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Die eulersche Zahl e

Eulersche Zahl - Was ist e und wie wird sie hergeleitet? Die eulersche Zahl e ist eine irrationale Konstante mit unendlich vielen Nachkommastellen. Entdeckt von Leonhard Euler, wird sie für exponentielle Wachstumsprozesse genutzt. Erfahre mehr über die Magie der eulerschen Zahl und was sie in Mathematik und Physik bedeutet! Interessiert? Erfahre hier mehr!

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Team Digital
Die eulersche Zahl e
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse

Die eulersche Zahl e Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Die eulersche Zahl e kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Eigenschaften der "Eulerschen Zahl" $e$ an.

    Tipps

    $e \approx 2,718\,281\,828\,459\,...$

    Die Ziffern nach dem Komma wiederholen sich nicht in regelmäßigen Abständen.

    Lösung

    Die Zahl $e$ spielt in der Mathematik eine wichtige Rolle, denn mit ihrer Hilfe lassen sich Wachstums- und Zerfallsprozesse beschreiben. Sie ist eine besondere Zahl mit speziellen Eigenschaften. Neben zum Beispiel $\pi$ und $\sqrt{2}$ ist die Eulersche Zahl eine irrationale Zahl.

    Folgende Eigenschaften sind korrekt:

    • Die Zahl $e$ ist nicht als Bruch schreibbar.
    Es gibt keinen Bruch, der $e$ darstellen kann.
    • Die Zahl $e$ ist nicht periodisch.
    Die Ziffern nach dem Komma wiederholen sich nicht vorhersagbar.
    • Die Zahl $e$ ist nicht abbrechend.
    Die Ziffern nach dem Komma gehen unendlich weit weiter.
    • Die Zahl $e$ ist zur Beschreibung exponentiellen Wachstums verwendbar.
    Zum Beispiel kann mit ihr eine Funktion zum Bakterienwachstum dargestellt werden.

    Folgende Eigenschaften sind nicht korrekt:

    • Die Zahl $e$ ist als Bruch schreibbar.
    Dies ist falsch, da es keinen Bruch gibt, der $e$ darstellt.
    • Die Zahl $e$ ist periodisch.
    Dies ist falsch, da man die Ziffernfolge nach dem Komma nicht vorhersehen kann.
    • Die Zahl $e$ ist eine rationale Zahl.
    Dies ist falsch, da $e$ eine irrationale Zahl ist.
    • Die Zahl $e$ ist zur Beschreibung linearen Wachstums verwendbar.
    Dies ist falsch, da mit $e$ exponentielles Wachstum beschrieben werden kann.

  • Bestimme die zugehörigen Ergebnisse zu den angegebenen Verzinsungen.

    Tipps

    Die allgemeine Formel zur Annäherung an $e$ lautet:
    $ \lim \limits_{n \to \infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}$.

    Um Prozentangaben zu machen, nimmt man die Bruchrechnung zu Hilfe:
    Zum Beispiel ist $50\,\% = \frac{1}{2}$.

    Lösung

    Für die Annäherung an die Eulersche Zahl $e$ kann man ein Gedankenexperiment machen.

    Man legt am Anfang des Jahres $1\,€$ auf einem Sparkonto an und die Bank gibt einem den sehr großzügigen Zinssatz von $100~\%$. Wir betrachten nun verschiedene Auszahlungs- bzw. Verzinsungs-Varianten:

    • $1\,€$ einmal jährlich zu $100\,\%$
    Nach einem Jahr hat man $2\,€$ auf dem Konto.

    • $1\,€$ zweimal jährlich zu $50\,\%$
    In dem zweiten Schritt handelt man bessere Konditionen aus und erhält für $1\,€$ zweimal im Jahr $50\,\%$. Man könnte zunächst meinen, dass das Ergebnis das gleiche ist. Allerdings kommt hier der Zinseszins zum Tragen und man erhält am Ende des ersten Jahres:
    $\left(1+\dfrac{1}{2}\right)^2=2,\!25\,€$.

    • $1\,€$ viermal jährlich zu $25\,\%$
    Wenn man nun das Angebot dahin gehend verändert, dass man im Jahr viermal $25\,\%$ erhält, stellt man fest, dass man wieder mehr erhält, nämlich ungefähr:
    $\left(1+\dfrac{1}{4}\right)^4 \approx 2,\!44\,€$.

    • $1\,€$ $\mathbf{12}$-mal jährlich zu $\frac{1}{12}$
    Wir erhalten:
    $\left(1+\dfrac{1}{12}\right)^{12} \approx 2,\!61\,€$

    • $1\,€$ jeden Tag im Jahr zu $\frac{1}{365}$
    Wir erhalten:
    $\left(1+\dfrac{1}{365}\right)^{365} \approx 2,\!71\,€$

    Man kann dies solange fortführen, bis man an den Punkt kommt, in dem man in jedem Moment des Jahres das Startkapital von $1\,€$ verzinst und erhält dann die allgemeine Formel zur Annäherung von $e$ mit $ \lim \limits_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n$.

    Hier kommt der Zinseszins zum Tragen. Man erhält auf angelegtes Geld Zinsen. Das Kapital wächst schneller, da man auf die ausgezahlten Zinsen sofort wieder Zinsen erhält.

  • Ordne die verschiedenen Ausdrücke nach der Größe.

    Tipps

    Die Zahl $e$ hat ungefähr den Wert von $2,\!71$.

    Berechne den Term. Zum Beispiel $(1+\frac{1}{5})^5 \approx 2,\!48$.

    Lösung

    Die Eulersche Zahl $e$ kann mit der folgenden Formel hergeleitet werden.
    $ \lim \limits_{n \to \infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}$
    Je kleiner der Wert $n$ in dem Term $(1+\frac{1}{n})^n$, umso kleiner ist auch der Wert des Terms. Durch Einsetzen immer größerer Werte für $n$ nähern wir uns der Zahl $e$ an. Wir erhalten dabei immer Werte, die kleiner als $e$ sind.

    Den exakten Wert für $e$ kann man hiermit jedoch nicht berechnen, da $e$ eine irrationale Zahl ist. Wir arbeiten deshalb mit dem gerundeten Wert $2,\!71$.

    Um die Terme in die richtige Reihenfolge zu bringen, können wir ihren Wert berechnen. Alternativ können wir sie auch entsprechend $n$ sortieren.

    Die Aufgaben haben somit folgende Reihenfolge und Lösung:

    $\bullet ~~ \left(1+\dfrac{1}{4}\right)^4 \approx 2,\!44 $

    $\bullet ~~ \left(1+\dfrac{1}{19}\right)^{19} \approx 2,\!65 $

    $\bullet \quad e \approx 2,\!71$

    $\bullet \quad 2,\!81 $

    $\bullet ~~ \left(1+\dfrac{1}{8}\right)^9 \approx 2,\!88 $

    $\,$

    Ergänzung:
    Wir können die Eulersche Zahl auch mithilfe des folgenden Grenzwertes bestimmen:

    $ \lim \limits_{n \to \infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+1}$

    Während sich der obige im Video aufgeführte Term der Eulerschen Zahl von unten nähert, also Werte kleiner $e$ ergibt, nähert sich dieser Limes der Eulerschen Zahl von oben. Beim Einsetzen natürlicher Zahlen für $n$ in den Term $(1+\frac{1}{n})^{n+1}$ ergeben sich also immer Werte größer als $e$, so auch im Beispiel $(1+\frac{1}{8})^9$.

  • Beschreibe den Grenzwertprozess zur Annäherung an e.

    Tipps

    $ \mapsto~ \left(1+\dfrac{1}{3}\right)^3 \approx 2,\!37 $

    Je größer $n$ gewählt wird, desto näher kommt man an den Wert von $e$ heran.

    Lösung

    Die Eulersche Zahl ist, wie zum Beispiel auch $\pi$ und $\sqrt{2}$, eine besondere Zahl in der Mathematik und wird mit dem kleinen Buchstaben $e$ bezeichnet.

    Die Eulersche Zahl $e$ kann mit der Formel $(1+\frac{1}{n})^n$ angenähert werden. Diese Formel beschreibt den Versuch, sich so nahe wie möglich an die Zahl $e$ anzunähern. Den exakten Wert erhältst du dadurch nicht.
    Diese Formel zur Annäherung an $e$ kann durch das Zinseszins-Beispiel veranschaulicht werden. Man geht von einem Startkapital von $1\,€$ aus.

    Die Formel gibt an, welches Kapital am Ende des Jahres erreicht ist, wenn $n$ mal im Jahr zu $\frac{100}{n}\,\%$ verzinst wird.

    Wird beispielsweise zweimal im Jahr zu $50\,\%$ verzinst, so ergibt sich: $(1+\frac{1}{2})^2 =2,\!25$. Am Jahresende ist dann also ein Kapital von $2,\!25\,€$ erreicht.

    Wenn du in die Formel $ n=9 $ einsetzt, erhältst du den gerundeten Wert $(1+\frac{1}{9})^9 \approx 2,\!58$. Dies entspricht im Beispiel dem Kapital nach einem Jahr, wenn $9$-mal im Jahr zu $\frac{100}{9}\,\%$ verzinst wird.

    Am Beispiel der Verzinsung gibt $e$ dann die maximal mögliche Wachstumsrate an. Diese ergibt sich bei kontinuierlicher Verzinsung.

  • Bestimme, welche Funktionsgraphen aus einer $e$-Funktion hervorgehen.

    Tipps

    Eine $e$-Funktion beschreibt Wachstums- oder Zerfallsprozesse.

    Eine $e$-Funktion hat keine Nullstellen.

    Lösung

    In dieser Aufgabe sind keine Funktionsgleichungen gegeben und daher musst du dir die Graphen anschauen und ihre Eigenschaften kennen. Eine $e$-Funktion hat folgende Eigenschaften:

    • Sie hat keine Nullstellen.
    • Sie verläuft also nur oberhalb der $x$-Achse.
    • Sie nähert sich der $x$-Achse immer weiter an, berührt sie aber nicht. Die $x$-Achse ist somit eine waagrechte Asymptote.
    • Sie hat immer den Schnittpunkt mit der $y$- Achse bei $S(1\vert0)$.
    Deshalb gehen folgende Graphen aus der $e$-Funktion hervor:

    • mitte links
    • unten rechts
    Deshalb gehen folgende Graphen nicht aus der $e$-Funktion hervor:

    • oben links
    Hier ist eine Parabel, der Graph einer quadratischen Funktion, zu sehen.
    • unten links
    Hier ist ein Ausschnitt einer sehr stark gestauchten Parabel zu sehen.
    • oben rechts
    Hier ist eine Gerade, der Graph einer linearen Funktion, zu sehen.
    • mitte rechts
    Hier ist eine Funktion $4$ten Grades zu sehen.
  • Überprüfe die Aussagen über die Eulersche Zahl.

    Tipps

    $\ln(x)=\log_e(x)$

    Lösung

    Die Eulersche Zahl $e$ ist , wie zum Beispiel $\pi$ und $\sqrt{2}$, eine sehr wichtige irrationale Zahl in der Mathematik.

    Folgende Aussagen sind korrekt:

    • Die Zahl $e$ kann auch wie folgt dargestellt werden: $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{n}{\sqrt[n]{n!}}$
    Es gibt neben der in der Aufgabenstellung gezeigten Formel mehrere Darstellungsmöglichkeiten zur Annäherung an $e$, dies ist eine davon.
    • Die Zahl $e$ ist die Basis des natürlichen Logarithmus $\ln$.
    Die natürliche $\ln$-Funktion ist ein Spezialfall der allgemeinen $\log$-Funktion, die als Basis die Zahl $e$ hat: ${\ln(x)=\log_e(x)}$
    • Die Zahl $e$ ist immer größer als $(1+\frac{1}{n})^n$.
    Der Term beschreibt die Annäherung an die Zahl $e$, er nimmt nie den exakten Wert an, sondern liefert immer Werte kleiner als $e$.

    Folgende Aussage ist nicht korrekt:

    • Man erhält den exakten Wert von $e$, wenn man in die Formel zur Annäherung $999\,999$ einsetzt.
    $e$ ist irrational, dass heißt sie ist eine nicht abbrechende, nicht periodische Dezimalzahl. Daher kann man zwar Werte in die Annäherungsformel einsetzen, allerdings bekommt man nie einen exakten Wert heraus, sondern nur einen Näherungswert.