Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung

Thema heute: Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung! Da geht das Stimmungsbarometer direkt durch die Decke! Bäääämms! Wie eben bei der Kurve einer Exponentialfunktion. Ne, jetzt aber mal ohne Witz: Die natürliche Exponentialfunktion „e hoch x“ ist besser als ihr Ruf. Wir schauen uns mal gemeinsam an, warum das so ist. Die natürliche Exponentialfunktion, kurz „e-Funktion“, ist eine ganz besondere Exponentialfunktion. Exponentialfunktionen kennst du ja bereits. Der Unterschied zu Potenzfunktionen – wie dieser hier – liegt darin, dass unsere Variable x nicht in der Basis, sondern im Exponenten steht, so wie bei „zwei hoch x“ oder „drei hoch x“. Potenzfunktionen können wir ganz einfach ableiten: Den Exponenten als Faktor nach vorne ziehen und um eins verringern. Doch wie sieht es mit den Ableitungen unserer Exponentialfunktionen aus? Dazu schauen wir uns mal die Funktionsgraphen von g und h an, und zeichnen auch die zugehörigen Ableitungsgraphen ein. Wir erkennen: Bei „zwei hoch x“ verläuft der Graph der Ableitungsfunktion unterhalb, bei „drei hoch x“ etwas oberhalb der Ausgangsfunktion. Deutlich zu erkennen ist aber auch: Die Ableitungsfunktionen scheinen ebenfalls Exponentialfunktionen zu sein. Sie sind nur etwas gestauchter beziehungsweise gestreckter als die Ausgangsfunktionen. Das wirft die Frage auf, ob es eine Exponentialfunktion gibt, deren Ableitungsgraph genauso verläuft wie der ursprüngliche Funktionsgraph. Sprich, die beim Ableiten weder gestreckt noch gestaucht wird. Deren Basis müsste dann wohl irgendwo zwischen zwei und drei liegen. Und – Spoiler-Alarm – die gibt es. Es ist die natürliche Exponentialfunktion mit der eulerschen Zahl e als Basis. E ist irrational und ungefähr gleich 2,718. Die natürliche Exponentialfunktion ist also genau so definiert, dass ihr Graph und der Graph der Ableitung identisch sind! Für die Funktion „f von x“ gleich „e hoch x“ gilt daher: „F von x“ gleich „f Strich von x“ gleich „e hoch x“. Das ist praktisch. Ableiten leicht gemacht! Lass uns den Graphen der „e-Funktion“ nochmal genauer anschauen. Wie wir es schon von anderen Exponentialfunktionen kennen, verläuft er oberhalb der x-Achse und durch den Punkt „null, eins“. So wie jede andere Zahl, ist auch E hoch null gleich eins. Ein Blick auf eine Wertetabelle verdeutlicht außerdem, was wir auch am Funktionsgraph erkennen können: Für immer kleiner werdende x-Werte geht die Funktion gegen null. Der Graph nähert sich asymptotisch der x-Achse, ohne diese zu berühren. Für immer größer werdende x-Werte explodiert das Wachstum förmlich und die Funktion geht gegen Unendlich. Auch das kennen wir schon von anderen Exponentialfunktionen. Die natürliche Exponentialfunktion eignet sich daher – genauso wie Exponentialfunktionen im Allgemeinen – um bestimmte Wachstums- oder Zerfallsprozesse zu beschreiben.
Zum Beispiel den zeitlichen Verlauf von radioaktivem Zerfall, oder das Wachstum von einer Population, seien es Bakterien, Kaninchen oder Menschen. Die „e-Funktion“ bietet dabei den Vorteil, dass wir sie eben besonders leicht ableiten können. An jeder Stelle ihres Graphen entspricht der dortige Funktionswert auch genau der Steigung des Graphen an dieser Stelle. Egal an welcher Stelle wir das überprüfen. Die natürliche Exponentialfunktion ist übrigens die einzige Funktion, die diese Eigenschaft besitzt. Mind Blowing! Zusammenfassend können wir festhalten: Die natürliche Exponentialfunktion „e hoch x“ hat die Eulersche Zahl e als Basis. Sie reiht sich in die Familie der Exponentialfunktionen ein und ist die einzige Funktion mit einer ganz besonderen Eigenschaft: Ihre Ableitungsfunktion ist identisch zum ursprünglichen Funktionsterm. Ganz egal wie oft wir „e hoch x“ ableiten, die Ableitungsfunktion lautet immer wieder „e hoch x“. Da läuft das Ableiten ja wie von selbst! Daran könnte man sich glatt gewöhnen. The Sky is the limit!