Über 1,6 Millionen Schüler*innen nutzen sofatutor!
  • 93%

    haben mit sofatutor ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert

  • 94%

    verstehen den Schulstoff mit sofatutor besser

  • 92%

    können sich mit sofatutor besser auf Schularbeiten vorbereiten

Brüche als Exponenten

Erfahre, wie du Potenzen mit Brüchen als Exponenten in Wurzelterme umwandeln kannst. Die Regel lautet: (a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}). Möchtest du mehr Beispiele und Tipps zur Berechnung von Termen mit Brüchen im Exponenten kennenlernen? Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!

Alle Inhalte sind von Lehrkräften & Lernexperten erstellt
Du willst ganz einfach ein neues Thema lernen
in nur 12 Minuten?
Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
  • Das Mädchen lernt 5 Minuten mit dem Computer 5 Minuten verstehen

    Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.

    92%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen.
  • Das Mädchen übt 5 Minuten auf dem Tablet 5 Minuten üben

    Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.

    93%
    der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert.
  • Das Mädchen stellt fragen und nutzt dafür ein Tablet 2 Minuten Fragen stellen

    Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.

    94%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Bewertung

Ø 3.8 / 22 Bewertungen
Die Autor*innen
Avatar
Mathe-Team
Brüche als Exponenten
lernst du in der Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Brüche als Exponenten Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Brüche als Exponenten kannst du es wiederholen und üben.
  • Vereinfache den Wurzelterm.

    Tipps

    Verwende die Regel

    $\sqrt[n]a=a^{\frac1n}$.

    Potenzen werden potenziert, indem man die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert:

    $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.

    Wenn man die Quadratwurzel einer Zahl $a$ berechnen will, kann man umgekehrt fragen, welche Zahl quadriert $a$ ergibt.

    Lösung

    Um die Wurzel $\sqrt[4]{16^2}$ zu berechnen, wird

    • zunächst die vierte Wurzel als Potenz mit dem Exponenten $\frac14$ geschrieben und
    • dann die Regel angewendet, dass Potenzen potenziert werden, indem die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert wird:
    $\begin{align} \sqrt[4]{16^2}&=\left(16^2\right)^{\frac14}\\ &=16^{2\cdot\frac14}\\ &=16^{\frac12}. \end{align}$

    Nun ist eine Potenz mit dem Exponenten $\frac12$ die Quadratwurzel und damit ist

    $\sqrt[4]{16^2}=\sqrt{16}=4$,

    da $4^2=16$ ist.

  • Vereinfache den Term so weit wie möglich.

    Tipps

    Schreibe die Quadratwurzel als Potenz mit dem passenden Bruch als Exponenten.

    Potenzen werden potenziert, indem man die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert:

    $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.

    Ein Produkt wird potenziert, indem jeder einzelne Faktor potenziert wird:

    $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$.

    Lösung

    Es soll der Term $\sqrt{\sqrt{x^8\cdot y^4}}$ vereinfacht werden:

    • man schreibt die Quadratwurzeln, sowohl die äußere als auch die innere als Potenzen mit dem Exponenten $\frac12$ und
    • verwendet dann die Regel, wonach Potenzen potenziert werden, indem die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert wird. Dieses Produkt ist in diesem Beispiel $\frac12\cdot \frac12=\frac14$:
    $\begin{align} \sqrt{\sqrt{x^8\cdot y^4}}&=\left(\left(x^8\cdot y^4\right)^{\frac12}\right)^{\frac12}\\ &=\left(x^8\cdot y^4\right)^{\frac12\cdot \frac12}\\ &=\left(x^8\cdot y^4\right)^{\frac14}. \end{align}$

    Nun wird die Regel für das Potenzieren von Produkten verwendet:

    $\left(x^8\cdot y^4\right)^{\frac14}=\left(x^8\right)^{\frac14}\cdot\left(y^4\right)^{\frac14}$.

    Unter nochmaliger Verwendung der Regel zum Potenzieren von Potenzen führt dies zu

    $\left(x^8\right)^{\frac14}\cdot\left(y^4\right)^{\frac14}=x^{8\cdot\frac14}\cdot y^{4\cdot\frac14}=x^2\cdot y$.

  • Leite den Potenzterm her.

    Tipps

    Es gilt

    $a^{\frac1n}=\sqrt[n] a$.

    Die Regeln für Potenzen mit rationalen Exponenten lassen sich mit der obigen Regel sowie

    $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$

    herleiten.

    Für Potenzen mit negativen Exponenten gilt:

    $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

    Bei der Quadratwurzel wird der Wurzelexponent nicht hingeschrieben.

    Lösung

    Wurzeln lassen sich als Potenzen mit Brüchen im Exponenten wie folgt schreiben:

    • $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac mn}$ sowie
    • $\frac1{\sqrt[n]{a^m}}=a^{-\frac mn}$.
    Somit ist
    • $\frac1{\sqrt[3]{c^4}}=c^{-\frac 43}$,
    • $\sqrt[5]{c^2}=c^{\frac 25}$,
    • $\sqrt[4]{c^3}=c^{\frac 34}$ und
    • $\frac1{\sqrt{c^5}}=c^{-\frac 52}$.

  • Wende die Regeln zum Rechnen mit Wurzeln und Potenzen an, um den Term umzuformen.

    Tipps

    Das Lösungswort ist ein Ausruf:

    „..., wenn du alle Regeln gut gelernt hast, fällt dir diese Aufgabe leicht!“

    Die Regel J kommt zweimal vor.

    Lösung

    Zur Umformung des Turmes $\sqrt[3]{\left(27c^3\right)^2}$ wird zunächst die Regel O angewendet, nach der sich Wurzeln als Potenzen mit Brüchen im Exponenten schreiben lassen:

    $\sqrt[3]{\left(27c^3\right)^2}=\left(\left(27c^3\right)^2\right)^{\frac13}$.

    Nun wird die Regel angewendet, dass Potenzen potenziert werden, indem man die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert (J):

    $\left(\left(27c^3\right)^2\right)^{\frac13}=\left(27c^3\right)^{2\cdot \frac13}=\left(27c^3\right)^{\frac23}$.

    Da $27=3^3$ ist kann der Term $27c^3$ zu $(3c)^3$ zusammengefasst werden (A), es gilt also:

    $\left(27c^3\right)^{\frac23}=\left((3c)^3\right)^{\frac23}$.

    Nun kann wieder die Regel zum Potenzieren von Potenzen (J) angewendet werden:

    $\left((3c)^3\right)^{\frac23}=(3c)^{3\cdot\frac23}=(3c)^2$.

    Unter nochmaliger Anwendung der Regel zum Potenzieren von Produkten (A) erhält man:

    $(3c)^2=9c^2$.

  • Erkläre, wie Potenzen mit Brüchen im Exponenten in Wurzeln umgeformt werden können.

    Tipps

    Es ist $4^{\frac32}=\sqrt[2]{4^3}$.

    $27^{\frac25}$ lässt sich auch als Wurzel schreiben: $\sqrt[5]{27^2}$.

    Lösung

    Was passiert mit dem Zähler und Nenner des Exponenten beim Potenzieren mit Brüchen?

    • Der Zähler des Exponenten ist der Exponent des Radikanden, des Terms unter der Wurzel, und
    • der Nenner ist die Zahl, die über der Wurzel steht. Man nennt diese Zahl auch den Wurzelexponenten.

  • Leite eine Formel für $\sqrt[n]{\sqrt[m]a}$ her.

    Tipps

    Potenzen werden potenziert, indem man die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert:

    $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.

    Wurzeln können als Potenzen mit Brüchen als Exponenten geschrieben werden.

    Es gilt

    $\sqrt[n]a=a^{\frac1n}$.

    Lösung

    Es soll nachgewiesen eine Vereinfachung für das mehrfache Anwenden von Wurzeln hergeleitet werden.

    Diese Regel entspricht der Regel, dass Potenzen potenziert werden, indem die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert wird.

    Da eine Wurzel als Potenz geschrieben werden kann, lässt sich eine solche Regel wie folgt herleiten:

    $\large{\begin{align*} \sqrt[n]{\sqrt[m]a}&=\left(\sqrt[m]a\right)^{\frac1n}\\ &=\left(a^{\frac1m}\right)^{\frac1n}\\ &=a^{\frac1m\cdot\frac1n}\\ &=a^{\frac1{m\cdot n}}\\ &=\sqrt[m\cdot n]a \end{align*}}$