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Wurzelfunktionen – Einführung 06:57 min

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Transkript Wurzelfunktionen – Einführung

Millionen von Schülern fragen sich jedes Jahr: wozu brauche ich eigentlich Wurzelfunktionen? Wie kannst du die Seitenlänge eines Quadrates mit dem Flächeninhalt F berechnen? Die Seitenlänge a ist gleich der Wurzel aus F! Oder wie hängt die Seitenlänge a eines Würfels mit seinem Volumen zusammen? a ist gleich der dritten Wurzel aus dem Volumen! Wenn ein Körper im freien Fall aus h Metern Höhe fällt braucht er Wurzel aus h durch 5 viele Sekunden, bis er auf dem Boden ankommt. Eine Wurzelfunktion erkennst du daran, dass die Variable unter einer Wurzel steht. Du weißt ja: den Term unter einer Wurzel nennt man auch Radikand. Und anstatt der Wurzelschreibweise kannst du auch die Potenzschreibweise verwenden: Die Quadratwurzel von x ist das gleiche wie x hoch einhalb. Eine Wurzelfunktion könnte aber durchaus auch eine dritte Wurzel enthalten. Die kann man genauso als Potenz schreiben: die dritte Wurzel von x ist gleich x hoch ein Drittel. Ganz allgemein gibt es nicht nur Quadratwurzeln und dritte Wurzeln, sondern man kann beliebige Wurzeln ziehen. Die nennt man dann n-te Wurzel. Und genau wie zuvor gibt es die Potenzschreibweise: die n-te Wurzel aus x ist gleich x hoch 1 durch n. Man nennt n auch Wurzelexponent. Wenn n gerade ist, nennt man die Wurzel auch gerade und wenn n ungerade ist, spricht man von ungeraden Wurzeln. Was für Zahlen könntest du denn für x einsetzen? Positive Zahlen sind kein Problem. Die Null geht auch. Aber was ist mit negativen Zahlen? Was wäre denn die Quadratwurzel aus minus 1? Das geht gar nicht! Genauso ist es bei allen geraden Wurzeln! Aus negativen Zahlen kann man keine geraden Wurzeln ziehen. Aber die dritte Wurzel aus minus 1 könnte man berechnen! Minus 1 mal minus 1 mal minus 1 ist nämlich wieder minus 1! Auch aus negativen Zahlen kann man also ungerade Wurzeln ziehen. Aber Vorsicht: Es sind sich nicht alle darüber einig, ob ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen erlaubt sein sollten oder nicht – für Wurzelfunktionen spielt das aber keine Rolle. Die Menge der Zahlen, die man für x in eine Funktion einsetzen darf, ist die Definitionsmenge. Bei Wurzelfunktionen mit geraden Wurzeln sind das also alle positiven reellen Zahlen und die Null, das schreibt man als 'R Null Plus'. Und bei Wurzelfunktionen mit ungeradem n besteht die Definitionsmenge aus allen reellen Zahlen. Die Ergebnisse bilden die Wertemenge – die schauen wir uns später an! Wenn du eine neue Funktion betrachtest, ist es immer gut, zunächst eine Wertetabelle anzulegen. Als Beispiel für eine Wurzelfunktion mit gerader Wurzel schauen wir uns f von x gleich Wurzel x an. Denk daran, dass man bei geraden Wurzeln nur positive Zahlen und 0 für x einsetzen darf. Für den x-Wert 0 finden wir den Funktionswert 0, für 1 finden wir 1, für 4 2 und für 9 3. Exemplarisch für eine Funktion mit ungerader Wurzel untersuchen wir f von x gleich dritte Wurzel aus x. Nicht vergessen: hier kann man auch negative Zahlen einsetzen! Wenn wir minus 8 für x einsetzen, ist der Funktionswert minus 2, wenn wir minus 1 einsetzen, ist er minus 1, für 0 ist er 0, für 1 1 und für 8 ist der Funktionswert 2. Aber nichts sagt so viel auf einen Blick über eine Funktion aus wie ihr Graph. Also zeichnen wir doch die Graphen der beiden Funktionen. Zuerst f von x gleich Wurzel aus x. Wir übertragen zunächst die Punkte aus der Wertetabelle in das Koordinatensystem. Der Verlauf des Funktionsgraphen sieht dann so aus. Hier siehst du nochmal, dass die Definitionsmenge nur aus positiven Zahlen und der Null besteht: links der y-Achse verläuft die Funktion gar nicht. Außerdem siehst du an dem Graphen, dass auch die Wertemenge der Funktion aus den positiven reellen Zahlen und der Null besteht! Die Graphen anderer Wurzelfunktionen mit gerader Wurzel sehen alle ziemlich ähnlich aus. Alle diese Wurzelfunktionen verlaufen durch den Ursprung und durch den Punkt eins eins. Sehen wir uns den Graphen der Funktion f von x gleich dritte Wurzel x an. Wieder können wir zuerst die Punkte aus der Wertetabelle übertragen. Und so verläuft der Funktionsgraph dann. Weil er auch links der y-Achse verläuft, siehst du nochmals, dass die Definitionsmenge aus allen reellen Zahlen besteht. Genauso auch die Wertemenge: die Funktion nimmt alle reellen Zahlen als Wert an. Das ist bei allen Wurzelfunktionen mit ungeraden Wurzeln so. Und ihre Graphen sehen in etwa so aus. Alle diese Graphen verlaufen durch den Ursprung und die Punkte 'minus eins, minus eins' sowie 'eins, eins'. Fassen wir schnell zusammen. Eine Wurzelfunktion ist eine Funktion, bei der die Variable unter einer Wurzel steht. Das kann eine beliebige gerade oder ungerade Wurzel sein. Man schreibt die Wurzeln häufig auch als Potenzen. Bei geraden Wurzeln kann man nur positive Zahlen und die Null einsetzen. Sie nehmen auch nur positive Zahlen oder Null als Wert an. Ihre Graphen sehen in etwa so aus. Ungerade Wurzeln hingegen können aus allen reellen Zahlen gezogen werden — auch aus negativen! Und genauso nehmen sie auch alle reellen Zahlen als Werte an. Ihre Funktionsgraphen verlaufen so. Aaaaaaaaah! Jetzt braucht er wohl eine Wurzelbehandlung.

Wurzelfunktionen – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Wurzelfunktionen – Einführung kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Eigenschaften von Wurzelfunktionen an.

    Tipps

    Hier abgebildet ist der Funktionsgraph folgender Wurzelfunktion:

    $f(x)=\sqrt[2]{x}=\sqrt{x}$.

    Die Zahlenmenge $\mathbb{R^+_0}$ enthält alle positiven reellen Zahlen und die Null.

    Liegt eine gerade Wurzel vor, so darf der Radikand nicht negativ sein.

    Lösung

    Eine Wurzelfunktion der Form $f(x)=\sqrt[n]{x}$ hat abhängig von der Zahl $n$ einige besondere Eigenschaften bezüglich ihrer Definitions- und Wertemenge. Dabei unterscheidet man zwischen geraden Zahlen für $n$ und ungeraden Zahlen für $n$.

    gerade Wurzel

    Ist $n$ eine gerade natürliche Zahl, so liegt eine gerade Wurzel vor. Eine Wurzelfunktion $f(x)=\sqrt[n]{x}$ mit einer geraden Zahl $n$ hat folgende Eigenschaften:

    Definitionsmenge:
    $\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0$,

    Wertemenge:
    $\mathbb{W}=\mathbb{R}^+_0$.

    Das bedeutet, dass $x$ nur positive reelle Zahlen sowie die Null annehmen kann. Die Funktionswerte sind ebenfalls positive reelle Zahlen sowie die Null.

    ungerade Wurzel

    Ist $n$ eine ungerade natürliche Zahl, so liegt eine ungerade Wurzel vor. Eine Wurzelfunktion $f(x)=\sqrt[n]{x}$ mit einer ungeraden Zahl $n$ hat folgende Eigenschaften:

    Definitionsmenge:
    $\mathbb{D}=\mathbb{R}$,

    Wertemenge:
    $\mathbb{W}=\mathbb{R}$.

    Das bedeutet, dass $x$ alle reellen Zahlen annehmen kann. Die Funktionswerte sind ebenfalls alle reellen Zahlen.

  • Vervollständige die gegebene Wertetabelle der Wurzelfunktion $f$.

    Tipps

    Setze die gegebenen $x$-Werte in die Funktionsgleichung $f(x)=\sqrt[3]{x}$ ein und berechne die zugehörigen Funktionswerte. Es gilt:

    $\sqrt[3]{a^3}=\left(a^3\right)^\frac 13=a^\frac 33=a$.

    Du kannst einige Zahlen wie folgt in der dritten Potenz angeben:

    • $3^3=27$,
    • $2^3=8$,
    • $1^3=1$ und
    • $0^3=0$.

    Die dritte Potenz einer negativen Zahl ist negativ.

    Lösung

    Wir setzen die gegebenen $x$-Werte in die Funktionsgleichung $f(x)=\sqrt[3]{x}$ ein und berechnen die zugehörigen Funktionswerte. Allgemein gilt:

    $\sqrt[3]{a^3}=\left(a^3\right)^\frac 13=a^\frac 33=a$.

    Zudem ist die dritte Potenz einer negativen Zahl wieder negativ. Somit folgt:

    $ \begin{array}{lll} f(-8) &=& \sqrt[3]{-8} \\ &=& \sqrt[3]{(-2)^3} \\ &=& \left((-2)^3\right)^\frac 13 \\ &=& (-2)^\frac 33 \\ &=& -2 \end{array} $

    Auf diese Weise können wir die übrigen Funktionswerte berechnen und erhalten folgende Wertetabelle:

    $ \begin{array}{l|rrrrr} x & -8 & -1 & 0 & 1 & 8 \\ \hline f(x) & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \end{array} $

  • Prüfe folgende Aussagen zu Wurzelfunktionen bezüglich ihrer Richtigkeit.

    Tipps

    Hier siehst du den Funktionsgraphen der Wurzelfunktion $f(x)=\sqrt[3]{x}$.

    Du kannst die Quadratwurzel einer negativen Zahl nicht ziehen. Es existiert nämlich keine reelle Zahl, die einmal mit sich selbst multipliziert eine negative Zahl ergibt.

    Lösung

    Im Folgenden schauen wir uns die Eigenschaften von Wurzelfunktionen und ihren Funktionsgraphen an. Dabei unterscheiden wir zwischen geraden und ungeraden Wurzeln.

    gerade Wurzeln

    Für gerade $n$ verlaufen alle Funktionsgraphen der Wurzelfunktion $f(x)=\sqrt[n]{x}$ durch den Koordinatenursprung und den Punkt $P(1\vert 1)$.

    Die Definitions- und Wertemenge setzen sich aus allen positiven reellen Zahlen und der Null zusammen.

    ungerade Wurzeln

    Für ungerade $n$ verlaufen alle Funktionsgraphen der Wurzelfunktion $f(x)=\sqrt[n]{x}$ durch den Koordinatenursprung und den Punkten $P_1(-1\vert -1)$ und $P_2(1\vert 1)$.

    Die Definitions- und Wertemenge enthalten alle reellen Zahlen.

    Im Bild ist eine ungerade Wurzelfunktion zu sehen.

  • Ermittle die fehlenden $y$-Werte der Wurzelfunktion $f$.

    Tipps

    Schau dir folgendes Beispiel an:

    $\sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{3^3}=3^\frac 33=3$.

    Hier sind einige Quadratzahlen:

    • $1^2=1$,
    • $2^2=4$,
    • $3^2=9$ und
    • $4^2=16$.

    Es ist $\sqrt{a^2}=a$. Das heißt, die Quadratwurzel einer Quadratzahl entspricht der Zahl, durch deren Multiplikation mit sich selbst diese Quadratzahl resultiert.

    Lösung

    Wir betrachten im Folgenden die Funktionsgleichung $f(x)=\sqrt{x}$ der Wurzelfunktion $f$. Wir möchten den Funktionswert $f(x)$ für einige $x$-Werte bestimmen. Bei jedem der gegebenen $x$-Werte handelt es sich um Quadratzahlen. Eine Quadratzahl $a^2$ ist eine Zahl, die durch einmalige Multiplikation einer ganzen Zahl mit sich selbst resultiert. Es gilt für die Quadratwurzel einer Quadratzahl $a^2$:

    $\sqrt[2]{a^2}=a^\frac 22=a$.

    Damit erhalten wir die folgenden Lösungen:

    • $f(16)=\sqrt{16}=\sqrt{4^2}=4$,
    • $f(49)=\sqrt{49}=\sqrt{7^2}=7$,
    • $f(25)=\sqrt{25}=\sqrt{5^2}=5$ und
    • $f(36)=\sqrt{36}=\sqrt{6^2}=6$.
  • Gib die Funktionsgleichung der Wurzelfunktionen in der Potenzschreibweise an.

    Tipps

    Es gilt:

    $\sqrt[n]{a^m}=a^\frac mn$.

    Handelt es sich um eine Quadratwurzel, so kannst du den Wurzelexponenten $2$ auch weglassen.

    Die Wurzel $\sqrt[n]{a}$ setzt sich wie folgt zusammen:

    • $\sqrt{\quad }$: Wurzelzeichen,
    • $a$: Radikand,
    • $n$: Wurzelexponent.
    Lösung

    Eine Wurzel $\sqrt[n]{a}$ setzt sich wie folgt zusammen:

    • $\sqrt{\quad }$: Wurzelzeichen,
    • $a$: Radikand,
    • $n$: Wurzelexponent.
    Wir können Wurzelausdrücke auch als Potenzen schreiben. Dabei gilt:

    • $\sqrt[n]{a^m}=a^\frac mn$.
    Handelt es sich um eine Quadratwurzel, also ist $n=2$, so können wir den Wurzelexponenten auch weglassen. Für die Quadratwurzel von $x$ würden wir also eher $\sqrt{x}$ statt $\sqrt[2]{x}$ schreiben. Demnach erhalten wir für unsere vier Beispiele folgende Potenzen:

    Beispiel 1

    $\sqrt{x}=x^\frac 12$

    Beispiel 2

    $\sqrt[3]{x}=x^\frac 13$

    Beispiel 3

    $\sqrt[3]{x^2}=x^\frac 23$

    Beispiel 4

    $\sqrt[2]{x^3}=x^\frac 32$

  • Bestimme die gesuchten Funktionswerte der gegebenen Wurzelfunktionen.

    Tipps

    Fasse den jeweiligen Ausdruck unter der Quadratwurzel zusammen und ziehe dann die Wurzel:

    $\sqrt{55-6}=\sqrt{49}=7$.

    Die Quersumme der Zahlen $2$, $7$ und $5$ berechnet sich wie folgt:

    $2+7+5=14$.

    Lösung

    Es sind folgende Wurzelfunktionen gegeben:

    • $f(x)=\sqrt{\frac x2}$,
    • $g(x)=\sqrt{2\cdot x}$ und
    • $h(x)=\sqrt{x-7}$.
    Um Emmas Alter herauszufinden, müssen wir für einige $x$-Werte die zugehörigen Funktionswerte berechnen. Es folgt:

    • $f(32)=\sqrt{\frac {32}2}=\sqrt{16}=4$,
    • $g(32)=\sqrt{2\cdot 32}=\sqrt{64}=8$,
    • $f(2)=\sqrt{\frac 22}=\sqrt{1}=1$,
    • $h(16)=\sqrt{16-7}=\sqrt{9}=3$.
    Demnach ist Emma $4+8+1+3=16$ Jahre alt.