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Exponentielles vs. lineares Wachstum

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Team Digital
Exponentielles vs. lineares Wachstum
lernst du in der Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse

Grundlagen zum Thema Exponentielles vs. lineares Wachstum

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, exponentielles und lineare Wachstumsprozesse in einem Sachkontext zu erkennen und aus diesem Kontext heraus die dazugehörigen Bestandsfunktionen aufzustellen.

lineares und exponentielles Wachstum

Zunächst lernst du, lineares und exponentielles Wachstum an einem Beispiel kennen. Anschließend werden wir weitere Beispiele betrachten und dabei die Art des Wachstumsprozesses feststellen. Abschließend lernst du, wie du bei diesen Beispielen die Wachstumsfunktion mit Anfangswert und Wachstumsfaktor aufstellen kannst.

Lerne außerdem etwas über die Entstehung des Schachspiels.

Exponentielles Wachstum Reiskornlegende

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits lineare und exponentielle Funktionen kennen, sowie das Potenzieren beherrschen.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, weitere Wachstums- und Abnahmeprozesse kennenzulernen.

Transkript Exponentielles vs. lineares Wachstum

Weißt du, wie Schach erfunden wurde? Und warum? Nein? Dann wird es aber höchste Zeit! Außerdem erfährst du, was Schach mit „exponentiellem Wachstum“ zu tun hat. Einer alten Legende nach herrschte in Indien vor langer Zeit ein tyrannischer König. Um den grausamen Herrscher vom Quälen seines Volkes abzulenken, erfand ein weiser Mathematiker das Spiel Schach, das den König unterhalten sollte. Dem mächtigen Herrscher gefiel das Spiel so sehr, dass er den Erfinder dieses königlichen Spiels reich belohnen wollte. Er könne sich Geld, Edelsteine oder Land wünschen. Der weise Mathematiker wünschte sich jedoch Reis. Wie bitte? Reis? Ja, richtig gehört. Auf dem ersten Schachbrettfeld sollte ein Reiskorn liegen, auf dem zweiten zwei, auf dem dritten vier, auf dem vierten acht und immer so weiter. Die Anzahl der Reiskörner sollte sich von Feld zu Feld immer weiter verdoppeln. Ob das ein guter Deal war? Schauen wir uns das Ganze einmal aus mathematischer Sicht an. Die wachsende Anzahl der Reiskörner entspricht einem Wachstumsprozess. Bei Wachstumsprozessen interessieren wir uns für die Änderung eines Bestandes in regelmäßigen Abständen. Meistens sind das Zeitabstände, deshalb bezeichnen wir sie mit t. Schauen wir uns zum Beispiel einmal das Wachstum dieses jungen Baumes an. Momentan ist er einen Meter hoch und wächst jedes Jahr um weitere siebzig Millimeter. Sein Anfangswert der Messung in „t gleich null“ ist also ein Meter. Nach einem Jahr in „t gleich eins“ ist er 1,07 Meter hoch und wächst jedes Jahr um weitere 0,07 Meter. Wir sprechen in diesem Fall von einem linearen Wachstum. Bei linearem Wachstum ändert sich der Bestand in gleichen Abständen immer um den gleichen Summanden. Zum Anfangswert eins addieren wir also zu jedem neuen Messzeitpunkt 0,07. Vereinfacht können wir die Anzahl der Summanden auch als Produkt umschreiben. Lineares Wachstum kann also mit einer linearen Funktionsgleichung dargestellt werden. Da die Bestandsfunktion von dem Zeitpunkt t abhängt, schreiben wir „b von t“. In der allgemeinen Funktionsgleichung für lineares Wachstum steht m für den Wachstumsfaktor und n für den Anfangswert.

Für die Belohnung unseres indischen Mathematikers kam dieser Wachstumsprozess allerdings nicht in Frage. Er wählte ein Wachstum, bei dem sich die Anzahl der Reiskörner von Feld zu Feld verdoppelte. Wenn in gleichen Abständen der Bestand immer mit einem gleichbleibenden Faktor multipliziert wird, sprechen wir von exponentiellem Wachstum. Der Anfangswert wird im Fall unseres Mathematikers bei jedem Schritt mit zwei multipliziert. Vereinfacht können wir diese Formel auch als Potenz schreiben. Dann liegen auf dem achten Feld, also in „t gleich sieben“, zum Beispiel einhundertachtundzwanzig Körner. Das würde schon fast für eine Mahlzeit reichen. Die allgemeine Formel für den Bestand bei exponentiellem Wachstum lautet „b mal a hoch t“, wobei b der Anfangswert und a der Wachstumsfaktor ist. Lineare und exponentielle Wachstumsprozesse treten in unserem Alltag häufiger auf als man denkt. Lass uns ein paar weitere Beispiele betrachten. Vielleicht kennst du ja noch Kettenbriefe. Wenn zwei Personen diese Nachricht initiieren und alle Empfänger diesem Aufruf folgen, dann kann diese Nachricht ziemlich schnell sechshundert Menschen erreichen. In diesem Beispiel startet die Aktion mit zwei Personen und mit jedem Durchgang wird die Anzahl der Empfänger versiebenfacht. Da bei jedem weiteren Zeitpunkt t ein weiterer Faktor sieben hinzukommt, kann diese Entwicklung durch „zwei mal sieben hoch t“ dargestellt werden. Es handelt sich also um exponentielles Wachstum. Schauen wir noch einmal in die Natur. Auf einem See bedecken grüne Algen eine Fläche von fünf Quadratmetern. Diese Fläche verdreifacht sich jede Woche. Während es also zu Beginn nur fünf Quadratmeter waren, sind es nach drei Wochen schon einhundertfünfunddreißig Quadratmeter. Das sieht doch sehr nach exponentiellem Wachstum aus. Hier ist der Anfangswert in „t gleich null“ fünf Quadratmeter und der Wachstumsfaktor drei, da sich die Fläche in gleichen Abständen immer verdreifacht. Die entsprechende Funktionsgleichung lautet also „fünf mal drei hoch t“. Nun noch ein kurzes Beispiel aus der Wirtschaft. Fünf Freunde haben ein Startup gegründet und möchten jeden Monat drei weitere Mitarbeiter*innen einstellen. Wie bei den Algen ist der Anfangswert hier fünf, aber diesmal wird das Team in jedem neuen Messzeitpunkt um drei Personen erweitert statt verdreifacht. Das ist also ein lineares Wachstum und kann durch die Formel „drei t plus fünf“ dargestellt werden. Schön, dann können wir ja zusammenfassen. Bei Wachstumsprozessen interessieren wir uns für die Änderung des Bestandes in regelmäßigen Abständen. Meistens sind das zeitliche Abstände. Dabei unterscheiden wir zwischen linearen und exponentiellen Wachstumsprozessen. Bei linearen Wachstumsprozessen ändert sich der Bestand in gleichen Abständen immer um den gleichen Summanden. Immer, wenn sich der Wert von t um eins erhöht, wird der Wachstumsfaktor zum Anfangswert addiert. Wenn dagegen ein exponentielles Wachstum vorliegt, wird der Bestand in gleichen Abständen mit dem gleichen Faktor multipliziert. Das heißt, der Anfangswert wird, immer wenn t um eins größer wird, mit dem gleichen Wachstumsfaktor multipliziert. Und wie viel Reis bekam nun unser weiser Mathematiker? Auf dem letzten Feld des Schachbrettes müsste der König „zwei hoch dreiundsechzig“ Reiskörner legen. Allein das wären schon mehr als neun Trillionen Reiskörner. So viel Reis hatte der Herrscher in seinem ganzen Königreich nicht. Was für ein cleverer Schachzug!

Exponentielles vs. lineares Wachstum Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Exponentielles vs. lineares Wachstum kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe lineares und exponentielles Wachstum.

    Tipps

    Der Anfangswert beschreibt den Bestand zum Zeitpunkt $t = 0$.

    Lineares Wachstum:

    $B(t) = m \cdot t + n$
    mit Anfangswert $n$ und Wachstumsfaktor $m$

    Lösung

    Bei Wachstumsprozessen betrachten wir die Änderung eines Bestandes in regelmäßigen Abständen.
    Wir unterscheiden zwischen linearem und exponentiellem Wachstum.

    Genauer beschreiben können wir einen Wachstumsprozess mit einem Anfangswert und einem Wachstumsfaktor.

    Der Anfangswert beschreibt dabei den Bestand zu Beginn, bei $t = 0$. Der Wachstumsfaktor beschreibt die Änderung des Bestandes.

    Beim linearen Wachstum ändert sich der Wert in gleichmäßigen Abständen um den gleichen Summanden.
    Wir schreiben: $B(t) = m\cdot t + n$ mit Anfangswert $n$ und Wachstumsfaktor $m$.
    Zum Beispiel beschreibt $B(t) = 0,4 \cdot t + 1$ die Höhe eines Baumes, der von einer Ausgangshöhe von einem Meter jedes Jahr um $40~\text{cm}$ wächst. Dabei ist $n = 1$, $m = 0,4$ und die Zeit $t$ wird in Jahren angegeben.

    Beim exponentiellen Wachstum ändert sich der Wert in gleichmäßigen Abständen um den gleichen Faktor.
    Wir schreiben: $B(t) = b \cdot a^t$ mit Anfangswert $b$ und Wachstumsfaktor $a$.
    Zum Beispiel beschreibt $B(t) = 20 \cdot 2^t$ die Anzahl an Bakterien nach $t$ Stunden, wenn es zu Beginn $20$ Bakterien waren und sich die Population jede Stunde verdoppelt. Dabei ist $b = 20$, $a = 2$ und die Zeit $t$ wird in Stunden angegeben.

  • Gib die Zuordnungsvorschrift zu den Situationen an.

    Tipps

    Entscheide, ob es sich um lineares oder exponentielles Wachstum handelt.

    Bei linearem Wachstum wird in jedem Schritt derselbe Wert addiert.
    Wir schreiben: $\underbrace{m + m + m + \ldots + m}_{t~\text{mal} } = m \cdot t$

    Bei exponentiellen Wachstum wird in jedem Schritt mit demselben Wert multipliziert.
    Wir schreiben: $\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{t~\text{mal} } = a^t$

    Lösung

    Wir bestimmen für jede Situation den Anfangswert, den Wachstumsfaktor und die Art des Wachstum, um dann in die entsprechende Formel einzusetzen:

    Lineares Wachstum:
    $B(t) = m \cdot t + n$ mit Anfangswert $n$ und Wachstumsfaktor $m$

    Exponentielles Wachstum:
    $B(t) = b \cdot a^t$ mit Anfangswert $b$ und Wachstumsfaktor $a$

    Beispiel 1:
    Ein $1~\text{m}$ hoher Baum wächst jedes Jahr um $70~\text{mm}$.
    Die Höhe des Baumes nimmt mit jedem Jahr um den konstanten Wert $70~\text{mm} = 0,07~\text{m}$ zu $\Rightarrow$ linear.
    Anfangswert: $1$
    Wachstumsfaktor: $0,07$
    $B(t) = 0,07 \cdot t + 1$

    Beispiel 2:
    Auf einem See sind $5~\text{m}^2$ von Algen bedeckt. Die Algenfläche verdreifacht sich jede Woche.
    Die von Algen bedeckte Fläche nimmt jede Woche um den Faktor $3$ zu $\Rightarrow$ exponentiell.
    Anfangswert: $5$
    Wachstumsfaktor: $3$
    $B(t) = 5 \cdot 3^t$

    Beispiel 3:
    Zwei Personen versenden einen Kettenbrief, der jeweils an sieben weitere Freunde verschickt werden soll.
    Die Anzahl der Personen, die den Brief erhalten, erhöht sich immer um den Faktor $7$ $\Rightarrow$ exponentiell.
    Anfangswert: $2$
    Wachstumsfaktor: $7$
    $B(t) = 2 \cdot 7^t$

    Beispiel 4:
    Ein Startup mit fünf Mitarbeiten will jeden Monat drei zusätzliche Mitarbeiter einstellen.
    Die Anzahl der Mittarbeiter nimmt jeden Monat um den konstanten Wert $3$ zu $\Rightarrow$ linear.
    Anfangswert: $5$
    Wachstumsfaktor: $3$
    $B(t) = 3 \cdot t + 5$

  • Entscheide, ob die Aussagen zum linearen und exponentiellen Wachstum zutreffen.

    Tipps

    Überlege dir jeweils ein Beispiel für einen linearen oder einen exponentiellen Wachstumsprozess und überprüfe die Aussagen.

    Beispiel für lineares Wachstum mit Wachstumsfaktor $+~2$:

    $\begin{array}{l|r|r|r|r} \text{t} & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \text{B(t)} & 15 & 17 & 19 & 21 \\ \end{array}$

    Lösung

    Lineares Wachstum:
    In gleichen Abständen ändert sich der Bestand immer um den gleichen Summanden.
    $B(t) = m \cdot t + n$ mit Anfangswert $n$ und Wachstumsfaktor $m$

    Exponentielles Wachstum:
    In gleichen Abständen ändert sich der Bestand immer um den gleichen Faktor.
    $B(t) = b \cdot a^t$ mit Anfangswert $b$ und Wachstumsfaktor $a$

    Korrekte Aussagen:

    • Der Anfangswert entspricht immer dem Bestand bei $t = 0$.
    Der Anfangswert beschreibt den Bestand am Anfang, also bei $t = 0$: $\begin{array}{l|l} \text{linear} & B(0) = m \cdot 0 + n = 0 + n = n \\ \hline \text{exponentiell} & B(0) = b \cdot a^0 = b \cdot 1 = b \\ \end{array}$

    • Beim linearen Wachstum ist der Wachstumsfaktor die Differenz aus zwei aufeinanderfolgenden Werten.
    Der Wachstumsfaktor ist beim linearen Wachstum der Summand, um den sich der Bestand erhöht. Daher ist die Differenz zweier aufeinanderfolgender Werte immer gleich dem Wachstumsfaktor.
    Beispiel: $\begin{array}{l|r|r|r|r} \text{t} & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \text{B(t)} & 15 & 17 & 19 & 21 \\ \end{array}$
    Der Wachstumsfaktor ist $2$, es gilt: $2 = 17 - 15 = 19 - 17 = \ldots$

    • Haben ein linearer und ein exponentieller Wachstumsprozess beide den Anfangswert $1$ und den Wachstumsfaktor $1,5$, so wächst der exponentielle Prozess auf Dauer stärker.
    Wir vergleichen die Werte für verschiedene Werte von $t$:
    $\begin{array}{l|l} \text{linear} & \text{exponentiell} \\ \hline B(t) = 1,5 \cdot t + 1 & B(t) = 1 \cdot 1,5^t \\ B(1) = 2,5 & B(1) = 1,5 \\ B(2) = 4 & B(2) = 2,25 \\ B(5) = 8,5 & B(5) \approx 7,59 \\ B(10) = 16 & B(10) \approx 57,67 \\ B(30) = 46 & B(30) \approx 191\,751 \end{array}$
    Wir erkennen, dass für größere Werte von $t$ der exponentielle Prozess stärker wächst.

    Falsche Aussagen:

    • Beim exponentiellen Wachstum ist der Wachstumsfaktor das Produkt aus zwei aufeinanderfolgenden Werten.
    Der Wachstumsfaktor ist beim exponentiellen Wachstum der Faktor, um den sich der Bestand erhöht. Er ergibt sich daher als Quotient, NICHT als Produkt zweier aufeinander folgender Werte.
    Beispiel:
    $\begin{array}{l|r|r|r|r} \text{t} & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \text{B(t)} & 10 & 20 & 40 & 80 \\ \end{array}$
    Der Wachstumsfaktor ist $2$, es gilt: $2 = 20 : 10 = 40 : 20 = 80 : 40 = \ldots$

    • Der Anfangswert kann nicht berechnet werden.
    Wir können auf den Anfangswert zurückrechenen, wenn wir den Bestand für einen festen Wert $t$, den Wachstumsfaktor und die Art des Wachstums kennen.
    Beispiel linear:
    $B(2) = 13$, Wachstumsfaktor $2$
    $B(1) = B(2) - 2 = 13 - 2 = 11$
    $B(0) = B(1) - 2 = 11 - 2 = 9$

    Beispiel exponentiell:
    $B(2) = 5$, Wachstumsfaktor $2$
    $B(1) = B(2) : 2 = 5 : 2 = 2,5$
    $B(0) = B(1) : 2 = 2,5 : 2 = 1,25$

  • Bestimme Anfangswert, Wachstumsfaktor und Art des Wachstums.

    Tipps

    Bei linearem Wachstum erhöht sich der Bestand immer um einen festen Wert.

    Bei exponentiellem Wachstum erhöht sich der Bestand um einen festen Faktor.

    Beispiel:

    Wenn jeder Zuschauer ein Theaterstück an vier Freunde weiterempfiehlt, dann steigt die Anzahl der Zuschauer mit jeder Vorstellung um den Faktor $4$.

    Lösung

    Wir unterscheiden zwischen linearen und exponentiellen Wachstumsprozessen. Bei beiden kommt es in regelmäßigen Abständen zu einer Änderung des Bestands. Ein Wachstumsprozess wird durch einen Anfangswert und einen Wachstumsfaktor charakterisiert.
    Beim linearen Wachstum erhöht sich der Wert immer um den gleichen Summanden.
    Beim exponentiellen Wachstum erhöht sich der Wert immer um den gleichen Faktor.

    Beispiel 1:
    Im Labor wird eine Bakterienpopulation in einer Nährlösung beobachtet. Zu Beginn werden $20$ Bakterien gezählt. Eine Stunde später sind es bereits $50$ Bakterien. Nach zwei Stunden ist die Population auf $125$ Bakterien angewachsen.

    Da sich die Abstände zwischen der Werten von Stunde zu Stunde verändern, kann es sich nicht um lineares Wachstum mit einem konstanten Summanden handeln. Wir suchen nach dem konstanten Wachstumsfaktor für das exponentielle Wachstum, indem wir den Quotienten aufeinander folgender Werte berechnen: $50 : 20 = 2,5 = 125 : 50$

    Es handelt sich um exponentielles Wachstum mit Anfangswert $\mathbf{20}$ Bakterien und Wachstumsfaktor $\mathbf{2,5}$.

    Beispiel 2:
    Der neue Saftladen im Ortszentrum ist sehr beliebt. Am ersten Tag haben bereits $10$ Kunden den Saft probiert. Alle waren so begeistert, dass die jeweils $3$ Freunden empfohlen haben, den Landen direkt am nächsten Tag auszuprobieren. Auch alle weiteren Kunden sprechen wieder Empfehlungen für den nächsten Tag aus.

    Hier wird sich die Anzahl der Kunden mit jedem Tag verdreifachen, da für jeden Kunden an einem Tag am nächsten Tag drei Freunde den Laden besuchen. Wir haben also einen konstanten Faktor $3$, um den die Anzahl der Kunden zunimmt und somit exponentielles Wachstum.

    Es handelt sich um exponentielles Wachstum mit Anfangswert $\mathbf{10}$ Kunden und Wachstumsfaktor $\mathbf{3}$.

  • Vervollständige die dargestellten Wachstumsvorgänge und gib die Art des Wachstums an.

    Tipps

    Bei linearen und exponentiellen Wachstumsprozessen ändert sich der Bestand in regelmäßigen Zeitabständen.

    Beispiel:

    Lösung

    Bei einem Wachstumsprozess ändert sich der Bestand in regelmäßigen Zeitabständen. Liegt ein lineares Wachstum vor, dann erhöht sich der Bestand immer um den gleichen Wert. Handelt es sich um exponentielles Wachstum, so ändert sich der Bestand stets um den gleichen Faktor.

    Der obere Wachstumsprozess ist linear. Es wird in jedem Schritt der Wert $3$ addiert: $+~3$
    Damit ergibt sich für $t = 3$ der Wert $11 + 3 = 14$.

    Der untere Wachstumsprozess ist exponentiell. Es wird in jedem Schritt mit $3$ multipliziert: $\cdot ~3$
    Damit ergibt sich für $t = 3$ der Wert $45~\text{m}^2 \cdot 3 = 135~\text{m}^2$.

  • Berechne das Wachstum von Celias Followern.

    Tipps

    Überlege, in welchem Zeitraum welches Wachstum vorliegt.

    Wenn sich die Art des Wachstums ändert, dann kannst du zunächst den Bestand am Ende des ersten Zeitraums bestimmen und diesen dann als Anfangswert für den nächsten Zeitabschnitt verwenden.

    Lösung

    In den ersten vier Monaten wächst Celias Followerzahl jeweils konstant um die Zahl $5$. Da sie zu Beginn bereits $7$ Follower hatte, sind es nach den ersten vier Monaten dann $7 + 5 + 5 + 5 + 5 = 27$ Follower.
    Wir können auch die Formel für das lineare Wachstum mit Anfangswert $n = 7$ und Wachstumsfaktor $m = 5$ verwenden:
    $B(t) = 5 \cdot t + 7$, also nach vier Monaten $B(4) = 5 \cdot 4 + 7 = 20 + 7 = 27$

    Danach schafft sie es ihre Followerzahlen jeden Monat zu verdreifachen, Kater Carlo sei Dank.
    Bis zu ihrem Geburtstag sind es noch weitere acht Monate. Wir verwenden die Formel für exponentielles Wachstum mit Anfangswert $b = 27$ und Wachstumsfaktor $a = 3$:
    $B(t) = 27 \cdot 3^t$, also nach weiteren acht Monaten $B(8) = 27 \cdot 3^8 = 27 \cdot 6\,561 = 177\,147$

    Nach einem Jahr hat Celia es also bereits zu $\mathbf{177\,147}$ Followern gebracht. Herzlichen Glückwunsch!

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