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Was ist eine Potenz?

Schaue dir die folgende Gleichung an:

$\underbrace{6\cdot 6\cdot 6}_{3-\text{mal}}=6^3$

Der Term $6^3$ wird als Potenz bezeichnet. Du sagst: „Sechs hoch drei.“ Übrigens ist $6^3=216$ das Ergebnis. Das Ergebnis einer Potenz wird als Potenzwert bezeichnet.

Potenz

Wenn du nun umgekehrt wissen möchtest, welches Zahl mit $3$ potenziert $216$ ergibt, weißt du entweder, dass $6^3=216$ ist, oder du musst mit Wurzeln rechnen.

Für das Rechnen mit Potenzen gibt es verschiedene Potenzgesetze:

Das Produkt von Potenzen: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Basis beibehält und die Exponenten addiert:

$\quad a^n\cdot a^m=a^{n+m}$

Der Quotient von Potenzen: Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Basis beibehält und die Exponenten subtrahiert, wobei der Exponent vom Nenner vom Exponenten des Zählers subtrahiert wird :

$\quad \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$

Das Potenzieren von Potenzen: Potenzen werden potenziert, indem man die Basis beibehält und die Exponenten multipliziert:

$\quad \left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$

Das Potenzieren von Produkten: Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und das Produkt mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert:

$\quad (a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$

Das Potenzieren von Quotienten: Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den Quotienten mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert:

$\quad \left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$

Was ist eine Wurzel?

Die nichtnegative Zahl $x=\sqrt[n]{a}$, die mit $n$ potenziert $a$ ergibt, heißt n-te Wurzel aus $a$.

  • $a$, der Term unter der Wurzel, ist eine nichtnegative reelle Zahl, $a\in\mathbb{R}^+$. Dieser Term wird als Radikand bezeichnet.
  • $n\in\mathbb{N}_{+}$: Dies ist der sogenannte Wurzelexponent.

Das Ziehen einer Wurzel, oder auch Radizieren genannt, entspricht also der Lösung der Gleichung $a=x^n$ mit der unbekannten Größe $x$.

Schauen wir uns zunächst einmal spezielle Wurzeln an.

Der Wurzelexponent

  • Den Wurzelexponenten $2$ schreibst du nicht auf. Es ist $\sqrt{36}=\sqrt[2]{36}=6$ die Quadratwurzel von $36$. Das Ziehen der Quadratwurzel ist die Umkehroperation zum Quadrieren.
  • Die Kubikwurzel ist die Wurzel mit dem Wurzelexponenten $3$. Die Kubikwurzel kehrt das Potenzieren mit dem Exponenten $3$ um: $\sqrt[3]{216}=6$

Nun weißt du, was eine Wurzel ist. Wenden wir uns also dem Thema Wurzeln als Potenzen zu.

Wurzeln als Potenzen schreiben

In vielen Zusammenhängen ist es von Vorteil, Wurzeln als Potenzen zu schreiben.

Du kannst zum Beispiel die oben genannten Potenzgesetze anwenden.

Zunächst schreiben wir die Eigenschaft, dass das Ziehen einer $n$-ten Wurzel das Potenzieren mit $n$ umkehrt, mathematisch auf:

  1. $\left(\sqrt[n]a\right)^n=a$ sowie
  2. $\sqrt[n]{a^n}=a$

Die n-te Wurzel als Potenz

  • Es sei $b=\sqrt[n]a$, dann ist $b^n=\left(\sqrt[n]a\right)^n=a$.
  • Da $a=a^1=a^{\frac nn}$ ist, folgt $b^n=a^{\frac nn}=\left(a^{\frac1n}\right)^n$. Hier wird das Potenzgesetz zum Potenzieren von Potenzen verwendet.
  • Schließlich ist $b^n=\left(a^{\frac1n}\right)^n$ und damit, durch Ziehen der $n$-ten Wurzel, $b=a^{\frac1n}$.

Du kannst dir also für die $n$-te Wurzel merken:

$\sqrt[n]a=a^{\frac1n}$

Beispiele

  • $\sqrt[3]{216}=216^{\frac13}=6$
  • $\sqrt[4]{16}=16^{\frac14}=2$
  • $\sqrt[5]{x}=x^{\frac15}$

Wenn durch die n-te Wurzel dividiert wird

Du kannst auch den Term $\frac1{\sqrt[n] a}$ als Potenz schreiben. Hierfür verwendest du $\frac1{b}=b^{-1}$ und das Potenzgesetz zum Potenzieren von Potenzen:

  • $\frac1{\sqrt[n] a}=\left(\sqrt[n] a\right)^{-1}$
  • Da $\sqrt[n] a=a^{\frac1n}$ ist, folgt damit $\frac1{\sqrt[n] a}=\left(a^{\frac1n}\right)^{-1}$.
  • Schließlich erhältst du $\frac1{\sqrt[n] a}=a^{-\frac1n}$.

Merke dir also:

$\frac1{\sqrt[n]a}=a^{-\frac1n}$

Potenzen mit rationalen Exponenten

Wir schauen uns nun also an, was ein rationaler Exponent, also ein Bruch im Exponenten bewirkt. Hierfür verwenden wir die beiden oben bereits hergeleiteten Schreibweisen für Wurzeln als Potenzen:

$a^{\frac mn}=\left(a^m\right)^{\frac1n}$

Wenn in der Potenz der Bruch $\frac1n$ steht, kannst du die Potenz als Wurzel schreiben:

$a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}$

Du kannst die Potenz auch wie folgt klammern:

$a^{\frac mn}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$

Merke dir: Der Nenner des Exponenten ist der Wurzelexponent und der Zähler der Exponent. Zur Veranschaulichung sei $m=3$ und $n=8$, es ist also eine Potenz mit einem rationalen Exponenten $\frac{3}{8}$ gegeben.

$a^{\frac{3}{8}}=\left(a^3\right)^{\frac1 8}=\sqrt[8]{a^3}=\left(\sqrt[8]{a}\right)^3$

Dies funktioniert auch bei negativen rationalen Exponenten:

$a^{-\frac mn}=\frac1{\sqrt[n]{a^m}}=\frac1{\left(\sqrt[n]{a}\right)^m}$

Wurzelgesetze

Der Vollständigkeit halber siehst du hier noch die Wurzelgesetze, welche aus den Potenzgesetzen hergeleitet werden können:

  • Das Produkt von Wurzeln: Wurzeln mit dem gleichen Wurzelexponenten werden multipliziert, indem man die Radikanden multipliziert und den Wurzelexponenten beibehält.

$\quad \sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=a^{\frac{1}{n}} \cdot b^{\frac{1}{n}}= (a \cdot b)^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a\cdot b}$

$\quad \sqrt[2]{225}=\sqrt[2]{9 \cdot 25}=(9 \cdot 25)^{ \frac{1}{2}}=\sqrt[2]{9} \cdot \sqrt[2]{25}=3 \cdot 5=15$

  • Der Quotient von Wurzeln: Wurzeln mit dem gleichen Wurzelexponenten werden dividiert, indem man die Radikanden dividiert und den Wurzelexponenten beibehält.

$\quad \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}}=(\frac{a}{b})^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{\frac ab}$

$\quad \sqrt[4]{\frac{81}{16}}=(\frac{81}{16})^{\frac{1}{4}}=\frac{81^{\frac{1}{4}}}{16^{\frac{1}{4}}}= \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}}=\frac{3}{2}$

  • Wurzeln von Wurzeln: Du ziehst die Wurzel einer Wurzel, indem du die Wurzelexponenten multiplizierst und den Radikanden beibehältst.

$\quad \sqrt[m]{\sqrt[n]a}=(a^{\frac{1}{n}})^{\frac{1}{m}}=a^{\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{m}}=\sqrt[m\cdot n]a$

$ \quad \sqrt[6]64=\sqrt[3\cdot 2]64=64^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}= (64^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{\sqrt[2]64}=\sqrt[3]{8}=2$

An dieser Umformung kannst du nun sehen, wie unter Verwendung des Potenzgesetzes Potenzieren von Potenzen dieses Gesetz nachgewiesen werden kann.