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Wurzelfunktionen

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Lerntext zum Thema Wurzelfunktionen

Was ist eine Wurzelfunktion?

Wurzelfunktionen sind Funktionen, bei denen die unabhängige Variable unter einer Wurzel steht.

Allgemeine Form der Wurzelfunktion:

$f (x) = \sqrt[n]{x}$

$n$ ist der Wurzelexponent.

Oft werden Wurzelfunktionen im Mathematikunterricht als Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen behandelt.

Potenzfunktion: $f (x) = x^{n}$

Wurzelfunktion: $f (x) = \sqrt[n]{x}$

Wurzelfunktion als Umkehrfunktion der Pottenzfunktion

Wurzelfunktionen als Potenz angeben

Jede Wurzelfunktion lässt sich aufgrund der Potenzgesetze auch als Potenz mit einem Bruch im Exponenten darstellen.

$f (x) = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$

Beispiele für Wurzelfunktionen

Beispiele für Wurzelfunktionen sind:

  • $f (x) = \sqrt{x}$,
  • $f (x) = \sqrt[3]{x}$,
  • $f (x) = \sqrt[4]{x}$ oder
  • $f (x) = \sqrt[5]{x}$.

Die Funktion $f (x) = \sqrt{x}= \sqrt[2]{x}$ wird als Quadratwurzelfunktion bezeichnet.

Neben der Quadratwurzel und den angeführten Beispielen, lässt sich auch jede andere beliebige Wurzel ziehen und als Wurzelfunktion darstellen. Dabei wird von der n-ten Wurzel gesprochen.

Wurzelfunktionen mit geraden Wurzelexponenten

Wir unterscheiden bei Wurzelfunktionen zwischen Wurzeln mit geraden Exponenten und Funktionen, die Wurzeln mit ungeraden Exponenten aufweisen.

Für Wurzelfunktionen mit geraden Exponenten gilt, dass der Definitionsbereich alle nicht-negativen Zahlen umfasst ($\mathbb{D} = \mathbb{R}^{+}_{0}$), denn aus negativen Zahlen lassen sich keine Wurzeln mit geraden Exponenten, wie beispielsweise die Quadratwurzel ziehen.

Definitionsbereich von Wurzeln mit geradem Exponenten

Welche Eigenschaften haben Wurzelfunktionen mit geraden Wurzelexponenten?

Wurzelfunktionen mit geraden Wurzelexponenten sind streng monoton steigend. Je höher der Wurzelexponent ist, desto „flacher“ verläuft die Funktion.

Alle Wurzelfunktionen mit geraden Wurzelexponenten, die nicht gestreckt, gestaucht oder verschoben sind, verlaufen durch die Punkte $(0|0)$ und $(1|1)$.

Das Minimum $(0|0)$ einer solchen Wurzelfunktion ist zugleich ihre einzige Nullstelle.

Wurzelfunktionen mit geraden Wurzelexponenten

Wurzelfunktionen mit ungeraden Wurzelexponenten

Bei Wurzelfunktionen mit ungeraden Exponenten ist die Sachlage etwas anders.

Für sie gilt, dass ihr Definitionsbereich alle reellen Zahlen umfasst ($\mathbb{D} = \mathbb{R}$). Anders als bei Wurzelfunktionen mit geraden Wurzelexponenten sind hier auch negative reelle Zahlen möglich, denn aus negativen Zahlen können Wurzeln mit ungeraden Wurzelexponenten gezogen werden.

$\sqrt[3]{- 1} = -1$, da $(- 1) \cdot (- 1) \cdot (- 1)=-1$

Definitionsbereich von Wurzeln mit ungeradem Exponenten

Auch die Wertemenge der Funktion besteht aus den reellen Zahlen:

$\mathbb{W} = \mathbb{R}$.

Welche Eigenschaften haben Wurzelfunktionen mit ungeraden Wurzelexponenten?

Auch für Wurzelfunktionen mit ungeraden Wurzelexponenten gilt: Je höher der Wurzelexponent ist, desto „flacher“ verläuft die Funktion.

Alle Wurzelfunktionen mit ungeraden Wurzelexponenten, die nicht gestreckt, gestaucht oder verschoben sind, verlaufen durch die Punkte $(-1|-1)$, $(0|0)$ und $(1|1)$.

Wurzelfunktionen mit ungeraden Wurzelexponenten

Wurzelfunktionen – Zusammenfassung

Bei Wurzelfunktionen steht die unabhängige Variable unter einer Wurzel. Die allgemeine Form der Wurzelfunktion ist:

$f (x) = \sqrt[n]{x}$

Unterschieden wird zwischen Wurzelfunktionen mit geraden Wurzelexponenten und Wurzelfunktionen mit ungeraden Wurzelexponenten.

Für Wurzelfunktionen mit geraden Wurzelexponenten gilt:

  • $\mathbb{D} = \mathbb{R}^{+}_{0}$ und
  • $\mathbb{W} = \mathbb{R}^{+}_{0}$.

Für Wurzelfunktionen mit ungeraden Wurzelexponenten gilt:

  • $\mathbb{D} = \mathbb{R}$ und
  • $\mathbb{W} = \mathbb{R}$.
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Die Autor*innen
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sofatutor Team
Wurzelfunktionen
lernst du in der Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse