Wurzelfunktionen

Hallo. In diesem Video wollen wir uns noch mal mit einer bestimmten Sorte Potenzfunktionen beschäftigen, mit den Wurzelfunktionen. Das sind nämlich die Umkehrfunktionen von Parabeln und Hyperbeln. Fangen wir mit der Umkehrfunktion einer Parabel mal an. Dazu habe ich hier mal die Parabeln x², x³ und x/4 eingezeichnet. Und als Erstes wollen wir mal probieren, rechnerisch die Umkehrfunktion von y=x/n rauszubekommen. Da ziehen wir die n-te\sqrt, also kriegen wir n-te\sqrt aus y=x. Dann vertauschen wir die Variablennamen und nennen das neue y f^-1 von x. Dieser Wurzelterm hier ist aber nur definiert, wenn x größer oder gleich 0 ist. Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen wir nicht. Das heißt, der Definitionsbereich der Umkehrfunktion sind die positiven reellen Zahlen und 0. Und wenn es sich hier um Umkehrfunktionen handeln soll, dann muss das auch der Wertebereich von f sein. So, dann können wir also alle negativen Werte von f schon mal rausstreichen. Und jetzt schreiben wir mal die Umkehrfunktion für n=2 hin. Also f^-1 von x=2.\sqrt aus x. Damit ist immer die positive Wurzel gemeint. Das heißt, der Wertebereich der Umkehrfunktion sind auch bloß positive reelle Zahlen und die 0. Und das ist ja gleich dem Definitionsbereich der Ursprungsfunktion. Das heißt, wir können sogar alles wegstreichen, was bei den Parabeln im negativen x-Bereich ist. Da bleiben also letztendlich nur noch diese 3 Äste übrig, jeweils im 1. Quadranten und die wollen wir jetzt an der Winkelhalbierenden spiegeln. Bei x² ist die Umkehrfunktion 2.\sqrt aus x, deren Graph muss also so aussehen. Dann haben wir als Umkehrfunktion von x³ 3.\sqrt aus x und die läuft zwischen 0 und 1, etwas oberhalb der Funktion \sqrt(x) und danach verläuft sie unterhalb der Funktion \sqrt(x). Und die Funktion 4. \sqrt aus x verläuft noch ein Stückchen weiter oben zwischen 0 und 1, und hat danach einen noch flacheren Anstieg. Den Definitions- und Wertebereich der Wurzelfunktion hatten wir eben schon bestimmt. Das waren jeweils die positiven reellen Zahlen und 0. Und jetzt sehen wir auch, dass, wenn wir von x² den linken Ast auch noch mit gespiegelt hätten, wäre der unter der x-Achse gelandet und das wäre dann keine Funktion mehr. Deswegen geht das nicht. Was die Monotonie angeht, da sind sowohl die Parabeln als auch die Wurzelfunktionen monoton steigend und alle gehen durch die Punkte (0|0) und (1|1). Ok, dann kommen wir jetzt zur Umkehrfunktion einer Hyperbel. Diese 3 Hyperbeln habe ich schon mal vorbereitet. 1/x, 1/x² und 1/x³. Und erst mal versuchen wir es wieder rechnerisch. y=1/xⁿ. Dann ist 1/y=xⁿ und daraus ziehen wir dann noch die n-te\sqrt. Das können wir auch schreiben als 1/n-te\sqrt aus y, vertauschen dann die Variablennamen und nennen y wieder f^-1 von x. Auch hier darf wegen der Wurzel das x wieder nur positive Werte annehmen. Diesmal nicht mal die 0, weil das auch noch im Nenner steht. Das heißt, der Wertebereich von f, was ja der Definitionsbereich von f^-1, sind die positiven reellen Zahlen. Wir können also im Wertebereich von f schon mal alles wegnehmen, was auf der negativen y-Achse ist. Jetzt nehmen wir wieder das Beispiel mit der 2.\sqrt, da ist auch hier immer die positive Lösung gemeint, also ist der Term > 0. Das heißt, der Wertebereich von der Umkehrfunktion, also der Definitionsbereich von der Funktion sind auch die positiven reellen Zahlen. Das heißt, auch diesen linken Ast hier auf der negativen x-Achse, den können wir uns sparen. So, jetzt machen wir uns hier unten rechts mal ein bisschen Platz. Da kommen jetzt nämlich die Graphen der Umkehrfunktion hin. Die Umkehrfunktion von 1/x ist 1/x. Der Graph sieht also genauso aus. Die Umkehrfunktion von 1/x² ist 1/\sqrt aus x, und wenn wir 1/x² an der Winkelhalbierenden spiegeln, kommt fast derselbe Graph raus nur, dass er zwischen 0 und 1 näher an der y-Achse liegt, als 1/x und für x-Werte oberhalb von 1/x liegt. Die letzte Umkehrfunktion ist dann 1/ 3.\sqrt aus x und die liegt auch zwischen 0 und 1 noch näher an der y-Achse, und ab 1 noch weiter oben. Also das sieht so aus, als wären die Funktionen alle nur so ein bisschen gekippt. So, noch zur Monotonie: Die Funktionen sind natürlich alle monoton fallend auf dem ganzen Definitionsbereich und sie gehen alle durch den Punkt 1. Und noch mal zur Verdeutlichung, warum wir nur den rechten Ast betrachten: Hätten wir von 1/x² den linken auch noch mitgespiegelt, dann wäre der hier unten, unter der x-Achse, gelandet und das wäre dann eben keine Funktion. Deswegen machen wir das nicht. ok, und jetzt wissen wir ganz genau, wie Parabeln aussehen, wie Hyperbeln aussehen, und wie Wurzelfunktionen aussehen. Das war es.