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Exponentialgleichungen – Einführung

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Team Digital
Exponentialgleichungen – Einführung
lernst du in der Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Grundlagen zum Thema Exponentialgleichungen – Einführung

Inhalt

Exponentialgleichungen in Mathe

Weißt du, was eine abkühlende Teekanne im Schnee, die Zinsen auf einem Konto und das Wachstum der Bakterien in einer Petrischale gemeinsam haben? Willst du zu einem bestimmten Zeitpunkt berechnen, wie sich all diese Dinge verändert haben, brauchst du dazu eine Exponentialgleichung. Wir wollen uns im Folgenden die Definition für Exponentialgleichungen anschauen, damit du weißt, wie du sie erkennen kannst. Dazu schauen wir uns auch einige Beispiele an.

Was sind Exponentialgleichungen?

Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung, bei der die Variable mindestens einmal im Exponenten einer Potenz auftaucht.

Wir schauen uns ein paar Beispiele an, um die Definition besser verstehen zu können. Wir beginnen mit der folgenden Gleichung:

$5^{x} = 25$

Ist diese Gleichung eine Exponentialgleichung? Ja! Die Variable $x$ taucht als Exponent der Potenz zur Basis $5$ auf.

Und wie sieht es mit der folgenden Gleichung aus?

$3^{x+2} = 27$

Auch diese Gleichung ist eine Exponentialgleichung. Denn in der Potenz $3^{x+2}$ steht die Variable $x$ im Exponenten. Es macht dabei nichts aus, dass die Variable nicht allein, sondern als Summand einer Summe im Exponenten steht.

Schauen wir uns eine weitere Gleichung an:

$2^{x-5} + 8^{\frac{x}{2}} = 514$

Hier taucht die Variable $x$ nicht nur in einer, sondern in zwei Potenzen als Exponent auf. Da in der Definition steht mindestens, ist auch diese Gleichung eine Exponentialgleichung. Die Variable $x$ kann beliebig oft als Exponent auftauchen, solange sie mindestens einmal im Exponenten steht.

Wie sieht es mit der folgenden Gleichung aus?

$2^{x+1}+x^{2} = 10$

Hier taucht die Variable $x$ einmal im Exponenten der Potenz $2^{x+1}$ und einmal als Basis der Potenz $x^{2}$ auf. Wir erinnern uns an die Definition: Die Variable muss mindestens einmal als Exponent auftauchen. Die Definition schließt also nicht aus, dass sie auch in anderer Form in der Gleichung auftaucht. Also ist auch diese Gleichung eine Exponentialgleichung.

Und was ist mit dieser Gleichung?

$x^{2} = 16$

Diese Gleichung ist keine Exponentialgleichung. Hier taucht die Variable $x$ nur als Basis auf, aber keinmal als Exponent.

Exponentialgleichungen kurz zusammengefasst

In diesem Video wird dir einfach erklärt, was eine Exponentialgleichung ist und wie du sie erkennen kannst. Das Video wird durch interaktive Übungen ergänzt. Überprüfe gleich, ob du alle Exponentialgleichungen erkennst!

Transkript Exponentialgleichungen – Einführung

Eine Teekanne in der Kälte, die Kohle auf dem Konto, oder Bakterien in einer Petrischale. Was haben alle diese Dinge gemeinsam? Wie sie alle sich mit der Zeit verändern, beschreiben wir mit Exponentialgleichungen. Das sind Gleichungen, bei denen die gesuchte Variable mindestens einmal im Exponenten auftaucht. Erfüllt die Gleichung 5 hoch x gleich 25 diese Definition? Lass uns das untersuchen! Auf der rechten Seite unserer Gleichung steht ohnehin keine Variable, also betrachten wir die linke Seite. Dort haben wir eine Potenz. Eine Potenz setzt sich immer aus einer Basis und ihrem Exponenten zusammen. Hier ist die Basis 5 und im Exponenten steht die Variable x. Somit handelt es sich hierbei um eine Exponentialgleichung. Betrachten wir nun ein weiteres Beispiel. Diese Gleichung sieht schon etwas anders aus...handelt es sich hierbei ebenfalls um eine Exponentialgleichung? Auf der linken Seite unserer Gleichung steht eine Potenz mit der Basis 3 und dem Exponenten x+2. Die Variable steht also wieder im Exponenten der Potenz. Allerdings ist der Exponent nun nicht mehr eine einfache Variable, sondern ein Term, der die Variable x enthält. Es ist also eine Exponentialgleichung! Sie sieht schon etwas spannender aus. Was passiert nun, wenn in einer Gleichung mehr als nur eine Potenz vorkommt? Hier haben wir zwei Potenzen mit unterschiedlichen Basen – nämlich 2 und 8. Beide haben im Exponenten einen Term mit der Variablen x — nämlich x minus 5 und x durch 2. Erinnere dich: Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung, in der die gesuchte Variable mindestens einmal im Exponenten einer Potenz vorkommt. Eine Gleichung darf also auch mehrere solcher Potenzen enthalten — also ist auch diese Gleichung eine Exponentialgleichung. Diese Exponentialgleichungen werden ja besser und besser! Und was ist mit dieser Gleichung? Sie enthält wieder zwei Potenzen mit je einer Basis und einem Exponenten. Doch halt, diesmal haben wir eine Potenz, in deren Exponenten die Variable nicht auftaucht, stattdessen steht diese in der Basis. Hier taucht die Variable x nicht nur im Exponenten, sondern auch noch in der Basis einer Potenz auf! Viel verrückter können Exponentialgleichungen nun wirklich nicht mehr werden! Was ist denn mit dieser Gleichung? Handelt es sich hierbei um eine Exponentialgleichung? Nein, damit sie die Bedingung für eine Exponentialgleichung erfüllt, muss sie mindestens eine Potenz besitzen, bei der die Variable im Exponenten steht. Also ist diese Gleichung keine Exponentialgleichung. Fassen wir doch kurz zusammen. Exponentialgleichungen sind Gleichungen, bei denen die gesuchte Variable mindestens einmal im Exponenten einer Potenz steht. Weil diese Definition sehr allgemein ist, gibt es von wirklich leicht bis echt kompliziert eine riesige Menge von verschiedenen Formen von Exponentialgleichungen. Also: was der Tee, der Kontostand und die Bakterien gemeinsam haben, ist, dass ihre Veränderungen mit Exponentialgleichungen beschrieben werden können. Aber was passiert, wenn man sie kombiniert? Das ist ja cool!

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Exponentialgleichungen – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Exponentialgleichungen – Einführung kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Definition für eine Exponentialgleichung an.

    Tipps

    Sieh dir folgende Beispiele zu Exponentialgleichungen an.

    • $2^x=8$
    • $2^{x-3}=1$
    • $2^{x+1}+x^2=12$

    Eine Potenz $a^n$ setzt sich wie folgt zusammen:

    • $a^n$: Potenz
    • $a$: Basis
    • $n$: Exponent
    Lösung

    Es gibt im Alltag viele Dinge, deren Zunahme oder Abnahme exponentiell erfolgt. Möchte man ein solches Verhalten mathematisch ausdrücken, so nutzt man Exponentialgleichungen.

    Was aber macht eine solche Gleichung aus?

    Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung, in der die Variable mindestens einmal im Exponenten einer Potenz vorkommt.

    Demnach handelt es sich beispielsweise bei den folgenden Gleichungen um Exponentialgleichungen:

    • $2^x=8$
    • $2^{x-3}=1$
    • $2^{x+1}+x^2=12$

  • Bestimme, bei welchen Gleichungen es sich um eine Exponentialgleichung handelt.

    Tipps

    Exponentialgleichungen sind Gleichungen, bei denen die gesuchte Variable mindestens einmal im Exponenten einer Potenz auftaucht.

    Sieh dir folgende Beispiele an:

    Exponentialgleichungen

    • $2^{x^2}-x=14$
    • $2^{x-1}=2$
    • $2^{\frac x2}=2$
    keine Exponentialgleichungen
    • $x^2-3x=2$
    • $\frac 12x-1=0$
    • $x^3-x^2=4$

    Lösung

    Exponentialgleichungen sind Gleichungen, bei denen die gesuchte Variable mindestens einmal im Exponenten einer Potenz auftaucht.

    Demnach handelt es sich bei den folgenden Beispielen um Exponentialgleichungen:

    • $5^x = 25$
    • $3^{x+2}=27$
    • $2^{x-5}+8^{\frac {x}{2}}=514$
    • $2^{x+1} + x^2 = 10$
    Diese Gleichungen hingegen sind keine Exponentialgleichungen:
    • $x^2 = 16$
    • $x^2 -x= 2$

  • Entscheide, bei welchen Gleichungen es sich um Exponentialgleichungen handelt.

    Tipps

    Eine Exponentialgleichung besitzt mindestens eine Potenz, in deren Exponenten die gesuchte Variable auftaucht.

    Sieh dir folgende Exponentialgleichungen an.

    • $6^{x-1}=36$
    • $2^x-3^{x^2}=-1$
    • $2^x-3x=-2$
    Lösung

    Es handelt sich genau dann um eine Exponentialgleichung, wenn die Gleichung mindestens eine Potenz besitzt, in deren Exponenten die gesuchte Variable auftaucht.

    Demnach muss Frau Baums Korrektur wie folgt aussehen:

    • $2(x^2+x)=4~$ X
    • $8^{x^2}-2^{2x+1}=0~\checkmark$
    • $4^{2(x-1)}=16~\checkmark$
    • $3x^2+x-1=3~$ X
    Die gesuchte Variable taucht nämlich in der ersten und letzten Gleichung in keinem Exponenten auf, in der zweiten und dritten Gleichung hingegen schon.

  • Zeige, an welchen Termen du erkennst, dass es sich um eine Exponentialgleichung handelt.

    Tipps

    Gegeben ist folgende Exponentialgleichung:

    • $x^2+3^{x^2-1}+4=2\cdot 3^x$.
    Die exponentiellen Terme sind:

    • $3^{x^2-1}$ und
    • $2\cdot 3^x$.

    Eine Gleichung ist genau dann eine Exponentialgleichung, wenn die gesuchte Variable mindestens einmal in dem Exponenten einer Potenz steht.

    Lösung

    Woran können wir erkennen, dass es sich bei einer gegebenen Gleichung um eine Exponentialgleichung handelt?

    Eine Gleichung ist genau dann eine Exponentialgleichung, wenn die gesuchte Variable mindestens einmal in dem Exponenten einer Potenz steht. Demnach können wir anhand folgender Terme beurteilen, dass die gegebenen Gleichungen Exponentialgleichungen sind:

    Gleichung 1: $~2x-3^{2x-1}=-1$

    • $3^{2x-1}$
    Gleichung 2: $~x^2-5^{x^2+1}=(-2)^{x+2}-4^{x+1}$

    • $5^{x^2+1}$
    • $(-2)^{x+2}$
    • $4^{x+1}$
    Gleichung 3: $~2^{3(x-3)}-5^{\frac x2}=2(x+1)-3^{x-1}$

    • $2^{3(x-3)}$
    • $5^{\frac x2}$
    • $3^{x-1}$
  • Beschrifte die Größen der Potenz.

    Tipps

    Da bei einer Exponentialgleichung die gesuchte Variable mindestens einmal in dem Exponenten einer Potenz steht, handelt es sich bei folgender Gleichung um eine Exponentialgleichung:

    • $5^{x-1}=125$.

    Eine Potenz ist die abgekürzte Schreibweise für die wiederholte Multiplikation eines Faktors mit sich selbst:

    • $\underbrace{a\cdot a\cdot\ ...\ \cdot a}_{n\text{ -mal}}=a^n$.
    Dabei steht der Faktor in der Basis der Potenz. Die Anzahl der mehrfachen Multiplikation steht im Exponenten.

    Lösung

    Bei einer Exponentialgleichung steht die gesuchte Variable mindestens einmal in dem Exponenten einer Potenz. Aus diesem Grund ist es wichtig zu wissen, wie sich eine Potenz zusammensetzt.

    Eine Potenz ist die abgekürzte Schreibweise für die wiederholte Multiplikation eines Faktors mit sich selbst:

    • $\underbrace{a\cdot a\cdot\ ...\ \cdot a}_{n\text{ -mal}}=a^n$.
    Dabei steht der Faktor $a$ in der Basis der Potenz. Die Anzahl der mehrfachen Multiplikation $n$ steht im Exponenten.

  • Leite die gesuchte Exponentialgleichung her.

    Tipps

    Eine Potenz $a^n$ setzt sich wie folgt zusammen:

    • $a$: Basis
    • $n$: Exponent

    Das Ergebnis einer Potenz wird Potenzwert genannt.

    Lösung

    Im Folgenden stellen wir diejenigen Gleichungen auf, deren Lösungen die Antworten der gegebenen Fragen liefern.

    Frage 1: Wie oft muss man $2$ mit sich selbst multiplizieren, um $8$ zu erhalten?

    Die mehrfache Multiplikation eines Faktors mit sich selbst können wir in der Potenzschreibweise ausdrücken. Die Potenz $a^n$ drückt beispielsweise die $n$-fache Multiplikation des Faktors $a$ mit sich selbst aus. Da wir die Anzahl der mehrfachen Multiplikation des Faktors $2$ mit sich selbst suchen, nennen wir diese Anzahl $x$. So erhalten wir folgende Exponentialgleichung:

    • $2^x=8$.
    Frage 2: Wie oft muss man $3$ mit sich selbst multiplizieren, um $9$ zu erhalten?

    Hier erhalten wir die Exponentialgleichung:

    • $3^x=9$.
    Frage 3: Wie groß ist der Exponent einer Potenz, deren Basis $3$ und Potenzwert $27$ ist?

    Eine Potenz $a^n$ setzt sich aus der Basis $a$ und dem Exponenten $n$ zusammen. Das Ergebnis einer Potenz wird Potenzwert genannt. Somit folgt:

    • $3^x=27$.
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