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Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung

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Team Digital
Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, die wichtigsten Eigenschaften der natürlichen Exponentialfunktion zu nennen.

Zunächst lernst du, dass die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion gleich der ursprünglichen Funktion ist. Anschließend lernst du, welche wichtigen Eigenschaften die natürliche Exponentialfunktion besitzt.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Potenzfunktion, Exponentialfunktion, natürliche Exponentialfunktion und eulersche Zahl.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits Exponentialfunktionen kennen. Außerdem solltest du grundlegendes Wissen zu Ableitungen haben.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, das Ableitem von Exponentialfunktion im Allgemeinen zu lernen.

Transkript Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung

Thema heute: Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung! Da geht das Stimmungsbarometer direkt durch die Decke! Bäääämms! Wie eben bei der Kurve einer Exponentialfunktion. Ne, jetzt aber mal ohne Witz: Die natürliche Exponentialfunktion „e hoch x“ ist besser als ihr Ruf. Wir schauen uns mal gemeinsam an, warum das so ist. Die natürliche Exponentialfunktion, kurz „e-Funktion“, ist eine ganz besondere Exponentialfunktion. Exponentialfunktionen kennst du ja bereits. Der Unterschied zu Potenzfunktionen – wie dieser hier – liegt darin, dass unsere Variable x nicht in der Basis, sondern im Exponenten steht, so wie bei „zwei hoch x“ oder „drei hoch x“. Potenzfunktionen können wir ganz einfach ableiten: Den Exponenten als Faktor nach vorne ziehen und um eins verringern. Doch wie sieht es mit den Ableitungen unserer Exponentialfunktionen aus? Dazu schauen wir uns mal die Funktionsgraphen von g und h an, und zeichnen auch die zugehörigen Ableitungsgraphen ein. Wir erkennen: Bei „zwei hoch x“ verläuft der Graph der Ableitungsfunktion unterhalb, bei „drei hoch x“ etwas oberhalb der Ausgangsfunktion. Deutlich zu erkennen ist aber auch: Die Ableitungsfunktionen scheinen ebenfalls Exponentialfunktionen zu sein. Sie sind nur etwas gestauchter beziehungsweise gestreckter als die Ausgangsfunktionen. Das wirft die Frage auf, ob es eine Exponentialfunktion gibt, deren Ableitungsgraph genauso verläuft wie der ursprüngliche Funktionsgraph. Sprich, die beim Ableiten weder gestreckt noch gestaucht wird. Deren Basis müsste dann wohl irgendwo zwischen zwei und drei liegen. Und – Spoiler-Alarm – die gibt es. Es ist die natürliche Exponentialfunktion mit der eulerschen Zahl e als Basis. E ist irrational und ungefähr gleich 2,718. Die natürliche Exponentialfunktion ist also genau so definiert, dass ihr Graph und der Graph der Ableitung identisch sind! Für die Funktion „f von x“ gleich „e hoch x“ gilt daher: „F von x“ gleich „f Strich von x“ gleich „e hoch x“. Das ist praktisch. Ableiten leicht gemacht! Lass uns den Graphen der „e-Funktion“ nochmal genauer anschauen. Wie wir es schon von anderen Exponentialfunktionen kennen, verläuft er oberhalb der x-Achse und durch den Punkt „null, eins“. So wie jede andere Zahl, ist auch E hoch null gleich eins. Ein Blick auf eine Wertetabelle verdeutlicht außerdem, was wir auch am Funktionsgraph erkennen können: Für immer kleiner werdende x-Werte geht die Funktion gegen null. Der Graph nähert sich asymptotisch der x-Achse, ohne diese zu berühren. Für immer größer werdende x-Werte explodiert das Wachstum förmlich und die Funktion geht gegen Unendlich. Auch das kennen wir schon von anderen Exponentialfunktionen. Die natürliche Exponentialfunktion eignet sich daher – genauso wie Exponentialfunktionen im Allgemeinen – um bestimmte Wachstums- oder Zerfallsprozesse zu beschreiben.
Zum Beispiel den zeitlichen Verlauf von radioaktivem Zerfall, oder das Wachstum von einer Population, seien es Bakterien, Kaninchen oder Menschen. Die „e-Funktion“ bietet dabei den Vorteil, dass wir sie eben besonders leicht ableiten können. An jeder Stelle ihres Graphen entspricht der dortige Funktionswert auch genau der Steigung des Graphen an dieser Stelle. Egal an welcher Stelle wir das überprüfen. Die natürliche Exponentialfunktion ist übrigens die einzige Funktion, die diese Eigenschaft besitzt. Mind Blowing! Zusammenfassend können wir festhalten: Die natürliche Exponentialfunktion „e hoch x“ hat die Eulersche Zahl e als Basis. Sie reiht sich in die Familie der Exponentialfunktionen ein und ist die einzige Funktion mit einer ganz besonderen Eigenschaft: Ihre Ableitungsfunktion ist identisch zum ursprünglichen Funktionsterm. Ganz egal wie oft wir „e hoch x“ ableiten, die Ableitungsfunktion lautet immer wieder „e hoch x“. Da läuft das Ableiten ja wie von selbst! Daran könnte man sich glatt gewöhnen. The Sky is the limit!

Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung kannst du es wiederholen und üben.
  • Nenne Eigenschaften von Exponentialfunktionen.

    Tipps

    Die Exponentialfunktion kann nur positive Funktionswerte annehmen.

    Es gilt:

    $4^0=1$

    $2^0=1$

    $8^0=1$

    Lösung

    Bei einer Exponentialfunktion steht die Variable $x$ im Exponenten. Zum Beispiel: $h(x)=3^x$

    Wenn wir eine beliebige Exponentialfunktion $f(x)=a^x$ mit $a \in \mathbb{R}_+$ betrachten, können wir folgende Zusammenhänge erkennen:

    • Die Exponentialfunktion kann nur positive Werte annehmen, daher gilt:
    Der Graph verläuft oberhalb der $x$-Achse. Diese Aussage ist also richtig.

    • Wegen $a^0=1$ verläuft jeder Graph durch den Punkt $(0|1)$.
    Die Aussage: Der Graph verläuft durch den Punkt $(1|0)$. ist also falsch. Für $x = 1$ ergibt sich der Funktionswert $f(1) = a^1 = a$ und somit der Punkt $(1 \vert a)$

    • Der Graph nähert sich für $x \to -\infty$ asymptotisch der $x$-Achse, ohne diese zu berühren.
    Die Aussage: Für immer kleiner werdende $x$-Werte gehen die Funktionswerte gegen $0$. ist demnach richtig.

    • Der Graph der Ableitung ist ebenfalls eine Exponentialfunktion. Er kann oberhalb oder unterhalb des Funktionsgraphen verlaufen.
    Die Aussage: Die Ableitung ist gleich dem Funktionsterm. ist also falsch. Dies gilt nur für die natürliche Exponentialfunktion mit der Basis $e$.

  • Beschreibe das Steigungsverhalten der natürlichen Exponentialfunktion.

    Tipps

    Die natürliche Exponentialfunktion ist die Exponentialfunktion mit der Basis $e$. Dies ist die eulersche Zahl: $e \approx 2{,}718$

    Für die natürliche Exponentialfunktion $f(x)$ gilt:

    $ f^{\prime}(x) = f^{\prime\prime}(x) = f^{\prime\prime\prime}(x)$

    Die Ableitungsfunktion $f^{\prime}(x)$ gibt die Steigung des Funktionsgraphen $f(x)$ an.

    Lösung

    Die natürliche Exponentialfunktion ist die Exponentialfunktion mit der Basis $e$. Dies ist die eulersche Zahl: $e \approx 2{,}718$

    Die natürliche Exponentialfunktion ist so definiert, dass ihr Graph und der Graph ihrer Ableitungsfunktion identisch sind. Es gilt daher:

    $f(x) = \mathbf{f^{\prime}(x)} = \mathbf{e^x}$

    An jeder Stelle des Graphen entspricht der Funktionswert der Steigung des Graphen an dieser Stelle.

    Dies gilt im übrigen auch für höhere Ableitungen, also:

    $f(x)=e^x = f^{\prime}(x) = f^{\prime\prime}(x) = f^{\prime\prime\prime}(x) = \ldots$

  • Ermittle die Steigung der natürlichen Exponentialfunktion an den gegebenen Punkten.

    Tipps

    An jeder Stelle des Graphen der natürlichen Exponentialfunktion entspricht der Funktionswert der Steigung des Graphen an dieser Stelle.

    An der Stelle $x=1$ hat der Graph von $f(x)=e^x$ die Steigung $f(1) = e^1 = e$.

    Lösung

    Die natürliche Exponentialfunktion mit der Basis $e \approx 2{,}718$ ist so definiert, dass ihr Graph und der Graph ihrer Ableitungsfunktion identisch sind. An jeder Stelle des Graphen entspricht der Funktionswert $f(x)=y$ daher der Steigung $m$ des Graphen an dieser Stelle:

    $f(x) =e^x = m$


    Bei einem gegebenen Punkt ist der erste Wert immer der $x$-Wert und der zweite Wert der $y$-Wert: $P(x|y)$

    Wir setzen also den gegebenen $x$-Wert in $f(x) = e^x$ ein und erhalten somit den zugehörigen $y$-Wert, welcher der Steigung entspricht:

    • $f(0) = e^0 = 1 \quad \rightarrow m=1$
    • $f(2) = e^2 \approx 7{,}4 \quad \rightarrow m=7{,}4$
    • $f(0,69) = e^{0{,}69} \approx 2{,}0 \quad \rightarrow m=2$
    • $f(1,5) = e^{1{,}5} \approx 4{,}5 \quad \rightarrow m=4{,}5$
    • $f(0,4) = e^{0{,}4} \approx 1{,}5 \quad \rightarrow m=1{,}5$
  • Entscheide, ob der Ableitungsgraph oberhalb oder unterhalb des Funktionsgraphen von $f(x)$ verläuft.

    Tipps

    Die natürliche Exponentialfunktion mit der Basis $e \approx 2{,}718$ ist so definiert, dass ihr Graph und der Graph ihrer Ableitungsfunktion identisch sind.

    Ist die Basis größer als $e$, so verläuft der Graph der Ableitung oberhalb des Funktionsgraphen.

    Lösung

    Die natürliche Exponentialfunktion ist die Exponentialfunktion mit der Basis $e$. Dies ist die eulersche Zahl: $e \approx 2{,}718$
    Die natürliche Exponentialfunktion ist so definiert, dass ihr Graph und der Graph ihrer Ableitungsfunktion identisch sind.

    Ist bei einer Exponentialfunktion $f(x) = a^x$ die Basis $a$ ungleich $e$ so gilt:

    • Ist die Basis $a$ größer als $e$, so verläuft der Graph der Ableitung oberhalb des Funktionsgraphen.
    • Ist die Basis $a$ kleiner als $e$, so verläuft der Graph der Ableitung unterhalb des Funktionsgraphen.
    Zwei Beispiele dazu sind in der Abbildung dargestellt.


    Bei folgenden Funktionen verläuft der Graph der Ableitung also oberhalb des Funktionsgraphen:

    • $f(x) = 4^x$
    • $f(x) = 2{,}8^x$
    • $f(x) = 3{,}3^x$
    • $f(x) = 8^x$

    Bei folgenden Funktionen verläuft der Graph der Ableitung unterhalb des Funktionsgraphen:

    • $f(x) = 1{,}5^x$
    • $f(x) = 2{,}7^x$
    • $f(x) = 1{,}8^x$
    • $f(x) = 2{,}1^x$
  • Gib an, bei welchen Funktionen es sich um Exponentialfunktionen handelt.

    Tipps

    Bei einer Exponentialfunktion steht die Variable $x$ im Exponenten.

    $f(x)=x^7$ ist keine Exponentialfunktion.

    $f(x)=7^x$ ist eine Exponentialfunktion.

    Lösung

    Bei einer Potenz $a^b$ nennen wir $a$ die Basis und $b$ den Exponenten.

    Bei einer Exponentialfunktion steht die Variable $x$ im Exponenten. Enthält der Funktionsterm hingegen eine Potenz, in der die Variable in der Basis steht, so handelt es sich nicht um eine Exponentialfunktion. Damit können wir wie folgt unterscheiden:

    Exponentialfunktionen:

    • $f(x)=e^x \quad$ Dies ist die natürliche Exponentialfunktion
    • $f(x)=5^x$
    • $f(x)=12^x$
    $\quad$

    keine Exponentialfunktionen:

    • $f(x)=x^4$
    • $f(x)=e \cdot x^3$
    • $f(x)=x^2$
  • Berechne die Steigung der natürlichen Exponentialfunktion an den gegebenen Stellen.

    Tipps

    Die Steigung $m$ an einer konkreten Stelle $x$ bestimmen wir mit dem Funktionswert der Ableitung $f^\prime$ an dieser Stelle.

    $m=f^{\prime}(x)$

    Beispiel:

    $x = -0{,}5: \quad m = f^\prime (-0{,}5) = e^{-0{,}5} \approx 0{,}61$

    Lösung

    Die natürliche Exponentialfunktion mit der Basis $e \approx 2{,}718$ ist so definiert, dass ihr Graph und der Graph ihrer Ableitungsfunktion identisch sind. An jeder Stelle des Graphen entspricht der Funktionswert daher der Steigung $m$ des Graphen an dieser Stelle. Es gilt also:
    $f(x) =f^{\prime}(x) = e^x = m$

    Wir setzen daher den gegebenen $x$-Wert in $f^{\prime}(x) = e^x$ ein und erhalten:

    • $x=2{,}2: \qquad m= e^{2{,}2} \approx 9{,}03$
    • $x=4{,}1: \qquad m= e^{4{,}1} \approx 60{,}34$
    • $x=-2: \qquad m= e^{-2} \approx 0{,}14$
    • $x=0{,}8: \qquad m= e^{0{,}8} \approx 2{,}23$
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