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Zinseszinsen 06:14 min

Textversion des Videos

Transkript Zinseszinsen

Um gut auf den Winterschlaf vorbereitet zu sein, bauen sich viele Tiere im Herbst schon einen behaglichen Schlafplatz. Diese Tiere sehen so aus, als wären sie sehr gut auf den Winter vorbereitet. Doch der Igel Archie hat anscheinend vergessen, etwas mehr Laub zu sammeln. Gibt es da nicht eine bessere Möglichkeit, um schneller, vielleicht sogar im Schlaf etwas zu sammeln? Klar! Mithilfe von Zinsen! Die bekommt man von einer Bank. Und hortet man dort etwas für mehrere Jahre, so werden die Zinsen auch mehr. Diese Vermehrung über Jahre hinweg nennen wir Zinseszinsen. Wiederholen wir dazu doch noch einmal kurz die wichtigsten Begriffe der Zinsrechnung: Das Kapital K ist das angelegte beziehungsweise geliehene Geld. Die Zinsen Z geben den konkreten Wert an, welcher zusätzlich gezahlt wird. Der Zinssatz p% gibt das Verhältnis zwischen Kapital und Zinsen an. Wie wir diese verschiedenen Werte berechnen, können wir an diesem Dreieck ablesen. Stellen wir uns einmal vor, dass wir bei einer Bank Geld anlegen. Nach jedem Jahr bekommt man darauf dann Zinsen, die auf das Kapital gezahlt werden. Da sich das Kapital dadurch verändert hat, verändern sich auch die Zinsen. Diese und die Zinsen der nächsten Jahre nennen wir Zinseszinsen. Nehmen wir an, dass Archie bei einer Laub-Bank Blätter anlegen möchte. Im ersten Jahr hat er ein Kapital von 350 Blättern. Er bekommt darauf einen Zinssatz von 3,5 Prozent. Das ist das Gleiche wie 0,035. Berechnen wir die Zinsen, rechnen wir Kapital mal Zinssatz. Setzen wir die Werte ein, so sehen wir, dass Archie Zinsen von 12,25 Blättern erhält. Addieren wir diese zu dem ursprünglichen Kapital, erhalten wir ein neues Kapital von 362,25 Blättern. Dieses Bezeichnen wir mit K1, da es das Kapital nach dem ersten Jahr ist. Berechnen wir die Zinsen für das zweite Jahr, müssen wir K1 als neues Kapital verwenden. Wir berechnen die Zinsen also mit K1 mal p% und das sind gerundet 12,68. K2, also das Kapital nach dem zweiten Jahr, berechnen wir dann indem wir diese Zinsen zu K1 addieren. Wir erhalten also als neues Kapital nach zwei Jahren Verzinsung 374,93. Diesen Vorgang wiederholen wir nun auch für das dritte Jahr. Wir berechnen also die Zinsen für K2 und erhalten K3, indem wir diese Zinsen zu K2 addieren. Nach drei Jahren wird Archie also ein Kapital von 388,05 besitzen. Das hat sich ja ganz schön vergrößert. Schauen wir uns doch einmal die Veränderung des Kapitals über die Jahre hinweg an. Wie wir sehen, wachsen die Zinsen im Laufe der Jahre. Entsprechend steigt das Kapital in jedem Jahr um einen größeren Betrag. Das Kapital nach drei Jahren kann man aber auch in einer Rechnung ermitteln. Das Kapital zu Beginn entspricht 100 Prozent und wir haben jedes Jahr einen Zinssatz von 3,5%. Das neue Kapital entspricht also 103,5 Prozent. Wandeln wir dies in einen Dezimalbruch um, so erhalten wir 1,035. Man kann das Kapital im ersten Jahr also auch durch 350 mal 1,035. K2 erhält man, indem man wieder mit 1,035 multipliziert. Und multipliziert man dann wieder mit 1,035, so erhält man K3. Für die Berechnung von K3 haben wir also das Anfangskapital K dreimal mit 1,035 multipliziert. Vielleicht weißt du ja auch schon, was eine Potenz ist. Da wir immer den gleichen Wert miteinander multipliziert haben, können wir dieses Produkt auch als Potenz schreiben. Wir erhalten also 350 mal 1,035 hoch 3. Der Exponent entspricht den 3 Jahren, für die wir die Zinsen berechnen wollten. Allgemein können wir Zinseszinsen für 'x' Jahre also durch die Formel Kapital mal in Klammern 100% plus p% hoch x berechnen. Fassen wir doch noch einmal zusammen, wie wir die Zinseszinsen berechnet haben. Zunächst haben wir die Jahreszins für das Kapital berechnet. Diese berechnen wir durch K mal p%. Um das neue Kapital zu erhalten, haben wir die Zinsen dann addiert. Dann kann man die Jahreszins für das nächste Jahr berechnen. Diese Schritte wiederholt man dann so lange, bis man bei dem Jahr angekommen ist, welches man erreichen wollte. Beachte dabei, dass sich die Zinsen in jedem Jahr ändern, auch wenn der Zinssatz gleichbleibt. Wir können zur Berechnung der Zinseszinsen aber auch diese Formel verwenden. Damit kann man mit einer Rechnung die Zinseszinsen für 'x' Jahre ausrechnen. Und auch der Igel Archie kann nun schön warm über den Winter kommen. Oh nein!

6 Kommentare
  1. gut, weiter so!

    Von M Sanuri, vor etwa einem Monat
  2. 那个刺猬好可爱

    Von Yiren Y., vor etwa einem Monat
  3. bestes video

    Von Kadrijaj3, vor 2 Monaten
  4. b**********

    Von Kadrijaj3, vor 2 Monaten
  5. sehr gut erklärt und tolles video

    Von R.J., vor 3 Monaten
  1. Gutes Video und auch gut erklärt. 👍

    Von Eric3067, vor 3 Monaten
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Zinseszinsen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zinseszinsen kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die korrekten Aussagen zum Zinseszins.

    Tipps

    Prozentsätze in Prozent kannst du in Dezimalzahlen umrechnen, indem du die Prozentzahl (also die Zahl vor dem Prozentzeichen) durch $100$ teilst.

    Zinseszinsen sind Zinsen, die in Zukunft zusammen mit dem Kapital verzinst werden müssen.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Die Zinsen $Z$ kannst du mit dieser Formel berechnen: $Z=\frac{K}{p\%}$.“

    • Die Zinsen $Z$ in einem Verzinsungszeitraum bestimmst du immer durch: $Z=K \cdot p\%$
    „$3,5~\%$ kannst du auch als $0,35$ schreiben.“

    • Prozentsätze in Prozent kannst du in Dezimalzahlen umrechnen, indem du die Prozentzahl (also die Zahl vor dem Prozentzeichen) durch $100$ teilst. Hier erhältst du also $0,035$.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Den Zinssatz $p\%$ erhält man, indem man die entsprechenden Zinsen $Z$ durch das Kapital $K$ teilt. “

    „Zinseszinsen entstehen, wenn sich das Kapital $K$ durch gezahlte Zinsen bereits verändert hat. Diese gezahlten Zinsen werden anschließend ebenfalls verzinst.“

    „Durch den Zinseszins vergrößern sich die Zinsen bei einem positiven Zinssatz jedes Jahr.“

    • Diese Aussagen beschreiben den Zinseszins korrekt.
  • Beschreibe die Berechnung von Zinseszinsen.

    Tipps

    Die Zinsen werden auf Archies Konto gutgeschrieben. Deshalb hat er am Ende des ersten Jahres sein ursprüngliches Kapital plus die Zinsen auf dem Konto.

    Um die Zinsen des zweiten Jahres zu berechnen, kannst du die bekannte Formel

    $Z=K \cdot p\%$

    verwenden. Hier musst du allerdings das Kapital am Ende des ersten Jahres (also inklusive der Zinsen des ersten Jahres) einsetzen.

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Die Zinsen $Z$ des ersten Jahres berechnen wir wie folgt:

    $Z=K \cdot p\%=350\cdot 0,035=12,25$“

    • Zinsen für einen bestimmten Zeitraum berechnen wir immer mit der bekannten Formel. Hier setzen wir die gegebenen Zahlenwerte ein.
    „Also hat er am Ende des ersten Jahres ein Kapital von:

    $K_1=350+12,25=362,25$“

    • Die Zinsen werden auf Archies Konto gutgeschrieben. Deshalb hat er am Ende des ersten Jahres sein ursprüngliches Kapital plus die Zinsen auf dem Konto.
    „Die Zinsen des zweiten Jahres berechnen wir genauso und erhalten auf zwei Nachkommastellen gerundet:

    $Z \approx 12,68$

    Damit beträgt das Kapital am Ende des zweiten Jahres:

    $K_2=374,93$“

    • Im zweiten Jahr wenden wir die gleiche Formel an wie im ersten Jahr. Nur hat sich hier aufgrund der Zinsen des ersten Jahres das Kapital vergrößert. Das müssen wir auch in die Formel einsetzen.
    „Mit einer Formel können wir das Kapital nach einem bestimmten Zeitraum auch direkt bestimmen. Diese Formel lautet allgemein:

    $K_x=K \cdot (100\% +p\%)^x$

    Setzen wir unsere Werte ein, erhalten wir folgende Rechnung für das Kapital nach zwei Jahren:

    $K_2=350\cdot 1,035^2=374,93$“

    • Die einzelne Berechnung des Kapitals am Ende jedes Jahres ist umständlich. Mit dieser Formel geht es einfacher.
  • Ermittle die Zinsen und das Kapital.

    Tipps

    Die Zinsen für jedes Jahr kannst du einzeln mit dieser Formel berechnen:

    $Z=K \cdot p\%$.

    Anschließend addierst du diese zum Kapital.

    Lösung

    Die Zinsen für jedes Jahr kannst du einzeln berechnen. Anschließend addierst du diese zum Kapital. So erhältst du:

    • $Z_1=K \cdot p\%=500 \cdot 0,02=10$
    Also beträgt das Kapital am Ende des ersten Jahres:

    • $K_1=K+Z_1=500+10=510$
    Die anderen Jahre berechnest du genauso:

    $\begin{array}{llllllll} \\ & Z_2 &=& K_1 \cdot p\% &=& 510 \cdot 0,02 &=& 10,2 \\ & K_2 &=& K_1+Z_2 &=& 510+10,2 &=& 520,2 \\ \\ & Z_3 &=& K_2 \cdot p\% &=& 520,2 \cdot 0,02 &=& 10,4 \\ & K_3 &=& K_2+Z_3 &=& 520,2+10,4 &=& 530,6 \\ \\ & Z_4 &=& K_3 \cdot p\% &=& 530,6 \cdot 0,02 &=& 10,6 \\ & K_4 &=& K_3+Z_4 &=& 530,6+10,6 &=& 541,2 \end{array}$

  • Erschließe das Kapital.

    Tipps

    Das Kapital nach den angegebenen Zeiträumen kannst du mit folgender Formel bestimmen:

    $K_x=K \cdot (100\% +p\%)^x$ .

    Für das erste Kapital nach $3$ Jahren erhalten wir:

    $K_3=400~€\cdot 1,01^3=$.

    Lösung

    Das Kapital nach den angegebenen Zeiträumen kannst du mit folgender Formel bestimmen:

    $K_x=K \cdot (100\% +p\%)^x$.

    Hier können wir nacheinander die gegebenen Werte einsetzen. So erhalten wir:

    • $K_3=400~€\cdot 1,01^3=412,12~€$
    • $K_2=450~€\cdot 1,015^2=463,6~€$
    • $K_5=430~€\cdot 1,02^5=474,75~€$
    • $K_3=500~€\cdot 1,005^3=407,54~€$
  • Beschreibe das Vorgehen zur Berechnung von Zinseszinsen.

    Tipps

    Zinsen und Kapital werden jeweils mit ihrem Anfangsbuchstaben abgekürzt.

    Die Zinsen werden am Ende des Jahres auf das Konto gutgeschrieben.

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Zuerst bestimmst du die Jahreszinsen $Z$ des Kapitals $K$. Dazu verwendest du folgende Formel:

    $Z=K \cdot p\%$

    Anschließend addierst du die Zinsen $Z$ zu dem Anfangskapital $K$, um das Kapital $K_1$ am Ende des ersten Jahres zu erhalten.

    Danach beginnst du wieder von vorne und bestimmst die Jahreszinsen für das folgende Jahr.“

    • Dieses Vorgehen wiederholst du, bis du das Kapital für das gewünschte Jahr bestimmt hast.
    „Alternativ kannst du das Kapital für jedes Jahr auch direkt berechnen. Dazu verwendest du folgende Formel:

    $K_x=K \cdot (100\% +p\%)^x$“

    • Mit dieser Formel rechnest du das Kapital für jedes Jahr schneller und einfacher aus.
  • Erschließe das Rechnen mit einem negativen Zins.

    Tipps

    Die Zinsen für obiges Beispiel im ersten Jahr kannst du so berechnen:

    $Z=K \cdot p\%= 100 \cdot (-0,02)=$.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Leiht sich eine Bank $100~€$ bei einem negativen Zinseszins von $-2\%$, muss sie nach zwei Jahren $104,04~€$ zurückzahlen.“

    • Hier wurde mit einem positiven Zins gerechnet. Die richtige Rechnung verläuft so: $K_2=100 \cdot ( 1-0,02)^2=100 \cdot 0,98^2=96,04$
    „Bei einem negativen Zinseszins steigen die Zinsen jedes Jahr.“

    • Ein negativer Zinseszins verringert die Zinsen jedes Jahr. Betrachten wir obiges Beispiel: Im ersten Jahr betragen die Zinsen: $Z=K \cdot p\%= 100 \cdot (-0,02)=-2$. Damit beträgt das Kapital am Ende des Jahres: $K_1=K+Z=100-2=98$. Jetzt berechnen wir die Zinsen des zweiten Jahres: $Z=98 \cdot (-0,02)=-1,96$. Der Betrag der Zinsen ist also kleiner geworden.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Leiht sich eine Bank $100~€$ bei einem negativen Zinseszins von $-2\%$, muss sie nach zwei Jahren nur $96,04~€$ zurückzahlen.“

    „Bei einem negativen Zinseszins verringert sich der Betrag der Zinsen jedes Jahr.“

    „Legst du dein Geld zu einem negativen Zins an, dann hast du am Ende des Jahres weniger Geld auf dem Konto, als zu Beginn.“

    • Um dich zu vergewissern, dass diese Aussagen richtig sind, betrachte obige Beispiele.