $2$.
    $\text{log}_{-2} ≙ \text{log}_2$
    Wir wissen zum Beispiel, dass $\text{log}_2 (8) = 3$ gilt. Dann müsste auch $\text{log}_{-2} (8) = 3$ gelten. Da aber $(-2)^3 = -8$ und nicht $= 8$ ist, haben wir ein Gegenbeispiel, welches die Aussage widerlegt.

    • Es gilt: $\text{log}_a (-8) = \text{log}_a (8)$
    Betrachten wir zum Beispiel $a = 2$, dann ist $\text{log}_2 (8) = 3$, da gilt: $2^3 = 8$. Allerdings kann nicht gleichzeitig $2^3 = -8$ sein, das müsste aber gelten, damit $\text{log}_2 (-8) = \text{log}_2 (8)$.
    • Der Wert des des Logarithmus ist nie negativ:
    $\text{log}_a (b) \geq 0$
    Ein Gegenbeispiel widerlegt diese Aussage:
    $\text{log}_5 (0,2) = -1$, da gilt: $0,2^{-1} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-1} = 5$.


    Korrekte Aussagen:

    • Es gilt: $\text{log}_a (1) = 0$
    Nach der Definition des Logarithmus ist $\text{log}_a (1) = 0$ gleichbedeutend mit $a^0 = 1$, diese Aussage ist nach den Potenzgesetzen allgemein gültig.
    • Die Basis $a$ darf nicht $1$ sein: $a \neq 1$
    Angenommen es wäre $a = 1$, dann wäre nach der Definition des Logarithmus $\text{log}_1 (5)$ der Exponent $x$, der die Gleichung $1^x = 5$ löst. Da aber für beliebige Exponenten immer gilt: $1^x = 1$, hat diese Gleichung keine Lösung. Also muss $a$ ungleich $1$ sein.
  • Gib die allgemeine Lösung mit dem Logarithmus an.

    Tipps

    Die Basis des Logarithmus entspricht der Basis der Potenz.

    Mit Hilfe des Logarithmus kann der Exponent $x$ berechnet werden.

    Zum Beispiel gilt:
    $\text{log}_2 (8) = 3 \Leftrightarrow 2^3 = 8$

    Lösung

    Beim Logarithmus handelt es sich um eine Umkehroperation zum Potenzieren, wobei das Ergebnis dem Exponenten, hier $x$, entspricht. Daher steht auf der linken Seite rechts neben dem Gleichheitszeichen ein $x$.
    Die Basis steht als kleiner Index beim Logarithmus. Da die Basis der Potenz $a$ ist, haben wir den Logarithmus zur Basis $a$, also $\text{log}_a$.
    Die Zahl im Logarithmus entspricht dem Potenzwert, das ist hier $b$.

    Der allgemeine Zusammenhang lautet:

    $\text{log}_a (b) = x \Leftrightarrow a^x = b$

    Der Logarithmus zur Basis $a$ von $b$ ergibt den Wert $x$, genau dann, wenn $a^x = b$ ist.

  • Berechne die Lösung mit dem Logarithmus.

    Tipps

    Du kannst den Exponenten $x$ mit Hilfe des Logarithmus im Taschenrechner berechnen.

    Deine Ergebnisse kannst du einfach überprüfen, indem du dein Ergebnis für $x$ wieder als Exponent einsetzt und schaust, ob du den richtigen Wert erhältst.

    Lösung

    Wenn bei einer Gleichung der Exponent gesucht ist, dann können wir den Logarithmus als Gegenoperation zum Potenzieren verwenden.
    Bei $a^x = b$ gibt der Exponent $x$ an, wie oft du die Zahl $a$ mit sich selbst multipliziert musst, um $b$ zu erhalten.
    Die Lösung einer solchen Gleichung kannst du mit dem Taschenrechner über den Logarithmus bestimmen. Es gilt:
    $x = \text{log}_a (b)$.


    1. Beispiel: $4^x = 2$
    $x = \text{log}_4 (2) = 0,5$
    Probe: $4 ^{0,5} = 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$

    2. Beispiel: $7^x = 343$
    $x = \text{log}_7 (343) = 3$
    Probe: $7^3 = 343$

    3. Beispiel: $0,2^x = 25$
    $x = \text{log}_{0,2} (25) = -2$
    Probe: $0,2^{-2} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} = 5^2 = 25$

    4. Beispiel: $81^x = 3$
    $x = \text{log}_81 (3) = 0,25$
    Probe: $81^{0,25} = 81^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{81} = 3$

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