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Ableitung – Erklärung

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Team Digital
Ableitung – Erklärung
lernst du in der Oberstufe 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Grundlagen zum Thema Ableitung – Erklärung

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du wissen, was eine Ableitung ist und wozu man sie gebrauchen kann.

Wofür braucht man eine Ableitung

Zunächst lernst du, was die Ableitung mit der Steigung einer Funktion zu tun hat. Anschließend schauen wir uns an, wozu man eine Ableitung benötigt. Abschließend lernst du eine erste Regel, mit der die Ableitung bestimmt werden kann.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Steigung, Ableitung, Tangente, Steigungsdreieck, lokale und momentane Änderungsrate.

Steigung einer Funktion messen

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie man das Steigungsdreieck bei linearen Funktionen verwendet und die Idee des Differenzen- und des Differentialquotienten kennen.

Ableitungsfunktion

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, weitere Ableitungsregeln kennenzulernen.

Transkript Ableitung – Erklärung

Täglich liest man Schlagzeilen wie diese: Die weltweiten Gletscher schrumpfen mit wachsendem Tempo. Die Inzidenz steigt langsamer. Die Talfahrt im Dax geht leicht gebremst weiter. Der Meeresspiegel steigt immer schneller. Um zu erkennen, ob das alles schlechte Nachrichten sind, brauchen wir grundlegendes Wissen über „die Ableitung“. Schauen wir uns das letzte Diagramm nochmal genauer an. Wie ist das jetzt mit der Steigung? Und wie kann man die Steigung bei so einer krummen Funktion überhaupt messen? Nehmen wir uns mal eine Funktion her. Ähnlich wie in dem Diagramm, ist sie ziemlich krumm und gebogen. Wenn wir aber trotzdem etwas über die Steigung – an zum Beispiel diesem Punkt – herausfinden wollen, brauchen wir ein Hilfsmittel. Lass uns hier mal eine Tangente anlegen. Nochmal kurz zur Erinnerung: Tangenten kennen wir schon. Das waren die Geraden am Kreis, die den Kreis in nur einem Punkt berühren. Diese Tangente berührt die Funktion nur in diesem einen Punkt. Okay, vielleicht schneidet die Tangente die Funktion weiter links, aber darum geht es hier nicht - wir betrachten dabei immer nur einen lokalen Ausschnitt der Funktion. Bei der Tangente können wir nun, wie bei den linearen Funktionen, ein Steigungsdreieck einzeichnen, um den Anstieg zu ermitteln. Dabei ist es egal, wo und wie groß wir das Steigungsdreieck an die Tangente legen, da das Verhältnis von Delta y zu Delta x immer gleich bleibt. Da die Tangente immer perfekt am Funktionsgraphen anliegt, gibt sie an, wie groß der Anstieg an exakt dieser Stelle ist. Und genau das ist schon die Ableitung an dieser Stelle „x null“. Die Ableitung gibt die momentane Steigung, also die Tangentensteigung an einer bestimmten Stelle an. Aber die Steigung ist bei diesem Funktionsgraphen natürlich nicht immer gleich. Im Punkt C ist die Funktion schon wesentlich steiler. An dieser Stelle ist die Steigung dagegen negativ, denn auch die anliegende Tangente fällt. Und im Punkt A positiv. Wir schauen also immer, ob die Funktionswerte von links nach rechts zu- oder abnehmen. Wenn wir nun die Steigung an allen Stellen bestimmen, und sie in ein Koordinatensystem eintragen, erhalten wir eine Funktion, die uns an jeder Stelle direkt den Anstieg der Funktion f anzeigt. Das ist die Ableitungsfunktion der Funktion f. Die Ableitung ist also eine weitere Funktion, die jeder Stelle x von f den Anstieg an dieser Stelle zuordnet. Diese Funktion wird „f Strich“ genannt. f, weil sie von der Funktion f abgeleitet wurde, und mit dem Strich können wir sie von der Ausgangsfunktion unterscheiden.

Wenn wir die beiden Funktionen jetzt vergleichen, ist ein weiterer Zusammenhang erkennbar. In den Bereichen, in denen die Funktion f steigt, sind die Funktionswerte der Ableitung positiv. Wenn f dagegen fällt, verläuft die Ableitungsfunktion im negativen Bereich. Und wenn die Funktion weder steigt noch fällt, wie zum Beispiel hier oder hier, dann ist der Funktionswert der Ableitung genau null. Die Ableitung beschreibt also, in welche Richtung sich die Funktion f gerade weiterbewegt, ob sie steigt oder fällt. Das ist ja alles schön und gut, aber wofür braucht man eine Ableitung überhaupt? Zum Beispiel, wenn eine Funktion den zurückgelegten Weg angibt, kann man mit der Ableitung die Geschwindigkeit ermitteln. Die Steigung an einer bestimmten Stelle ist dann die Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt. Bei dem Gewicht einer Babykatze gibt die Ableitung die Gewichtszu- oder abnahme an. Und bei der Erlös- oder Kostenfunktion die zusätzlichen Erlöse oder Kosten pro weiteres produziertes Stück. Ganz schön vielfältig, diese Ableitungen. Doch wie kommt man eigentlich auf die Ableitungsfunktion, wenn man gerade eine braucht? Nun, da gibt es ein paar Regeln. Vielleicht erkennst du ja die erste, wenn du einen ganz scharfen Blick auf diese Tabelle wirfst. Genau, der Exponent der Ausgangsfunktion, wird vor das x gezogen, und der Exponent wird um eins kleiner gemacht. Allgemein kann das so aufgeschrieben werden. Der Exponent n, wird bei der Ableitung nach vorne geholt, und oben um eins verringert. Zum Ableiten gibt es noch einige weitere Regeln, aber wir fassen das Wichtigste erstmal zusammen. Die Ableitung einer Funktion ist wieder eine Funktion, an der wir die Steigung der Ausgangsfunktion für jede Stelle x direkt ablesen können. Die Ableitung von f an einer Stelle „x null“ ist somit die Steigung des Graphen von f an der Stelle „x null“, beziehungsweise die Steigung der Tangente, die an der Stelle „x null“ an dem Graphen anliegt. Sie wird auch lokale oder momentane Änderungsrate an der Stelle „x null“ genannt. Aber eigentlich reicht es, wenn man sich merkt, dass die Ableitung beschreibt, in welche Richtung sich die Funktion f gerade weiterbewegt. Auf jeden Fall hilft uns die Ableitung dabei, Änderungsraten genauer unter die Lupe zu nehmen um endlich den Durchblick zu haben.

Ableitung – Erklärung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ableitung – Erklärung kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die Bedeutung der Ableitung an der Stelle $x_0$.

    Tipps

    Die Ableitung $f^\prime(x)$ ist eine Funktion, die den Anstieg der Funktion $f(x)$ beschreibt.

    Die mittlere Änderungsrate ist die Steigung einer Graden durch zwei Punkte.

    Lösung

    Die Ableitung $f^\prime(x)$ einer Funktion $f(x)$ ist selbst eine Funktion, welche den Anstieg bzw. die Steigung von $f(x)$ beschreibt. Die Steigung einer Funktion in einem bestimmten Punkt wird auch als momentane oder lokale Änderungsrate bezeichnet.
    Wenn wir eine Gerade so einzeichnen, dass sie den Funktionsgraphen in einem Punkt berührt (Tangente), so hat sie stets die Steigung der Funktion im Berührpunkt.

    Korrekte Aussagen:

    • $f^\prime(x_0)$ beschreibt die momentane Änderungsrate von $f(x)$ an der Stelle $x_0$.
    • $f^\prime(x_0)$ beschreibt die Steigung einer Tangenten an den Graphen von $f(x)$ and der Stelle $x_0$.
    • $f^\prime(x_0)$ beschreibt die Steigung des Graphen von $f(x)$ an der Stelle $x_0$.
    Falsche Aussage:

    • $f^\prime(x_0)$ beschreibt die mittlere Änderungsrate von $f(x)$ in einem Intervall um $x_0$.
    Die mittlere Änderungsrate wird stets zwischen zwei Punkten bestimmt. Sie entspricht der Steigung einer Geraden durch diese beiden Punkte. Wir nennen diese Gerade auch Sekante, da sie den Graphen in zwei Punkten schneidet. Die Ableitung hingegen gibt die Steigung des Graphen in einem Punkt an. Man nennt sie auch die momentane oder lokale Änderungsrate.
  • Gib an, was durch die Ableitung der Größen beschrieben wird.

    Tipps

    Die Ableitung beschreibt stets eine Änderungsrate.

    Beispiel:

    $f: x \mapsto$ Geschwinigkeit

    $f^\prime: x \mapsto$ Beschleunigung

    Die Beschleunigung gibt an, wie sich die Geschwindigkeit ändert.

    Lösung

    Die Ableitung einer Funktion beschreibt ihre Änderungsrate. Wenn die Funktion $f(x)$ für eine Größe steht, dann beschreibt die Ableitung $f^\prime(x)$ die Änderung dieser Größe.

    Beispiel 1:
    $f: x \mapsto$ zurückgelegter Weg
    Die Ableitung beschreibt, wie sich der zurückgelegte Weg in Abhängigkeit von der Zeit verändert. Die Änderung des Weges in Abhängigkeit von der Zeit entspricht der Geschwindigkeit. Dies erkennen wir auch an den Einheiten, wie z.B. $\text{km}$ für den Weg und $\frac{\text{km}}{\text{h}}$, also Weg pro Zeit, für die Geschwindigkeit.
    $\Rightarrow f^\prime: x \mapsto$ Geschwindigkeit

    Beispiel 2:
    $f: x \mapsto$ Gewicht einer Babykatze
    Die Ableitung beschreibt, wie sich das Gewicht verändert, also die Gewichtsänderung.
    $\Rightarrow f^\prime: x \mapsto$ Gewichtsänderung

    Beispiel 3:
    $f: x \mapsto$ Erlös
    Die Ableitung beschreibt, wie sich der Erlös abhängig von der Stückzahl verändert.
    $\Rightarrow f^\prime: x \mapsto$ zusätzlicher Erlös pro Stück

    Beispiel 4:
    $f: x \mapsto$ Kosten
    Die Ableitung beschreibt, wie sich die Kosten abhängig von der Stückzahl verändern.
    $\Rightarrow f^\prime: x \mapsto$ zusätzliche Kosten pro Stück

  • Entscheide, welcher Graph die Ableitung der Funktion darstellt.

    Tipps

    In den Bereichen, in denen $f(x)$ steigt gilt: $f^\prime(x) \gt 0$. Dort wo $f(x)$ fällt, ist die Ableitung negativ, also: $f^\prime(x) \lt 0$.

    Beispiel:

    Lösung

    Da die Ableitung einer Funktion stets die Steigung des zugehörigen Funktionsgraphen beschreibt, bestehen die folgenden Zusammenhänge:

    • Graph von $f(x)$ steigt $\Rightarrow f^\prime(x) \gt 0$
    • Graph von $f(x)$ fällt $\Rightarrow f^\prime(x) \lt 0$
    • Graph von $f(x)$ steigt oder fällt nicht $\Rightarrow f^\prime(x) = 0$
    Wir betrachten also, in welchen Bereichen der Graph der Funktion steigt oder fällt und schließen daraus auf den Verlauf der Ableitung.

    Beispiel 1: (vgl. Abbildung)
    Da der Funktionsgraph mit zunehmenden $x$-Werten erst steigt, dann fällt und schließlich wieder fällt, muss der Graph der Ableitung zunächst oberhalb, dann unterhalb und schließlich wieder oberhalb der $x$-Achse verlaufen, damit die Ableitung zunächst positive, dann negative und schließlich wieder positive Werte annimmt. Die Nullstellen der Ableitung befinden sich bei den $x$-Werten, an denen der Funktionsgraph weder steigt noch fällt.

    Beispiel 2:
    Der Funktionsgraph fällt zunächst, steigt dann und fällt schließlich wieder. Der Graph der Ableitung muss daher zunächst unterhalb, dann oberhalb und schließlich wieder unterhalb der $x$-Achse verlaufen. Er hat die Form einer nach unten geöffneten Parabel. Die Nullstellen liegen bei den $x$-Werten, an denen der Graph von $f(x)$ waagrechte Tangenten hat.

    Beispiel 3:
    Der Funktionsgraph fällt für $x \lt 1$ und steigt für $x \gt 1$. Für $x = 1$ hat er eine waagrechte Tangente. Der Graph der Ableitung muss daher bei $x = 1$ eine Nullstelle haben. Außerdem muss er links davon unterhalb und rechts davon oberhalb der $x$-Achse verlaufen. Der Graph der Ableitung ist eine steigende Gerade.

    Beispiel 4:
    Der Funktionsgraph steigt für $x \lt -1$ und fällt für $x \gt -1$. Für $x = -1$ hat er eine waagrechte Tangente. Der Graph der Ableitung muss daher bei $x = -1$ eine Nullstelle haben. Außerdem muss er links davon oberhalb und rechts davon unterhalb der $x$-Achse verlaufen. Der Graph der Ableitung ist eine fallende Gerade.

  • Formuliere eine Aussage über die Ableitung der dargestellten Funktion.

    Tipps

    Die Ableitung beschreibt die Tangentensteigung einer Funktion.

    Überlege, ob die Tangente an dem Funktionsgraph steigt oder fällt.

    An den Nullstellen der Ableitung hat der Graph der Funktion eine waagrechte Tangente.

    Lösung

    Die Ableitung ist eine Funktion, welche die Steigung eines Funktionsgraphen in jedem Punkt beschreibt. Graphisch können wir die Ableitung in einem Punkt bestimmen, indem wir eine Tangente an den Graphen zeichnen. Dabei gilt:

    • die Tangente in $x_0$ steigt $\Rightarrow f^\prime(x_0) \gt 0$
    • die Tangente in $x_0$ fällt $\Rightarrow f^\prime(x_0) \lt 0$
    • die Tangente in $x_0$ ist waagrecht $\Rightarrow f^\prime(x_0) = 0$
    Das bedeutet, die waagrechten Tangenten an den Funktionsgraphen entsprechen den Nullstellen der Ableitung.

    Für die Ableitungen der dargestellten Funktionsgraphen gilt:

    Graph 1:
    Die Tangenten an den Graphen bei $x = -1$ und $x = 1$ fallen beide.
    $\Rightarrow f^\prime(-1) \lt 0$ und $f^\prime(1) \lt 0$

    Graph 2:
    Der Graph hat bei $x = 3$ eine waagrechte Tangente.
    $\Rightarrow f^\prime(3) = 0$

    Graph 3:
    Alle Tangenten an den Graphen steigen.
    $\Rightarrow f^\prime(x) \gt 0$ für $x \in \mathbb{R}$

    Graph 4:
    Der Graph hat drei waagrechte Tangenten bei $x_1 \approx -2,8$; $x_2 = 0$ und $x_3 \approx 2,8$.
    $\Rightarrow f^\prime(x)$ hat drei Nullstellen.

    Graph 5:
    Die Tangente fällt bei $x = -1$, die Tangente steigt bei $x = 1$.
    $\Rightarrow f^\prime(-1) \lt 0$ und $f^\prime(1) \gt 0$

  • Vervollständige die Tabelle mit den Ableitungen der Funktionen.

    Tipps

    Die Potenzregel für Ableitungen lautet:

    $f(x)=x^n \Rightarrow f^\prime(x) = n \cdot x^{n-1}$

    Für $x$ kann man auch $x^1$ schreiben.

    Beispiel:

    $f(x) = x^8 \Rightarrow f^\prime(x) = 8x^7$

    Lösung

    Die Ableitung einer Potenz von $x$ können wir nach der folgenden Regel bilden:

    $f(x)=x^n \Rightarrow f^\prime(x) = n \cdot x^{n-1}$
    Wir multiplizieren also mit dem Exponenten und verringern diesen um $1$.

    Diese Ableitungsregel können wir auch aus der Tabelle ablesen:

    $\begin{array}{c|c} f(x) & f^\prime(x) \\ \hline x & 1 \\ x^2 & 2x \\ x^3 & 3x^2 \\ x^4 & 4x^3 \\ x^5 & 5x^4 \end{array}$

    Hinweis:
    Für $f(x)=x=x^1$ ist die Ableitung laut Regel: $f^\prime(x) = 1 \cdot x^{1-1} = 1 \cdot x^0 = 1 \cdot 1 = 1$

  • Bestimme die Gleichung der Tangente an den Funktionsgraphen.

    Tipps

    Bestimme zunächst die Koordinaten des Berührpunktes $P(x_0 \vert f(x_0))$.

    Eine Geradengleichung hat allgemein die Form:

    $y = m \cdot x + b$

    Dabei steht $m$ für die Steigung und $b$ für den $y$-Achsenabschnitt.

    Für eine Tangente gilt:

    $m = f^\prime(x_0)$

    Lösung

    Eine Tangente ist eine Gerade, die den Graphen der Funktion in einem Punkt berührt. Die allgemeine Form einer Geradengleichung lautet:
    $y = m \cdot x + b$
    Dabei ist $m$ die Steigung und $b$ der $y$-Achsenabschnitt.

    Da die Ableitung einer Funktion die Tangentensteigung in jedem Punkt der Funktion angibt, bestimmen wir zunächst die Ableitung von $f(x) = x^7$.
    Wir kennen die Ableitungsregel $f(x) = x^n \Rightarrow f^\prime(x) = n \cdot x^{n-1}$ (Potenzregel). Hier ist $n = 7$, es gilt:
    $f^\prime(x) = 7x^6$

    Damit gilt für die Steigung der Tangente in $x_0 = 1$:
    $m = f^\prime(1) = 7 \cdot 1^6 = 7 \cdot 1 = 7$

    Wir setzen diesen Wert in die allgemeine Form der Geradengleichung ein:
    $y = 7\cdot x + b$

    Da die Tangente den Funktionsgraphen bei $x_0 = 1$ berührt, muss sie den Punkt $P(x_0 \vert f(x_0))$ mit der Funktion gemeinsam haben. Hier gilt $x_0 = 1$ und $f(x_0) = f(1) = 1^7 = 1$. Wir setzen $P(1 \vert 1)$ in die Gleichung der Geraden ein:
    $\begin{array}{rcll} 1 & = & 7 \cdot 1 + b & \\ 1 & = & 7 + b & \vert -7 \\ -6 & = & b & \end{array}$

    Damit lautet die Gleichung der Tangente:
    $y = 7 \cdot x - 6$

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