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Exponentielles oder lineares Wachstum – Wachstumsprozesse zuordnen

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Mathe-Team
Exponentielles oder lineares Wachstum – Wachstumsprozesse zuordnen
lernst du in der Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Exponentielles oder lineares Wachstum – Wachstumsprozesse zuordnen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Exponentielles oder lineares Wachstum – Wachstumsprozesse zuordnen kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe lineares und exponentielles Wachstum sowie den Unterschied zwischen ihnen.

    Tipps

    In welcher Tabelle wird zu jedem Zeitpunkt der gleiche Summand addiert?

    Die Abstände der einzelnen Zeitpunkte müssen gleich groß sein.

    Lineare Funktionen werden durch eine Gerade im Koordinatensystem dargestellt.

    Lösung

    Bei linearem Wachstum wird immer ein konstanter Wert addiert. Daher ist der zugehörige Graph auch eine Gerade. Bei exponentiellem Wachstum wird immer mit einem konstanten Faktor multipliziert. Der zugehörige Graph ist eine exponentielle Kurve.

  • Ergänze die fehlenden Zahlen zu Zeitpunkt und Bestand.

    Tipps

    Zum Zeitpunkt $n=0$ trägst du den Anfangswert ein.

    Die Zeitpunkte haben gleichmäßige Abstände.

    Wie viel Euro musst du von Monat zu Monat addieren?

    Der Anfangwert beträgt $1600~€$.

    Lösung

    In der Tabelle ist die Anzahl der Zeitpunkte $n$ in Monaten eingetragen sowie der jeweilige Bestand $B$ in Euro.

    In der ersten Spalte stehen entsprechend die Bezeichnungen $n$ und $B$.

    In der zweiten Spalte steht der Bestand zum Zeitpunkt $n=0$, also der Anfangswert. Zu Beginn sind $1600~€$ auf dem Konto.

    Zum Zeitpunkt $n=1$ werden dann $80~€$ eingezahlt, also befinden sich $1680~€$ auf dem Konto. Diese Werte stehen in der dritten Spalte.

    Zum Zeitpunkt $n=2$ werden wieder $80~€$ auf das Konto eingezahlt und so weiter.

  • Entscheide, ob lineares Wachstum, exponentielles Wachstum oder keines von beidem vorliegt.

    Tipps

    Bei linearem Wachstum wird in jedem gleich großen Zeitabschnitt das Gleiche addiert.

    Du kannst eine Wertetabelle anlegen oder das Wachstum in einer Grafik veranschaulichen. Dann siehst du deutlicher, um welches Wachstum es sich handelt.

    Lösung

    Beim linearen Wachstum wird nach einer bestimmten (Zeit-)Spanne immer der gleiche Summand addiert, zum Beispiel: Jede/n Monat/ Freitag/ Tag/ Meter/ Minute kommen $10$ Euro/ $2$ Zentimeter/ $1~bar$/ $3$ Bonbons hinzu.

    Beim exponentiellen Wachstum wird nach einer bestimmten (Zeit-)Spanne immer mit dem gleichen Faktor multipliziert, zum Beispiel: Von Monat zu Monat/ Jahr zu Jahr/Meter zu Meter/Sekunde zu Sekunde wird der vorherige Wert verdoppelt/verdreifacht/wächst um $12~\%$/wird mit $3~km/h$ multipliziert.

  • Bestimme die Wachstumsart und die Lösung die Aufgabe.

    Tipps

    Wird in dem gegebenen Zeitraum addiert oder multipliziert?

    Errechne den Bestand nach $n$ Jahren, indem du alle nötigen Zwischenwerte bestimmst, zum Beispiel in einer Tabelle.

    Lösung

    Bei den Fichtenzweigen handelt es sich um exponentielles Wachstum: Jedes Jahr kommen an jedem der drei Zweigenden eines Zweiges $5$ neue Triebe hinzu. Es wird also mit $5$ multipliziert. Nach einem Jahr hat die Fichte $3 \cdot 5 = 15$ Zweige. Nach $2$ Jahren hat die Fichte $15 \cdot 5 = 75$ bzw. $3 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25=75$ Zweigenden.

    Bei der Tropfsteinlänge handelt es sich um lineares Wachstum, denn jedes Jahr kommen zu einer Anfangslänge von $35~mm$ noch $3$ weitere mm hinzu. Es wird also immer $3$ addiert. Nach einem Jahr ist der Tropfstein $35 + 3 = 38~mm$ lang. Nach zwei Jahren ist der Tropfstein $38 + 3 = 41~mm$ bzw. $35+2\cdot 3=41~mm$ lang. Nach $5$ Jahren ist der Tropfstein also $50~mm$ lang.

  • Gib an, ob es sich um exponentielles oder um lineares Wachstum handelt.

    Tipps

    Bei linearem Wachstum wird in jedem gleich großen Zeitabschnitt das Gleiche addiert.

    Bei exponentiellen Wachstum multiplizierst du in jedem Zeitabschnitt mit dem gleichen Faktor.

    Lösung

    Bei Aufgabe $1$ wird jeden Monat ein fester Betrag von $15~€$ auf das Sparbuch eingezahlt. Dadurch wächst das Ersparte jeden Monat um $15~€$ an. Es handelt sich also um ein lineares Wachstum.

    Bei Aufgabe $2$ verdreifacht sich die Seitenlänge, sie wird also von Zeiteinheit zu Zeiteinheit immer mit dem Faktor $3$ multipliziert. Da für den Flächeninhalt $A$ gilt: $A=a^2$, verneunfacht sich der Flächeninhalt pro Zeiteinheit. Daher handelt es sich um exponentielles Wachstum mit dem Faktor $9$.

    Auch bei Aufgabe $3$ handelt es sich um exponentielles Wachstum. Der Faktor ist hier $1,18$.

    Bei Aufgabe $4$ werden jedes Jahr $34~cm$ zu der Höhe hinzuaddiert. Daher handelt es sich um lineares Wachstum.

  • Entscheide, welche Aussagen zu linearem und exponentiellem Wachstum stimmen.

    Tipps

    Es gibt auch negatives Wachstum, bei dem der Bestand immer kleiner wird.

    Wenn der Druck beim Tauchen alle $10$ Meter um ein bar zunimmt, ist das lineares Wachstum.

    Der Graph bei einem linearen Wachstum geht nicht immer durch den Ursprung.

    Der Graph bei einem linearen Wachstum steigt nicht immer an, er kann auch fallen.

    Lösung

    Lineare Funktionen und somit auch lineares Wachstum zeichnen sich dadurch aus, dass alle Punkte auf einer Geraden liegen.

    Exponentielles Wachstum ist nie automatisch größer oder kleiner als lineares Wachstum: Wenn du die beiden Graphen aus dem Video vergleichst, siehst du, dass zu Beginn das lineare Wachstum größer aussieht, dann wird aber die Kurve des exponentiellen Wachstums steiler und es ist größer als das lineare Wachstum. Ob und wann es diesen Wechsel gibt, kommt dabei immer auf die konkreten Zahlen an.

    Es gibt auch negatives Wachstum. Dabei wird der Bestand kleiner. Bei exponentiellen Funktionen ist das, wenn der Faktor kleiner als $1$ ist. Die Kurve fällt dann, statt zu steigen. Beispiel: Der Umsatz eines Unternehmens von $3$ Millionen Euro fällt jedes Jahr um $7$ Prozent.

    Bei linearen Funktionen ist das, wenn der Summand ein negatives Vorzeichen hat. Der Graph fällt dann ebenfalls. Beispiel: Von einem Konto mit $1600$ Euro werden jeden Monat $100$ Euro abgehoben.

    Wachstumsprozesse gibt es auch unabhängig von der Größe „Zeit“. Wenn der Druck beim Tauchen alle $10$ Meter um ein bar zunimmt, ist das lineares Wachstum, obwohl die Größen „Tauchtiefe“ und „Druck“ sind. Oder wenn ein Auto alle $3$ Meter um $2~km/h$ beschleunigt, dann sind die Größen „Strecke“ und „Geschwindigkeit“; es handelt sich trotzdem um ein exponentielles Wachstum.

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